Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник

Подождите немного. Документ загружается.

РЕШЕБНИК

О.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А. Сальникова

ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ

2001

УДК 51

ББК 22.1

3 62

Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т. А. Высшая ма-

тематика. — 2-е изд., испр. — М.: Физико-математическая литература,

2001.

- 368 с. (Решебник.) - ISBN 5-9221-0126-9.

Книга содержит примеры решения почти всех типовых задач по высшей

математике. Каждой задаче отведен отдельный раздел, содержащий обшую

постановку задачи, план ее решения с необходимыми теоретическими пояс-

нениями и решение конкретного примера. Кроме того, в раздел включены

десять задач для самостоятельного решения и ответы к ним.

Для студентов и преподавателей технических, экономических и сель-

скохозяйственных вузов; может быть использована как при очной, так и

при дистанционной формах обучения.

Ил.

Первое издание — 2000 г.

(с) О.В. Зимина, А.И. Кириллов,

ISBN 5-9221-0126-9 Т.А. Сальникова, 2000, 2001

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ 7

Глава!. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 11

1.1. Разложение вектора по базису 11

1.2. Коллинеарность векторов 13

1.3. Угол между векторами 14

1.4. Площадь параллелограмма 15

1.5. Компланарность векторов 17

1.6. Объем и высота тетраэдра 18

1.7. Расстояние от точки до плоскости 21

1.8. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором .... 23

1.9. Угол между плоскостями 24

1.10. Канонические уравнения прямой 25

1.11. Точка пересечения прямой и плоскости 28

1.12. Проекция точки на плоскость или прямую 31

1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости 33

Глава2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 36

2.1.

Правило Крамера 36

2.2.

Обратная матрица 39

2.3.

Понятие линейного пространства 41

2.4. Системы линейных уравнений 44

2.5.

Линейные операторы 53

2.6.

Матрица, образ, ядро, ранг и дефект оператора 55

2.7.

Действия с операторами и их матрицами 59

2.8.

Преобразование координат вектора 62

2.9.

Преобразование матрицы оператора 65

2.10. Собственные значения и собственные векторы 68

ГлаваЗ. ПРЕДЕЛЫ 71

3.1.

Понятие предела последовательности 71

3.2. Вычисление limn-^oo[i\(^)/Qm(n)] 73

3.3.

Вычисление limn->oo[/(^)/p('^)] 75

3.4. Вычисление Итп^оо[и{пУ^'^^] 77

3.5.

Понятие предела функции 79

3.6. Понятие непрерывности функции в точке 82

3.7. Вычисление limx-^a[Pn{x)/Qm{x)] 84

Оглавление

3.8.

Вычисление \imx-^o[f (х)/д{х)] 86

3.9. Вычисление \imx^a[f{x)/g{x)] 88

3.10. Вычисление \imx-^o[u{xy^''^^ 89

3.11.

Вычисление \imx-^a[u{xy^''^^ 92

3.12. Вычисление limx->.ai^(w(a;)i'(a:) +/(ж)) 94

Глава4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 97

4.1.

Понятие производной 97

4.2.

Вычисление производных 99

4.3.

Уравнение касательной и нормали 102

4.4.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала .... 103

4.5.

Логарифмическое дифференцирование 104

4.6.

Производная функции, заданной параметрически 106

4.7.

Касательная и нормаль к кривой, заданной параметрически . 108

4.8.

Производные высших порядков 110

4.9.

Формула Лейбница 112

4.10. Вторая производная функции, заданной параметрически ... 114

Главаб. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ 117

5.1.

Общая схема построения графика функции 117

5.2. Наибольшее и наименьшее значения функции 124

5.3.

Исследование функции с помощью производных высших по-

рядков 126

Главаб. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ... 129

6.1.

Частные производные 129

6.2. Градиент 131

6.3.

Производная по направлению 133

6.4. Производные сложной функции 135

6.5.

Производная неявной функции 138

6.6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 140

6.7. Экстремум функции двух переменных 142

Глав а 7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 146

7.1.

Интегрирование подведением под знак дифференциала .... 146

7.2. Интегрирование по частям 148

7.3.

Интегрирование рациональных функций с простыми вещест-

венными корнями знаменателя 150

7.4. Интегрирование рациональных функций с кратными вещест-

венными корнями знаменателя 153

7.5.

Интегрирование рациональных функций с простыми комп-

лексными корнями знаменателя 157

7.6. Интегрирование выражений Я(8Шж, cos х) 161

7.7. Интегрирование выражений sin^*^

cos^'^

165

Оглавление

7.8.

Интегрирование выражений Д(ж,

f/^f^,

f/~^,

...)...

167

7.9. Интегрирование выражений R{x, yjo?

ж^) и Я(ж, \/х2

—

а^) 169

7.10. Интегрирование дифференциального бинома 172

Глав а 8. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 175

8.1.

Подведение под знак дифференциала 175

8.2. Интегрирование по частям 177

8.3.

Интегрирование выражений il(sin

ж,

cos

ж)

179

8.4. Интегрирование выражений sin^"^

cos^"

183

8.5. Интегрирование выражений К{х, \1 ^^, l/^^'

...)...

185

%.Q. Интегрирование выражений R{x, Va?T^) и R{x, Vx^ - а2) 188

8.7. Вычисление площадей в декартовых координатах 190

8.8. Вычисление длин дуг у = f{x) 192

8.9. Вычисление длин дуг х = х{1), у = y{t) 194

8.10. Вычисление длин дуг

= д{(р) 196

8.11.

Вычисление объемов по площадям поперечных сечений . . . 197

8.12. Вычисление объемов тел вращения 199

Глав а 9. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 202

9.1.

Криволинейные интегралы первого рода 202

9.2. Криволинейные интегралы второго рода 207

Глава 10. РЯДЫ 211

10.1.

Понятие суммы ряда 211

10.2.

Первая теорема сравнения 214

10.3.

Вторая теорема сравнения 217

10.4.

Признак Даламбера • 219

10.5.

Признак Коши .222

10.6.

Интегральный признак Коши 225

10.7.

Признак Лейбница 227

10.8.

Приближенное вычисление суммы ряда 229

10.9.

Область сходимости функционального ряда 231

10.10.

Область сходимости степенного ряда 234

10.11.

Вычисление суммы ряда почленным интегрированием .... 237

10.12.

Вычисление суммы ряда почленным дифференцированием . 241

10.13.

Ряд Тейлора 245

10.14.

Приближенные вычисления с помощью рядов 247

Г лав а

11.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 251

11.1.

Понятие решения 251

11.2.

Уравнения с разделяющимися переменными 252

11.3.

Однородные уравнения 255

11.4.

Линейные уравнения 1-го порядка 257

Оглавление

11.5.

Уравнение Бернулли 262

11.6.

Уравнения в полных дифференциалах 265

11.7.

Уравнения вида F(x,y(^\2/(''+^)) =

269

11.8.

Уравнения вида F(у,у',2/") =

271

11.9.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами .... 274

11.10.

Принцип суперпозиции 278

11.11.

Метод Лагранжа 281

Г лав а 12. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 285

12.1.

Изменение порядка интегрирования 285

12.2.

Двойной интеграл в декартовых координатах 289

12.3.

Двойной интеграл в полярных координатах 292

12.4.

Интеграл в обобщенных полярных координатах 297

12.5.

Вычисление объемов с помощью двойного интеграла .... 301

12.6.

Вычисление площадей в декартовых координатах 304

12.7.

Вычисление площадей в полярных координатах: 307

12.8.

Вычисление массы плоской пластины 310

12.9.

Тройной интеграл в декартовых координатах 315

12.10.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах 318

12.11.

Тройной интеграл в сферических координатах 321

12.12.

Вычисление объемов с помощью тройного интеграла .... 325

12.13.

Вычисление массы тела 328

Г лав а

13.

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 333

13.1.

Поверхностный интеграл первого рода 333

13.2.

Интеграл по цилиндрической поверхности 336

13.3.

Интеграл по сферической поверхности 339

Глава14. ТЕОРИЯ ПОЛЯ 342

14.1.

Векторные линии 342

14.2.

Поток векторного поля 344

14.3.

Поток векторного поля через часть цилиндра 348

14.4.

Поток векторного поля через часть сферы 351

14.5.

Вычисление потока по формуле Остроградского 355

14.6.

Работа силы 357

14.7.

Циркуляция векторного поля 359

14.8.

Вычисление циркуляции по формуле Стокса 361

ПРЕДИСЛОВИЕ

В толковом словаре русского языка под редакцией профессора

Д.Н. Уп1акова сказано, что решебник — это учебное пособие, содер-

жащее подробные решения задач, помещенных в каком-нибудь задач-

нике, ключ к задачнику. РЕШЕБНИК "Высшая математика" — ключ

сразу к нескольким основным задачникам, используемым при изуче-

ния математики, среди которых в первую очередь следует упомянуть

изданный в сотнях тысяч экземпляров "Сборник заданий по высшей

математике (типовые расчеты)" Л. А. Кузнецова. В дополнение к

этой книге распространяется пакет программ РЕШЕБНИК.ВМ, ко-

торый помогает решать задачи, выполняя по указанию учащихся все-

возможные математические действия.

Чтобы приобрести устойчивый навык решения задач одного типа,

нужно решить три-пять таких задач. Однако, решение объективно

необходимого количества задач не предусмотрено действующими

учебными планами по двум причинам.

Во-первых, даже без повторений стандартный объем обязатель-

ных домашних заданий превосходит все разумные пределы.

Во-вторых, в имеющихся задачниках собраны разнообразные за-

дачи, среди которых редко встречается несколько задач в точности

одного и того же типа.

Выходит, что студенты должны все понять решив одну-две за-

дачи. При этом их внимание отвлекается от сути дела на второсте-

пенные или уже пройденные вопросы, а также на выполнение различ-

ных преобразований и расчетов.

Более того, чтобы научиться решать задачи, нужно самостоя-

тельно выполнять все действия, все "потрогать руками". Но сту-

денты не могут сами выполнить все действия, поскольку на выполне-

ние всех действий вручную требуется слишком много времени. Сту-

денты не могут все "потрогать руками", поскольку чтобы познако-

миться со всеми математическими действиями и ситуациями, нужно

решить столько задач, на решение которых у студентов нет времени.

По этим причинам студенты, как правило, не решают задачи пол-

ностью и, следовательно, не до конца уясняют себе их суть. Напри-

8 Предисловие

мер,

у студентов часто нет времени на графическое представление

ответов задач и их анализ, а также на анализ и проверку промежу-

точных результатов. Некоторые важные и интересные задачи имеют

столь громоздкие решения, что преподаватели не могут предложить

их студентам.

В результате у студентов остаются более или менее обширные

пробелы в знани^ях.

Комплекс РЕШЕБНИК "Высшая математика" предназначен для

того,

чтобы устранить эти проблемы современного математического

образования. Он — первый опыт создания учебного пособия нового

типа, с которым возможно разнообразное обш,ение: от пассивного

чтения до внесения в него изменений и получения ответов на вопросы.

Такое пособие в процессе работы адаптируется к потребностям уча-

пцегося и помогает ему применять на практике полученные из пособия

знания.

Комплекс РЕШЕБНИК "Высшая математика" поможет студен-

там учиться по-новому, т.е. без ленужных трудностей и потерь вре-

мени, оптимальным образом организуя взаимодействие человека и

компьютера, при котором дело человека — правильно ставить за-

дачи, а дело компьютера — быстро и правильно их решать.

Комплекс РЕШЕБНИК "Высшая математика" состоит из книги

РЕШЕБНИК "Высшая математика" и пакета компьютерных про-

грамм РЕШЕБНИК.ВМ.

Книга РЕШЕБНИК "Высшая математика" содержит примеры ре-

шения почти всех типовых задач из таких разделов высшей матема-

тики, как аналитическая геометрия, линейная алгебра, пределы, диф-

ференцирование, графики, функции нескольких переменных, неопре-

деленные, определенные и криволинейные интегралы, ряды, обыкно-

венные дифференциальные уравнения, кратные и поверхностные ин-

тегралы, векторный анализ.

Каждой задаче отведен отдельный раздел книги, содержащий об-

ш;ую постановку задачи, план ее решения с необходимыми теорети-

ческими пояснениями и решение конкретного примера. Кроме того,

в раздел включены задачи того же типа и ответы к ним. Препода-

ватели могут предложить часть из них на аудиторных практических

занятиях, другие — в виде домашних заданий, остальные использо-

вать в контрольных работах, на коллоквиумах, зачетах и экзаменах.

Чтобы научиться решать задачи того или иного типа, рекоменду-

ется сначала изучить план решения (алгоритм) в обш;ем виде, затем

Предисловие 9

рассмотреть пример реализации плана в конкретном случае и затем

по аналогии с ним решить несколько задач из числа предлагаемых

для самостоятельного решения.

Пакет РЕШЕБНИК.ВМ состоит из документов MS Word и специ-

альных компьютерных программ.

Документы MS Word в основном идентичны тем, которые вклю-

чены в книгу.

Программы пакета обеспечивают связь (интерфейс) MS Word с

системой символьной математики DERIVE фирмы Soft Warehouse

Inc.

Благодаря этой связи любое математическое выражение из доку-

мента MS Word может быть передано в DERIVE для преобразований,

результат которых затем вставляется в документ MS Word.

В пакете РЕШЕБНИК.ВМ материалы книги РЕШЕБНИК "Выс-

шая математика" становятся интерактивными шаблонами для доку-

ментов студентов и преподавателей. Например, если студенту нужно

решить какую-нибудь задачу, то он может:

1) найти задачу данного типа;

2) изучить план ее решения;

3) изучить пример;

4) изменить исходные данные и выполнить надлежаш;ие действия

с ними;

5) сохранить содержание окна в каком-нибудь файле;

6) передать файл преподавателю непосредственно или предвари-

тельно распечатав его.

Естественно, возникает вопрос: если пакет РЕШЕБНИК.ВМ вы-

полняет математические действия за учаш;ихся, то как же они смогут

научиться выполнять эти действия самостоятельно? Ответ таков:

пакет Решебник ВМ выполняет за учаш;ихся не те математические

действия, которые они изучают в данный момент, а те, которые они

уже изучили раньше. Так экономится время, внимание концентриру-

ется на сути изучаемого метода и математика становится прош;е j\jm

понимания и интересней.

Заметим, что при использовании пакета РЕШЕБНИК.ВМ высво-

бождается свыше 60% учебного времени. Это время целесообразно

уделить решению нескольких задач одного и того же типа, анализу

и обсуждению результатов, а также изучению новых тем и разделов

математики, включение которых в программу ранее не представля-

лось возможным.