Абакумов А.И. Модели Неймана-Гейла

Подождите немного. Документ загружается.

Через Λ ⊂ {1, 2, ..., m} обозначим множество таких индексов j, что

неймановский показатель роста α

= α(Z

) модели Z

является темпом

роста модели Z

и ∀ k < j α

> α

. Множество Λ назовем множеством

темпов роста.

Теорема о темпе роста. Число α > 0 является темпом роста модели

Неймана-Гейла Z тогда и только тогда, когда оно является неймановским

темпом роста модели Z

при некотором j ∈ Λ.

Доказательство.

Начнем с достаточности. Пусть j ∈ Λ. Для неймановского темпа роста

модели Z

существует неймановское состояние равновесия в соответ-

ствующем пространстве Γ

× Γ

. Обозначим это состояние равновесия

(α

, ( ¯x

, ¯y

), ¯ϕ

). Через ¯ϕ обозначим линейный функционал на R

, совпа-

дающий с ¯ϕ

на пространстве Γ

и равный нулю на ортогональном до-

полнении Γ

. Тогда ∀ (x, y) ∈ Z ¯ϕ(y) ≤ α

¯ϕ(x). Существует такая пара

(ˆx, ˆy) ∈ Z, что P r

×Γ

(ˆx, ˆy) = (¯x

, ¯y

) и ¯ϕ(ˆy) > 0. Из определения проек-

ции следует min

i∈

k=j

(ˆy

/ˆx

) = min

i∈

k=j

(¯y

/¯x

Из леммы об экстремальных парах модели Z следует существование та-

кой пары (x, y) ∈ Z, что y

> 0 для i ∈

j−1

k=1

и y

= x

= 0 для

i ∈

k=j

и min

i∈I

) > α

(здесь лемма применена для индекса j − 1

с учетом того, что α

j−1

> α

). Рассмотрим (˜x

, ˜y

) = (ˆx, ˆy) + β(x, y), где

β настолько большое, что min

i∈I

(˜y

/˜x

) ≥ α

. Тогда ˜y

≥ α

˜x

, ¯ϕ(˜y

) > 0.

Тогда (α

, (˜x

, ˜y

), ¯ϕ) - равновесие, α

- темп роста для Z.

Необходимость. Покажем, что каждый темп роста совпадает с одним из

, j ∈ Λ. Пусть (¯α, (¯x, ¯y), ¯ϕ) - состояние равновесия для Z. Положим

I =



i ∈ I | ¯y

/¯x

= ¯α, ¯ϕ

> 0



(здесь имеется в виду стандартный ба-

зис в (R

)

∗

). В состоянии равновесия ¯α ¯ϕ(¯x) = ¯ϕ(¯y) и ¯ϕ(¯y) > 0, отсюда

I 6= ∅. Обозначим через j первый из таких индексов, что I

∩

I 6= ∅, тогда

I ⊂

k=j

. Если j > 1, то ¯ϕ

= 0 для i ∈

j−1

k=1

. Из соотношения

= sup

(x,y)∈Z, (x,y)6=0

min

i∈

k=j

следует α

≥ ¯α. Если α

> ¯α, то существует такая пара (x, y) ∈ Z ,

что ∀ i ∈

k=j

> ¯αx

. Тогда ¯ϕ(y) > ¯α ¯ϕ(x), что невозможно. Отсюда

¯α = α

Следствие. Правильная модель Неймана - Гейла может иметь лишь

конечное число темпов роста.

2.2 Теорема о магистрали в слабой форме

Траекторией правильной модели Н еймана-Гейла Z называется по-

следовательность (x

)

∞

t=0

с (x

, x

t+1

) ∈ Z (то есть x

t+1

∈ f(x

)). Содер-

жательно это означает, что в момент времени t затраты x

порождают

продукцию x

t+1

, которая полностью является затратами следующего мо-

мента времени t + 1. Если в x

учесть все экономические процессы "во-

круг"моделируемого объекта, то подобные траектории описывают обшир-

ный класс экономических явлений.

Конечная траектория (x

)

t=0

называется оптимальной, если суще-

ствует такой линейный функционал ϕ ∈ (R

)

∗

, что

ϕ(x

) = max

y∈f

)

ϕ(y),

где f

- суперпозиция отображения f с собой t раз.

Пусть α - темп роста модели. Положим



ϕ ∈ (R

)

∗

|ϕ ∈ αf

(ϕ), ϕ 6= 0



Из определения равновесия и свойств двойственного отображения f

сле-

дует, что Π

6= ∅, Π

∪ {0} - выпуклый замкнутый конус.

Рассмотрим стандартный базис (R

)

∗

. Пусть (α, (¯x, ¯y), ¯ϕ) - равновесие для

темпа роста α. Тогда из α ¯x

< ¯y

следует ¯ϕ

= 0. Множество ненулевых

координат ¯ϕ есть подмножество множества J

= {i | α ¯x

= ¯y

}. Так как

любой ϕ ∈ Π

должен выполнять неравенство αϕ(¯x) ≥ ϕ(¯y), то множе-

ство индексов его ненулевых координат также включено в J

Утверждение о траекториях модели Z. Пусть ϕ ∈ Π

, тогда по-

следовательность (ϕ, α

−1

ϕ, ..., α

−t

ϕ, ...) является траекторией двойствен-

ной модели Z

Доказательство непосредственно следует из определений.♦

Траектория (x

)

∞

t=1

модели Z имеет средний темп роста α, если

)

∞

t=1

согласована с траекторией (ϕ, α

−1

ϕ, . . . , α

−t

ϕ, . . .) при некотором

ϕ ∈ r(Π

), то есть, если lim

t→∞

−t

ϕ(x

) > 0.

Заметим, что из ϕ ∈ Π

следует α

−t

ϕ(x

) ≥ α

−(t+1)

ϕ(x

t+1

). Так как для

любого t справедливо α

−t

ϕ(x

) ≥ 0, то lim

t→∞

−t

ϕ(x

) всегда существует.

Изучим асимптотику тракторий, имеющих средний темп роста α.

Пусть α - темп роста модели Z. Обозначим для ϕ ∈ Π

через

= {(x, y) ∈ R

× R

| αϕ(x) = ϕ(y)} .

Если (α, (¯x, ¯y), ¯ϕ) состояние равновесия, то луч (λ(¯x, ¯y))

λ≥0

⊂ H

∀ ϕ ∈

Множество N

= Z ∩



ϕ∈Π



называется неймановской гранью ко-

нуса Z.

Утверждение об условиях оптимальности траекторий. Если

ϕ ∈ r(Π

), то N

= Z ∩ H

Доказательство. Пусть (x, y) ∈ Z ∩ H

и ϕ

∈ Π

. Пусть ϕ ∈ r(Π

Тогда ϕ − δϕ

∈ Π

( δ > 0 и δ мало). Тогда ϕ(y) = αϕ(x), (ϕ − δϕ

)(y) ≤

α(ϕ−δϕ

)(x). Отсюда следует неравенство ϕ

(y) ≥ αϕ

(x). В нашем случае

∈ αf

(ϕ

), откуда следует неравенство ϕ

(y) ≤ αϕ

(x). В совокупности

с предыдущим это означает, что ϕ

(y) = αϕ

(x), то есть (x, y) ∈ H

Из этого рассуждения следует включение

= Z ∩



∈Π



⊃ Z ∩ H

Обратное включение очевидно.♦

Пусть B, C - два компактных подмножества пространства X. Рассто-

яние ρ(x, y) между точками x, y ∈ X можно определить как ρ(x, y) =

||x − y||. Расстояние от точки x ∈ X до компактного множества C опре-

деляется как ρ(x, C) = min

y∈C

ρ(x, y). Наконец, расстояние меж ду ком-

пактными множествами B, C определяется формулой

ρ(B, C) = max

max

x∈B

ρ(x, C), max

y∈C

ρ(B, y)

. (8)

Через CP (D) обозначим множество всех компактных подмножеств

замкнутого множества D в пространстве X. Оно является полным

метрическим пространством в метрике (8) [ 3, 8]. Метрика (8) называется

метрикой Хаусдорфа.

Лемма Мак-Кензи. Пусть α - темп роста модели Z. Тогда для лю-

бого ε > 0 и ϕ ∈ r(Π

) существует такое δ > 0, что ∀ (x, y) ∈

Z с условием ρ



(x,y)

kxk

, N



≥ ε выполняется неравенство ϕ(y) < (1 −

δ)αϕ(x).

Доказательство. Пусть лемма неверна. Тогда ∀ k ∈ N найдется такая

пара (x

, y

) ∈ Z , что kx

k = 1, ρ((x

, y

), N

) ≥ ε, ϕ(y

) ≥

k−1

αϕ(x

)

(выбираем δ

Переходя, возможно, к подпоследовательности, предположим, что

, y

) → (x

, y

) при k → ∞ (это можно предполагать на основе

компактности множества, которому принадлежат члены последователь-

ности (x

, y

)). Этот предел (x

, y

) ∈ Z удовлетворяет условиям ||x

|| =

1, ρ((x

, y

), N

) ≥ ε, в то же время ϕ(y

) = αϕ(x

), то есть (x

, y

) ∈ N

.♦

Теорема о магистрали в слабой форме. Пусть α - темп роста моде-

ли Z, точка x

> 0, функционал ψ ≥ 0 таковы, что выполнены следующие

условия:

а) из точки x

исходит траектория (¯x

) со средним темпом α;

б) существуют положительные числа k

, k

и такой функционал ϕ ∈

ri(Π

), что k

ϕ ≤ ψ ≤ k

ϕ.

Пусть задано положительное число ε.

Тогда для любой конечной траектории (x

)

t=0

, исходящей из точки x

и оптимальной в смысле ψ, число процессов (x

, x

t+1

), для которых



, x

t+1

)

, N



≥ ε, не превосходит некоторого числа β, не зависящего

от T .

Доказательство. Пусть γ - число таких процессов (x

, x

t+1

), что



, x

t+1

)

||x

, N



≥ ε. По числу ε > 0 согласно лемме Мак-Кензи най-

дём такое число δ > 0, что (условно считаем ϕ(x

t+1

)/ϕ(x

) = α при

ϕ(x

) = ϕ(x

t+1

) = 0):

ϕ(x

) =

ϕ(x

)

ϕ(x

)

· ϕ(x

) = ϕ(x

)

ϕ(x

)

ϕ(x

T −1

)

· · · · ·

ϕ(x

)

ϕ(x

)

≤ ϕ(x

)α

(1 − δ)

откуда следует

ϕ(x

)α

−T

≤ ϕ(x

)(1 − δ)

Положим c = lim

t→∞

−t

ϕ(¯x

) (c>0 по условию). Из условия (б) теоремы

и оптимальности (¯x

) следует

ϕ(x

)α

−T

≥

ψ(x

)α

−T

≥

ψ(¯x

)α

−T

≥

ϕ(¯x

)α

−T

≥

Отсюда: (1 − δ)

≥

ϕ(x

)

. Последнее неравенство приводит к оценке

γ ≤ ln



· ·

ϕ(x

)

.

ln(1 − δ) = β. ♦

2.3 Теорема о магистрали в сильной форме

Пусть A - нормальное (в смысле R

) телесное подмножество конуса

. В R

вводим норму

||x||

= inf{λ > 0 | x ∈ λS

При этом S

= A − A. Тогда S

- единичный шар в этой норме. Из нор-

мальности A следует A = S

∩ R

. Поэтому для x ∈ R

в определении

kxk

множество S

можно заменить на A.

Положительной границей нормального множества A называет-

ся

∂

A =

x ∈ R

| kxk

= 1

Утверждение об оптимальности конечной т раектории. Пусть

)

t=0

- конечная траектория правильной модели Z Неймана-Гейла с нор-

мальным производственным отображением f : R

→ P (R

). Эта траек-

тория (x

)

t=0

оптимальна тогда и только тогда, когда x

∈ ∂



)



Доказательство.

Необходимость будем доказывать от противного. Пусть x

/∈ ∂

)).

Тогда ∃ α > 1 αx

∈ ∂

)), в этом случае для ϕ ∈ (R

)

∗

ϕ(x

) = max

y∈f

)

ϕ(y) > 0 выполнено ϕ(αx

) > ϕ(x

) и траектория (x

)

t=0

неоптимальна.

Достаточность. Пусть x

∈ ∂

)). Тогда x

∈ f

) \ ri(f

)),

то есть x

- относительно граничная точка выпуклого множества f

По теореме об опорной гиперплоскости существует гиперплоскость {x ∈

X | ϕ(x) = a}, опорная к f

) в точке x

. Можно считать a > 0, тогда

ϕ ∈ (R

)

∗

и траектория (x

)

t=0

оптимальна. ♦

Утверждение о пределе множеств. Пусть (A

)

∞

k=1

- последователь-

ность телесных нормальных множеств, A

⊂ X, причём A

→ A в метрике

Хаусдорфа, множество A - также телесное нормальное множество. Тогда

∀ ε > 0 ∃ k

∈ N ∀ k > k

∂

⊂ ∂

A + εS, (9)

где S = {x ∈ R

| kxk ≤ 1} - единичный шар пространства X.

Доказательство. Тот факт, что A - телесное нормальное множество,

следует из определений. Формулу (9) будем доказывать от противного.

Пусть ∃ ε

> 0 ∀ k = 1, 2, . . . ∂

6⊂ ∂

A + ε

S. Тогда найдется такая

последовательность (x

)

∞

k=1

, что

∈ ∂

, x

/∈ ∂

A + ε

S. (10)

Если x

∈ ∂

, то существует ϕ

∈ (R

)

∗

с ϕ

) = max

y∈A

(y). Для

ϕ ∈ (R

)

∗

определим kϕk

= max

kyk

≤1

ϕ(y) = max

y∈A

ϕ(y). Можно выбрать ϕ

так, что kϕ

= 1.

Из компактности множеств считаем, что существуют пределы последова-

тельностей (переходя на самом деле к подпоследовательностям): lim

k→∞

, lim

k→∞

= ϕ

Из x

∈ ∂

⊂ A

, A

→ A следует x

∈ A, то есть kx

≤ 1.

Из kϕ

= 1 следует, что kϕ

= 1.

На множестве ∂S

∗

ψ ∈ (R

)

∗

| kψk

= 1

определим функционалы

, p следующим образом:

(ψ) = max

y∈A

ψ(y), p(ψ) = max

y∈A

ψ(y).

Тогда p(ψ) = kψk

= 1.

Из условия A

→ A следует, что p

равномерно стремятся к p. Отсюда

получаем p

(ϕ

) → p(ϕ

) = 1. Это означает, что ϕ

) = lim

k→∞

) =

lim

k→∞

(ϕ

) = p(ϕ

) = max

y∈A

(y) = 1. Следовательно, ||x

= 1, так как

иначе найдётся такое число α > 1, что αx

∈ A и ϕ

(αx

) > ϕ

Отсюда x

∈ ∂

A, что противоречит предположениям (10). Утверждение

доказано. ♦

Отметим без доказательства следующую теорему.

Теорема Бляшке [6]. Если множество D компактно, то пространство

CP (D) в метрике Хаусдорфа также компактно.

Далее снова переходим к правильной модели Неймана-Гейла с нормаль-

ным квазилинейным производственным отображением f : R

→ P (R

Для нормального множества A определим множество G

(A) =

−t

(∂

(A)) ∩ A для t = 0, 1, . . . .

Утверждение о множествах G

(A). Если A - телесное нормальное

множество в R

и f - нормальное многозначное отображение, то множе-

ства G

(A) компактные и обладают свойством: G

(A) = ∂

A ⊃ G

(A) ⊃

(A) ⊃ . . . ⊃ G

(A) ⊃ . . . .

Доказательство утверждения сводится к доказательству включения

−(t+1)

∂

t+1

(A)) ∩ A ⊂ (f

−t

∂

(A)) ∩ A. Заменим B = f

(A). Тогда

предыдущее включение эквивалентно (f

−1

(∂

f(B))) ∩ A ⊂ (∂

B) ∩ A.

Последнее включение мы и будем доказывать. Надо доказать, что вы-

полняется включение ∂

f(B) ⊂ f(∂

B). Пусть y ∈ ∂

f(B), это озна-

чает, что inf {λ | y ∈ λf(B)} = 1. Но λf(B) = f(λB). Это означает, что

∃ x ∈ R

, y ∈ f(x), inf {λ | x ∈ λB} = 1, то есть x ∈ ∂

B. Отсюда следу -

ет y ∈ f(∂

B). Это доказывает требуемое включение и все утверждение.

Компактность G

(A) следует из определений. ♦

Обозначим G(A) =

(A), тогда в метрике Хаусдорфа G

(A) →

G(A), при этом множество G(A) компактное [8].

Теорема о магистрали в сильной форме. Пусть f : R

→ P (R

)

- нормальное квазилинейное отображение, причём:

а) существует телесное нормальное множество A со свойством αA = f(A),

где α - темп роста модели Z (это множество A называется собственным

для отображения f);

б) существует функционал ϕ ∈ r(Π

), который принимает на множестве

G(A) постоянное значение.

Если точка x

∈ R

такова, что lim

t→∞

−t

) = A (в метрике Хаусдор-

фа), то для любого ε > 0 найдутся такие t

, k

∈ N, что для всякой ко-

нечной оптимальной траектории (x

)

t=0

, T > t

+ k

, исходящей из точки

, выполняется неравенство

, x

t+1

)

, N

≤ ε,

при t

< t < T − k

Доказательство теоремы опирается на две леммы. Обе леммы доказы-

ваются в условиях теоремы. Не умаляя общности, считаем α = 1, заменив

везде f на αf.

Лемма о множествах B

. ∀ε > 0 ∃ t

∈ N ∀ t > t

выполняется

⊂ (f

−k

(∂

A) ∩ A) + εS, (k = 1, 2, . . .), где B

= G

), B

= f

Доказательство. Покажем, что по ε > 0 найдётся такое ε

> 0, что

−k

(∂

A + ε

S) ∩ (A + ε

S) ⊂ f

−k

(∂

A) ∩ A + εS. (11)

Пусть это не так, тогда ∀ m ∈ N ∃ y

∈

−k

(∂

A +

∩



A +



, y

/∈



−k

(∂

A) ∩ A) + εS



. Из-за компактности соответствую-

щих множеств можно предполагать, что y

→ y. Тогда y ∈ f

−k

(∂

A) ∩ A

и y /∈ f

−k

((∂

A) ∩ A) + εS. Это противоречие доказывает соотношение

(11).

Из условий теоремы следует, что B

→ A, и, следовательно,

⊂ A + ε

S (12)

для достаточно больших t > τ

. Из утверждения о пределе множеств

вытекает существование такого τ

, что ∀ t > τ

∂

⊂ ∂

A + ε

S и

−k

(∂

) ⊂ f

−k

(∂

A + ε

S). Тогда для t > t

= max{τ

, τ

− k} выпол-

няются включения

= f

−k

(∂

t+k

) ∩ B

⊂ f

−k

(∂

A + ε

S) ∩ B

С помощью (12) получаем:

⊂ f

−k

(∂

A + ε

S) ∩ (A + ε

S).

Далее применяем формулу (11):

⊂ f

−k

(∂

A) ∩ A + εS,

что и означает утверждение леммы.♦

Введём обозначения двух типов множеств: Q(δ, t) =

x ∈ B

| ϕ(x) ≥

(1 − δ) max

y∈B

ϕ(y)

и Q(δ) =

x ∈ A | ϕ(x) ≥ (1 − δ) max

y∈A

ϕ(y)

для любых

δ ∈ (0; 1), ϕ ∈ (R

)

∗

, ϕ 6= 0.

Лемма о множествах Q(δ, t). Выполняется соотношение

lim

t→∞

Q(δ, t) = Q(δ) (в метрике Хаусдорфа).

Доказательство. Положим c

= max

y∈B

ϕ(y), c = max

y∈A

ϕ(y).

Так как B

→ A, то c

→ c.

Множества Q(δ, t) компактны, последовательность множеств (Q(δ, t))

∞

t=0

ограничена. Тогда по теореме Бляшке существует сходящаяся подпосле-

довательность (Q(δ, t

))

∞

k=0

. Покажем, что Q(δ) = lim

k→∞

Q(δ, t

Пусть x ∈ η = lim

k→∞

Q(δ, t

). Тогда существует такая последовательность

)

∞

k=0

элементов множества Q(δ, t

), что x

→ x. Так как Q(δ, t

) ⊂ B

то x

∈ B

и x ∈ A. Так как ϕ(x

) ≥ (1 − δ)c

, то ϕ(x) ≥ (1 − δ)c. От-

сюда следует x ∈ Q(δ) и η ⊂ Q(δ).

Наоборот, пусть x ∈ A и ϕ(x) > (1−δ)c. Тогда существует последователь-

ность (x

)

∞

k=0

, что x

∈ B

, x

→ x. Положим ε = ϕ(x) − (1 − δ)c.

Тогда найдется такое k

, что ∀ k > k

выполняются неравенства

(1 − δ)c

< (1 − δ)c +

, ϕ(x

) > ϕ(x) −

. Тогда для k > k

спра-

ведливо ϕ(x

) > ϕ(x) −

= (1 − δ)c +

> (1 − δ)c

. Отсюда следует

∈ Q(δ, t

), что означает x ∈ η. Так как η замкнуто, то Q(δ) ⊂ η. Вме-

сте с предыдущей частью доказательства получаем η = Q(δ). Поскольку η

- любая предельная точка последовательности (Q(δ, t))

∞

t=1

, то это означает,

что lim

t→∞

Q(δ, t) = Q(δ). ♦