Акимов В.А., Лапин В.Л., Попов В.М. и др. Надежность технических систем и техногенный риск. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

ñ k èñïðàâíûìè ýëåìåíòàìè èç ï è ñèñòåì, ýëåìåíòû êîòîðûõ ñîåäèíåíû

ïî ìîñòèêîâîé ñõåìå.

Ñèñòåìà ñ ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ (ðèñ. 4.5.13) — îáû÷íàÿ

ïàðàëëåëüíàÿ ñõåìà, ê êîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíî ïîäñîåäèíåí îäèí ýëåìåíò.

Ïàðàëëåëüíàÿ ÷àñòü (I) ñõåìû îòî

áðàæàåò íåçàâèñèìûå îòêàçû â ëþ

áîé ñèñòåìå èç n ýëåìåíòîâ, à ïîñëå

äîâàòåëüíî ñîåäèíåííûé ýëåìåíò

(II) — âñå ìíîæåñòâåííûå îòêàçû

ñèñòåìû.

Ãèïîòåòè÷åñêèé ýëåìåíò, õàðàê

òåðèçóåìûé îïðåäåëåííîé âåðîÿò

íîñòüþ ïîÿâëåíèÿ ìíîæåñòâåííîãî

îòêàçà, ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåí

ñ ýëåìåíòàìè, êîòîðûå õàðàêòåðèçó-

þòñÿ íåçàâèñèìûìè îòêàçàìè. Îò-

êàç ãèïîòåòè÷åñêîãî ïîñëåäîâàòåëü-

íî ñîåäèíåííîãî ýëåìåíòà

(ò. å. ìíîæåñòâåííûé îòêàç) ïðèâî-

äèò ê îòêàçó âñåé ñèñòåìû. Ïðåäïî-

ëàãàåòñÿ, ÷òî âñå ìíîæåñòâåííûå îò-

êàçû ïîëíîñòüþ âçàèìîñâÿçàíû.

Âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû òà-

êîé ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ êàê

={1–(1–R

)

, ãäå n — ÷èñëî îäèíàêîâûõ ýëåìåíòîâ; R

— âåðîÿò-

íîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ýëåìåíòîâ, îáóñëîâëåííàÿ íåçàâèñèìûìè îòêàçà-

ìè; R

— âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû, îáóñëîâëåííàÿ ìíîæå

ñòâåííûìè îòêàçàìè.

Ïðè ïîñòîÿííûõ èíòåíñèâíîñòÿõ îòêàçîâ

âûðàæåíèå äëÿ âåðî

ÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû ïðèíèìàåò âèä:

{}

Rt e e

tn t

() ( )

()

=−−

−− −

1 αλ αλ

(4.5.30)

ãäå: t —

âðåìÿ.

Âëèÿíèå ìíîæåñòâåííûõ îòêàçîâ íà íàäåæíîñòü ñèñòåìû ñ ïàðàëëåëü

íûì ñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ íàãëÿäíî äåìîíñòðèðóåòñÿ ñ ïîìîùüþ

ðèñ. 4.5.14—4.5.16; ïðè óâåëè÷åíèè çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a âåðîÿòíîñòü áå

çîòêàçíîé ðàáîòû òàêîé ñèñòåìû óìåíüøàåòñÿ.

Ïàðàìåòð a ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ îò 0 äî 1. Ïðè a = 0 ìîäèôèöèðîâàííàÿ

ïàðàëëåëüíàÿ ñõåìà âåäåò ñåáÿ, êàê îáû÷íàÿ ïàðàëëåëüíàÿ ñõåìà, à ïðè a =1

îíà äåéñòâóåò êàê îäèí ýëåìåíò, ò. å. âñå îòêàçû ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ ìíîæå

ñòâåííûìè.

Ïîñêîëüêó èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ è ñðåäíåå âðåìÿ íàðàáîòêè íà îòêàç

ëþáîé ñèñòåìû ìîæíî îïðåäåëèòü ñ ïîìîùüþ (4.3.7) è ôîðìóë:

171

Ã ËÀÂÀ 4

Ðèñ. 4.5.13. Ìîäèôèöèðîâàííàÿ

ñèñòåìà ñ ïàðàëëåëüíûì

ñîåäèíåíèåì îäèíàêîâûõ

ýëåìåíòîâ

172

Ã ËÀÂÀ 4

Ðèñ. 4.5.15. Çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû

ñ ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì òðåõ ýëåìåíòîâ îò ïàðàìåòðà a

Ðèñ. 4.5.16. Çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû

ñ ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì ÷åòûðåõ ýëåìåíòîâ îò ïàðàìåòðà a

Ðèñ. 4.5.14. Çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû

ñ ïàðàëëåëüíûì ñîåäèíåíèåì äâóõ ýëåìåíòîâ îò ïàðàìåòðà a

dR t

()

,=⋅

TRtdt

∞

∫

()

ñ ó÷åòîì âûðàæåíèÿ äëÿ R

(t) ïîëó÷àåì, ÷òî èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ

(ðèñ. 4.5.17) è ñðåäíÿÿ íàðàáîòêà íà îòêàç ìîäèôèöèðîâàííîé ñèñòåìû ñî

îòâåòñòâåííî ðàâíû:

λαλλα

tn() ( )=+ −

−

⎧

⎨

⎩

⎫

⎬

⎭

(4.5.31)

{}

−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−−

∑

()

()λβ

, ãäå

αλ

−

−−

t()

(4.5.32)

ÐÈÌÅÐ 4.5.12. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû

ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç äâóõ îäèíàêîâûõ ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ýëåìåí

òîâ, åñëè l = 0,001 ÷

–1

; a = 0,071; t = 200 ÷.

Âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç äâóõ îäèíàêî

âûõ ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòîâ, äëÿ êîòîðîé õàðàêòåðíû ìíîæå

173

Ã ËÀÂÀ 4

Ðèñ. 4.5.17. Çàâèñèìîñòü èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ ñèñòåìû ñ ïàðàëëåëüíûì

ñîåäèíåíèåì ÷åòûðåõ ýëåìåíòîâ îò ïàðàìåòðà a

ñòâåííûå îòêàçû, ðàâíà 0,95769. Âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû,

ñîñòîÿùåé èç äâóõ ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòîâ è õàðàêòåðèçóåìîé

òîëüêî íåçàâèñèìûìè îòêàçàìè, ðàâíà 0,96714.

Ñèñòåìà ñ k èñïðàâíûìè ýëåìåíòàìè èç ï îäèíàêîâûõ ýëåìåíòîâ âêëþ

÷àåò â ñåáÿ ãèïîòåòè÷åñêèé ýëåìåíò, ñîîòâåòñòâóþùèé ìíîæåñòâåííûì îò

êàçàì è ñîåäèíåííûé ïîñëåäîâàòåëüíî ñ îáû÷íîé ñèñòåìîé òèïà k èç n, äëÿ

êîòîðîé õàðàêòåðíû íåçàâèñèìûå îòêàçû. Îòêàç, îòîáðàæàåìûé ýòèì ãèïî

òåòè÷åñêèì ýëåìåíòîì, âûçûâàåò îòêàç âñåé ñèñòåìû. Âåðîÿòíîñòü áåçîò

êàçíîé ðàáîòû ìîäèôèöèðîâàííîé ñèñòåìû ñ k èñïðàâíûìè ýëåìåíòàìè

èç n ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå:

RrRRR

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

⎧

⎨

⎩

⎫

⎬

⎭

−

∑

1()

(4.5.33)

ãäå: R

—

âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ýëåìåíòà, äëÿ êîòîðîãî õàðàê

òåðíû íåçàâèñèìûå îòêàçû;

—

âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû ñ k èñïðàâíûìè ýëå-

ìåíòàìè èç n, äëÿ êîòîðîé õàðàêòåðíû ìíîæåñòâåííûå îòêàçû.

Ïðè ïîñòîÿííûõ èíòåíñèâíîñòÿõ l

è l

ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïðèíè-

ìàåò âèä:

{}

Rt re e e

rt t

()

() ()

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

−− −−

−

αλ αλ αλ

∑

(4.5.34)

Çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû îò ïàðàìåòðà a äëÿ ñèñòåì

ñ äâóìÿ èñïðàâíûìè ýëåìåíòàìè èç òðåõ è äâóìÿ è òðåìÿ èñïðàâíûìè ýëå-

ìåíòàìè èç ÷åòûðåõ ïîêàçàíû íà ðèñ. 4.5.18—4.5.20. Ïðè óâåëè÷åíèè ïàðà-

ìåòðà a âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû óìåíüøàåòñÿ íà íåáîëü-

øóþ âåëè÷èíó (lt).

Èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ ñèñòåìû ñ k èñïðàâíûìè ýëåìåíòàìè èç n

è ñðåäíÿÿ íàðàáîòêà íà îòêàç ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:

[]

ααλθη θλ

rr r nr

()

() ()(

()

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−− + − −

−

∑

1 αη η

θη

)()

()

−−

−

⎧

⎨

⎩

⎫

⎬

⎭

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

∑

(4.5.35)

ãäå:

{}

βλ

=−

−−

t()

ααλ

−−

rr t()

nrn

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

⎡

⎣

⎢

−

−−

∑

α+α α+1)λ(

()(

−

−−

−

)

!( αα+2)λ

−

−−−−−

⋅

+− −

⎤

⎦

⎥

()( )( )

!( )

...

nrnr nr

32ααλ

(4.5.36)

174

Ã ËÀÂÀ 4

175

Ã ËÀÂÀ 4

Ðèñ. 4.5.18. Âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû, ñîõðàíÿþùåé

ðàáîòîñïîñîáíîñòü ïðè îòêàçå äâóõ èç n ýëåìåíòîâ

Ðèñ. 4.5.19. Âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû, ñîõðàíÿþùåé

ðàáîòîñïîñîáíîñòü ïðè îòêàçå äâóõ èç ÷åòûðåõ ýëåìåíòîâ

Ðèñ. 4.5.20. Âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû, ñîõðàíÿþùåé

ðàáîòîñïîñîáíîñòü ïðè îòêàçå òðåõ èç ÷åòûðåõ ýëåìåíòîâ

ÏÐÈÌÅÐ 4.5.13. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû

ñèñòåìû ñ äâóìÿ èñïðàâíûìè ýëåìåíòàìè èç òðåõ, åñëè l = 0,0005 ÷

–1

;

a = 0,3; t = 200 ÷.

Ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ äëÿ R

íàõîäèì, ÷òî âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé

ðàáîòû ñèñòåìû, â êîòîðîé ïðîèñõîäèëè ìíîæåñòâåííûå îòêàçû, ñîñòàâëÿåò

0,95772. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ñèñòåìû ñ íåçàâèñèìûìè îòêàçàìè ýòà âåðîÿò

íîñòü ðàâíà 0,97455.

Ñèñòåìà ñ ïàðàëëåëüíî-ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ ñîîò

âåòñòâóåò ñèñòåìå, ñîñòîÿùåé èç îäèíàêîâûõ ýëåìåíòîâ, äëÿ êîòîðûõ õàðàê

òåðíû íåçàâèñèìûå îòêàçû, è ðÿäà âåòâåé, ñîäåðæàùèõ âîîáðàæàåìûå ýëå

ìåíòû, äëÿ êîòîðûõ õàðàêòåðíû ìíîæåñòâåííûå îòêàçû. Âåðîÿòíîñòü

áåçîòêàçíîé ðàáîòû ìîäèôèöèðîâàííîé ñèñòåìû ñ ïàðàëëåëüíî-ïîñëåäîâà

òåëüíûì (ñìåøàííûì) ñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ ìîæíî îïðåäåëèòü ñ ïîìî

ùüþ ôîðìóëû

[]

RRR

=− −111

()

, ãäå m — ÷èñëî îäèíàêîâûõ ýëåìåíòîâ

â îòâåòâëåíèè, n — ÷èñëî îäèíàêîâûõ îòâåòâëåíèé.

Ïðè ïîñòîÿííûõ èíòåíñèâíîñòÿõ îòêàçîâ l

è l

ýòî âûðàæåíèå ïðèíè-

ìàåò âèä:

[]

Rt e e

ntm t

() ( )

()

=− −

−− −

111

1 αλ αλ

(4.5.37)

Èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ ñèñòåìû ñ ïàðàëëåëüíî-ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîå-

äèíåíèåì ýëåìåíòîâ è ñðåäíÿÿ íàðàáîòêà íà îòêàç ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû

ñëåäóþùèì îáðàçîì:

λαλ αλ

tmn() ( )

()

=+ −

−

(4.5.38)

ãäå

[]

γλ

=−

−−

()

{}

nj j

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

∑

()

()λα + λ α

(4.5.39)

Ñèñòåìà, ýëåìåíòû êîòîðîé ñîåäèíåíû ïî ìîñòèêîâîé ñõåìå, ñîîòâåòñò

âóåò ñõåìå, ñîñòîÿùåé èç îäèíàêîâûõ ýëåìåíòîâ, äëÿ êîòîðûõ õàðàêòåðíû

íåçàâèñèìûå îòêàçû, è ïîñëåäîâàòåëüíî ïîäñîåäèíåííîãî ê íèì âîîáðàæà

åìîãî ýëåìåíòà, äëÿ êîòîðîãî õàðàêòåðíû ìíîæåñòâåííûå îòêàçû. Ïðè ìíî

æåñòâåííîì îòêàçå ãèïîòåòè÷åñêîãî ýëåìåíòà âñÿ ñèñòåìà âûõîäèò èç ñòðîÿ.

Âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ìîäèôèöèðîâàííîé ñèñòåìû ñ ýëåìåíòà

ìè, ñîåäèíåííûìè ïî ìîñòèêîâîé ñõåìå, ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå:

{}

RRRRRR

=−−+−−−−−121512121

()()()()

(4.5.40)

(çäåñü R

— âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ìîñòèêîâîé ñõåìû, äëÿ êîòî

ðîé õàðàêòåðíû ìíîæåñòâåííûå îòêàçû). Ýòà ôîðìóëà ïðè ïîñòîÿííûõ èí

òåíñèâíîñòÿõ l

è l

ïðèíèìàåò âèä:

176

Ã ËÀÂÀ 4

Rteeee

At At At At

() ()()()()=− − + − − − − −

−−−−

121512121

543

{}

t−βλ

(4.5.41)

(çäåñü À =(1–a)l). Çàâèñèìîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû R

(t) äëÿ ðàç

ëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ a ïîêàçàíà íà ðèñ. 4.5.21. Ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ lt âåðî

ÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû ñ ýëåìåíòàìè, ñîåäèíåííûìè ïî ìîñ

òèêîâîé ñõåìå, óáûâàåò ñ óâåëè÷åíèåì ïàðàìåòðà a.

Èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû è ñðåäíÿÿ íàðàáîòêà

íà îòêàç ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:

λ βλ + Α(−8π 25π π + 4π π) +

−2π5π2π2

532

t()=+−+

+−−

24 4

2π π 2π 2π

15−+ −−

(4.5.40)

ãäå

π= −

−

()1 e

−

−()()()()αλ αλ αλ αλ

(4.5.41)

ÐÈÌÅÐ 4.5.14. Òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû

â òå÷åíèå 200 ÷ äëÿ ñèñòåìû ñ îäèíàêîâûìè ýëåìåíòàìè, ñîåäèíåííûìè

ïî ìîñòèêîâîé ñõåìå, åñëè l = 0,0005 ÷

–1

è a = 0,3.

Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå äëÿ R

(t), íàõîäèì, ÷òî âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé

ðàáîòû ñèñòåìû ñ ñîåäèíåíèåì ýëåìåíòîâ ïî ìîñòèêîâîé ñõåìå ñîñòàâëÿåò

ïðèìåðíî 0,96; äëÿ ñèñòåìû ñ íåçàâèñèìûìè îòêàçàìè (ò. å. ïðè a = 0) ýòà

âåðîÿòíîñòü ðàâíà 0,984.

4.5.4.5. Ìîäåëü íàäåæíîñòè ñèñòåìû ñ ìíîæåñòâåííûìè îòêàçàìè

Äëÿ àíàëèçà íàäåæíîñòè ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç äâóõ íåîäèíàêîâûõ ýëå

ìåíòîâ, äëÿ êîòîðûõ õàðàêòåðíû ìíîæåñòâåííûå îòêàçû, ðàññìîòðèì òàêóþ

ìîäåëü, ïðè ïîñòðîåíèè êîòîðîé áûëè ñäåëàíû ñëåäóþùèå äîïóùåíèÿ

è ïðèíÿòû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:

177

Ã ËÀÂÀ 4

Ðèñ. 4.5.21. Çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè áåçîòêàçíîé ðàáîòû ñèñòåìû,

ýëåìåíòû êîòîðîé ñîåäèíåíû ïî ìîñòèêîâîé ñõåìå, îò ïàðàìåòðà a

Äîïóùåíèÿ (1) ìíîæåñòâåííûå îòêàçû è îòêàçû äðóãèõ òèïîâ ñòàòèñòè÷å

ñêè íåçàâèñèìû; (2) ìíîæåñòâåííûå îòêàçû ñâÿçàíû ñ âûõîäîì èç ñòðîÿ íå

ìåíåå äâóõ ýëåìåíòîâ; (3) ïðè îòêàçå îäíîãî èç íàãðóæåííûõ ðåçåðâèðîâàí

íûõ ýëåìåíòîâ îòêàçàâøèé ýëåìåíò âîññòàíàâëèâàåòñÿ, ïðè îòêàçå îáîèõ

ýëåìåíòîâ âîññòàíàâëèâàåòñÿ âñÿ ñèñòåìà; (4) èíòåíñèâíîñòü ìíîæåñòâåí

íûõ îòêàçîâ è èíòåíñèâíîñòü âîññòàíîâëåíèé ïîñòîÿííû.

Îáîçíà÷åíèÿ

(t) — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè t îáà ýëåìåíòà ôóíêöèî

íèðóþò;

(t) — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè t ýëåìåíò 1 âûøåë èç

ñòðîÿ, à ýëåìåíò 2 ôóíêöèîíèðóåò;

(t) — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè t ýëåìåíò 2 âûøåë èç

ñòðîÿ, à ýëåìåíò 1 ôóíêöèîíèðóåò;

(t) — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè t ýëåìåíòû 1 è 2 âûøëè

èç ñòðîÿ;

(t) — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè t èìåþòñÿ ñïåöèàëèñòû

è çàïàñíûå ýëåìåíòû äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ îáîèõ ýëåìåíòîâ;

— ïîñòîÿííàÿ èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ ýëåìåíòîâ1è2(i =1,2);

— ïîñòîÿííàÿ èíòåíñèâíîñòü âîññòàíîâëåíèé ýëåìåíòîâ1è2(i =1,2);

— ïîñòîÿííàÿ èíòåíñèâíîñòü âîññòàíîâëåíèé ýëåìåíòîâ1è2;

— ïîñòîÿííûé êîýôôèöèåíò, õàðàêòåðèçóþùèé íàëè÷èå ñïåöèàëè-

ñòîâ è çàïàñíûõ ýëåìåíòîâ;

— ïîñòîÿííàÿ èíòåíñèâíîñòü ìíîæåñòâåííûõ îòêàçîâ;

t — âðåìÿ.

Ðàññìîòðèì òðè âîçìîæíûõ ñëó÷àÿ âîññòàíîâëåíèÿ ýëåìåíòîâ ïðè èõ

îäíîâðåìåííîì îòêàçå:

Ñëó÷àé 1. Çàïàñíûå ýëåìåíòû, ðåìîíòíûé èíñòðóìåíò è êâàëèôèöèðî-

âàííûå ñïåöèàëèñòû èìåþòñÿ äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ îáîèõ ýëåìåíòîâ, ò. å.

ýëåìåíòû ìîãóò áûòü âîññòàíîâëåíû îäíîâðåìåííî.

Ñëó÷àé 2. Çàïàñíûå ýëåìåíòû, ðåìîíòíûé èíñòðóìåíò è êâàëèôèöèðî

âàííûå ñïåöèàëèñòû èìåþòñÿ òîëüêî äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ îäíîãî ýëåìåíòà,

ò. å. ìîæåò áûòü âîññòàíîâëåí òîëüêî îäèí ýëåìåíò.

Ñëó÷àé 3. Çàïàñíûå ýëåìåíòû, ðåìîíòíûé èíñòðóìåíò è êâàëèôèöèðî

âàííûå ñïåöèàëèñòû îòñóòñòâóþò, è, êðîìå òîãî, ìîæåò ñóùåñòâîâàòü î÷å

ðåäü íà ðåìîíòíîå îáñëóæèâàíèå.

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñèñòåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 4.5.22, ïðåä

ñòàâëÿåò ñîáîé ñëåäóþùóþ ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî

ïîðÿäêà:

178

Ã ËÀÂÀ 4

Pt Pt Pt Pt

'() () () () ,

043

=− +

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

∑

λβ μ μ

12113201

∑

=− + + +

=−

P t Pt Pt Pt

'() ( ) () () () ,

'() (

λμ μ λ

λ+ + +

=− +

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

∑

μλμ

μα

22 0 2 3 1

)() () (),

'()

Pt Pt Pt

⎟

=− +

−

∑

Pt Pt Pt

Pt PtP

330

4343

() () (),

'() () (

()

λβ

μ t).α

(4.5.44)

Ïðè

t = 0

èìååì P

(0) = 1, à äðóãèå âåðîÿòíîñòè ðàâíû íóëþ.

Ïðèðàâíèâàÿ â ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèÿõ ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè íóëþ,

äëÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà ïîëó÷àåì:

−+

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

++=

−+ +

∑∑

λβ μ μ

λμ

PPP

043

211

()

32 01

1220231

μλ

λμ λ μ

μα

−+ + + =

−+

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

∑

PP P

() ,

⎟

++=

−+=

−=

−

∑

PP P

330

34 3

λβ

μα

()

(4.5.45)

Ðåøàÿ ýòó ñîâìåñòíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïîëó÷àåì:

179

Ã ËÀÂÀ 4

Ðèñ. 4.5.22. Ìîäåëü ãîòîâíîñòè ñèñòåìû â ñëó÷àå ìíîæåñòâåííûõ îòêàçîâ

12 1

21 2 2

1=+

⎧

⎨

μλ μ

μλ λ μ

λμ

αλ μ

μμ

()

⎩

⎫

⎬

⎭

⎡

⎣

⎢

+− −−+

⎤

⎦

⎥

−

λ+μ

μλ

λ+μ μ

αλ

μμ

122

()

(4.5.46)

ãäå

θ=

(/)PP

13 1

−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⎛

⎝

⎜

λμ αλ

μλ

λ+μ

μλ

λ+μ

⎞

⎠

⎟

+++

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

++ +

λλβ

μλ μ αλ μ

μλ μ

32 1 2 1

12 1

()()()

(λ + μ

)

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

−

(4.5.47)

21 2

12 1

−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

λμ

μλ

μλ μ

μλ+μ

()

21 2

211

12 1

μλ μ

λ+μ

αλ+μ

μμ

()

=−

−

αλ

μμ

P .

Ñòàöèîíàðíûé êîýôôèöèåíò ãîòîâíîñòè ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ïî ôîð-

ìóëå:

ãi

∑

180

Ã ËÀÂÀ 4