Настоящее пособие знакомит читателей с экономическими моделями,
полученными на основе применения классического вариационного
исчисления и теории оптимального управления, а также с рядом
смежных вопросов моделирования в экономике. Автор стремился ввести
читателя в круг рассматриваемых вопросов постепенно, избегая
сложных математических выкладок, но сохраняя достаточный уровень
строгости, приводя как можно больше содержательных примеров
моделирования экономических процессов: из области микро и
макроэкономики, теории экономического роста, производства и
потребления, управления запасами, защиты окружающей среды,
страхования и инвестиций в условиях риска. В конце подавляющего
большинства разделов добавлены вопросы для самоконтроля, задачи и
упражнения. Материалы книги апробированы при чтении спецкурсов в
Воронежском государственном университете, Воронежском
государственном аграрном университете и Институте менеджмента,
маркетинга и финансов (г. Воронеж) в 1995-2002 гг. Материал пособия
может быть использован для чтения раздела «математические методы и
модели в экономике» в общем курсе математики для экономистов
различных специальностей, полностью накрывает содержание
федеральной компоненты СД7 «оптимальное управление» для студентов
специальности «математические методы в экономике».
С о д е р ж а н и е
Предисловие.
Глава
1. Статическая оптимизация без ограничений безусловный экстремум
1.1. Теорема о существовании глобального максимума.
1.2. Доход и досуг.
1.3. Модель управления запасами при детерминированном стационарном
Спросе .
1.4. Максимизация прибыли фирмы.
Глава
2. Статистическая оптимизация при наличии ограничений
2.1. метод множителей лагранжа.
2.2. Функция полезности и ее максимизация.
2.3. Функции спроса.
2.4. Компенсаторная функция спроса.
2.5. Клейна-рубина функция полезности.
2.6. Пример из теории фирмы.
2.7. Максимизация выпуска при фиксированной себестоимости.
2.8. Минимизация стоимости продукции при фиксированном выпуске.
2.9. Максимизация валового дохода при выпуске двух продуктов.
2.10. Экономика благосостояния. Оптимальность по парето для потребления.
2.11. Оптимальность по парето для производства.
2.12. Задача управления многономенклатурными запасами при
ограничении на емкость склада.
глава
3. Предмет динамической оптимизации .
3.1. Характерные черты задач динамической оптимизации .
3.2. Переменные граничные значения и условия трансверсальности.
3.3. Целевой функционал. Примеры.
3.4. Три подхода к решению задач динамической оптимизации: .
а) вариационное исчисление .
б) теория оптимального управления .
в) динамическое программирование. .
глава
4. Основные задачи вариационного исчисления.
4.1. Уравнение эйлера (вывод, некоторые специальные случаи, примеры) .
4.2. Два обобщения уравнения эйлера (случай нескольких переменных Состояния, случай производных более высокого порядка).
4.3. Динамическая оптимизация для монополистической фирмы.
4.4. Компромисс между инфляцией и безработицей.
глава
5. Условия трансверсальности .
5.1. Динамическая модель ценообразования монополистической фирмы
в условиях государственного регулирования.
5.2 условия второго порядка. Необходимые условия лежандра.
глава
6. Задача оптимизации на бесконечном промежутке времени
(задача с бесконечным горизонтом).
6.1. Модели оптимальных инвестиций фирмы.
6.2. Эйснера - стротза модель планирования оптимальных размеров
фирмы.
6.3. Метод анализа фазовой диаграммы.
6.4. Об оптимальном соотношении между потреблением и накоплением. . глава
7. Задачи с ограничениями .
7.1. Изопериметрическая задача.
7.2. Некоторые модели экономики истощимых ресурсов.
7.3. О функционировании предприятий при максимизации менеджерами собственного совокупного дохода
глава
8. Теория оптимального управления.
8.1. Принцип максимума понтрягина.
8.2. Экономическая интерпретация принципа максимума.
8.3. Об использовании истощимых ресурсов и защите окружающей
среды .
8.4. Случай нескольких переменных состояния и переменных
управления.
8.5. Условия трансверсальности и задача о защите окружающей
среды.
8.6. Проблема управления.
8.7. Оптимизация на бесконечном промежутке времени.
8.8. Неоклассическая теория оптимального роста.
8.9 стабилизация экономического роста в экономической системе с неустойчивой точкой равновесия
8.10. Технологический прогресс и производственная функция.
глава
9. Задачи оптимального управления при наличии ограничений.
9.1. а) ограничения включающие переменные управления. .
б) ограничения в виде неравенств. Динамика фирмы максимизирующей общую выручку.
9.2. Ограничения на переменные состояния.
а) задача управления запасами.
б) накопление капитала при финансовых ограничениях.
глава
10. Принятие решений в условиях неопределенности.
9.1. Страхование нежелательных событий.
9.2. Задача размещения капитала в условиях риска.
глава
11. Динамическое программирование .
10.1. Модель поиска работы.
10.2. Накопление в условиях неопределенности.
С о д е р ж а н и е
Предисловие.
Глава
1. Статическая оптимизация без ограничений безусловный экстремум
1.1. Теорема о существовании глобального максимума.
1.2. Доход и досуг.
1.3. Модель управления запасами при детерминированном стационарном
Спросе .
1.4. Максимизация прибыли фирмы.
Глава
2. Статистическая оптимизация при наличии ограничений
2.1. метод множителей лагранжа.
2.2. Функция полезности и ее максимизация.
2.3. Функции спроса.
2.4. Компенсаторная функция спроса.
2.5. Клейна-рубина функция полезности.
2.6. Пример из теории фирмы.
2.7. Максимизация выпуска при фиксированной себестоимости.
2.8. Минимизация стоимости продукции при фиксированном выпуске.
2.9. Максимизация валового дохода при выпуске двух продуктов.
2.10. Экономика благосостояния. Оптимальность по парето для потребления.
2.11. Оптимальность по парето для производства.
2.12. Задача управления многономенклатурными запасами при
ограничении на емкость склада.
глава
3. Предмет динамической оптимизации .
3.1. Характерные черты задач динамической оптимизации .
3.2. Переменные граничные значения и условия трансверсальности.
3.3. Целевой функционал. Примеры.
3.4. Три подхода к решению задач динамической оптимизации: .
а) вариационное исчисление .
б) теория оптимального управления .
в) динамическое программирование. .
глава
4. Основные задачи вариационного исчисления.
4.1. Уравнение эйлера (вывод, некоторые специальные случаи, примеры) .
4.2. Два обобщения уравнения эйлера (случай нескольких переменных Состояния, случай производных более высокого порядка).
4.3. Динамическая оптимизация для монополистической фирмы.
4.4. Компромисс между инфляцией и безработицей.
глава
5. Условия трансверсальности .
5.1. Динамическая модель ценообразования монополистической фирмы
в условиях государственного регулирования.
5.2 условия второго порядка. Необходимые условия лежандра.
глава
6. Задача оптимизации на бесконечном промежутке времени
(задача с бесконечным горизонтом).
6.1. Модели оптимальных инвестиций фирмы.
6.2. Эйснера - стротза модель планирования оптимальных размеров
фирмы.
6.3. Метод анализа фазовой диаграммы.
6.4. Об оптимальном соотношении между потреблением и накоплением. . глава
7. Задачи с ограничениями .
7.1. Изопериметрическая задача.
7.2. Некоторые модели экономики истощимых ресурсов.
7.3. О функционировании предприятий при максимизации менеджерами собственного совокупного дохода
глава
8. Теория оптимального управления.
8.1. Принцип максимума понтрягина.
8.2. Экономическая интерпретация принципа максимума.
8.3. Об использовании истощимых ресурсов и защите окружающей
среды .
8.4. Случай нескольких переменных состояния и переменных
управления.
8.5. Условия трансверсальности и задача о защите окружающей
среды.
8.6. Проблема управления.
8.7. Оптимизация на бесконечном промежутке времени.
8.8. Неоклассическая теория оптимального роста.
8.9 стабилизация экономического роста в экономической системе с неустойчивой точкой равновесия
8.10. Технологический прогресс и производственная функция.
глава
9. Задачи оптимального управления при наличии ограничений.
9.1. а) ограничения включающие переменные управления. .
б) ограничения в виде неравенств. Динамика фирмы максимизирующей общую выручку.
9.2. Ограничения на переменные состояния.
а) задача управления запасами.
б) накопление капитала при финансовых ограничениях.
глава
10. Принятие решений в условиях неопределенности.
9.1. Страхование нежелательных событий.
9.2. Задача размещения капитала в условиях риска.
глава
11. Динамическое программирование .
10.1. Модель поиска работы.
10.2. Накопление в условиях неопределенности.