Акимов В.А., Лапин В.Л., Попов В.М. и др. Надежность технических систем и техногенный риск. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

4.3.2. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà

Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà — âåëè÷èíà, êîòîðàÿ â ðåçóëüòàòå îïûòà ìîæåò ïðè

íèìàòü òî èëè èíîå çíà÷åíèå, ïðè÷åì íåèçâåñòíî çàðàíåå êàêîå èìåííî.

Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ìîæåò áûòü äèñêðåòíîé (÷èñëî îòêàçîâ çà âðåìÿ t, ÷èñ

ëî îòêàçàâøèõ ýëåìåíòîâ ïðè íàðàáîòêå çàäàííîãî îáúåìà è ò. ä.), ëèáî íå

ïðåðûâíîé (âðåìÿ íàðàáîòêè ýëåìåíòà äî îòêàçà, âðåìÿ âîññòàíîâëåíèÿ ðà

áîòîñïîñîáíîñòè).

Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû — ñîîòíîøåíèå, óñòàíàâëèâàþ

ùåå ñâÿçü ìåæäó çíà÷åíèÿìè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è èõ âåðîÿòíîñòÿìè.

Îí ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí ôîðìóëîé, òàáëèöåé, ìíîãîóãîëüíèêîì ðàñïðå

äåëåíèé.

Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (íåïðåðûâíîé è äèñêðåòíîé)

èñïîëüçóåòñÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ìåíüøå íåêîòî

ðîé òåêóùåé ïåðåìåíîé x.

Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X (èíòåãðàëüíûé çàêîí ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ) — ôóíêöèÿ âèäà F(x)=p (X < x).

Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X (äèôôåðåí-

öèàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ) — ïðîèçâîäíàÿ îò ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ:

Fx() ();= fxdx() ;

–

∞

∫

1 fxdx FX

() ( )

–

∞

∫

(4.3.1)

Â òåîðèè íàäåæíîñòè çà ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó îáû÷íî ïðèíèìàþò âðåìÿ

ðàáîòû èçäåëèÿ (âðåìÿ äî âîçíèêíîâåíèÿ îòêàçà). Â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ

ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ f(t) áóäåò ñëóæèòü ïîëíîé õàðàêòåðèñòèêîé ðàññå-

èâàíèÿ ñðîêîâ ñëóæáû ýëåìåíòîâ (ðèñ. 4.3.1). Âèä ýòîé ôóíêöèè çàâèñèò

îò çàêîíîìåðíîñòåé ïðîöåññà ïîòåðè ýëåìåíòîì ðàáîòîñïîñîáíîñòè.

Êðèâàÿ ðàñïðåäåëåíèÿ f(t) — ÷àñòîòà îòêàçîâ — äàåò âîçìîæíîñòü ïîä

ñ÷èòàòü ñðåäíèé ñðîê ñëóæáû ýëåìåíòà Ò

ñð

(ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Ì[t]),

ðàññåèâàíèå (äèñïåðñèþ D) ýòèõ ñðîêîâ ñëóæáû îòíîñèòåëüíî öåíòðà ãðóï

ïèðîâàíèÿ è äðóãèå ÷èñëîâûå ïàðàìåòðû ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Ò.

Åñëè âçÿòü íåêîòîðûé ïåðèîä âðåìåíè ðàáîòû ýëåìåíòà t, òî ïëîùàäü

F(t) êðèâîé ðàñïðåäåëåíèÿ f(t) áóäåò õàðàêòåðèçîâàòü âåðîÿòíîñòü îòêàçà

(âûõîäà èç ñòðîÿ) ýëåìåíòà çà ýòîò ïåðèîä âðåìåíè (ðèñ. 4.3.1, á). Ïîýòîìó

ëåâàÿ âåòâü êðèâîé ðàñïðåäåëåíèÿ f(t), îòíîñÿùàÿñÿ ê îáëàñòè ìàëîé âåðî

ÿòíîñòè îòêàçîâ, èñïîëüçóåòñÿ îáû÷íî äëÿ õàðàêòåðèñòèêè áåçîòêàçíîñòè

ðàáîòû èçäåëèÿ, à âñÿ êðèâàÿ f(t) è åå ïàðàìåòðû íåîáõîäèìû äëÿ îöåíêè åãî

äîëãîâå÷íîñòè.

Îðäèíàòû èíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F(t ) (ðèñ. 4.3.1, â) õà

ðàêòåðèçóþò âåðîÿòíîñòü îòêàçà äåòàëè äî äàííîãî ìîìåíòà âðåìåíè:

Ft ftdt

() () .=

∫

141

Ã ËÀÂÀ 4

Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ íåò íåîáõîäèìîñòè ïîëüçîâàòüñÿ ôóíêöèÿìè F(t) èëè

f(t), äîñòàòî÷íî çíàòü ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ýòèõ êðèâûõ.

Îñíîâíîé õàðàêòåðèñòèêîé ïîëîæåíèÿ êðèâîé f(t) ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷å-

ñêîå îæèäàíèå Ì[t], êîòîðîå â íàøåì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ ñðåäíèì ñðîêîì

ñëóæáû Ò

ñð

(íàðàáîòêîé íà îòêàç):

Ttftdt

∞

∫

() .

Îñíîâíîé õàðàêòåðèñòèêîé ðàññåèâàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ÿâëÿåòñÿ

äèñïåðñèÿ D èëè ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå

σ= D

Dt T t f tdt

() ( – ) () .=

∞

∫

×åì áîëüøå çíà÷åíèå D (èëè ñîîòâåòñòâåííî s), òåì áîëüøå ðàññåèâàíèå

ñðîêîâ ñëóæáû îòíîñèòåëüíî èõ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ Ì[t].

Äëÿ îöåíêè íàäåæíîñòè ðàáîòû ýëåìåíòà, ïðèíèìàÿ çà îñíîâíóþ ñëó

÷àéíóþ âåëè÷èíó âðåìÿ äî âîçíèêíîâåíèÿ îòêàçà, ìîæíî îïðåäåëèòü è âå

ðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû P(t) â ïðåäåëàõ çàäàííîãî ïåðèîäà t. Äëÿ ýòî

ãî âîñïîëüçóåìñÿ çíà÷åíèåì èíòåãðàëüíîé ôóíêöèè:

142

Ã ËÀÂÀ 4

Ðèñ. 4.3.1. Êðèâûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïðè èçíîñîâûõ

(ïîñòåïåííûõ) îòêàçàõ:

à — ðåàëèçàöèÿ ôóíêöèè èçíîñà j(U);

á — ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñðîêîâ ñëóæáû f(t);

â — èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F(t) è âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû P(t)

Ft ftdt

() () .=

∫

Âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû P(t) îòíîñèòñÿ ê ñîáûòèþ, ïðîòèâîïî

ëîæíîìó ïîÿâëåíèþ îòêàçà F(t). Ïîýòîìó F(t )+P(t)=1èëèP(t)=1–F(t).

Ñëåäîâàòåëüíî, P(t) îïðåäåëÿåòñÿ (4.2.5).

Â ýòîì ñëó÷àå:

—

ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ îòêàçà F(t)=P(t < t

çàä

)=Q(t);

—

ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f(t)=dQ(t)/dt;

—

âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîñòè èçäåëèÿ çà âðåìÿ t: P(t)=1–Q(t).

Èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ (óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îòêàçîâ) —

îòíîøåíèå f(t)êP(t), ñì. (4.2.7):

λ() ()/ ().tftPt=

Òèïè÷íàÿ ôóíêöèÿ èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ èçîáðàæåíà íà ðèñ. 4.3.2.

Ó÷àñòîê óáûâàþùåé èíòåíñèâ

íîñòè îòêàçîâ

(–)tt

èíîãäà íàçû

âàþò ïåðèîäîì ïðèðàáîòêè èëè ïåðè-

îäîì ðàííèõ îòêàçîâ. Ïîÿâëåíèå

îòêàçîâ â ýòîì ïåðèîäå îáû÷íî âû-

çûâàåòñÿ êîíñòðóêòèâíûìè èëè

ïðîèçâîäñòâåííûìè äåôåêòàìè.

Ó÷àñòîê ïîñòîÿííîé èíòåíñèâ-

íîñòè îòêàçîâ

(–)tt

íàçûâàþò ïå-

ðèîäîì íîðìàëüíîé ýêñïëóàòàöèè.

Ýòîò ïåðèîä íà÷èíàåòñÿ ñðàçó æå

ïîñëå ïåðèîäà ïðèðàáîòêè è çàêàí-

÷èâàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ïå-

ðèîäîì èçíîñîâûõ îòêàçîâ.

Ïåðèîä èçíîñîâûõ îòêàçîâ íà÷èíàåòñÿ òîãäà, êîãäà ýëåìåíò (óñòðîéñòâî)

âûðàáîòàë ñâîé ðåñóðñ, âñëåäñòâèå ÷åãî ÷èñëî îòêàçîâ â ýòîì ïåðèîäå íà÷è

íàåò âîçðàñòàòü.

Îòêàçû, ïîÿâëÿþùèåñÿ â ïåðèîäå íîðìàëüíîé ýêñïëóàòàöèè, íàçûâàþò

âíåçàïíûìè, òàê êàê îíè ïîÿâëÿþòñÿ â ñëó÷àéíûå ìîìåíòû âðåìåíè, èëè,

äðóãèìè ñëîâàìè, íåïðåäñêàçóåìî.

4.3.3. Îñíîâíûå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ, èñïîëüçóåìûå â òåîðèè

íàäåæíîñòè

Â òåîðèè íàäåæíîñòè íàèáîëüøåå ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëè ñëåäóþ

ùèå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí f(t):

—

äëÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí — áèíîìèíàëüíûé çàêîí; çàêîí

Ïóàññîíà;

143

Ã ËÀÂÀ 4

Ðèñ. 4.3.2. Òèïè÷íàÿ ôóíêöèÿ

èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ

—

äëÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí — ýêñïîíåíöèàëüíûé çàêîí;

íîðìàëüíûé çàêîí; ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå; çàêîí Âåéáóëëà; c

— ðàñ

ïðåäåëåíèå; ëîãàðèôìè÷åñêè-íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.

Áèíîìèíàëüíûé çàêîí

ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà n ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A â m

íåçàâèñèìûõ îïûòàõ (èñïûòàíèÿõ). Åñëè âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A

â îäíîì èñïûòàíèè ðàâíà p, âåðîÿòíîñòü íåïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A ðàâíà

qp= 1–

; ÷èñëî íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ðàâíî m, òî âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ

n ñîáûòèé â èñïûòàíèÿõ áóäåò:

PCp p

nmn

= (– )

–

, (4.3.2)

ãäå:

—

÷èñëî ñî÷åòàíèé èç m ïî n.

Ñâîéñòâà ðàñïðåäåëåíèÿ ñëåäóþùèå:

1) ÷èñëî ñîáûòèé n — öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî;

2) ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ÷èñëà ñîáûòèé ðàâíî mp;

3) ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ÷èñëà ñîáûòèé:

σ= mp p(– )1

Ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà èñïûòàíèé áèíîìèíàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïðè-

áëèæàåòñÿ ê íîðìàëüíîìó ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì n/m è äèñïåðñèåé

ppm(– )/ .1

Çàêîí Ïóàññîíà

— ðàñïðåäåëåíèå ÷èñåë ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ n

çà âðåìÿ t.

Âåðîÿòíîñòü âîçíèêíîâåíèÿ ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ n ðàç çà âðåìÿ t:

()

exp(– )τ

λτ

λτ=

(4.3.3)

ãäå:

—

èíòåíñèâíîñòü ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ.

Ñâîéñòâà ðàñïðåäåëåíèÿ ñëåäóþùèå:

1) ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ÷èñëà ñîáûòèé çà âðåìÿ t ðàâíî lt;

2) ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ÷èñëà ñîáûòèé:

σλτ= .

Õàðàêòåðíûé ïðèçíàê ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà — ðàâåíñòâî ìàòåìàòè

÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè. Ýòî ñâîéñòâî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ïðîâåðêè

ñòåïåíè ñîîòâåòñòâèÿ èññëåäóåìîãî (îïûòíîãî) ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ðàñïðåäå

ëåíèåì Ïóàññîíà.

Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà ïîëó÷àåòñÿ èç áèíîìèíàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ,

åñëè ÷èñëî èñïûòàíèé m íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò, à ìàòåìàòè÷åñêîå îæè

äàíèå ÷èñëà ñîáûòèé

a =λτ

îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì.

Òîãäà âåðîÿòíîñòü

áèíîìèíàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè êàæäîì n,

ðàâíîì 0, 1, 2, ..., ñòðåìèòñÿ ê ïðåäåëó:

→

()

exp(– ).

Çàêîí Ïóàññîíà èñïîëüçóåòñÿ òîãäà, êîãäà íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü âåðî

ÿòíîñòü òîãî, ÷òî â èçäåëèè çà çàäàííîå âðåìÿ ïðîèçîéäåò îäèí, äâà, òðè

è ò. ä. îòêàçîâ.

144

Ã ËÀÂÀ 4

Ýêñïîíåíöèàëüíûé (ïîêàçàòåëüíûé) çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âå

ëè÷èíû X (ðèñ. 4.3.3, à) çàïèñûâàåòñÿ â îáùåì ñëó÷àå òàê:

Px x() exp(– )=λ

ãäå: P(x )—

âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò çíà÷åíèå

áîëüøå x; çíà÷åíèÿ å

–õ

äàþòñÿ â ïðèëîæåíèè 1.

Â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà çà ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ïðèíèìàåòñÿ âðåìÿ ðà

áîòû îáúåêòà t, âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èçäåëèå íà ïðîòÿæåíèè âðåìåíè t áó

äåò íàõîäèòüñÿ â ðàáîòîñïîñîáíîì ñîñòîÿíèè, ðàâíà åxp(–lt):

Pt t() exp(–=λ)

, (4.3.4)

ãäå:

—

èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ îáúåêòà äëÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðå

äåëåíèÿ (îíà ïîñòîÿííà), ò. å. l = const.

Âûðàæåíèå (4.3.4) ìîæíî ïîëó÷èòü íåïîñðåäñòâåííî èç (4.3.3), åñëè ÷èñ

ëî îòêàçîâ n ïðèíÿòü ðàâíûì 0.

Âåðîÿòíîñòü îòêàçà çà âðåìÿ t èç (4.3.4):

Qt Pt t() – () –exp(– ).==11λ

(4.3.5)

Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îòêàçîâ:

ft()=

¶Q/¶

tt=λ λexp(– )

(4.3.6)

Ñðåäíåå âðåìÿ ðàáîòû äî âîçíèêíîâåíèÿ îòêàçà:

T tf t dt P t dt

1===

∞∞

∫∫

() () /λ

(4.3.7)

Äèñïåðñèÿ âðåìåíè ðàáîòû äî âîçíèêíîâåíèÿ îòêàçà:

Dt t T f tdt() ( – ) () /==

∞

∫

1 λ

(4.3.8)

Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå âðåìÿ ðàáîòû:

σ()tT=

. (4.3.9)

Ðàâåíñòâî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ ñðåäíåìó âðåìåíè ðàáî

òû — õàðàêòåðíûé ïðèçíàê ýêñïîíåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ñòàòèñòè÷åñêèå ìàòåðèàëû îá îòêàçàõ ýëåìåíòîâ ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì,

÷òî â îñíîâíîì âðåìÿ èõ ðàáîòû ïîä÷èíÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó

ðàñïðåäåëåíèÿ. Óñëîâèåì âîçíèêíîâåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî çàêîíà ðàñ

ïðåäåëåíèÿ âðåìåíè äî îòêàçà ñëóæèò ïîñòîÿíñòâî èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ,

÷òî õàðàêòåðíî äëÿ âíåçàïíûõ îòêàçîâ íà èíòåðâàëå âðåìåíè, êîãäà ïåðèîä

ïðèðàáîòêè îáúåêòà çàêîí÷èëñÿ, à ïåðèîä èçíîñà è ñòàðåíèÿ åùå íå íà÷àë

ñÿ, ò. å. äëÿ íîðìàëüíûõ óñëîâèé ýêñïëóàòàöèè. Ïîñòîÿííîé ñòàíîâèòñÿ èí

òåíñèâíîñòü îòêàçîâ ñëîæíûõ îáúåêòîâ, åñëè âûçûâàþòñÿ îíè îòêàçàìè áî

ëüøîãî ÷èñëà êîìïëåêòóþùèõ ýëåìåíòîâ.

Âðåìÿ âîçíèêíîâåíèÿ ïåðâè÷íûõ îòêàçîâ ìîæåò áûòü ðàñïîëîæåíî

íà îñè âðåìåíè òàê, ÷òî ñóììàðíûé ïîòîê îòêàçîâ ñëîæíîãî èçäåëèÿ ñòàíî

âèòñÿ áëèçêèì ê ïðîñòåéøåìó, ò. å. ñ ïîñòîÿííîé èíòåíñèâíîñòüþ îòêàçîâ.

145

Ã ËÀÂÀ 4

Ýòèìè îáñòîÿòåëüñòâàìè, à òàêæå òåì, ÷òî ïðåäïîëîæåíèå îá ýêñïîíåí

öèàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ñóùåñòâåííî óïðîùàåò ðàñ÷åòû íàäåæíîñòè, îáú

ÿñíÿåòñÿ øèðîêîå ïðèìåíåíèå ýêñïîíåíöèàëüíîãî çàêîíà â èíæåíåðíîé

ïðàêòèêå.

Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (ðèñ. 4.3.3, á). Åñëè îòêàç

óñòðîéñòâà âîçíèêàåò òîãäà, êîãäà ïðîèçîéäåò íå ìåíåå k îòêàçîâ åãî ýëå

ìåíòîâ, à îòêàçû ýëåìåíòîâ ïîä÷èíåíû ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó ñ ïàðà

ìåòðàìè λ

, ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îòêàçà óñòðîéñòâà:

146

Ã ËÀÂÀ 4

f(t) Q(t) P(t) O(t)

à)

á)

â)

ã)

ä)

ñ)

tttt

Ðèñ. 4.3.3. Ðàñïðåäåëåíèÿ:

à – ýêñïîíåíöèàëüíîå; á — g-ðàñïðåäåëåíèå; â — Âåéáóëëà;

ã — íîðìàëüíîå; ä — óñå÷åííîå íîðìàëüíîå; å — Ðýëåÿ

()

(–)!

exp(– )

–

(4.3.9)

ãäå:

—

èñõîäíàÿ èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ ýëåìåíòîâ óñòðîéñòâà, îòêàç

êîòîðîãî âûçûâàåòñÿ îòêàçîì k ýëåìåíòîâ.

Ýòîìó ðàñïðåäåëåíèþ ïîä÷èíÿåòñÿ âðåìÿ ðàáîòû ðåçåðâèðîâàííûõ

óñòðîéñòâ. Ðàâåíñòâî (4.3.9) ïîëó÷àåòñÿ èç (4.3.3).

Âåðîÿòíîñòü k è áîëåå îòêàçîâ, ò. å. âåðîÿòíîñòü îòêàçà äàííîãî óñòðîé

ñòâà:

Pn k

()–

()

exp(– ).

–

≥=

∑

(4.3.10)

Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îòêàçà óñòðîéñòâà çà âðåìÿ t:

()

exp

=− −

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

−

∑

()

exp −λ

(4.3.11)

Ñðåäíåå âðåìÿ ðàáîòû óñòðîéñòâà äî îòêàçà:

TkTk

10 0

==/ λ

. (4.3.12)

Èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ óñòðîéñòâà:

()

()!

−

∑

(4.3.13)

Âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîãî ñîñòîÿíèÿ óñòðîéñòâà:

()

Pt t

() exp( )

.=−

−

∑

λλ

(4.3.14)

Ïðè k =1g-ðàñïðåäåëåíèå ñîâïàäàåò ñ ýêñïîíåíöèàëüíûì ðàñïðåäåëå

íèåì.

Ïðè óâåëè÷åíèè k g-ðàñïðåäåëåíèå áóäåò ïðèáëèæàòüñÿ ê ñèììåòðè÷íî

ìó ðàñïðåäåëåíèþ, à èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ áóäåò èìåòü âñå áîëåå âûðàæåí

íûé õàðàêòåð âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè âðåìåíè.

Ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà

. Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïîòîê îòêàçîâ íå ñòàöèîíàð

íûé, ò. å. ïëîòíîñòü ïîòîêà èçìåíÿåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, ôóíêöèÿ ðàñ

ïðåäåëåíèÿ âðåìåíè äî îòêàçà ïðèîáðåòàåò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ. 4.3.3, â.

Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îòêàçîâ ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:

ft t t() exp( ).=−

−

λα λ

αα1

(4.3.15)

Âåðîÿòíîñòü îòñóòñòâèÿ îòêàçà çà âðåìÿ t:

Pt t() exp( ).=−λ

(4.3.16)

Èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ:

λαλ

() .tt=

−

(4.3.17)

147

Ã ËÀÂÀ 4

Â (4.3.15)—(4.3.17) a è l

— ïàðàìåòðû çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïàðàìåòð

îïðåäåëÿåò ìàñøòàá, ïðè åãî èçìåíåíèè êðèâàÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñæèìàåò

ñÿ èëè ðàñòÿãèâàåòñÿ. Ïðè a = 1 ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà ñîâïàäà

åò ñ ýêñïîíåíöèàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì; ïðè

α<1

èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ

áóäåò ìîíîòîííî óáûâàþùåé ôóíêöèåé; ïðè

α>1

— ìîíîòîííî âîçðàñòàþ

ùåé. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî äàåò âîçìîæíîñòü ïîäáèðàòü äëÿ îïûòíûõ äàííûõ

íàèáîëåå ïîäõîäÿùèå ïàðàìåòðû a è l

, ñ òåì ÷òîáû óðàâíåíèå ôóíêöèè

ðàñïðåäåëåíèÿ íàèëó÷øèì îáðàçîì ñîâïàäàëî ñ îïûòíûìè äàííûìè. Ðàñ

ïðåäåëåíèå Âåéáóëëà èìååò ìåñòî äëÿ îòêàçîâ, âîçíèêàþùèõ ïî ïðè÷èíå

óñòàëîñòè òåëà äåòàëè èëè ïîâåðõíîñòíûõ ñëîåâ (ïîäøèïíèêè, çóá÷àòûå ïå

ðåäà÷è). Ýòîò ñëó÷àé ñâÿçàí ñ ðàçâèòèåì óñòàëîñòíîé òðåùèíû â çîíå ìåñò

íîé êîíöåíòðàöèè íàïðÿæåíèé, òåõíîëîãè÷åñêîãî äåôåêòà èëè íà÷àëüíîãî

ïîâðåæäåíèÿ. Ïåðèîä âðåìåíè äî çàðîæäåíèÿ ìèêðîòðåùèíû õàðàêòåðèçó

åòñÿ ïðèçíàêàìè âíåçàïíîãî îòêàçà, à ïðîöåññ ðàçðóøåíèÿ — ïðèçíàêàìè

èçíîñîâîãî îòêàçà.

Ýòîò çàêîí ïðèìåíèì äëÿ îòêàçîâ óñòðîéñòâà, ñîñòîÿùåãî èç ïîñëåäîâà-

òåëüíî ñîåäèíåííûõ äóáëèðîâàííûõ ýëåìåíòîâ è äðóãèõ ïîäîáíûõ ñëó÷àåâ.

Ýòî ðàñïðåäåëåíèå èíîãäà èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ íàäåæíîñòè ïîä-

øèïíèêîâ êà÷åíèÿ (a=1,4—1,7).

Ñðåäíÿÿ íàðàáîòêà äî ïåðâîãî îòêàçà îïðåäåëèòñÿ èç ñëåäóþùåãî âûðà-

æåíèÿ:

()

T =

+Γ 11/ α

1/α

(4.3.18)

Çíà÷åíèÿ

(ãàììà-ôóíêöèè) òàáóëèðîâàíû (ïðèëîæåíèè 2).

Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå

(ðèñ. 4.3.3, ã) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X âîçíèêàåò

âñÿêèé ðàç, êîãäà X çàâèñèò îò áîëüøîãî ÷èñëà îäíîðîäíûõ ïî ñâîåìó âëèÿ-

íèþ ñëó÷àéíûõ ôàêòîðîâ, ïðè÷åì âëèÿíèå êàæäîãî èç ýòèõ ôàêòîðîâ

ïî ñðàâíåíèþ ñ ñîâîêóïíîñòüþ âñåõ îñòàëüíûõ íåçíà÷èòåëüíî. Ýòî óñëîâèå

õàðàêòåðíî äëÿ âðåìåíè âîçíèêíîâåíèÿ îòêàçà, âûçâàííîãî ñòàðåíèåì,

ò. å. ýòîò çàêîí èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îöåíêè íàäåæíîñòè èçäåëèé ïðè íàëè÷èè

ïîñòåïåííûõ (èçíîñîâûõ) îòêàçîâ.

Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îòêàçîâ:

()

ft t T() exp /=−−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

σπ

(4.3.19)

ãäå: T —

ñðåäíÿÿ íàðàáîòêà äî îòêàçà;

—

ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå (ñòàíäàðòíîå) îòêëîíåíèå âðåìåíè

áåçîòêàçíîé ðàáîòû.

Âåðîÿòíîñòü îòêàçà âðåìÿ t:

()

Ft ftdt t T

() () exp /== −−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

−∞ −∞

∫∫

σπ

(4.3.20)

148

Ã ËÀÂÀ 4

Çíà÷åíèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé:

Ft u Qt u t T() , ( ) (); ( )/=+ = =−05 Φσ

. (4.3.21)

Âåðîÿòíîñòü îòñóòñòâèÿ îòêàçà çà âðåìÿ t:

[]

Pt Qt u Ôu() () , ( ) , ( )=− =− + = −1 1 05 05Φ

. (4.3.22)

Çíà÷åíèÿ F(t) òàáóëèðîâàíû (ïðèëîæåíèå 3).

Ãðàôèê l(t) ïîêàçàí íà ðèñ. 4.3.3, ã. Èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ ìîíîòîííî

âîçðàñòàåò è ïîñëå T íà÷èíàåò ïðèáëèæàòüñÿ ê àñèìïòîòå:

ytT=−()/σ

. (4.3.23)

Ìîíîòîííîå âîçðàñòàíèå èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè —

õàðàêòåðíûé ïðèçíàê íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäå

ëåíèå ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ýêñïîíåíöèàëüíîãî. Íà÷àëîì îòñ÷åòà âðå

ìåíè t â (4.3.20) ñëóæèò íà÷àëî ýêñïëóàòàöèè îáúåêòà, ò. å. ìîìåíò, êîãäà

íà÷èíàåòñÿ ïðîöåññ èçíîñà è ñòàðåíèÿ, à íà÷àëîì îòñ÷åòà â (4.3.4) — ìîìåíò

âðåìåíè, êîãäà óñòàíîâëåíî, ÷òî èçäåëèå èñïðàâíî (ýòîò ìîìåíò ìîæåò áûòü

ðàñïîëîæåí â ëþáîé òî÷êå íà îñè âðåìåíè).

Óñå÷åííîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå

(ðèñ. 4.3.3, ä). Òàê êàê ïðè íîðìàëü-

íîì ðàñïðåäåëåíèè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà÷åíèÿ

îò

−∞

äî

+∞

, à âðåìÿ áåçîòêàçíîé ðàáîòû ìîæåò áûòü òîëüêî ïîëîæèòåëü-

íûì, ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü óñå÷åííîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíî-

ñòüþ âåðîÿòíîñòè îòêàçîâ:

()

ft t T() exp /=−−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

σπ

(4.3.24)

Íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü c îïðåäåëÿåòñÿ èç âûðàæåíèÿ:

cftdt() =

∞

∫

(4.3.25)

è ðàâåí:

()

[]

cFT T==+1105

101

/( /) /, /σσΦ

, (4.3.26)

ãäå:

()

FT x dx

(/) / exp /

12 2

σπ

=−

−∞

∫

—

(4.3.27)

òàáóëèðîâàííàÿ (ïðèëîæåíèå 4) èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íîðìàëüíîãî ðàñ

ïðåäåëåíèÿ;

()

12 2

(/) / /

Txdx

σπ

=−

−∞

∫

—

(4.3.28)

íîðìèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ Ëàïëàñà.

Òîãäà (4.3.24) çàïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

()

tT()

(/)

exp /=−−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

σσ π

(4.3.29)

149

Ã ËÀÂÀ 4

Ñðåäíÿÿ íàðàáîòêà äî îòêàçà â óñå÷åííîì ðàñïðåäåëåíèè è ïàðàìåòð T

íåóñå÷åííîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñâÿçàíû çàâèñèìîñòüþ:

()

TT ft

T=+ = −

2()

(/)

exp /

πσ

(4.3.30)

Ïðè

T / σ≥2

, ÷òî èìååò ìåñòî â àáñîëþòíîì áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ïðè

îöåíêå íàäåæíîñòè óñòðîéñòâ ñ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûìè îòêàçàìè, êî

ýôôèöèåíò c ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò åäèíèöû è óñå÷åííîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäå

ëåíèå äîñòàòî÷íî òî÷íî àïïðîêñèìèðóåòñÿ îáû÷íûì íîðìàëüíûì çàêîíîì.

Âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû îïðåäåëÿåòñÿ èç âûðàæåíèÿ:

()

[]

FT t

()

(/)

−

(4.3.31)

Èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ íàõîäèòñÿ èç:

()

πσ

()

exp /

(( ) / )

FT t

−−

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

−

(4.3.32)

Ðàñïðåäåëåíèå Ðýëåÿ

(ðèñ. 4.3.3, å) — íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿò-

íîñòåé ñ ïëîòíîñòüþ:

px x x() / exp( / )=−σσ

222

ïðè

x > 0

;

px()= 0

ïðè

x ≤ 0

çàâèñÿùåé îò ìàñøòàáíîãî ïàðàìåòðà

σ>0

. Ðàñïðåäåëåíèå èìååò ïîëîæèòå-

ëüíóþ àñèììåòðèþ, åãî åäèíñòâåííàÿ ìîäà íàõîäèòñÿ â òî÷êå

x =σ

. Âñå ìî-

ìåíòû ðàñïðåäåëåíèÿ Ðýëåÿ êîíå÷íû.

Òàêæå êàê è ðàñïðåäåëåíèå Âåéáóëëà èëè γ-ðàñïðåäåëåíèå, ðàñïðåäåëå-

íèå Ðýëåÿ ïðèãîäíî äëÿ îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ èçíàøèâàþùèõñÿ èëè ñòàðåþ-

ùèõ èçäåëèé.

×àñòîòà îòêàçîâ (ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè îòêà-

çîâ) îïðåäåëÿåòñÿ:

ft t t() / exp( / )=−σσ

222

. (4.3.33)

Âåðîÿòíîñòü áåçîòêàçíîé ðàáîòû âû÷èñëÿåòñÿ èç âûðàæåíèÿ:

Pt t() exp( / )=−

2σ

. (4.3.34)

Èíòåíñèâíîñòü îòêàçîâ íàõîäèòñÿ èç:

λσ() /tt=

. (4.3.35)

Ñðåäíÿÿ íàðàáîòêà äî ïåðâîãî îòêàçà ñîñòàâèò:

T =⋅πσ/2

(4.3.36)

150

Ã ËÀÂÀ 4