Конспект лекций и задачи. – Казань: Казан. ун-т, 2015. – 123 с.
В пособии излагаются основы теории групп и их представлений,
рассматриваются точечные группы симметрии, группа вращений,
пространственные группы и их неприводимые представления. Материал в
основном представлен в форме краткого конспекта; более подробно
изложены некоторые физические приложения теории групп. По каждому
разделу курса имеются задачи, которые либо дополняют и иллюстрируют
теоретическую часть, либо помогают овладеть стандартными приемами,
встречающимися в приложениях.
Пособие предназначено для студентов и аспирантов физических специальностей классических университетов, а также для всех интересующихся теорией симметрии (теорией групп) и ее физическими приложениями. Содержание
Введение
Основные понятия теории групп. Примеры групп
Определение группы
Групповые аксиомы. Коммутативные группы. Подгруппы. Конечные и непрерывные группы, смешанные группы. Порядок конечной группы
Компактные непрерывные группы
Примеры групп
Векторные пространства, общая линейная группа GL(n), унитарная группа U(n), унитарная унимодулярная группа SU(n), группа вращений O3+ , полная ортогональная группа О3, группа движений евклидова пространства, группа трансляций кристаллической решетки, симметрическая группа n-ой степени Рn (группа перестановок), точечные группы симметрии
Порождающие множества элементов
Циклические подгруппы, порядок элементов группы. Системы образующих группы и определяющие соотношения
Теорема Лагранжа
Смежные классы по подгруппе. Индекс подгруппы
Классы сопряженных элементов
Сопряженные вращения, перестановки; схемы Юнга
Инвариантные подгруппы. Гомоморфизмы групп
Сопряженные подгруппы. Фактор-группа. Изоморфизм и гомоморфизм групп. Ядро гомоморфизма. Основная теорема о гомоморфизме
Прямое произведение групп
Теорема Кэли
Таблица умножения конечной группы
Точечные группы симметрии
Элементы симметрии: оси, зеркально-поворотные оси, плоскости симметрии, центр симметрии. Двусторонние оси. Группы Cn, S2n, Cnh, Cnv, Dn, Dnh, Dnd, T, Td, O, Oh, Y, Yh, Th. Понятие об интернациональной системе обозначений
Некоторые дополнительные сведения
Полугруппы. Центр группы, нормализатор подмножества группы, р-группы, коммутатор элементов группы, коммутант группы, производный ряд группы
Совершенные, разрешимые группы. Нормальный ряд группы, транзитивные группы, свободные группы, полупрямые произведения, сплетения групп
Группы Ли. Понятие о классификации конечных групп
Задачи
Линейные представления групп
Определение представлений
Линейное представление, размерность представления. Представления точные, унитарные, эквивалентные, приводимые, неприводимые
Разложение приводимых унитарных представлений
Полная приводимость унитарных представлений. Унитарность представлений конечных групп
Лемма Шура и ее следствия
Первая и вторая леммы Шура. Соотношения ортогональности матричных
элементов неприводимых представлений
Характер представления
Характер элемента группы, характер представления. Соотношения ортогональности характеров НП. Критерий неприводимости
Регулярное представление конечной группы
Соотношения Бернсайда
Комплексно-сопряженные представления
Потенциально-вещественные, псевдовещественные представления
Прямое произведение представлений группы
Прямое произведение пространств, операторов, матриц, представлений
Тензорные представления
Представления прямого произведения групп
Метод Бете вычисления характеров НП конечных групп
Структурные коэффициенты группы
Другие методы вычисления характеров
Теорема Фробениуса
Фактическое разложение приводимого представления
Канонический базис, его неоднозначность. Операторы проектирования, поворотов
Элементы групповой алгебры
Матричные алгебры. Групповая алгебра. Коммутаторная алгебра. Идеалы алгебры. Производящие идемпотенты. Примитивные идемпотенты. Центр алгебры. Взаимосвязь групповой алгебры и коммутаторной алгебры произвольного представления группы
Задачи
Группа вращений
Одноосные вращения
Инфинитезимальные операторы представлений. Понятие о многозначных представлениях
Группа вращений в трехмерном пространстве
Пространство группы, углы Эйлера. Инвариантный интеграл
Неприводимые представления группы вращений
Инфинитезимальные операторы представлений, их свойства. Канонический базис. Вес представления. Характеры неприводимых представлений
Представления сферическими функциями. Двузначные представления
Гомоморфизм двумерной унитарной унимодулярной группы на группу вращений
Параметры Кэли-Клейна. Матрицы Паули
Произведения НП группы вращений (или SU(2)) и их разложение
Тензорные представления
Спиноры и спинорные представления
Ковариантные компоненты спинора. Симметричные спиноры
Матрицы неприводимых представлений группы вращений
Обобщенные сферические функции
Коэффициенты Клебша-Гордона
3j-символы и их свойства
Переход к комплексно-сопряженным представлениям 6j- и 9j-символы
Полная ортогональная группа в трех измерениях
Двузначные представления точечных групп
Двойные точечные группы
Группы Ли и алгебры Ли
Алгебры Ли, структурные константы. Представления алгебр Ли, теорема Адо
Связь между группами Ли и алгебрами Ли, экспоненциальное отображение алгебр Ли на группы Ли
Задачи
Некоторые физические приложения теории групп
Влияние симметрии на физические свойства кристаллов
Принцип Неймана. Тензорные инварианты. Тензор модулей упругости
Нормальные колебания симметричных молекул
Нормальные координаты, кратные частоты. Типы нормальных колебаний
Нормальные координаты октаэдрической молекулы XY6 и пирамидальной молекулы XY3
Классификация уровней энергии и стационарных состояний квантовомеханической системы по НП группы симметрии
Преобразование функции при преобразовании ее аргументов. Группа симметрии гамильтониана. Законы сохранения
Применение теории групп к вычислению матричных элементов
Неприводимые тензорные операторы. Приведенные матричные элементы
Коэффициенты Клебша-Гордона. Теорема Вигнера-Эккарта
Теория возмущений
Метод молекулярных орбиталей
Метод МО ЛКАО. Симметричные орбитали октаэдрической и пирамидальной молекул
Элементы теории кристаллического поля
Метод эквивалентных операторов
Задачи
Обращение времени
Антиунитарность оператора обращения времени
Оператор комплексного сопряжения. Нормальная форма антиунитарного оператора
Различные представления оператора обращения времени
Два класса физических величин по отношению к обращению времени
Определение копредставлений
Перестановочность оператора обращения времени с операторами пространственных преобразований. Типы неприводимых копредставлений
Теорема Крамерса
Правила отбора матричных элементов, связанные с обращением времени
Формализм спиновых гамильтонианов
Задачи
Пространственные группы и их представления
Определение пространственной группы
Винтовые вращения, скользящие отражения. Решетка Бравэ. Базисные векторы решетки, элементарная ячейка
Типы решеток Бравэ
Точечная группа симметрии решетки. Кристаллические сингонии
Однотипные решетки. Параллелепипед Бравэ. Подчинение систем
Кристаллические классы. Неэлементарные трансляции
Макроскопическая симметрия кристалла. Структура алмаза
Унитарные НП группы трансляций
Обратная решетка. Зоны Бриллюэна. Ячейка Вигнера-Зейтца
Теорема Блоха
Блоховские функции
Представления пространственных групп
Звезда представления. Неприводимость звезд неприводимых представлений
Группа волнового вектора. Малое представление. Построение представления с неприводимой звездой по малому представлению. Связь представлений пространственных групп с проективными представлениями точечных групп
Фактор-системы проективных представлений
Некоторые неприводимые представления группы O7h
Аппроксимация группы трансляций конечной группой
Периодические граничные условия. Критерий вещественности НП
Элементы теории проективных представлений р-эквивалентные представления и фактор-системы. Мультипликатор группы
Группа представлений группы
Магнитные и цветные группы
Задачи
Литература
Приложения:
Сферические гармоники порядков 1 – 6
Справочные данные по группе октаэдра и гексагональной группе
Элементы группы октаэдра
Таблица умножения поворотов группы октаэдра
Характеры НП группы октаэдра
Матрицы НП группы октаэдра
Матрицы НП Г4 группы октаэдра
Переход от тетрагональных к тригональным осям
Элементы группы D6h
Таблица умножения поворотов группы D
Характеры НП группы D
Матрицы НП группы D
Некоторые подгруппы групп Oh и D6h
Ответы и указания к решениям задач
Пособие предназначено для студентов и аспирантов физических специальностей классических университетов, а также для всех интересующихся теорией симметрии (теорией групп) и ее физическими приложениями. Содержание
Введение
Основные понятия теории групп. Примеры групп
Определение группы
Групповые аксиомы. Коммутативные группы. Подгруппы. Конечные и непрерывные группы, смешанные группы. Порядок конечной группы
Компактные непрерывные группы
Примеры групп
Векторные пространства, общая линейная группа GL(n), унитарная группа U(n), унитарная унимодулярная группа SU(n), группа вращений O3+ , полная ортогональная группа О3, группа движений евклидова пространства, группа трансляций кристаллической решетки, симметрическая группа n-ой степени Рn (группа перестановок), точечные группы симметрии
Порождающие множества элементов
Циклические подгруппы, порядок элементов группы. Системы образующих группы и определяющие соотношения
Теорема Лагранжа
Смежные классы по подгруппе. Индекс подгруппы
Классы сопряженных элементов
Сопряженные вращения, перестановки; схемы Юнга
Инвариантные подгруппы. Гомоморфизмы групп
Сопряженные подгруппы. Фактор-группа. Изоморфизм и гомоморфизм групп. Ядро гомоморфизма. Основная теорема о гомоморфизме
Прямое произведение групп
Теорема Кэли
Таблица умножения конечной группы
Точечные группы симметрии
Элементы симметрии: оси, зеркально-поворотные оси, плоскости симметрии, центр симметрии. Двусторонние оси. Группы Cn, S2n, Cnh, Cnv, Dn, Dnh, Dnd, T, Td, O, Oh, Y, Yh, Th. Понятие об интернациональной системе обозначений
Некоторые дополнительные сведения
Полугруппы. Центр группы, нормализатор подмножества группы, р-группы, коммутатор элементов группы, коммутант группы, производный ряд группы
Совершенные, разрешимые группы. Нормальный ряд группы, транзитивные группы, свободные группы, полупрямые произведения, сплетения групп
Группы Ли. Понятие о классификации конечных групп
Задачи
Линейные представления групп
Определение представлений
Линейное представление, размерность представления. Представления точные, унитарные, эквивалентные, приводимые, неприводимые
Разложение приводимых унитарных представлений
Полная приводимость унитарных представлений. Унитарность представлений конечных групп
Лемма Шура и ее следствия
Первая и вторая леммы Шура. Соотношения ортогональности матричных
элементов неприводимых представлений
Характер представления
Характер элемента группы, характер представления. Соотношения ортогональности характеров НП. Критерий неприводимости
Регулярное представление конечной группы
Соотношения Бернсайда
Комплексно-сопряженные представления
Потенциально-вещественные, псевдовещественные представления
Прямое произведение представлений группы
Прямое произведение пространств, операторов, матриц, представлений
Тензорные представления
Представления прямого произведения групп
Метод Бете вычисления характеров НП конечных групп
Структурные коэффициенты группы
Другие методы вычисления характеров
Теорема Фробениуса
Фактическое разложение приводимого представления
Канонический базис, его неоднозначность. Операторы проектирования, поворотов
Элементы групповой алгебры
Матричные алгебры. Групповая алгебра. Коммутаторная алгебра. Идеалы алгебры. Производящие идемпотенты. Примитивные идемпотенты. Центр алгебры. Взаимосвязь групповой алгебры и коммутаторной алгебры произвольного представления группы
Задачи
Группа вращений
Одноосные вращения
Инфинитезимальные операторы представлений. Понятие о многозначных представлениях
Группа вращений в трехмерном пространстве
Пространство группы, углы Эйлера. Инвариантный интеграл
Неприводимые представления группы вращений
Инфинитезимальные операторы представлений, их свойства. Канонический базис. Вес представления. Характеры неприводимых представлений
Представления сферическими функциями. Двузначные представления
Гомоморфизм двумерной унитарной унимодулярной группы на группу вращений
Параметры Кэли-Клейна. Матрицы Паули
Произведения НП группы вращений (или SU(2)) и их разложение
Тензорные представления
Спиноры и спинорные представления
Ковариантные компоненты спинора. Симметричные спиноры
Матрицы неприводимых представлений группы вращений
Обобщенные сферические функции
Коэффициенты Клебша-Гордона
3j-символы и их свойства
Переход к комплексно-сопряженным представлениям 6j- и 9j-символы
Полная ортогональная группа в трех измерениях
Двузначные представления точечных групп
Двойные точечные группы
Группы Ли и алгебры Ли
Алгебры Ли, структурные константы. Представления алгебр Ли, теорема Адо
Связь между группами Ли и алгебрами Ли, экспоненциальное отображение алгебр Ли на группы Ли
Задачи
Некоторые физические приложения теории групп
Влияние симметрии на физические свойства кристаллов
Принцип Неймана. Тензорные инварианты. Тензор модулей упругости
Нормальные колебания симметричных молекул
Нормальные координаты, кратные частоты. Типы нормальных колебаний
Нормальные координаты октаэдрической молекулы XY6 и пирамидальной молекулы XY3
Классификация уровней энергии и стационарных состояний квантовомеханической системы по НП группы симметрии
Преобразование функции при преобразовании ее аргументов. Группа симметрии гамильтониана. Законы сохранения
Применение теории групп к вычислению матричных элементов
Неприводимые тензорные операторы. Приведенные матричные элементы
Коэффициенты Клебша-Гордона. Теорема Вигнера-Эккарта
Теория возмущений
Метод молекулярных орбиталей
Метод МО ЛКАО. Симметричные орбитали октаэдрической и пирамидальной молекул
Элементы теории кристаллического поля
Метод эквивалентных операторов
Задачи
Обращение времени
Антиунитарность оператора обращения времени
Оператор комплексного сопряжения. Нормальная форма антиунитарного оператора
Различные представления оператора обращения времени
Два класса физических величин по отношению к обращению времени
Определение копредставлений
Перестановочность оператора обращения времени с операторами пространственных преобразований. Типы неприводимых копредставлений
Теорема Крамерса
Правила отбора матричных элементов, связанные с обращением времени
Формализм спиновых гамильтонианов
Задачи
Пространственные группы и их представления
Определение пространственной группы
Винтовые вращения, скользящие отражения. Решетка Бравэ. Базисные векторы решетки, элементарная ячейка
Типы решеток Бравэ
Точечная группа симметрии решетки. Кристаллические сингонии
Однотипные решетки. Параллелепипед Бравэ. Подчинение систем
Кристаллические классы. Неэлементарные трансляции
Макроскопическая симметрия кристалла. Структура алмаза
Унитарные НП группы трансляций
Обратная решетка. Зоны Бриллюэна. Ячейка Вигнера-Зейтца
Теорема Блоха
Блоховские функции
Представления пространственных групп
Звезда представления. Неприводимость звезд неприводимых представлений
Группа волнового вектора. Малое представление. Построение представления с неприводимой звездой по малому представлению. Связь представлений пространственных групп с проективными представлениями точечных групп
Фактор-системы проективных представлений
Некоторые неприводимые представления группы O7h
Аппроксимация группы трансляций конечной группой
Периодические граничные условия. Критерий вещественности НП
Элементы теории проективных представлений р-эквивалентные представления и фактор-системы. Мультипликатор группы
Группа представлений группы
Магнитные и цветные группы
Задачи
Литература
Приложения:
Сферические гармоники порядков 1 – 6
Справочные данные по группе октаэдра и гексагональной группе
Элементы группы октаэдра
Таблица умножения поворотов группы октаэдра
Характеры НП группы октаэдра
Матрицы НП группы октаэдра
Матрицы НП Г4 группы октаэдра
Переход от тетрагональных к тригональным осям
Элементы группы D6h
Таблица умножения поворотов группы D
Характеры НП группы D
Матрицы НП группы D
Некоторые подгруппы групп Oh и D6h
Ответы и указания к решениям задач