Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления

Подождите немного. Документ загружается.

8180

bxx

tttt





 00

. (15.57)

Ðàâåí ñòâî (15.56) ñëåäóåò èç òî ãî , ÷òî ï åðåì åí í î å

y, как вид-

но из траектории рис.15.9, не испытывает скачков.

Равенство (15.57) - из релейной характеристики (рис.10.18,б).

Из уравнений (15.50), (15.51) получим

CkeCy





, (15.58)

211

CCtkeCTb





. (15.59)

Второе из этих уравнений позволяет определить интервал

а первое - величину

Считая значение

извес-

тным из выражения (15.54) на-

ходим постоянную

CkyC

113





. (15.60)

Из второго равенства

(15.57) и уравнения (15.55) опре-

деляем постоянную

314

CTbC







. (15.61)

Качественный характер ре-

шений

)(tx

)(ty

показан на

рис.15.19.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО

РЕШЕНИЯ (АВТОКОЛЕБАНИЙ)

Для рассматриваемой релейной характеристики, как показа-

но в параграфе 15.1, решение

)(tx

)(ty

по истечении некоторогоо

времени становятся переодическими (автоколебательными).

В этом случае будем иметь:





(15.62)

Ttt



, (15.63)

bTx





)2(

. (15.64)

где

- период автоколебаний.

Рис.15.19. Решения кусочно-

линейной системы



Продемонстрируем особенности этого метода применитель-

но к следящей системе, показанной на рис.15.5, 15.6.

Полагаем, что релейная характеристика

)(xz Ф



представ-

ляет симметричную гистерезисную петлю (рис.10.18,в) - имеем

двухпозиционное реле.

При состоянии реле, когда

Сz





имеем в соответствии с

уравнениями (15.13)

Сk



(15.48)

причем из рис.10.18,в следует, что при



имеем



. Для

другого состояния реле (

Сz





) имеем аналогично





, (15.49)

причем при



(

- продолжительностью первого состояния

реле) имеет





Решение первого уравнения (15.48) имеет вид

CkeCy





(15.50)

второго -

CCtkeсTx





. (15.51)

Постоянные

находятся из начальных условий



0

. (15.52)

Из уравнений (15.50) - (15.52) имеем

CkyC

101





;

112

CTbC





. (15.53)

Решая уравнения (15.49), относящиеся ко второму состоянию

реле, получим соответственно

CkeCy

Ttt

/)(





, (15.54)

411

/)(

)(

CttСkeCTx

Ttt





. (15.55)

Постоянные интегрирования

и интервал л

находим

из условия сшивания решений (15.50) и (15.54), (15.51) и (15.55):

100

|| yyy

tttt





, (15.56)

8382

(15.10).Введем в рас-

смотрение отрезок кри-

вой АВ, который пересе-

кается фазовыми траек-

ториями.

Каждая точка Q от-

резка АВ будет находить-

ся на расстоянии s от его

края А. Величину s будем

считать координатой

точки Q.

Фазовая траектория,

пересекающая отрезок

АВ в точке Q в момент



, снова пересечет этот отрезок в точ-

ке Q' через временной интервал





. Точка пересечения Q', яв-

ляющаяся последующей после точки первого (переходного) пере-

сечения Q, имеет координату s'.

Зависимость

)(sfs





(15.72)

называется функцией последования.

Если точка Q' совпадает с точкой Q, то фазовая траектория

является замкнутой кривой: предельным циклом или кривой, со-

ответствующей особой точке типа центр.

В этом случае имеем

)( sssfs 



. (15.73)

Допустим функция последования (15.72) нам известна

(рис.15.20). Изобразим в этой же системе координат зависимость





, представляющую собой биссектрису первого координат-

ного угла.

Биссектриса пересечет функцию последования в некоторой

точке Р, которая задает координату

ss 

переодического цикла.

Возьмем на функции последования некоторую точку М, ле-

жащую правее точки Р. Исходной координате s для точки М будет

соответствовать на этом графике координата s' точки последова-

ния. Примем теперь эту точку за исходную, считая





. Для

Рис.15.20.Фазовые траектории

нелинейной системы

y 

)( 



)0(





Уравнение (15.62) с учетом формул (15.50), (15.58), (15.63)

получит вид:

111

CkeCCkC





Отсюда находим выражение для постоянной

ТТ

Сk







. (15.65)

Уравнение (15.64) с учетом формулы (15.51) дает зависимость

bCTCkeCT





, (15.66)

из которой можно найти период автоколебаний

, а, значит , и их

частоту



. (15.67)

Амплитудное значение

)(tx

наблюдается, как видно из

рис.15.19 в момент



, для которогоо

0

. (15.68)

Из этого условия получим, дифференцируя уравнение (15.50).





CkeC

. (15.69)

Принимая во внимание формулу (15.65) для постоянной из

равенства (15.69) найдем







. (15.70)

Амплитуда автоколебаний вычисляется с помощью уравне-

ния (15.51) и формул (15.53), (15.65):

 





bCtke

CTk

txx









max

. (15.71)

15.3. МЕТОД ТОЧЕЧНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Этот метод основан на использовании фазового пространства

и так называемой функции последования.

На рис.15.20 показаны фазовые траектории нелинейной сис-

темы второго порядка, соответствующие уравнениям (15.9),

8584

жающей точке фазовой траектории из исходного положения Q до

положения последования Q'.

Графики функций (15.75) показаны на рис.15.23.

Возьмем точку М на первом графике, которой соответствует

координата



и параметр







. Этому параметру на второмм

графике отвечает точка М' с координатой

Считая эту координату, принадлежащей исходной точке, смес-

тим точку М' по горизонтали в положение N на кривой )(





fs ,

определив новое значение параметра







и координаты







и т.д.

Точка пересечения кривых Р, задаваемых функциями (15.75),

определяет период Т предельного цикла (автоколебаний).

Критерием устойчивости предельного цикла будет неравен-

ство:









. (15.76)

а) б)

в) г)



0 0

)(sfs 



)(sfs 



)(sfs 



ss 



ss 



ss 



Рис.15.22.Оценка колебательного процесса с помощью

функций последования

этого точку М перенесем по горизонтали в точку N, находящуюся

на линии

ss 



. Проводя из точки N вертикальную линию до пере-

сечения с функцией последования, найдем координату s' следую-

щей точки последования и т.д. В итоге этих действий выходим на

точку Р, задающую координату

ss 

периодического цикла.

Аналогичная ситуация возникает, если в качестве исходной

точки выбираем точку М', лежащую левее точки Р. Следователь-

но, нелинейная система с функцией последования (рис.15.21) об-

ладает устойчивым предельным циклом (автоколебаниями).

Нетрудно видеть, что кри-

терием устойчивости предель-

ного цикла будет являться не-

равенство







ss

sdf

(15.74)

Действительно, построения

для функции последования на

(рис.15.22,а) показывают, что

предельный цикл здесь неустой-

чив. На это указывает и не со-

блюдение неравенства (15.74) в

точке Р.

Функция последования на рис.15.22,б имеет два предельных

цикла Р

и Р

, из которых устойчивым является только второй.

Функции последования на рис.15.22,в,г не имеют предель-

ных циклов (кривые )(sfs





ss 



не пересекаются между со-

бой). Видим, что функциям последования на рис.15.22,в,г соот-

ветствуют расходящиеся и сходящиеся (затухающие) колебания.

Ключевым моментом в рассматриваемом методе является

нахождение функции последования в форме зависимости (15.72).

Расчет этой функции представляет самостоятельную доста-

точно сложную задачу. Более удобной для расчетов оказывается

параметрическая форма функции последования:

)(

 fs

)(





(15.75)

где параметр



представляет собой время перемещения изобра-

М'

ss 



)(sfs 





Рис.15.21.Использование функции

последования для анализа

автоколебаний

8786

Полагаем, что релейная характеристика





xz Ф



имеет вид

симметричной гистерезисной петли (рис.15.25).

Дифференциальные уравнения системы (15.13) перепишем

в таком виде

211

Ckky

T 



, (15.77)

где коэффициент

принима-

ет значения



, соответству-

ющие состояниям двухпози-

ционного реле.

На рис.15.26 сплошной

линией показан фрагмент фа-

зовой траектории системы при

позиции реле









(име-

ем





В качестве линии АВ, ко-

торая пересекается фазовой

траекторией, выбрана пря-

мая

, являющаяся лини-

ей переключения



. На

этой линии зафиксирована

исходная точка траектории

Q, для которой



. Точкуу

следования выберем, для

удобства анализа, не на этой

прямой

, а на другой ли-

нии переключения

(





), т.е. в качествее

точки последования берем

не точку Q' на прямой

а точку Q

на прямой

Этой точки изображающая точка траектории достигает через вре-

менной интервал





Интегрируя систему уравнений (15.77) при





, получим

CkeCy





, (15.78)





xz Ф



Рис.15.25.Релейная характеристика

Рис.15.26.Фазовые траектория

релейной системы

y 

)(



)0(





b

)(





Из рис.15.24,а видно, что

имеем неустойчивый пре-

дельный цикл. На рис.15.24,б

показаны три предельных

цикла, их которых устойчи-

вым является только второй.

Рис.15.24,в,г, как и

рис.15.22,в,г, иллюстрируют

отсутствие предельных цик-

лов (графики зависимостей

(15.75) не пересекаются).

Первый рисунок (в) относит-

ся к расходящемуся, второй

(г) - к затухающему колебательному процессу.

Применим метод точечного преобразования для анализа про-

цессов в следящей системе, показанной на рис.15.5, структурная

схема которой изображена на рис.15.6.

ss ,







)(





)(

 fs

Рис.15.23.Параметрическое

задание функций последования



а) б)

в) г)

0 0





Рис.15.24.К оценке характеристики колебательных процессов

8988

В пределе интервалы меж-

ду переключениями



(i = 1, 2,

…) приближаются к полупери-

оду автоколебаний Т/2; а соот-

ветствующие значения коорди-

наты у - к амплитудному значе-

нию

. Промежуточные (теку-

щие) значения у определяются

уравнением (15.78).

Значения переменной х на-

ходятся по уравнению (15.79) с

учетом того фактора, что в мо-

менты переключений





(рис.15.29).

Рис.15.28.К анализу

зависимости y(t)



Рис.15.29.Функция x(t) на

интервалах и в моменты

переключений



b

CCtkeCTx





. (15.79)

Поскольку исходная точка Q с координатами



(15.80)

фиксирована, то из уравнений (15.78), (15.79) с учетом (15.80) най-

дем постоянные интегрирования:

CkyC

101





)(

1012

CkyTbC





. (15.81)

Точка Q

имеет координаты





bx 



Подставляя их в уравнения (15.78), (15.79) и учитывая (15.81),

получим:

CkeCkyy

1101

)( 



, (15.82)

 

bCk









. (15.83)

После подстановки (15.83) в (15.82) найдем

 

Cke

bСk









. (15.84)

Зависимости (15.83) и (15.84) выражают функцию последова-

ния в параметрической форме. Имеем ,учитывая обозначения (15.75)

)(





fys

)('





fys

Графики функций

);(





)(

 fy

показа-

ны на рис.15.27.

Приведенное на рисунке

построение позволяет опреде-

лить последовательные интер-

валы перемещения изобража-

ющей точки от одного пере-

ключения до следующего и

указать значения координаты

y в моменты переключений.

Эти дискретные значения у

показаны на рис.15.28.

Рис.15.27.Функции последования

системы







9190

Содержание

Глава 10. Характеристики и уравнения нелинейных систем........................5

10.1. Типовые нелинейности и их характеристики............................................5

10.2. Линеаризация нелинейных элементов.......................................................8

10.3. Уравнения нелинейных систем..................................................................20

10.4. Возможные состояния нелинейных систем............................................21

Глава 11. Автономные периодические процессы-автоколебания.............25

11.1. Условия существования автоколебаний (гармонический баланс для

автоколебаний).......................................................................................................25

11.2. Определение амплитуды, частоты и устойчивости автоколебаний...27

Глава 12. Вынужденные периодические процессы.......................................36

12.1. Гармонический баланс для вынужденных колебаний..........................36

12.2. Методы решения уравнения гармонического баланса.......................37

12.3. Скачкообразный резонанс при вынужденных колебаниях..................41

Глава 13. Управление и устойчивость при наличии в системе

высокочастотных колебаний..............................................................................43

13.1. Процессы управления при наличии внешнего периодического

воздействия..............................................................................................................43

13.2. Процессы управления в автоколебательных системах.........................53

Глава 14. Оценка качества колебательных переходных процессов в

нелинейных системах...........................................................................................56

14.1.Метод исследования колебательных переходных процессов в первом

приближении...........................................................................................................56

Список рекомендуемой литературы

Основная

1.Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регу-

лирования. М.: Наука, 1975.

2.Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирова-

ния и управления. М.: Наука, 1979.

3.Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977.

Дополнительная

4.Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука,

1981.

5.Барабанов А.Т., Катковник В.Я., Нелепин Р.А. и др. Методы исследо-

вания нелинейных систем автоматического управления. М.: Наука, 1975.

6.Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нели-

нейных колебаний. М.: Наука, 1987.

7.Воронов А.А., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основы теории автомати-

ческого регулирования и управления. М.: Высш. школа, 1977.

8.Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. М.: Высш. шк., 2001.

9.Егоров К.В. Основы теории автоматического регулирования. М.: Энер-

гия, 1967.

10.Зайцев Г.Ф., Костюк В.И., Чинаев П.И. Основы автоматического уп-

равления и регулирования. Киев: "Техiка", 1977.

11.Красовский А.А., Поспелов Г.С. Основы автоматики и технической

кибернетики. М.: ГЭИ, 1962.

12.Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней

свободы. М.: Наука,

13.Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям. М.: Наука, 1972.

14.Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее при-

ложения: Пер. с анг./Под ред. Н.Н. Баутина и Е.А. Леонтович. М.: Мир,

1980.

15.Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных

колебаний. М.: Наука, 1972.

16.Неймарк Ю.И., Коган Н.Я., Савельев В.П. Динамические модели те-

ории управления. М.: Наука, 1985.

17.Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных

системах. М.: Наука, 1973.

18.Розенвассер Е.Н. Колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1969.

19.Тондл А. Автоколебания механических систем. М.: Мир, 1979.

20.Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974.

21.Шмидт Г. Параметрические колебания. М.: Мир, 1978.

9392

Учебное издание

Афанасьев Александр Александрович

Евграфов Андрей Викторович

Математические основы теории систем управления

Раздел третий

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Учебное пособие

Редактор С.В. Поздеева

Компьютерный набор и верстка: А.В. Евграфов

Изд. Лиц.ЛР № 020279 от 14.01.1997.

Подписано в печать 04.08.03. Бумага офсетная.

Печать оперативная. Гарнитура «Таймс».

Тираж 300 экз. Заказ №

Изд-во Чувашского Государственного Университета . 428015, Чебоксары,

Московский просп., 15. Типография университета.

14.2. Диаграммы качества переходных процессов.........................................58

Глава 15. Точные методы анализа переходных процессов и автоколебаний

в системах с кусочно-линейными характеристиками.................................62

15.1. Изображение переходных процессов на фазовой плоскости.............62

15.2. Метод припасовывания..............................................................................79

15.3. Метод точечного преобразования..........................................................82

Список рекомендуемой литературы.................................................................90