Абакумов А.И. Модели Неймана-Гейла

Подождите немного. Документ загружается.

1.2 Суперлинейные функционалы и опорные множества

Рассматриваем конечномерное нормированное пространство X. В этом

разделе постоянно фигурирует выпуклый замкнутый конус K ⊂ X.

Функционал p : K → R называется суперлинейным, если он суперад-

дитивен p(x + y) ≥ p(x) + p(y), положительно однороден p(αx) = α p(x)

для α > 0, полунепрерывен сверху.

Функционал p сублинеен, если он субаддитивен p(x+y) ≤ p(x)+p(y),

положительно однороден, полунепрерывен снизу.

Через Φ(K) обозначим множество суперлинейных функционалов на ко-

нусе K, а через Ψ(K) - множество сублинейных функционалов на конусе

Для конуса K ⊂ X и непустого множества U ⊂ X

∗

определим следую-

щий функционал на этом конусе:

∀x ∈ K p

(x) = inf

ϕ∈U

ϕ(x). (2)

При этом если p

(x) = −∞, то будем считать, что функционал p

этой точке x не определён.

Утверждение о суперлинейном ф ункционале. Если функционал

определён на всём выпуклом замкнутом конусе K, то этот функционал

является суперлинейным.

Доказательство. Если функционал p

определён на конусе K, то его

супераддитивность и положительная однородность следуют из опреде-

лений точной нижней границы и линейности функционалов из множе-

ства U ⊂ X

∗

. Полунепрерывность сверху для функционала p

следует из

непрерывности линейных функционалов. Действительно, пусть для ε > 0

существует x ∈ K и такая последовательность (x

)

∞

k=1

, x

→ x, x

∈ K,

что

inf

ϕ∈U

ϕ(x

) > inf

ϕ∈U

ϕ(x) + ε.

С другой стороны, для всех ϕ ∈ U и достаточно больших k

ϕ(x

) ≤ ϕ(x) + ε.

Из последнего неравенства для фиксированного k следует inf

ϕ∈U

ϕ(x

) ≤

inf

ϕ∈U

ϕ(x) + ε. Это противоречит предыдущему предположению. Полуне-

прерывность сверху для p

доказана. ♦

Функционал ϕ ∈ X

∗

называется опорным к су перлинейному функци-

оналу p ∈ Φ(K), если ∀x ∈ K ϕ(x) ≥ p(x). Через U

обозначим множество

всех опорных к p линейных функционалов из X

∗

Теорема Фенхеля. Для всякого p ∈ Φ(K) множество U

непусто и

∀x ∈ K p(x) = inf

ϕ∈U

ϕ(x).

Доказательство. Обозначим через Z

= {(x, α) ∈ X × R | x ∈ K, α ≤

p(x)} подграфик функционала p. Для p ∈ Φ(K) множество Z

является

выпуклым замкнутым конусом.

Пусть ε > 0. Тогда для любого y ∈ K (y, p(y)+ε) /∈ Z

и по теореме отдели-

мости для конуса существует такой линейный функционал ψ ∈ (X × R)

∗

что ψ(x, α) ≥ 0 для (x, α) ∈ Z

и ψ(y, p(y) + ε) < 0 для y ∈ K.

Пусть ψ = (ϕ, β), ϕ ∈ X

∗

, β ∈ R

∗

. Тогда для всех x, y ∈ K выполня-

ются неравенства

ϕ(x) + βp(x) ≥ 0, ϕ(y) + β(p(y) + ε) < 0.

Возьмём x = y и получим β < 0. Тогда для всех x ∈ K выполняется

−

ϕ(x) ≥ p(x). Отсюда следует, что −

ϕ ∈ U

, то есть множество U

непусто.

Далее из неравенства −

ϕ(y) < p(y) + ε следует p(x) = inf

ϕ∈U

ϕ(x). ♦

Для выпуклого замкнутого конуса K ⊂ X множество D называется

K-устойчивым, если D + K = D. Множество U ⊂ X

∗

называется K-

опорным, если U выпукло, замкнуто, K

∗

-устойчиво и ∀x ∈ K inf

ϕ∈U

ϕ(x) >

−∞.

Непосредственно из определений вытекает следующий факт: если p ∈

Φ(K), то множество U

− K-опорное.

Из утверждения о суперлинейном функционале получаем: если U ⊂

∗

, U − K-опорное, то функционал p

суперлинеен.

Лемма о функционале p

. Если множества U

, U

⊂ X

∗

являются

K-опорными, то из неравенства U

6= U

следует неравенство p

6= p

Доказательство. Пусть ϕ ∈ U

, ϕ /∈ U

. Тогда по теоремам отдели-

мости множеств найдется такой x ∈ X, что inf

ψ∈U

ψ(x) > ϕ(x) (в случае

необходимости множества U

и U

следует поменять местами). Покажем,

что x ∈ K. Пусть K 6= X. Если x /∈ K, то по теореме отделимости для

конуса существует такой функционал ψ ∈ X

∗

, что ψ(y) ≥ 0 для y ∈ K и

ψ(x) < 0. Тогда ψ ∈ K

∗

. Пусть χ ∈ U

. Тогда ∀α > 0 χ+αψ ∈ U

, ϕ(x) <

inf

ψ∈U

ψ(x) ≤ inf

α>0

(χ + αψ(x)) = −∞, что невозможно. Отсюда следует, что

x ∈ K. Тогда p

(x) = inf

ψ∈U

ψ(x) > ϕ(x) ≥ inf

ψ∈U

ψ(x) = p

(x) ⇒ p

6= p

♦

Обозначим P Φ(K) совокупность всех K-опорных подмножеств из X

∗

Для U ∈ P Φ(K) положим

g(U) = p

Теорема об отображении g. Отображение g : P Φ(K) → Φ(K) явля-

ется взаимно однозначным отображением на все множество Φ(K).

Доказательство. Для любого K-опорного множества U функционал

определяется однозначно и является суперлинейным. Для любого су-

перлинейного функционала p множество U

является K-опорным. Сле-

довательно, g - отображение на все Φ(K). Его взаимная однозначность

следует из леммы о функционале p

. ♦

1.3 Сублинейные функционалы

Напомним, что функционал q : K → R называется сублинейным,

если он субаддитивен q(x + y) ≤ q(x) + q(y), положительно однороден

∀ α > 0 q(αx) = αq(x) и полунепрерывен снизу.

Если функционал q сублинеен, то −q суперлинеен.

Линейный функционал ϕ ∈ X

∗

назовем субопорным к сублинейному

функционалу q, если ∀ x ∈ K ϕ(x) ≤ q(x).

Совокупность всех сублинейных функционалов на конусе K обозначена

Ψ(K). Множество всех субопорных к q функционалов ϕ ∈ X

∗

обозначим

Аналогично теореме Фенхеля доказывается

Теорема о сублинейных функционалах. Если q ∈ Ψ(K), то V

∅ и ∀ x ∈ K q(x) = sup

ϕ∈V

ϕ(x).

Множество V ⊂ X

∗

называется K-субопорным, если оно выпукло,

замкнуто, (−K

∗

) - устойчиво, и ∀x ∈ K sup

ϕ∈V

ϕ(x) < +∞. Совокупность

всех K-субопорных множеств обозначим QΨ(K). Для V ∈ QΨ(K) поло-

жим

h(V ) = q

, где q

(x) = sup

ϕ∈V

ϕ(x).

Аналогично теореме об отображении g доказывается

Теорема об отображении h. Отображение h : QΨ(K) → Ψ(K) яв-

ляется взаимно однозначным отображением на все множество Ψ(K).

Пусть q - сублинейный функционал на конусе K. Обозначим

= V

∩ K

∗

Оказывается, что множество V

непусто тогда и только тогда, когда q

принимает на K неотрицательные значения.

Функционал q ∈ Ψ(K) называется монотонным, если из неравенства

x ≤

y следует q(x) ≤ q(y).

Теорема о монотонных сублинейных функционалах. Пусть q

- монотонный сублинейный функционал на воспроизводящем конусе K.

Тогда для x ∈ K справедливо

q(x) = sup

ϕ∈V

ϕ(x).

Доказательство. По теореме о сублинейных функционалах q(x) =

sup

ϕ∈V

ϕ(x). Из монотонности функционала q следует: ∀ x ∈ K x ≥

0 ⇒ q(x) ≥ q(0) = 0 ⇒ V

6= ∅. Положим

˜q(x) = sup

ϕ∈V

ϕ(x).

Предполагаем от противоположного, что ∃ x

∈ K:

˜q(x

) < q(x

). (3)

Выберем такое число γ, что ˜q(x

) < γ < q(x

). Рассмотрим: Z

(x, β) ∈

X × R

| x ∈ K, β ≥ q(x)

- надграфик функционала q. Образуем:

(x, β) ∈ X × R

| x ∈ x

+ K, β = γ

. Так как q - сублинейный

функционал, то Z

- выпуклый замкнутый конус, Z

- выпуклое замкнутое

множество.

Проверим, что Z

∩ Z

= ∅. Пусть (y, ν) ∈ Z

∩ Z

, тогда y ≥

, ν = γ, y ∈ K, ν ≥ q(y). В этом случае из монотоности q сле-

дует γ = ν ≥ q(y) ≥ q(x

) > γ, что невозможно. Отсюда Z

∩ Z

= ∅.

По теореме отделимости для конуса существует такой функционал

(ϕ, µ) ∈ (X × R

)

∗

, (ϕ, µ) 6= 0 , что (выбираем функционал противопо-

ложного знака по сравнению с формулировкой теоремы об отделимости)

ϕ(x) + µβ ≤ 0, β ≥ q(x), ϕ(x) + ϕ(x

) + µγ > 0 для x ∈ K. (4)

Отсюда следует ограниченность снизу функционала ϕ на конусе K, что

означает ϕ ∈ K

∗

Покажем, что µ 6= 0. В противном случае ∀ x ∈ K ϕ(x) ≤ 0, но тогда

из ϕ ∈ K

∗

следует ∀ x ∈ K ϕ(x) = 0 Так как K - воспроизводящий

конус, то тогда ϕ ≡ 0 на X. В этом случае (ϕ, µ) = 0, чего быть не может.

Отсюда следует µ 6= 0.

Если µ > 0, то для подходящего x

∈ K и β ≥ q(x

) получаем ϕ(x

)+µβ >

0, что противоречит (4). Отсюда µ < 0 и без ограничения общности можно

считать µ = −1.

Тогда из (4) следует, что ϕ ∈ V

(так как можно выбрать β = q(x)),

а отсюда ϕ ∈ V

. С другой стороны, из (3) и (4) при x = 0 получаем

ϕ(x

) ≥ γ > ˜q(x

). Это противоречит определению ˜q, следовательно, (3)

невозможно. ♦

1.4 Нормальные множества

Выпуклое компактное подмножество D конуса K назовём нормаль-

ным (в смысле K), если

(D − K) ∩ K = D.

Через nD обозначим нормальную оболочку множества D, то есть пересе-

чение всех нормальных множеств, содержащих множество D.

Утверждение о нормальных множествах. Выпуклое компактное

подмножество D конуса K нормально тогда и только тогда, когда ∀ x ∈

D h0, xi ⊂ D.

Доказательство. Заметим, что h0, xi = (x − K) ∩ K.

Необходимость. Пусть множество D нормально. Если x ∈ D, то x − K ⊂

D − K, а отсюда следует, что h0, xi = (x − K) ∩ K ⊂ (D − K) ∩ K = D.

Достаточность. Пусть ∀x ∈ D выполняется h0, xi ⊂ D. Пусть z ∈ (D −

K) ∩ K. Тогда найдется такое x ∈ D, что z ∈ (x − K) ∩ K = h0, xi ⊂ D.

Отсюда следует, что z ∈ D и (D − K) ∩ K ⊂ D. Обратное включение

следует из D ⊂ K и D = D − 0 ⊂ D − K. Утверждение доказано. ♦

1.5 Многозначные отображения

Рассматриваются два конечномерных нормированных пространства

X, Y . Для множества G ⊂ Y через P (G) обозначаем множество всех под-

множеств множества G. Задано отображение f : D → P (G), D ⊂ X, G ⊂

Y , это отображение f мы будем называть многозначным.

График f есть множество Z =



(x, y) ∈ D × G | x ∈ D, y ∈ f(x)



Обратное многозначное отображение определяется обычным образом:

−1

(y) = {x ∈ D| y ∈ f(x)}, для y ∈ f(D).

При этом f

−1

: G → P (D), его график есть множество Z

−1



(y, x) ∈

f(D) × D| (x, y) ∈ Z



Отображение f называется замкнутым, если множество Z замкнуто.

Отображение f называется ограниченным, если f отображает ограни-

ченные множества в ограниченные.

Далее в этом разделе рассматриваются выпуклые замкнутые выступа-

ющие воспроизводящие конусы K, Q в пространствах X, Y соответствен-

но.

Многозначное отображение f : K → P (Q) называется квазилиней-

ным, если это отображение супераддитивно ∀x

, x

∈ K f(x

) + f(x

) ⊂

f(x

+ x

), положительно однородно ∀α > 0, ∀x ∈ K f(αx) = αf(x),

замкнуто, гейловское f(0) = {0}, невырожденное f(K)∩

6= ∅.

Обозначим через F (K, Q) множество квазилинейных многозначных

отображений f : K → P (Q).

Квазилинейное отображение f : K → P (Q) является ограниченным.

Отсюда следует, что ∀x ∈ K множество f(x) компактно. Тогда для ψ ∈ Q

∗

определим

(x) = max

y∈f(x)

ψ(y). (5)

Утверждение о многозначных отображениях и функциона-

лах. Если f - квазилинейное отображение, f ∈ F (K, Q), ψ ∈ Q

∗

, то

формула (5) определяет суперлинейный функционал p

на конусе K.

Доказательство. Последовательно доказываем свойства суперлиней-

ности.

1) p

+ x

) = max

y∈f(x

)

ψ(y) ≥ max

∈f(x

), y

∈f(x

)

(ψ(y

) + ψ(y

)) =

max

∈f(x

)

ψ(y

) + max

∈f(x

)

ψ(y

) = p

) + p

). Этим доказана суперадди-

тивность функционала p

. При доказательстве использована суперадди-

тивность многозначного отображения f.

2) Положительная однородность p

следует из положительной однород-

ности f и линейности ψ.

3) Докажем полунепрерывность сверху функционала p

. Пусть (x

)

∞

k=1

∈ K, y

∈ f(x

) с условием ψ(y

) = p

) и x

→ x

при k → ∞.

Множество

∞

k=1

} ограничено. Множество f(

∞

k=1

}) ограничено. То-

гда последовательность (y

)

∞

k=1

имеет сходящуюся подпоследовательность

)

∞

l=1

, y

→ y

при l → ∞. Из замкнутости f следует, что y

∈ f(x

), и

тогда ψ(y

) ≤ max

y∈f(x

)

ψ(y)) = p

). Отсюда следует lim

k→∞

) ≤ p

что означает полунепрерывность сверху функционала p

в точке x

.♦

Пусть f : K → P (Q) - квазилинейное отображение. Его график Z -

выпуклый замкнутый конус.

Обозначим через Z



(ϕ, ψ) ∈ K

∗

× Q

∗

| ∀ (x, y) ∈ Z ϕ(x) ≥ ψ(y)



конус, который будем называть двойственным по отношению к конусу

Z. Этот конус также выпуклый и замкнутый.

Определим отображение f

: K

∗

→ P (Q

∗

), двойственное по отношению к

отображению f, с графиком Z

. Для ϕ ∈ K

∗

(ϕ) =

ψ ∈ Q

∗

| ∀ x ∈ K ϕ(x) ≥ max

y∈f(x)

ψ(y)

Теорема двойственности. Пусть f ∈ F (K, Q), тогда f

∗

) = Q

∗

∀ ψ ∈ Q

∗

∀ x ∈ K выполняется равенство

max

y∈f(x)

ψ(y) = inf

ϕ∈(f

)

−1

(ψ)

ϕ(x).

Доказательство. Пусть ψ ∈ Q

∗

. По определению отображения f

вы-

полняется равенство (f

)

−1

(ψ) = U

, где p

определяется формулой (5).

Из теоремы Фенхеля следует непустота множества (f

)

−1

(ψ) = U

. То-

гда ψ ∈ f

∗

) и f

∗

) = Q

∗

. По теореме Фенхеля далее следует:

max

y∈f(x)

ψ(y) = p

(x) = inf

ϕ∈U

ϕ(x) = inf

ϕ∈(f

)

−1

(ψ)

ϕ(x).♦

Утверждение о двойственном отображении. Пусть f ∈ F (K, Q).

Тогда f

∈ F (K

∗

, Q

∗

) и f

нормально (относительно конуса Q

∗

Доказательство. Супераддитивность и положительная однородность

вытекают из определения.

Проверим замкнутость отображения f

. Пусть имеется последователь-

ность (ϕ

, ψ

)

∞

k=1

со свойствами: (ϕ

, ψ

) → (ϕ, ψ) при k → ∞ и ψ

∈

(ϕ

) при всех k. Тогда из определения f

следует, что ψ ∈ f

(ϕ), ϕ ∈

∗

Проверим гейловость отображения f

. Если ψ ∈ f

(0), то ∀y ∈ f(K) вы-

полняется равенство ψ(y) = 0. Из невырожденности f : f(K)∩

6= ∅

следует, что ψ(y) = 0 для некоторого y ∈

. Так как ψ ∈ Q

∗

, то для неко-

торой окрестности V (y) ⊂

выполняется ∀ z ∈ V (y) ψ(z) = 0. В этом

случае линейный функционал ψ ≡ 0 в пространстве Y .

Из теоремы двойственности следует, что f

∗

)∩

∗

6= ∅, так как

конус Q

∗

воспроизводящий и, следовательно, телесный. Квазилинейность

доказана.

Остается проверить нормальность отображения f

. Выбираем любое ϕ ∈

∗

, докажем, что f

(ϕ) - нормальное множество относительно конуса

∗

. Пусть ψ ∈ f

(ϕ) и 0 ≤ χ ≤ ψ. Согласно утверждению о нор-

мальных множествах достаточно доказать, что χ ∈ f

(ϕ). Из условия

ψ ∈ f

(ϕ) следует, что ∀ x ∈ K ϕ(x) ≥ max

y∈f(x)

ψ(y). Отсюда вытекает, что

∀ x ∈ K ϕ(x) ≥ max

y∈f(x)

χ(y), откуда следует χ ∈ f

(ϕ). ♦

В следующей теореме используются три конечномерных нормирован-

ных пространства X, Y

, Y

и три конуса K, Q

, Q

в них соответственно.

Теорема о суперпозиции двойственных отображений. Пусть

∈ F (K, Q

), f

∈ F (Q

, Q

). Тогда выполняются свойства f

◦ f

∈

F (K, Q

) и (f

◦ f

)

= f

◦ f

Доказательство. Супераддитивность, положительная однородность,

замкнутость и гейловость многозначного отображения f

◦f

доказывают-

ся аналогично приведенным ранее доказательствам. Докажем невырож-

денность отображения f

◦f

. Отображение f

невырождено f

) ∩

∅. Это означает, что ∃ y

∈ Q

) ∩

6= ∅. Покажем, что для лю-

бого y

∈

выполняется f

) ∩

6= ∅. Возьмём y(α) =

−αy

1−α

. При

малом α выполняется y(α) ∈ Q

. Тогда f

) = f



αy

+ (1 − α)y(α)



⊃

αf

) + (1 − α)f

(y(α)). Так как αf

) ∩

6= ∅ (из-за того, что Q

конус), то f

) ∩

6= ∅. Здесь используется выпуклость конуса Q

Так как f

(K) ∩

6= ∅, то ∃ y

∈ f

(K), y

∈

. Из предыдуще-

го следует, что f

) ∩

6= ∅, а отсюда получаем невырожденность

◦ f

: (f

◦ f

)(K) ∩

6= ∅.

Далее докажем свойство суперпозиции двойственных отображений. Отоб-

ражение f

◦ f

определено корректно.

Пусть χ ∈ Q

∗

, построим

(x) = max

z∈(f

◦f

)(x)

χ(z).

Из у тверждения о многозначных отображениях и функционалах следует,

что p

- суперлинейный функционал.

Далее используем теорему двойственности

(x) = max

z∈(f

◦f

)(x)

χ(z) = max

y∈f

(x)

max

z∈f

(y)

χ(z) =

= max

y∈f

(x)

inf

ψ∈(f

)

−1

(χ)

ψ(y) = inf

ψ∈(f

)

−1

(χ)

max

y∈f

(x)

ψ(y)

(последнее равенство следует из теоремы о минимаксе).

Множество (f

)

−1

(χ) является подмножеством конуса Q

∗

. По теореме