Афанасьев А.А. Математические основы теории систем управления

Подождите немного. Документ загружается.

60 61

Фиксируя некоторый параметр системы k , из первого урав-

нения (14.15) можно найти функцию

),,(

kaf







. (14.16)

Подставляя ее во второе уравнение (14.14), получим

),(





afk

. (14.17)

Задаваясь различными значениями



, можно по выражению

(14.17) построить искомые зависимости (14.12). Используя (14.16),

находим и семейство (14.13).

Второй способ (графический). Выражению (14.10) можно

придать вид

)(

aΚ



 , (14.18)

где

)()()( ajΚaΚaΚ

ГГГ





)(





Задаваясь различными значениями



, строим семейство кри-

вых )(







jW как функции от



при const





(рис.14.3).

В этой же системе координат вычерчиваем кривую

)(

aΚ





оцифровкой по параметру

Точки пересечения кри-

вых позволят найти решение

уравнения (14.18) т.е. функ-

ции (14.11).

Эти функции определя-

ют точки на вертикальных

линиях )( const



k диаграм-

мы качества рис.14.2. По-

вторив построения (рис.14.2)

для других значений пара-

метра k можно, очевидно,

построить и всю диаграмму

качества.

Рис.14.3.К построению диаграммы

качества



)(







Семейство кривых, расположенных по одну сторону от линии





, имеют положительное - по другую - отрицательное значе-

ние



Первое семейство соответствует расходящимся колебаниям,

второе - затухающим.

Изменение амплитуды во времени в переходном процессе адек-

ватно перемещению по вертикали изображающей точки М на диаг-

рамме качества (амплитуда изменяется при постоянстве парамет-

ра k ). Например, при значении k , соответствующем точке е L,

амплитуда будет уменьшаться от начального значения



до

нуля (см.рис.14.1,а). Такой характер изменения амплитуды будет

наблюдаться для всех значений k из интервала левее точки D.

Это будет интервал устойчивого равновесия при отсутствии коле-

баний



. Для какого-либо значения k правее точки D, соот-т-

ветствующего, например, точке E движение изображающей точки

может бы двояким. Если изображающая точка находится в зоне

семейства с 0





(ниже линии 0





), то она будет перемещаться

вверх до совмещения с точкой C. При начальном нахождении изоб-

ражающей точки в зоне семейства (выше линии 0





) будет

иметь место ее движение вниз до точки C (см.рис.14.1,б).

Следовательно, область значений параметра k , лежащая пра-

вее точки D, является областью существования автоколебаний.

В этой области начальная амплитуда колебаний

(



)

будет стремиться к амплитуде автоколебаний (



Положение равновесия системы (



) является неустой-

чивым - система из этого положения переходит в автоколебатель-

ный режим.

Левее линии





(рис.14.2) располагается область монотон-

ных (неколебательных) переходных процессов.

Диаграммы качества служат для выбора параметров систе-

мы, обеспечивающих ее оптимальное функционирование.

Проанализируем некоторые способы построения диаграмм.

Первый способ (аналитический). В комплексном уравне-

нии (14.9) выделим вещественную и мнимую части

0),,(







ax ; .0),,(







ay (14.15)

6362

)(

t

)(t





xf )(

Рис.15.1.Фазовая траектория

Система второго порядка

описывается двумя дифферен-

циальными уравнениями перво-

го порядка

),,(

212

211

xxf



(15.4)

решение которых образует фа-

зовую траекторию на фазовой

плоскости (рис.15.2).

Аналитическое выражение

для фазовой траектории полу-

чим из уравнений (15.4), исклю-

чив время

. Для этого разде-

лим второе уравнение на первое

),(

211

212

xxf



. (15.5)

Решением нелинейного

уравнения (15.5) является зави-

симость

)(xFy



, (15.6)

графическое изображение которой и будет представлять фазовую

траекторию.

Каждому начальному значению

),(

соответствует своее

решение уравнения (15.5) и следовательно, своя траектория.

Из теоремы существования и единственности решения диф-

ференциальных уравнений известно, что если правая часть урав-

нения (15.5) непрерывна по переменным

и имеет непре-

рывную частную производную по

, то через каждую начальную

точку

),(

проходит только одна интегральная кривая (в дан-

ном случае фазовая траектория). Следовательно, при этих усло-

виях фазовые траектории не имеют самопересечений (рис.15.3).

)(

t

)(t



Рис.15.2.Фазовая траектория

на плоскости

Теорема существования гарантирует наличие решения при ограниченном

изменении аргумента

, т.к. в противном случае переменная

может уйти в

бесконечность.

ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ

ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ

ПРОЦЕССОВ И АВТОКОЛЕБАНИЙ В СИСТЕМАХ С

КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Системы с нелинейными элементами, обладающими кусоч-

но-линейными характеристиками, могут исследоваться аналити-

ческими методами. Особенно наглядны и просты аналитические

решения для систем второго порядка. Для исследования явлений

в таких системах применяют методы: фазовых траекторий, при-

пасовывания (его можно распространить на кусочно-линейные

системы любого порядка [20]), точечного преобразования.

15.1.ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ НА

ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Нелинейная стационарная система n-го порядка может быть

представлена системой из n дифференциальных уравнений перво-

го порядка в форме Коши:

)(xf



, (15.1)

где









xxxx ...

, (15.2)









ffff ...

. (15.3)

Независимые координаты вектора (15.2) образуют n-мерное

пространство, которое называют фазовым пространством.

Пространственную кривую, являющуюся решением уравне-

ния (15.1) для текущего момента времени, называют фазовой тра-

екторией (рис.15.1)

Отметим, что вектор (15.1) для каждой текущей (изобра-

жающей) точки )(tΜ этой траектории является касательным к

ней и равняется скорости перемещения этой точки вдоль траек-

тории.

6564

2 - при 0



y производная

, как следует из (15.10), бес-

конечно велика. Следовательно,

фазовые траектории пересе-

кают ось

в перпендикуляр-

ном к ней направлении.

В правой части уравнения

траектории (15.10) присутству-

ет выражение кусочно-линейной

характеристики нелинейного

звена. Ось

распадается на ряд интервалов (границы которых

для неоднозначных нелинейных характеристик зависят от знака

координаты

y 

), содержащих определенный отрезок нелиней-

ности. На каждом таком отрезке дифференциальное уравне-

ние (15.10) является линейным и фазовые траектории будут

состоять из кусков, соответствующих определенному учас-

тку нелинейности.

ПРИМЕР 15.1

Рассмотрим в качестве примера траектории релейной сле-

дящей системы показанной на рис.15.5. Задание углового положе-

ния (пути)

механизма задается потенциометром



y 

Рис.15.4.К свойствам фазовых

траекторий

Рис.15.5.Релейная следящая система





Самопересечение траекторий происходит в особых точках,

для которых числитель и знаменатель правой части уравнений (15.5)

одновременно обращаются в нуль

.0),(,0),(

212211



xxfxxf

(15.7)

Особые точки являются

точками равновесия системы,

поскольку для них, согласно

уравнениям (15.4), (15.7), спра-

ведливо

const.

const,



(15.8)

Наиболее часто в качестве

координат

выбирают со-

ответственно отклонение регу-

лируемой величины

и ско-

рость его изменения

y 

В этом случае уравнения (15.4) получат вид



;

),( yxf



. (15.9)

Дифференциальное уравнение (15.5), описывающее фазовую

траекторию, будет таким

yxf

dy ),(



. (15.10)

Отметим два примечательных свойства фазовых траекторий

следующие из уравнений (15.9) и (15.10):

1 - возрастание координаты













 0y

происходит все-е-

гда в верхней фазовой полуплоскости (рис.15.4), т.е. движение вдоль

фазовой траектории в верхней полуплоскости совершается слева

направо. В нижней же полуплоскости движение будет происходить

справа налево. Движение в целом по траектории направлено

по часовой стрелке.

, xx

Рис.15.3.Фазовые траектории

без самопересечений

6766

Отсюда следует дифференциальное уравнение для фазовых

траекторий (15.10):

yΤ

Τdx



. (15.14)

Вариант 1. Обратимся сначала к трехпозиционному реле

общего вида с гистерезисными петлями (рис.10.18,а).

При возрастании













 0

имеем три интервала на оси

со следующими значениями коэффициента

bxa























(15.15)

Если же координата

уменьшается













 0

, то указан-

ные значения коэффициента

будем иметь на следующих интер-

валах

axb























(15.16)

В соответствии с (15.15) на верхней половине фазовой плос-

кости можем выделить три области (рис.15.7), разделенные пря-

мыми вертикальными линиями, которые называются линиями пе-

реключения.

В области 1 дифференциальное уравнение траектории (15.14)

имеет вид

yΤ

Τdx



. (15.17)

Его решение запишется так

11111

ln CyΤCkyCΤkx  . (15.18)

Из уравнения (15.17) видно, что при

Cky



имеем

0

Следовательно горизонтальная линия

Cky



является асимпто-

той для траекторий в области 1 (рис.15.7).

Двигатель (М) следящей системы отрабатывает это задание

через редуктор (Р), перемещая ползунок потенциометра



в по-

ложение с координатой

Рассогласование положений ползунков потенциометров

xxx





. (15.11)

пропорционально напряжению, которое подается на катушку реле К.

При пренебрежении электромагнитными процессами в элек-

тродвигателе блок - схема рассматриваемой следящей системы

будет иметь вид, показанный на рис.15.6.

Здесь

Ckz



, коэффициент

принимает значения



для

двухпозиционного (рис.10.17,а; 10.18,в) и - 0,



для трехпозици-

онного реле (рис.10.16,а ; 10.18,а) в зависимости от значения коор-

динаты

;

pΤ

- передаточная функция исполнительного двигателя с

редуктором;

y 

- угловая скорость вращения выходного вала ре-

дуктора Р.

В соответствии с блок - схемой следящей системы можем

записать дифференциальное уравнение

 

xxxCk

pΤ





122

. (15.12)

Учитывая, что

const



, перепишем (15.12) в виде

 ,



, (15.13)

где

kkk



)(x



pΤ





Рис.15.6.Блок-схема следящей системы

6968

Видим, что фазовые траектории имеют спиралевидный ха-

рактер, что соответствует затухающему колебательному процес-

су в системе.

Однако затухание происходит не до нуля, а до некоторого про-

извольного значения из зоны нечувствительности реле





(рис.15.8).

На рис.15.7 будет иметь осо-

бый обрезок равновесных состоя-

ний, показанный жирно.

Колебательный переходный

процесс развивается по траекто-

рии, задаваемой начальными усло-

виями

)(

Рассмотрим теперь релейные

характеристики более простого

вида.

Вариант 2. Имеем релейную

характеристику с зоной нечувстви-

тельности, но без петель (рис.10.16,а).

Фазовые траектории имеют тот же вид, что и на рис. 15.7, но

линии переключения в верхней и нижней полуплоскости не имеют

сдвига (



Вариант 3. Релейная характеристика представляет симмет-

ричную петлю (рис.10.18,в). В этом случае можем указать интер-

валы оси

для прцессов в верхней полуплоскости

)0(  y

,1,







kbx

,1,





kbx

-нижней полуплоскости

)0(  y

,1,







kbx

.1,









kbx

Имеем по одной линии переключения вверху (



) и внизуу

(





Траектории слева от линий переключения будут описываться

уравнением (15.17), справа - уравнением (15.20).

Рис 15.8. Изменение во времени

сигнала рассогласования

релейной следящей системы



В области 2 уравнение (15.17) примет вид:

dy 1



. (15.19)

Его решение - прямые линии:

y 

. (15.20)

Наконец, в области 3 дифференциальное уравнения траекто-

рии будет отличаться от (15.17) только знаком перед вторым сла-

гаемым. Фазовые траектории в этой области стремятся к

Cky





при уменьшении

Так как на интервалах 1, 4 траектории описывается одним и

тем же уравнением (15.17), то область 1 с некоторым сдвигом

распространяется и на нижнюю полуплоскость. Аналогичный ха-

рактер имеют области 2 и 3.



y 



b

Рис. 15.7. Фазовые траектории релейной следящей системы,

показанной на рис 15.5 ( релейная характеристика соответствует

трехпозиционному реле с гистерезисными петлями)

7170

ных условий (это будут не автоколебания, так как параметры пос-

ледних не зависят от начальных условий).

При наличии гистерезисных петель у реле любого типа про-

цесс будет расходящимся.

Таким образом, рассматриваемая система находится либо

на границе устойчивости, либо неустойчива.

Подадим теперь на вход реле сигнал, пропорциональный про-

изводной от выходной величины (рис.15.11).

Математическое описание этой системы с идеальным реле

(рис.10.17) следующее

;)(

;

yxxxx

xCxz

zxp







sign Ф

Запишем эти уравнения в следующем виде

)(; yxC

 sign

. (15.21)

Поделив второе уравнение на первое получим уравнение для

фазовых траекторий

)( yx

 sign

. (15.22)

Рис.15.10. Релейная система с астатизмом второго порядка

)(x



)(

x





ос

Рис.15.11. Релейная следящая система с астатизмом второго порядка

и внутренней обратной связью



y 

b

Рис.15.9. Фазовые траектории релейной следящей системы, показанной

на рис. 15.5 (релейная характеристика - симметричная петля)

Качественный характер траектории показан на рис.15.9. Име-

ем одну замкнутую траекторию, представляющую устойчивый

предельный цикл, поскольку другие траектории (внутренние и на-

ружные) образуют спирали, сходящиеся к циклической кривой.

Циклической кривой будут отвечать незатухающие автоко-

лебания с амплитудой, превышающей половину ширины гистере-

зисной петли.

Установившийся режим работы следящей системы с данным

типом реле является и автоколебательным. В таком режиме ра-

ботают вибрационные регуляторы напряжения в сети постоянного

тока.

ПРИМЕР 15.2

Следящая система со скользящим процессом

Обратимся к релейной следящей системе с астатизмом вто-

рого порядка (рис.15.10). Исследование этой системы показыва-

ет, что в случае идеального реле или безгистерезисного реле с

зоной нечувствительности в системе возникает незатухающий

колебательный процесс, амплитуда которого не зависит от началь-

7372

как точки касания с линией переключения тех же парабол, пока-

занных пунктиром). Вне отрезка AB траектории будут подходить

к линии переключения с одной стороны и выходить с противопо-

ложной стороны.

На самом отрезке AB наблюдается своеобразное движение,

называемое скользящим режимом. Поскольку на отрезке AB

траектории встречаются, то изображающая точка не может сой-

ти с линии переключения, но она не может и остаться на месте,

так как во всех точках этого отрезка (кроме начала координат)

производная

dtdxy



отлична от нуля.

Скользящий режим описывается уравнением (15.23), которое

запишем следующим образом:





 x

(15.27)

Его решение имеет вид:







exx

(15.28)

При этом предполагается, что в момент t=0 имеем x=x

, а

изображающая точка находится на линии переключения.

Видим, что в скользящем режиме, во-первых, выходная

координата уменьшается во времени по экспоненциальному

закону, во-вторых, нелинейная система второго порядка вы-

рождается в линейную систему первого порядка, в-третьих,

скорость затухания переменной x зависит от параметров цепи

обратной связи и не зависит от параметров прямой цепи.

Найдем положение точек А и В на линии переключения. В

этих точках касательные к параболам совпадают с линией пере-

ключения.

Для прямой линии из формулы (15.23) будем иметь





(15.29)

Приравнивая эту производную правым частям для траекто-

рии (15.24) и (15.25) получим









ВA

Из него видим, что линия переключения на фазовой плоско-

сти представляет прямую:





. (15.23)

При x+ay>0 (справа от линии переключения на рис. 15.12)

имеем из (15.22)



(15.24)

Для x+ay<0 (полуплоскость слева от линии переключения)

из уравнения (15.22) следует



(15.25)

Фазовые траектории, являющиеся решениями уравнений

(15.24) и (15.25), описываются соответственно уравнениями

.2,2

CCxyCCxy 

(15.26)

Видим, что фазовые траектории являются параболами, кото-

рые отличаются друг от друга только постоянными

Фазовые траектории, как видно из рис.15.12, соответствуют

затухающему колебательному процессу.

Обратим внимание, что на отрезке AB линии переключения

траектории встречаются друг с другом (Точки A и B находятся

y 





Рис.15.12. Фазовые траектории релейной следящей системы,

показанной на рис.15.11 ( релейная характеристика соответствует

идеальному реле)

7574

- в положении 2

 xk

(15.32)

Эти дифференциальные уравнения второго порядка можно

записать в виде систем из двух дифференциальных уравнений пер-

вого порядка



(15.33)



(15.34)

Поделив второе уравнение в (15.33) на первое, получим диф-

ференциальное уравнение фазовой траектории для первой струк-

туры системы управления



(15.35)

Его решение имеет вид



(15.36)

где

- постоянная интегрирования.

Траектория, описываемая уравнением (15.36) - эллипс.

Траектория второй структуры будет аналогична:



(15.37)

ельпереключат

Логический

Рис.15.14. Релейная следящая система с астатизмом второго

порядка и логическим переключателем

y 

Рис.15.13. Фазовые траектории

скользящего режима

Отсюда











СyСy

ВA

(15.30)

Следовательно, отрезок АВ скользящего режима тем боль-

ше, чем больше коэффициенты усиления прямой и обратной це-

пей.

Следует отметить, что движение изображающей точки в

скользящем режиме по отрезку прямой АВ возможно только тео-

ретически при бесконечно большой частоте переключения

реле. Из-за задержки в срабатывании реле траектории 1 и 2 (рис.

15.13) встретятся не на линии переключения, а вне её. Аналогич-

ная ситуация возникнет при встрече траекторий 2 и 3, и т.д.

В результате изображающая точка будет перемещаться к на-

чалу координат, совершая виб-

рационные движения. При этом

переключение реле происхо-

дит с большой частотой.

ПРИМЕР 15.3

Следящая система с

переменной структурой

Обратимся снова к аста-

тической системе второго по-

рядка, показанной на рис.15.10.

Только в ней реле заменим

логическим переключающим

устройством, срабатывание которого происходит в функции знака

произведения двух переменных (

xysign

) (рис.15.14).

Коэффициент усиления переключателя равняется единице.

Рассмотрим переходные процессы в этой системе при отсут-

ствии управляющего воздействия.

При нахождении переключателя в положении 1 дифференци-

альное уравнение замкнутой системы имеет вид

 xk

(15.31)

7776

целью для нашей системы возьмем, во-первых, коэффициент уси-

ления

отрицательным, а именно:







(15.38)

во-вторых, на логический вход переключателя заведен вместо

координаты

y 

величину

cxyx





(15.39)

В результате при



переключатель находится в положе-

нии 1 и переходный процесс в замкнутой системе описывается

дифференциальным уравнением (15.31)

 xk

(15.40)

При



имеем вторую структуру системы (переключа-

тель - в положении 2) с дифференциальным уравнением

 xk

(15.41)

Траектория, описываемая этим уравнением, как видно из фор-

мулы (15.37), гипербола



(15.42)

На рис.15.17 сплошными линиями показаны гиперболы с урав-

нениями



пунктирными линиями - сопряжен-

ные гиперболы, имеющие уравнения



Прямые линии 1 и 2 - асимпто-

ты, задаваемые соответственно

уравнениями

y 

Рис.15.17. Гиперболические

фазовые траектории

Характер этих траекторий показан на рис.15.15. Видим, что дан-

ная система является неустойчивой - в ней при отсутствии внешнего

воздействия происходит незатухающий колебательный процесс. Вы-

бор конкретной траектории определяется заданием начальных урав-

нений

в дифференциальном уравнении траекторий вида (15.35).

Заведем на вход логического устройства переключателя два

сигнала

y 

. Пусть переключатель замыкается в поло-

жение 1, если xy>0, в положение 2 – xy<0.

В этом случае на фазовой плоскости траектории в квадрантах

первом и третьем будут подобны эллипсам на рис. 15.15,а, а в квад-

рантах втором и четвертом – эллипсам на рис. 15.15,б (рис.15.16).

Видим, что фазовая траек-

тория описывает уже затухаю-

щий колебательный процесс, т.е.

за счет переменности структу-

ры система становится устой-

чивой.

Такой колебательный про-

цесс не всегда приемлем (с точ-

ки зрения длительности и каче-

ства). В системах с переменной

структурой стремятся организо-

вать скользящий (апериодичес-

кий) процесс затухания. С этой

а) б)

Рис.15.15. Фазовые траектории двух структур релейной следящей

системы, показанной на рис.15.14

Рис.15.16. Затухающая фазовая

траектория релейной следящей

системы, показанной на рис.15.14

7978

В двух оставшихся областях фазовой плоскости имеем xx

<0,

рассматриваемая система имеет вторую структуру, переходный

процесс в ней описывается уравнением (15.41), а фазовые траек-

тории, как видно из формулы (15.42), являются гиперболами.

На рис.15.18 видно, что фазовые траектории (эллипсы и ги-

перболы) встречаются на линии переключения





Это оз-

начает, что дальнейшее движение изображающей точки происхо-

дит на этой линии в скользящем режиме, но, в отличие от рас-

смотренного выше примера 2, интервал скольжения неограничен -

им является вся прямая переключения (15.45).

Поэтому при любых начальных условиях система входит в

режим скольжения без предварительных колебаний.

Из формулы (15.45) следует уравнение процесса скольжения

,cx



(15.46)

решение которого, как известно, есть асимптоты:

exx





(15.47)

где значения



соответствуют моменту встречи тра-

ектории с линией скольжения.

Важным достоинством этого режима является обстоятель-

ство, что ход экспоненциального процесса (15.47) зависит только

от параметра

логической части переключателя и не зависит отт

параметров прямой части системы (в нашем случае -

15.2. МЕТОД ПРИПАСОВЫВАНИЯ

Этот метод применяется для решения дифференциальных

уравнений кусочно-линейных систем, содержащих нелинейные

элементы с релейными характеристиками. Для каждого состоя-

ния релейного элемента записывается система линейных диффе-

ренциальных уравнений. Сущность метода заключается в том, что

решения указанных дифференциальных уравнений для смежных

состояний состыковываются ("сшиваются") друг с другом таким

образом, что значения переменных в конце данного состояния со-

впали с начальным значением для последующего состояния.

Видим, что фазовая траектория второй структуры (15.42) есть

сопряженная гипербола при



и гипербола при



Структура системы меняется при



(15.43)

Уравнение (15.43) выполняется на двух прямых:



(15.44)

Это уравнение координатной оси y;



Это равенство, принимая во внимание формулу

(15.39), эквивалентно уравнению





(15.45)

В тех областях фазовой траектории, где (имеем структуру 1)

переходный процесс описывается уравнением (15.40), а фазовые

траектории, в соответствии с формулой (15.36), являются эллип-

сами. Очевидно это будет область в правой полуплоскости выше

линии переключения (15.44) и область левой полуплоскости ниже

указанной линии.

На рис. 15.18 эти области затемнены.

xx

xx

y 





Рис.15.18.Фазовые траектории релейной следящей системы

с переменной структурой