Абакумов А.И. Модели Неймана-Гейла

Подождите немного. Документ загружается.

двойственности выполняется равенство

max

y∈f

(x)

ψ(y) = inf

ϕ∈(f

)

−1

(ψ)

ϕ(x). (6)

Отсюда следует

(x) = inf

ψ(f

)

−1

(χ)

inf

ϕ∈(f

)

−1

(ψ)

ϕ(x) =

= inf

ϕ∈(f

)

−1

◦(f

)

−1

(χ)

ϕ(x) = inf

ϕ∈(f

◦f

)

−1

(χ)

ϕ(x).

Множество (f

◦ f

)

−1

(χ) является K-опорным. Из определения следует,

что оно K

∗

-устойчиво (f

◦ f

)

−1

(χ) + K

∗

⊂ (f

◦ f

)

−1

(χ) и выпукло. Его

замкнутость вытекает из замкнутости отображений f

и f

. Из формулы

(6) получаем:

inf

ϕ∈(f

◦f

)

−1

(χ)

ϕ(x) > −∞.

Следовательно, (f

◦ f

)

−1

(χ) - K-опорное. Из связи опорных функциона-

лов и опорных множеств следует U

= (f

◦f

)

−1

(χ). С другой стороны, из

определения двойственного отображения следует: U

= ((f

◦ f

)

−1

(χ).

Отсюда:

◦ f

)

−1

(χ) = ((f

◦ f

)

−1

(χ),

то есть (f

◦ f

)

−1

= ((f

◦ f

)

−1

. Отсюда следует равенство f

◦ f

)

. Теорема доказана. ♦

Теорема о втором двойственном отображении. Пусть f ∈

F (K, Q). Тогда f

= nf.

Доказательство. Из теоремы двойственности и теоремы Фенхеля сле-

дует, что ∀ ψ ∈ Q

∗

)

−1

(ψ) 6= ∅. Для x ∈ K определим функционал на

∗

(ψ) = inf

ϕ∈(f

)

−1

(ψ)

ϕ(x).

По теореме двойственности

(ψ) = max

y∈f(x)

ψ(y). (7)

Из формулы (7) следует, что q

- сублинейный монотонный функционал

на Q

∗

. Обращаем внимание на разницу в формулах (5) и (7). В формуле

(5) в качестве аргумента выступают элементы конуса K, а в формуле (7)

- элементы конуса Q

∗

Пусть V

= V

∩Q. Напомним, что в данном случае V

y ∈ Q | ∀ ψ ∈

∗

ψ(y) ≤ q

(ψ)

Предположим, что y ∈ f

(x). Тогда ∀ ψ ∈ Q

∗

∀ ϕ ∈ (f

)

−1

(ψ) выполняет-

ся ϕ(x) ≥ ψ(y). Отсюда следует, что q

(ψ) = inf

ϕ∈(f

)

−1

(ψ)

ϕ(x) ≥ ψ(y). Тогда

y ∈ V

. Отсюда следует, что f

(x) ⊂ V

Пусть, наоборот, y ∈ V

. Тогда ∀ ψ ∈ Q

∗

ψ(y) ≤ q

(ψ), y ∈ Q. От-

сюда следует, что ∀ ψ ∈ Q

∗

, ∀ ϕ ∈ K

∗

из условия ψ ∈ f

(ϕ) получается

ψ(y) ≤ ϕ(x). Это означает, что y ∈ f

(x) и V

⊂ f

(x).

Таким образом, доказано, что V

= f

(x).

Теперь докажем, что множество V

нормально. Пусть y ∈ V

, 0 ≤ z ≤

y. Тогда z − 0 ∈ Q, т.е. z ∈ Q. Так как y ∈ V

, то ∀ ψ ∈ Q

∗

выполняется

неравенство ψ(y) ≤ q

(ψ). Отсюда следует, что 0 ≤ ψ(z) ≤ ψ(y) ≤ q

(ψ).

Это означает, что z ∈ V

. Отсюда следует, что множество V

нормально

относительно конуса Q. Равное ему множество f

(x) тоже является нор-

мальным.

Теперь докажем, что f

= nf. Множество nf(x) − Q является Q

∗

- суб-

опорным. При этом для ψ ∈ Q

∗

выполняется sup

y∈nf(x)−Q

ψ(y) = sup

y∈V

ψ(y).

Это следует из того факта, что sup

y∈nf(x)−Q

ψ(y) = max

y∈nf(x)

ψ(y) = max

y∈f(x)

ψ(y).

Последнее равенство следует из цепочки преобразований max

y∈nf(x)

ψ(y) ≤

max

y∈(f(x)−Q)∩Q

ψ(y) ≤ max

y∈(f(x)−Q)

ψ(y) = max

y∈f(x)

ψ(y) ≤ max

y∈nf(x)

ψ(y).

Отсюда по теореме об отображении h следует, что V

= nf(x) − Q и

= (nf(x) − Q) ∩ Q = nf(x).

Теорема доказана.♦

Следствие. 1. Для f ∈ F (K, Q) равенство f = f

выполняется тогда

и только тогда, когда f нормально. 2. Если f ∈ F (K, Q), то nf ∈ F (K, Q).

1.6 Упражнения

Решить следующие задачи, примеры или доказать сформулированные

факты. Соотвествующие обозначения и понятия приведены в тексте раз-

дела.

1. Привести примеры выступающих и воспроизводящих конусов в про-

странствах X = R

и X = R

2. Телесный конус является воспроизводящим.

3. Определить условия на конус K, при которых порядок ≤

станет

линейным.

4. Конечномерное нормированное пространство является полным.

5. Для выступающего конуса K конус K

∗

является воспроизводящим.

6. Если K - выпуклый конус, то ∀x, y ∈ K выполняется x + y ∈ K.

7. Если линейный функционал ϕ ∈ X

∗

равен нулю на некотором те-

лесном подмножестве пространства X, то ϕ ≡ 0 на всём пространстве

8. Если K - выпуклый замкнутый конус, то K

∗

- также выпуклый за-

мкнутый конус.

9. Если K - выступающий конус, то K

∗

- воспроизводящий конус.

10. Если K - воспроизводящий конус, то K

∗

- выступающий конус.

11. Функционал p

является супераддитивным и положительно одно-

родным.

12. Множество Z

в доказательстве теоремы Фенхеля является выпук-

лым замкнутым конусом.

13. Если p ∈ Φ(K), то множество U

− K-опорное.

14. Если U ⊂ X

∗

, U − K-опорное, то функционал p

суперлинеен.

15. Если функционал q сублинеен, то −q суперлинеен.

16. Отображение g : P Φ(K) → Φ(K) является взаимно однозначным

отображением на все множество Φ(K).

17. Если q ∈ Ψ(K), то V

6= ∅ и ∀ x ∈ K q(x) = sup

ϕ∈V

ϕ(x).

18. Отображение h : QΨ(K) → Ψ(K) является взаимно однозначным

отображением на все множество Ψ(K).

19. Множество V

непусто тогда и только тогда, когда q принимает на

K неотрицательные значения.

20. В доказательстве теоремы о монотонных сублинейных функциона-

лах множество Z

является выпуклым замкнутым конусом.

21. В доказательстве теоремы о монотонных сублинейных функциона-

лах множество Z

является выпуклым замкнутым, но не конусом.

22. Квазилинейное отображение f : K → P (Q) является ограничен-

ным.

23. Функционал p

(5) положительно однородный.

24. Построить K

∗

для K = {(x

, x

) ∈ R

| x

= x

25. Множество Z

является выпуклым замкнутым конусом.

26. Функционал q

(7) является сублинейным и монотонным.

27. В теореме о втором двойственном отображении множество nf(x)−Q

является Q

∗

- субопорным.

II Модели Неймана-Гейла

Через X по-прежнему обозначаем конечномерное нормированное про-

странство.

Модель Неймана-Гейла - это такой выпуклый замкнутый конус

Z ⊂ R

× R

, что ∀y 6= 0, (0, y) /∈ Z, P r

Z ∩ (

) 6= ∅. Модель Z назы-

вается правильной, если P r

Z = R

. В дальнейшем мы рассматриваем

правильные модели Неймана - Гейла.

Для пары (x, y) ∈ Z вектор x называется вектором затрат, а y - векто-

ром выпуска. Подчеркивая этот содержательный смысл векторов, иногда

пару (x, y) ∈ Z будем называть процессом.

По конусу Z можно построить многозначное отображение f : K → P (R

где K = P r

Z, f(x) = {y | (x, y) ∈ Z}. Отображение f называется про-

изводственным отображением модели Неймана-Гейла.

Утверждение о модели Неймана - Гейла. Конус Z - модель

Неймана-Гейла тогда и только тогда, когда соответствующее отображе-

ние f является квазилинейным многозначным отображением.

Доказательство.

Необходимость. Пусть конус Z - модель Неймана-Гейла. Определим мно-

жество K = P r

Z и отображение f: ∀x ∈ K f(x) = {y ∈ R

| (x, y) ∈

Z}.

Из выпуклости конуса Z получаем, что для: (x, y) ∈ Z, (u, v) ∈ Z спра-

ведливо (x + u, y + v) ∈ Z. Это означает супераддитивность f.

Положительная однородность f следует из определения конуса Z. Осталь-

ные свойства f прямо указаны в определении модели Неймана-Гейла.

Достаточность. Пусть f - квазилинейное многозначное отображение. Обо-

значим через Z график для f. Тогда Z является выпуклым замкнутым

конусом. Остальные свойства Z прямо указаны в определении квазили-

нейного отображения f.♦

Состоянием равновесия модели Неймана-Гейла называется набор

элементов σ = (α, (¯x, ¯y), ¯ϕ) с числом α > 0, парой (¯x, ¯y) ∈ Z и функцио-

налом ¯ϕ ∈ (R

)

∗

, для которых выполняются условия:

1) α¯x ≤ ¯y (неравенство понимается в смысле конуса R

);

2) ∀ (x, y) ∈ Z выполняется неравенство ¯ϕ(y) ≤ α ¯ϕ(x) и ¯ϕ(¯y) > 0.

Число α = α(σ) называется темпом роста модели Неймана-Гейла Z (или

производственного отображения f).

Утверждение о свойствах пар из модели Z. Для любых (x, y) ∈ Z

выполняются неравенства ¯ϕ(y) ≤ α ¯ϕ(x) и неравенство ¯ϕ(¯y) > 0 тогда и

только тогда, когда

¯ϕ ∈ f

( ¯ϕ).

Доказательство. Вспомним определение f

( ¯ϕ). А именно: f

( ¯ϕ) =

ψ ∈ (R

)

∗

| ∀x ∈ K ¯ϕ(x) ≥ max

y∈f(x)

ψ(y)

. Тогда верна следующая це-

почка эквивалентных преобразований: условие ∀(x, y) ∈ Z ¯ϕ(x) ≥

¯ϕ(y)

эквивалентно неравенству ¯ϕ(x) ≥ max

y∈f(x)

¯ϕ(y), а последнее эквивалентно

условию

¯ϕ ∈ f

( ¯ϕ). ♦

2.1 Темпы роста

Если Z модель Неймана - Гейла, то Z

также модель Неймана - Гейла

(с заменой R

на (R

)

∗

). Тогда и для Z

можно говорить о темпах роста.

Модель Z

будем называть двойственной по отношению к модели Z.

Утверждение о темпах роста двойственных отображений.

Пусть Z - модель Неймана-Гейла, f - производственное отображение в

этой модели, f ∈ F (K, R

). Тогда число α > 0 является темпом ро-

ста модели Неймана-Гейла в том и только в том случае, когда число

является темпом роста отображения f

Доказательство.

Необходимость. Пусть α - темп роста отображения f и (α, (¯x, ¯y), ¯ϕ) - со-

ответствующее равновесие. Тогда α¯x ≤ ¯y, откуда следует условие α¯x ∈

nf(¯x) = f

(¯x). Из условий равновесия следует, что ∀ (x, y) ∈ Z ¯ϕ(y) ≤

α ¯ϕ(x), то есть ¯ϕ(x) ≥

¯ϕ(y). Это влечёт за собой

¯ϕ ∈ f

( ¯ϕ) и ¯ϕ(¯x) > 0.

Из α¯x ∈ f

(¯x) следует ∀ ϕ ∈ K

∗

, ∀ψ ∈ f

(ϕ) выполняется неравенство

ϕ(¯x) ≥ ψ(α¯x). Это означает, что





¯ϕ,

¯ϕ



, ¯x



- равновесие для отобра-

жения f

. Следовательно,

- темп роста для отображения f

Достаточность. Пусть β - темп роста для отображения f

. Из доказан-

ной необходимости следует, что

- темп роста для отображения f

. От-

сюда следует существование равновесия для отображения f

= nf вида

(

, (¯x, ¯y), ¯ϕ). Это означает выполнение следующих условий:

¯x ≤ ¯y, ∀ x, y

при условии y ∈ f

(x) выполняется неравенство

¯ϕ(x) ≥ ¯ϕ(y), а также

выполняется неравенство ¯ϕ(¯y) > 0. Так как ¯y ∈ f

(¯x) = nf(¯x), то най-

дётся ¯z ∈ f(¯x) с условием ¯y ≤ ¯z. Так как ¯z ∈ f(¯x) ⊂ nf(¯x) = f

(¯x),

то выполняется неравенство

¯ϕ(¯x) ≥ ¯ϕ(¯z). Тогда (

, (¯x, ¯z), ¯ϕ) - состояние

равновесия для f.♦

Показателем роста процесса (x, y) ∈ Z называется число α(x, y) =

sup{α | αx ≤ y}.

Напомним, что в R

есть стандартный базис и любой x ∈ R

пред-

ставляется столбцом своих координат x =

. Введём обозначения

I = {1, . . . , n}, I

= {i ∈ I | x

> 0}. Тогда α(x, y) = min

i∈I

= min

i∈I

(условно будем считать, что при y

> 0 выполняется равенство

= +∞

и +∞ больше любого действительного числа).

Утверждение об отображении α. Отображение α : (x, y) 7−→

α(x, y) на Z\{0} является полунепрерывным сверху и положительно од-

нородным нулевой степени функционалом.

Доказательство. Положительная однородность нулевой степени оче-

видна. Докажем полунепрерывность сверху. Пусть (x

, y

) ∈ Z, (x

, y

) →

, y

) (считаем x

6= 0 без ограничений общности). Пусть ˜α - предельная

точка последовательности α(x

, y

), ˜α = lim

i→∞

α(x

, y

). Из определений

следует, что α(x

, y

≤ y

. Тогда ˜α < ∞ (иначе x

= 0), в пре-

деле ˜αx

≤ y

, откуда ˜α ≤ α(x

, y

). Это означает, что lim

n→∞

α(x

, y

) ≤

α(x

, y

).♦

Число α(Z) = max

(x,y)∈Z, ||(x,y)||=1

α(x, y) = sup

(x,y)∈Z, (x,y)6=0

α(x, y) назовем

неймановским показателем роста модели Z.

Замечание. Неймановский показатель роста α(Z) всегда положителен

и конечен.

Доказательство следует из того, что P r

Z∩

6= ∅, а неймановский

показатель роста достигается на некотором процессе, и пара (0, y) не при-

надлежит конусу Z ни при каком y 6= 0. ♦

Утверждение о неймановском показателе роста. Пусть Z - мо-

дель Неймана-Гейла. Тогда найдется такой функционал ¯ϕ ∈ (R

)

∗

, что

∀ (x, y) ∈ Z выполняется неравенство ¯ϕ(y) ≤ α(Z) ¯ϕ(x).

Доказательство. Обозначим D =



y −α(Z)x | (x, y) ∈ Z



. Это выпук-

лый замкнутый конус. Из определения α(Z) следует, что D ∩

= ∅. По

теореме отделимости для конуса следует существование такого линейного

функционала ¯ϕ, что ¯ϕ 6= 0 и max

z∈D

¯ϕ(z) = 0 ≤ min

u∈R

¯ϕ(u). Это означает, что

функционал ¯ϕ является искомым.♦

В работе [6] приводится пример, когда в модели Неймана-Гейла вообще

нет равновесных состояний. Все дело в том, что для неймановского по-

казателя роста α(Z) можно найти набор (α(Z), (¯x, ¯y), ¯ϕ) с выполнением

всех условий для состояния равновесия, кроме ¯ϕ(¯y) > 0. Поэтому даже

для неймановского показателя роста не всегда справедливо то, что он яв-

ляется темпом роста.

Пару (x, y) с α(x, y) = α(Z) назовем неймановским процессом.

Соответствующее неймановскому показателю роста состояние равновесия

(если оно существует) назовем неймановским состоянием равнове-

сия.

Неймановским темпом роста назовём неймановский показатель ро-

ста, являющийся темпом роста.

Утверждение о множестве C

. Пусть Z - модель Неймана-Гейла и

число α такое, что C



(x, y) ∈ Z | αx ≤ y



6= ∅, тогда найдется такая

пара (˜x, ˜y) ∈ C

, что ∀ (x, y) ∈ C

выполняются включения I

˜x

⊃ I

, I

˜y

⊃

Доказательство. В множестве C

существует конечное число пар

, y

) (i = 1, m), для которых множества I

× I

попарно различны.

Тогда искомая пара есть

i=1

, y

).♦

Согласно утверждению о множестве C

среди неймановских процессов

модели Z найдется такой процесс (ˆx, ˆy), что его множества I

ˆx

, I

ˆy

включают

в качестве подмножеств такие же множества любого другого неймановско-

го процесса. Тогда пару (ˆx, ˆy) будем называть полным неймановским

процессом. Множество I

ˆy

в этом случае обозначим через I(Z).

Рассмотрим следующую процедуру построения конусов. Пусть Z - мо-

дель Неймана-Гейла. Положим Z

= Z, Γ

= R

. Если I

= I(Z

) = I, то

останавливаемся. Если же I

6= I, то рассматриваем подпространство Γ

пространства R

на ортах с номерами I \ I

. Обозначаем Z

= P r

×Γ

Конус Z

является моделью Неймана-Гейла в пространстве Γ

× Γ

. Далее

мы рассматриваем ее в этом пространстве. Если I

= I(Z

) = I \ I

, то

останавливаемся, иначе обозначаем через Γ

подпространство простран-

ства R

на ортах с номерами I \ (I

∪ I

) и Z

= P r

×Γ

. Конус Z

яв-

ляется моделью Неймана-Гейла в пространстве Γ

× Γ

. И так далее. Этот

процесс заканчивается на некотором шаге m. Действительно, из опреде-

ления I

вытекает, что I

6= ∅ при

j−1

k=1

6= I. Отсюда следует конечность

описанной процедуры и существование числа m ≤ n.

Получаем конечную последовательность непустых конусов Z

Z, Z

, . . . , Z

и множества индексов I

. . . I

, I

= I(Z

), I

∩ I

= ∅

для j 6= j

, при этом

j=1

= I. Из описания конструкции следует, что

каждый из конусов Z

представляет из себя модель Неймана-Гейла в со-

ответствующем пространстве Γ

× Γ

. Через α

обозначим неймановский

показатель роста этой модели Z

. Непосредственно из способа построе-

ния последовательности конусов Z

вытекает неравенство α

> 0 для всех

j = 1, . . . , m.

Лемма об экстремальных парах модели Z. Для любого j =

1, . . . , m и любого ε > 0 найдется такая пара (x

, y

) ∈ Z, что выполня-

ются следующие условия:

1) min

k=1...j

− min

i∈I

) ≤ ε;

2) для j < m для всех i ∈

k=j+1

выполняются равенства x

= y

= 0 и

для всех i ∈

k=1

выполняются неравенства y

> 0. При j = m для всех

i ∈ I выполнено y

> 0.

Доказательство. Зафиксируем число j < m. Пусть (ˆx

, ˆy

) - полный

неймановский процесс модели Z

в пространстве Γ

× Γ

. Тогда найдется

такая пара (¯x

, ¯y

) из конуса Z, проекция которой на пространство Γ

×Γ

совпадает с (ˆx

, ˆy

). Для пары (¯x

, ¯y

) справедливы неравенства ¯y

> 0

для i ∈ I

и ¯x

= ¯y

= 0 для i ∈

k=j+1

. При этом выполняется условие:

min

i∈I

(¯y

/¯x

) = α

Теперь будем выбирать искомую пару (x

, y

) в виде (x

, y

) =

k=1

(¯x

, ¯y

) со специально подобранными β

, ..., β

. Пусть min

k=1,...,j

= α

Тогда выберем β

= 1 для k 6= l и β

таким большим, чтобы min

i∈

k=1

≥

− ε. Тогда пара (x

, y

) обладает требуемыми свойствами.

Случай j = m рассматривается аналогично с тем отличием, что некоторые

из используемых множеств оказываются пустыми. ♦