Задачник по гидравлике с основами гидротехники

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 1.19. Схема плотины

Задача 1.24. Бетонная глухая плотина высотой h

возведена на

водопроницаемом основании. Известны следующие размеры плоти-

ны: ширина по гребню b, a, h

угол – (табл. 1.22). Плотность бетона

= 2400 кг/м

. Глубина воды в нижнем бьефе h

. Учитывая проти-

водавление воды снизу, а также эпюры давления с боков фундамен-

та, определить опрокидывающий и удерживающий моменты отно-

сительно точки О для худшего случая, когда верхний бьеф заполнен

полностью. Вычислить коэффициент устойчивости k

. Давление

фильтрующей под основанием плотины воды полагать распреде-

ляющимся по закону прямой линии (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Схема плотины

Таблица 1.22

Исходные данные к задаче 1.20

№ варианта

Величина

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

, м

6,8 7,4 7,3 7,5 7,7 8,0 8,6 9,3 9,4 8,3

, м

1,7 1,9 2,3 1,6 2,0 1,8 2,3 2,2 2,6 2,5

, м

3,1 3,3 3,3 3,4 3,5 3,6 3,9 4,2 4,2 3,7

мa,

2,4 2,6 2,8 2,5 2,7 2,7 3,1 3,2 3,4 3,1

мb,

2,2 2,4 2,6 2,8 2,5 2,3 2,4 2,6 2,7 2,9

α,°

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

2. ГИДРОДИНАМИКА

2.1. Применение уравнения Бернулли и уравнения

неразрывности. Гидравлические сопротивления

Уравнение неразрывности течения. При установившемся

движении несжимаемой жидкости расход во всех живых сечениях

потока одинаков:

11 2 2 n n

constQ υω υ ω ...υω ,

== =

(2.1)

где

12 n

υ ,υ ,...,υ – средние скорости в соответствующих живых сече-

ниях потока

12 n

ω , ω ,..., ω .

Уравнение постоянства расхода позволяет решать задачи на оп-

ределение одной из трех величин: расхода, средней скорости или

площади живого сечения

потока, если известны две другие.

Уравнение Даниила Бернулли. Уравнение Бернулли, дающее

связь между давлением

p , средней скоростью υ и геометрической

высотой

в различных сечениях потока, является основным урав-

нением практической гидродинамики. Записанное для двух произ-

вольных сечений 1–1 и 2–2 потока реальной жидкости, оно имеет

следующий вид:

11 2 2

112 2

αα

пот

p υ p υ

zzh

ρg2g ρg2g

++ =++ +

(2.2)

где

– геометрические высоты сечений 1–1 и 2–2 над плоско-

стью сравнения, м;

– пьезометрические высоты в сечени-

ях 1–1 и 2–2, м;

– величина скоростного напора в

указанных сечениях, м;

пот

h – потери напора на участке, м;

α и

α –

значение коэффициента Кориолиса (корректива кинетической энер-

гии потока) в сечениях 1–1 и 2–2.

С помощью уравнения Бернулли решается большинство задач

практической гидравлики. Для этого выбирают два сечения по длине

потока так, чтобы для одного из них были известны величины дав-

ления, средней скорости и геометрической высотой, а для другого –

одна

или две из них подлежали определению. При двух неизвестных

кроме уравнения Бернулли используют уравнение неразрывности и

решают их совместно.

Входящая в уравнение Бернулли величина

пот

h представляет

собой сумму всех потерь напора, имеющихся на данном участке по-

тока. Потери напора на преодоление гидравлических сопротивлений

пот

h обычно делят на две группы:

потери напора по длине

h , вызванные трением внутри

жидкости и между жидкостью и стенками русла;

местные потери напора

вызываются такими элементами

трубопроводов, в которых вследствие изменения размеров или кон-

фигурации русла происходит изменение скорости потока, отрыв по-

тока от стенок русла и возникновение вихреобразования.

Полные потери на данном участке

пот

h равны сумме всех потерь:

пот л м

i=1 i=1

h= h+ h

∑

. (2.3)

При движении жидкости в круглых трубах постоянного сечения

потери напора по длине определяются по формуле Дарси–Вейсбаха:

l υ

, (2.4)

где λ – коэффициент гидравлического трения по длине, или коэф-

фициент Дарси;

l – длина трубопровода, м; d – его диаметр, м; υ –

средняя скорость течения жидкости, м/с.

Современные расчетные формулы для определения коэффици-

ента гидравлического трения

λ (табл. A.2), входящего в выражение

(2.4), предусматривают зависимость этого коэффициента от числа

Рейнольдса

Re υd ν

, где ν – кинематический коэффициент вяз-

кости, м

/с (значения кинематического коэффициента вязкости воды

в зависимости от температуры приведены в табл. А.3), от эквива-

лентной шероховатости

∆ , м (значения эквивалентной шерохова-

тости различных материалов приведены в табл. А.4), и от внутрен-

него диаметра трубы d, м.

Потери напора в местных сопротивлениях определяются по

формуле Вейсбаха:

(2.5)

где

ζ – коэффициент местного сопротивления; υ – скорость до или

после местного сопротивления (см. схемы в табл. A.5), м/с. Значение

некоторых коэффициентов местных сопротивлений

ζ при турбу-

лентном движении жидкости приведены в табл. A.5.

Сложение потерь напора. Если на трубопроводе имеется ряд

местных сопротивлений (задвижки, колена, изменения сечения тру-

бы и т. д.), то для участка трубопровода с постоянным расходом об-

щие потери напора на преодоление местных сопротивлений могут

быть найдены простым суммированием отдельных видов местных

потерь. Однако принцип сложения потерь справедлив только для

случая, когда взаимное влияние

отдельных местных сопротивлений

практически отсутствует и расстояние между ними превышает 20d.

Задача 2.1. Вычислить гидравлический уклон

и определить

значение коэффициента Дарси

λ на участке горизонтального тру-

бопровода длиной

l (табл. 2.1), если при подаче расхода воды Q

разность уровней ртути в трубках дифференциального пьезометра

составляет

(рис. 2.1). Внутренний диаметр трубопровода

Плотность ртути принять

13600 кг м .

Рис. 2.1. Дифференциальный пьезометр

Таблица 2.1

Исходные данные к задаче 2.1

№ варианта

Величина

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

дм сQ,

6,6 6,9 7,2 7,5 7,8 8,1 8,4 8,7 9,0 9,3

l, м

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

h, мм

36 39 42 45 48 51 54 57 60 63

d, мм

50 60 70 80 90 100 110 120 130 140

Задача 2.2. Определить режим движения жидкости, значение ко-

эффициента Дарси

и потери напора в водопроводе длиной

при

подаче расхода

, если чугунные водопроводные трубы имеют внут-

ренний диаметр

d (табл. 2.2). Температура воды 10 C

Таблица 2.2

Исходные данные к задаче 2.2

№ варианта

Величина

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

дм сQ,

12 15 23 69 59 30 10 4 5 6

l, м

100 120 140 160 180 200 220 240 260 280

d, мм

100 120 240 250 300 350 400 500 550 600

Задача 2.3. Горизонтальная труба диаметром

d внезапно пере-

ходит в трубу диаметром

d (рис. 2.2). Расход воды

(табл. 2.3).

Требуется определить: 1) потери напора при внезапном расширении

трубы; 2) разность давлений в обеих трубах; 3) разность уровней

ртути, которую покажет дифференциальный манометр, включенный в

месте изменения сечения; 4) потери напора, разность давлений и

показания дифференциального манометра для случая, когда вода бу-

дет течь в противоположном направлении. Плотность ртути принять

равной

13600 кг м .

Рис. 2.2. Дифференциальный манометр

Таблица 2.3

Исходные данные к задаче 2.3

№ варианта

Величина

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

дм сQ,

45 53 78 81 120 126 236 313 500 484

, м

0,10 0,10 0,12 0,15 0,15 0,20 0,25 0,25 0,35 0,40

, м

0,15 0,12 0,20 0,20 0,25 0,25 0,35 0,40 0,45 0,50

Задача 2.4. Определить потери давления в водяном тракте во-

донагревателя, состоящего из вертикального трубчатого алюми-

ниевого змеевика (рис. 2.3). Диаметр труб

d ; длина прямого уча-

стка

; петли соединяются закругленными коленами, имеющими

радиус

. Расход воды Q (табл. 2.4). Температура воды 90 °С.

Рис. 2.3. Схема змеевика

Таблица 2.4

Исходные данные к задаче 2.4

№ варианта

Величина

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

дм сQ,

5,4 7,1 10,2 12,3 14,4 16,5 18,6 20,7 22,8 24,9

l, м

2,1 2,3 2,5 2,8 3,0 3,2 3,5 3,7 3,9 4,1

R, мм

90 93 96 100 102 105 107 109 110 111

d, мм

45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Задача 2.5. Из открытого резервуара (рис. 2.4, а), в котором

поддерживается постоянный уровень по трубопроводу, состоящему

из стальных труб различного диаметра

123

d,d ,d и различной длины

123

l,l ,l, в атмосферу вытекает вода расходом

(табл. 2.5). Темпе-

ратура воды

20 ºC. Требуется: 1) определить скорости движения во-

ды и потери напора (местные и по длине) на каждом участке трубо-

провода; 2) установить величину напора

в резервуаре; 3) по-

строить с соблюдением масштаба линии полного и пьезометриче-

ского напора; 4) определить разность уровней

∆Z для случая, когда

вода расходом

Q перетекает в другой открытый резервуар (рис. 2.4,

б), и построить линии полного и пьезометрического напора для

данного случая.

Рис. 2.4. Схемы водопровода

Таблица 2.5

Исходные данные к задаче 2.5

№ варианта

Величина

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

мсQ,

0,45 0,48 0,51 0,54 0,57 0,6 0,63 0,66 0,69 0,72

, м

100,0 96,0 92,0 75,0 84,0 64,0 76,0 72,0 68,0 77,0

, м

90,0 86,4 82,8 67,5 75,6 57,6 83,6 79,2 74,8 84,7

, м

85,5 82,1 78,7 104,0 71,8 100,0 71,8 93,0 64,3 111,0

, м

0,30 0,50 0,50 0,4 0,5 0,35 0,55 0,45 0,35 0,55

, м

0,50 0,30 0,60 0,5 0,3 0,55 0,35 0,65 0,55 0,35

, м

0,10 0,20 0,25 0,7 0,4 0,15 0,25 0,30 0,65 0,45

2.2. Истечение жидкости из отверстий и насадков

Истечение жидкости при постоянном напоре. Рассмотрим ис-

течение жидкости, находящейся под давлением

из резервуара

через малое отверстие (или насадок), расположенное на глубине

в воздушное пространство с давлением

(рис. 2.5, а). Основная

формула расхода жидкости из отверстий и насадков при постоянном

напоре

ω 2gH

, (2.6)

где

= εφ – коэффициент расхода;

εωω= – коэффициент сжа-

тия;

ω – площадь отверстия, м

;

ω – площадь струи в сжатом се-

чении, м

;

()

05,

φαζ

−

=+ – коэффициент скорости; ζ – коэффици-

ент сопротивлении отверстия;

α – коэффициент Кориолиса;

02 0

ppαυ

−

=+ +

– напор с учетом скорости подхода жидко-

сти к отверстию

υ и разности давлений в резервуарах (рис. 2.5, а), м.

Для малых отверстий, размер которых по высоте меньше чем

01,H , численные значения коэффициентов для случая, когда жид-

костью является вода при турбулентном режиме движении и боль-

ших числах Рейнольдса, приведены в табл. A.6.

При недостаточной длине

(

)

3ld<

или большом угле расшире-

ния насадка может произойти отставание струи от его стенок – и

тогда насадок будет работать как отверстие с соответствующим ко-

эффициентом расхода.

а б

Рис. 2.5. Схемы истечения из незатопленного (а) и затопленного (б) отверстий

При истечении из отверстий сжатие считается совершенным,

если отверстие достаточно удалено от направляющих стенок резер-

вуара. Условие совершенного сжатия:

3ea> , где a – сторона от-

верстия, м;

e – кратчайшее расстояние от этой стороны до направ-

ляющей стенки резервуара, м. При несовершенном сжатии коэффи-

циент расхода

нес

больше, чем

– при совершенном сжатии:

1064

нес

ст

µµ ,

⎡

⎤

⎛⎞

⎢

⎥

⎜⎟

⎢

⎥

⎝⎠

⎣

⎦

, (2.7)

где

ст

ω – смоченная площадь стенки, м

; в которой сделано отвер-

стие с площадью

ω , м

Если отверстие расположено вплотную к одной или двум на-

правляющим стенкам резервуара, то сжатие считается неполным.

Учет неполноты сжатия определяется коэффициентом расхода

неп

µµc

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

, (2.8)

где c – коэффициент, равный 0,13 для круглых отверстий и 0,15 для

прямоугольных;

n – периметр отверстия, по которому устранено

сжатие, м;

p – полный периметр отверстия, м.

При истечении из затопленного отверстия или насадка, т. е.

когда свободная поверхность жидкости за отверстием находится

выше его центра, практические значения всех приведенных в табл.

А.6 коэффициентов определяются так же, как и для незатопленно-

го отверстия. Напор при этом принимается как разность между

отметками свободных поверхностей

жидкости:

Hz z

− (рис.

2.5, б).

Истечение жидкости при переменном напоре является дви-

жением неустановившимся, так как расход, скорость и напор из-

меняются во времени. Если из резервуара с площадью

Ω через

отверстие или насадок с поперечным сечением

ω вытекает жид-

кость в количестве

Q и одновременно в резервуар поступает по-

стоянное количество жидкости

Q , то за время dt объем жидко-

сти в резервуаре изменится на

ΩdH за счет разности притока

Qdtи расхода 2

ω gH dt . Таким образом, основным диффе-

ренциальным уравнением истечения из отверстий и насадков при

переменном напоре является равенство:

(

)

2ΩdH Q µω gH dt=−

(2.9)

Если площадь резервуара

Ω связана с напором

аналитически,

то следует в дифференциальное уравнение (2.9) подставить значение

()

ΩΩH=

и проинтегрировать его в пределах изменения напора

Если аналитической связи между

Ω и

нет (например, в водохра-

нилищах), то уравнение (2.9) решается приближенными методами.

Задача 2.6. Квадратное отверстие в боковой стенке закрытого

резервуара имеет площадь

ω (табл. 2.6) и примыкает одной сторо-

ной к дну. Определить расход через отверстие при свободном исте-

чении воды в атмосферу, если избыточное давление на свободной по-

верхности воды в резервуаре

изб

, а глубина воды в резервуаре

Насколько нужно увеличить давление

изб

, чтобы расход воды уве-

личился на 20 %? Скоростью подхода воды к отверстию пренебречь.