Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник

Подождите немного. Документ загружается.

Гл.

1. Аналитическая геометрия

Вычисляем смешанное произведение:

{AiA2,AiA3,AiA4)

-2

-7

= 2 • 42 + 2 • 70 + (-3) • (-28) = 308

и находим объем тетраэдра по формуле (1)

1 3

Ут = 7

^^^ (ед.длины) .

Вычисляем координаты векторного произведения:

[AiA2,AiA3] =

г j к

2 -2 -3

4 0 6

= -12?- 24J+ 8^ = {-12, -24,8}

и его модуль

[AU2,AiA3] = ^(-12)2 +

(-24)2

+ 82

Находим высоту h по формуле (3):

28.

. 1(^1^2,^1

Аз,

^1^4)1 308 ,^

—

—— — ,,—— = —— =

ед.длины.

\[А^А^,АгАз]\ 28

Ответ. Vr, = -— (ед.длины) , h = 11 ед.длины.

Условия ЗАДАЧ. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в

точках Ai, А2, A3, А4 и его высоту^ опущенную из вершины А^ на

грань А1А2А3.

Ai(2,4,7),

Ai(-2,4,8),

Ai(6,l,3),

>i2(3,3,2),

^2(4,-1,2),

^2(6,-2,-3),

Ai(0,-1,2), Л2(-3,3,-4),

Ai(0,-4,3), Л2(-5,1,-2),

6. Ai(2,l,l), ^2(0,5,7),

7. Ai(4,l,-1), ^2(1,4,-1),

8. Ai(5,2,l), ^2(4,5,4),

9. Ai(0,2,-2), Л2(1,9,3),

10.

Ai(12,2,3), A2(-7,-5,0),

^3(0,1,2),

Аз(-8,7,10),

^з(2,2,0),

Аз(-9,-5,0),

^з(4,7,-2),

Лз(3,-3,-7),

^з(0,1,3),

Аз(8,3,-3),

Лз(6,-6,-2),

А4(-3,7,-2).

А4(-3,4,-2).

Л4(-5,1,0).

Л4(-8,-5,4).

А4(-9,7,8).

Л4(1,8,5).

А4(-2,0,0).

А4(-7,12,-4).

^4(3,-2,8).

Аз(-4,-8,-5), А4(-4,0,-3).

1.7. Расстояние от точки до плоскости 21

Ответы.

l.V = 70/3, h = 2ч/14. 2. У = 56/3, /i = 4.

У = 43/2, h = 43\/Т05/105. 4. У = 80/3, h = i.

b.V = 190, h = 2v^. 6. У = 15, h = SVE.

У = 12, /i = 2i/3. 8. У =

140/3,

/i = 4i/l4.

9. У =

250/3,

/г = 5\/2. 10. У =

338/3,

/i = V^.

1.7- Расстояние от точки до плоскости

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти расстояние от точки

Мо(жо,

VO^ZQ)

до плоскости, проходящей через точки Mi(a:i,2/i,zi), М2{х2,У2у^2) и

Мз(а;з,2/з,^з)-

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Искомое расстояние можно найти как высоту

тетраэдра с верпганами Мо(а;о,2/о,^о), Mi{xi,yi,zi), М2(х2,2/2,^2) и

Мз(жз,2/з?^з)? опущенную из вершины

Мо(а;о,

VO^ZQ)

на грань М1М2М3

(см.

задачу 1.6). Другое решение заключается в следующем.

Расстояние d от точки Мо{хо,уо,го) до плоскости равно длине

проекции вектора

MIMQ

на нормальный вектор плоскости п, т.е.

(n,MiMo)|

d =

nP^MiMol = '^ ' .' "^' . (1)

\n\

Поскольку нормальный вектор плоскости n ортогонален векторам

М1М2 и М1М3, его можно найти как их векторное произведение:

п = [MiM2,MiM3].

Находим координаты векторов:

М1М2 = {x2-xi,y2-yi,Z2-zi}, МгМг = {x3-xi,ys-yi,Z3-zi},

Ml Mo = {хо -xi.yo -2/1,2:0 - zi},

и нормального вектора плоскости:

п = [MiM2,MiM3] =

j к

Х2 -XI 2/2 - 2/1 ^2 - Zi

хз -XI 2/3 - 2/1 ^3 - 2^1

Вычисляем расстояние d от точки Мо(жо,2/05^о) ДО плоскости

по формуле (1).

ПРИМЕР. Найти расстояние от точки Мо(1,-1,2) до плоскости,

проходящей через точки Mi(l,5, —7), М2(—3,6,3), Мз(—2,7,3).

Гл.

Аналитическая геометрия

РЕШЕНИЕ.

Находим координаты векторов:

MiM2 = {-4,l,10}, MiM3 = {-3,2,10}, MiMo =

{0,-6,9},

и нормального вектора плоскости:

п = [М1М2, MiMs] =

г j к

-4 1 10

-3 2 10

= -lOi + lOj -Бк.

Вычисляем расстояние d от точки MQ ДО ПЛОСКОСТИ ПО фор-

муле (1):

d:=|nP^MiMo| =

|(n,MiMo)| -105

V(-10)2 + 102 -f (-5)2

= 7.

Ответ, d = 7 ед. длины.

Условия ЗАДАЧ. Найти расстояние от точки

до плоскости,

проходящей через точки Mi, М2 и М^.

Mi(0,7,-4), М2(4,8,-1), Мз(-2,1,3), Мо(-9,10,2).

Mi(5,8,3), М2(10,5,6), Мз(8,7,4), Мо(7,0,1).

Ма(1,3,5), М2(-5,5,2), Мз(7,-1,8), Мо(-3,4,3).

Mi(0,-2,-l), М2(-3,-1,2), Мз(1,0,-2), Мо(-3,3,1).

Ml(2,3,1), М2(2,0,3), Мз(1,2,0), Мо(3,0,5).

М2(4,5,2), Мз(5,1,4), Мо(-2,-6,2).

М2(4,3,0), Мз(1,2,9), Мо(6,1,-6).

М2(0,5,-3), Мз(-4,2,-1), Мо(-4,9,-8).

М2(0,-1,-3), Мз(4,0,0), Мо(-1,4,6).

М2(-3,2,3), Мз(3,0,6), Мо(-2,5,-4).

6. Mi(4,3,5),

Ml(4,5,0),

8. Mi(5,12,l),

9. Mi(0,3,5),

10.

Mi(l,-2,2),

Ответы. l.d = 459/\/2265. 2. d = 5л/2. 3.d = 0. 4. d =

9/у/Ш.

5. d = N/38/38. 6. d = 5/v/29. 7. d = 2^6. 8. d = 7. 9. d = 5/9.

10.

d = 45^194/97.

1.8. Уравнение плоскости с данным

нормальным

вектором 23

1.8. Уравнение плоскости

с данным нормальным вектором

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Написать уравнение плоскости, проходя-

щей через точку Mo{xo,yo,zo) перпендикулярно вектору М1М2, где

точки Ml и М2 имеют координаты {xi^yi^zi) и (х2,2/2,^2)•

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Уравнение плоскости, проходящей через точку

^о(^О)

2/05

ZQ)

перпендикулярно вектору п = {А, Б,

С},

имеет вид

А{х - хо) + В{у - уо) + C{z - го) = 0. (1)

В качестве нормального вектора плоскости п выбираем вектор

М1М2 = {Х2 ~Х1,У2 ~yi,Z2 - Zi}.

Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным вектором

М1М2,

проходящей через точку Мо(а:о,2/о,2;о):

(Х2 - Xi){x - Хо) + (2/2 - yi){y - Уо) + {Z2 - Zi){z - Zo) = 0.

ПРИМЕР. Написать уравнение плоскости, проходящей через точ-

ку Мо(2,5,—3) перпендикулярно вектору М1М2, где точки Mi и М2

имеют координаты (7,8, —1) и (9, 7,4).

РЕШЕНИЕ.

В качестве нормального вектора плоскости п выбираем вектор

MiM2 =

{2,-l,5}.

Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным вектором

п = {2,

—1,5},

проходящей через точку Мо(2,5, —3):

2(а;-2)-1(2/-5) + 5(гЧ-3)=0.

Ответ. Уравнение плоскости 2а:

—

Н-

5z + 16 = 0.

Условия ЗАДАЧ. Написать уравнение плоскости, проходящей

через точку Мо перпендикулярно вектору М1М2.

Мо(3,2,0), Mi(4,l,5), М2(2,-1,4).

Мо(-5,-1,0), iWi(-5,l,-4), М2(-2,2,-3).

Мо(2,-4,-2), Mi(-l,-3,-7), М2(-4,-1,-5).

Мо(-5,3,10), Mi(0,5,7), М2(2,7,8).

24 Гл.

Аналитическая геометрия

Мо(2,-10,-4), Mi(0,-6,-8), М2(-2,~5,-9).

6. Мо(1,9,2), Mi(0,4,7), М2(1/6,9).

7. Мо(0,-2,7), Mi(-5,~4,9), М2(-2,^2,6).

8. Мо(-1,1,-4), Mi(3,8,-2), М2(2,11,0).

9. Мо(-1,7,-б), Ml(3,5,-1), М2(1,3,-2).

10.

Мо(-5,2,5), Mi(3, -3, -2), М2(4, -1,2).

Ответы.

2a:

22/

+ z = 0. 2. Зх + у + 2 - 4 = 0.

Зх - 2у -

22:

- 16 = 0. 4.

2ж -h

2^/

+ z + 9 = 0.

2х -

;г

- 20 = 0. 6.

+ 2у + 2z -- 3 = 0.

Зж

+ 2у - Зг +

= 0. 8.

а:

Зг/

22;

- 8 = 0.

2х +

2у

-f г - 16 = 0. 10.

о;

-f

22/

42;

~ 5 = 0.

1.9.

Угол между плоскостями

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти угол меэюду плоскостями

Ахх

Н-

Вху

-h

Ciz + А =0,

А2Х -h Б22/

-f

C2Z

= 0.

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Двугранный угол между плоскостями равен углу

между

их

нормальными векторами

{Ai,^i,Ci},

П2

{А2,^2,С2}.

Поэтому угол

между плоскостями определяется равенством

(П1,П2)

|ni|

•|П2|

ПРИМЕР. Найти угол между плоскостями

22/

- 2z - 7 =

О,

= 0.

РЕШЕНИЕ. Двугранный угол между плоскостями равен углу меж-

ду

их

нормальными векторами

п\ =

{1,2,—2}ип2

{1,1,0}.

Поэто-

му угол (/? между плоскостями определяется равенством

(П1,П2)

1-Ц-2-1-2.0

cos

(Р

^^ "'^ ^ -—

'—""•

—-

|П1|-|П2|

^12 +

(-2)V12

V2 '

Таким образом,

—

arccos (1/\/2)

7г/4.

Ответ. Угол между плоскостями

(р

7г/4.

1.10. Канонические уравнения прямой

Условия ЗАДАЧ. Найти

За:-у 4-3 = 0,

x-y-\-3z-5 = 0,

5а:-4г/ +3^-3 = 0,

5х-Зг/ + 2г + 5 = 0,

6а; + 22/-4г+17 = 0,

6. x-y-f 2;\/2-5 = 0,

2/-Зг + 5 = 0,

8. 6ж + 22/-ЗгН-1 = 0,

9. 2a: +

+ 2z-5 = 0,

10.5ж - 2/+ 2z + 12 = 0,

угол меоюду плоскостями.

x-2y-^5z-10 = 0.

x-\-z-2

= 0.

Ax-y- z-b2 = 0.

3x~\-3y-3z-8 = 0.

9a:

+ Зу - 6z - 4 = 0.

+ г/- г\/2 + 7 = 0.

у +

22;

- 3 = 0.

+ бу + 2z - 10 = 0.

12a: + Щ - 15z + 2 = 0.

3a:

22/

+ z + 10 = 0.

1 о /8 , 7

Ответы. 1. (^ = arccos—•=. 2.

(Z)

= arccos\/—. 3. (^ = arccos--.

^ 2\/3 V 11 ^ 10

7Г^

л^ 27Г^ 7Г^ 7Г^ 2

(/? = --• о. (/? = 0. о. v? = -—. 7. (/? = —. 8. (^ =

— •

9. (^ = arccos —.

2 3 4 2 15

10. (р = arccos '

1.10. Канонические уравнения прямой

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Написать канонические уравнения пря-

мой^

заданной как линия пересечения двух плоскост^ей {общими урав-

нениями)

Г Aix + Biy + Ciz + Di = О,

\ Ачх + Biy +

C2Z И-

^2 = 0.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Проверяем, что векторы п\ = {Ai,5i,Ci} и

П2

= {Ач^Вч^Сч}

неколлинеарны и, следовательно, плоскости пересекаются по некото-

рой прямой.

Канонические уравнения прямой с направляющим вектором а =

= {/, т,

п},

проходящей через данную точку Мо(а:о, yo^zo), имеют вид

X ~хо 2/ - 2/0 Z- Z0

772

(1)

Поэтому чтобы написать уравнения прямой, необходимо найти ее на-

правляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой.

Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям,

то ее направляющий вектор а ортогонален нормальным векторам

Гл.

Аналитическая геометрия

обеих плоскостей, т.е. а -L ni = {Ai,Bi,Ci} и а ± П2 = {Аг,

JB2,C2}.

Следовательно, направляющий вектор а находим по формуле

а = [П1,П2\ =

i j к

Ai В, Ci

А2 В2 С2

Теперь выберем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку на-

правляющий вектор прямой непараллелен хотя бы одной из коорди-

натных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную плос-

кость. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята

точка ее пересечения с этой координатной плоскостью.

Подставляем найденные направляющий вектор и точку в урав-

нения прямой (1) и записываем ответ.

ПРИМЕР. Написать канонические уравнения прямой, заданной

как линия пересечения двух плоскостей (общими уравнениями)

2х-^ Ъу Л-Z-% = {),

- 2?/ - 2z -h 1 = 0.

РЕШЕНИЕ.

Проверим, что векторы пх = {2,3,1} и П2 = {1,

—2,

—2}

некол-

линеарны (см. задачу 1.2). Имеем

1 ^ -2

Векторы Ях = {2,3,1} и П2 = {1,-2,-2} неколлинеарны, так как

их координаты непропорциональны. Следовательно, две плоскости

пересекаются по прямой.

Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям,

то ее направляющий вектор а ортогонален нормальным векторам

обеих плоскостей, т.е. а L п\ = {2,3,1} и а i. П2 =

{1,-2,-2}.

Следовательно, направляюющий вектор а находим по формуле

[П1,П2\

г j к

2 3 1

1 -2 -2

-4г 4- 5j - 7к.

Теперь выберем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку на-

правляющий вектор прямой непараллелен ни одной из координатных

плоскостей, то прямая пересекает все три координатные плоскости.

1.10. Канонические уравнения прямой 27

Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точ-

ка ее пересечения, например, с плоскостью у = 0. Координаты этой

точки находим, решая систему трех уравнений

2ж + г - 8 = О,

22:

+ 1 = О,

у = 0.

Получим жо = 3, уо =

и zo = 2, т.е. Мо(3,0,2).

Подставляя найденные направляющий вектор и точку в урав-

нения прямой (1), получим

—

3 ^ у Z

—

-4 " 5 "" -7 *

Ответ. Канонические уравнения прямой имеют вид

ж-3 _У_ _ Z-2

-4 ~ 5 -7 '

Условия ЗАДАЧ. Написать канонические уравнения прямой^ за-

данной как линия пересечения двух плоскостей.

2x-3y-\-2z+ 2== О,

2Ж

+ 32/+ 2 + 14 = 0.

( х^у+ z-2 = 0, Г

\ж-2/-Зг + 6 = 0. ' \

Г x-2y + 2z-A = 0, Г

'^' \2x-^2y-2z-S = 0. \

Г х + у

Гх + 5г/ +

22:

+ 5 = 0, Г

Г 4а:+ 2/-З2:+ 4 = О, 10 /^~^

\ 2ж - у 4- 2г -f 2 = 0. ' \

- Зу

а:Н-?/+

z-2 = 0,

x-y-Sz+ 2 = 0.

. 2x-\-Sy+ z-i-3 = 0, (x + y-z-A = 0,

^' ^ x-Sy-2z + 3 = 0. \ x-y-{-2z =0

2x-{-2y-2z-hl = 0,

Зж - 2г/ + 3z -f 4 = 0.

- y-z-2 = 0,

+ г + 4 = 0.

Ответы.

x+2_y-i_z ж+4_у+2_ z

' ~l~ ~ -2 ~ 1* ' 9 ~ -2 ~^l2*

28 Гл.

Аналитическая геометрия

X —

4 у Z

0 ^1~Т'

х + 2 _ у _ Z

3 ~ -5 ~ 9"

X у + 1 Z

7 -1 ~ 2'

а;+1 у Z

1 ~14^6'

10.

X у - 2 г

Т " -2 ~ Т'

х-2_у-3_

1 ~ -3 ~^'

+ 1 у-1/2 Z

1 ^ -6 ~ "^

- 5 у - 3 Z

2 ~ 1 ~Т

1.11.

Точка пересечения

прямой и плоскости

ПОСТАНОВКА

ЗАДАЧИ.

Найти точку пересечения прямой

x-xi

^ у-уг ^ Z- zi

I т п

и плоскости

АхЛ-Ву + Сг + П = 0.

ПЛАН РЕШЕНИЯ.

Проверим, что прямая не параллельна плоскости. Это означает,

что направляющий вектор прямой а = {/, т, п} и нормальный вектор

плоскости п = {А,

-В,

С} не ортогональны, т.е. их скалярное произ-

ведение не равно нулю:

А1-\-Вт + Спу^ 0.

В этом случае существует единственная точка пересечения прямой и

плоскости.

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости, вообще

говоря, надо репшть систему трех уравнений с тремя неизвестными

(два уравнения прямой и одно уравнение плоскости). Однако удобнее

использовать параметрические уравнения прямой.

Положим

x~xi

^ г/-г/1 ^ Z- zi ^

/ т п

Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид

= It

-\- Xi^

y = mt-{-yi,

z = nt-\- zi.

1.11.

Точка пересечения прямой и плоскости 29

Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости

и решая его относительно t, находим значение параметра t = to, при

котором происходит пересечение прямой и плоскости.

Найденное значение to подставляем в параметрические уравне-

ния прямой и получаем искомые координаты точки пересечения:

XQ =

Но

+ Xi,

уо = mto + yi,

= nto + Zi.

Записываем ответ в таком виде: прямая и плоскость пересекаются

в точке (хо,2/о,^о).

ПРИМЕР. Найти точку пересечения прямой

—

1 у -\-1 _ Z

и плоскости

2x-3y-\'Z-S = 0.

РЕШЕНИЕ.

Имеем

(а, п) = 2

•

2 Ч-О

•

(-3 + (-1)

•

1 = 3 7^ 0.

Следовательно, направляющий вектор прямой и нормальный вектор

плоскости не ортогональны, т.е. прямая и плоскость пересекаются в

единственной точке.

Положим

х-1

г/

+ 1 _ Z _

2 " О ""• -1 ~ '

Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид

Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости,

находим значение параметра t, при котором происходит пересечение

прямой и плоскости:

2(2t + 1) - 3(-1) 4- l{-t) - 8 =

=> to = 1.