Задачник по гидравлике с основами гидротехники

Подождите немного. Документ загружается.

Формула (1.2) называется основным уравнением гидростатики.

Из этой формулы следует, что внешнее давление

, приложенное к

свободной поверхности жидкости, передается всем точкам этой жид-

кости и по всем направлениям одинаково (закон Паскаля). С учетом

того, что глубина погружения точки

может быть представлена как

разность геометрических высот уровенной поверхности жидкости

и рассматриваемой точки

z :

hz z

− , другая форма основного

уравнения гидростатики имеет вид:

const

z+ =

ρg

, (1.3)

где

– геометрическая высота, т. е. расстояние от произвольной

горизонтальной плоскости сравнения до рассматриваемой точки

покоящейся жидкости, м;

p – гидростатическое давление в данной

точке, Па.

В гидротехнической практике внешнее давление часто равно

атмосферному, т. е.

0 атм

. Гидростатическое давление, опреде-

ляемое по уравнению (1.2), именуется полным или абсолютным

давлением. Обычно в гидротехнических расчетах интересуются не

полным давлением, а разницей между полным давлением и атмо-

сферным, т. е. так называемым манометрическим или избыточным

давлением:

изб атм

pp=− .

Если абсолютное давление меньше атмосферного, то вводится

понятие вакуума. Вакуумом называется недостаток давления до ат-

мосферного, т. е.

вак атм

− .

При решении задач принять: атмосферное давление

100 кПа

атм

p = ; плотность воды

1 000 кг мρ = .

Задача 1.1. Для заливки центробежного насоса 1 установлен ва-

куум-насос 2 (рис. 1.1). Какой необходимо создать вакуум, если

верх корпуса центробежного насоса находится над уровнем воды в

резервуаре на расстоянии

(табл. 1.1)?

Рис. 1.1. Схема к задаче 1.1

Таблица 1.1

Исходные данные к задаче 1.1

№ варианта

Величина

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

мH,

1,8 2,0 2,4 2,8 3,4 3,8 4,2 4,4 4,8 5,0

Задача 1.2. Определить абсолютное давление воздуха

на

поверхности воды в резервуаре и высоту подъема уровня воды

h в

трубке 1 (рис. 1.2), если известны показания ртутного манометра

h (табл. 1.2). Плотность ртути равна 13 600 кг/м

Рис. 1.2. Схема к задаче 1.2

Таблица 1.2

Исходные данные к задаче 1.2

№ варианта

Величина

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

мh,

0,15 0,18 0,20 0,22 0,14 0,13 0,12 0,11 0,10 0,09

мh,

0,80 0,82 0,78 0,84 0,90 0,92 0,65 0,60 0,55 0,50

Задача 1.3. В сообщающиеся сосуды налиты вода и бензин

(рис. 1.3). Определить плотность бензина, если высота столба воды

, а разность уровней жидкости в сосудах

(табл. 1.3).

Рис. 1.3. Схема к задаче 1.3

Таблица 1.3

Исходные данные к задаче 1.3

№ варианта

Величина

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ммh,

149 152 158 161 164 166 175 178 181 190

ммh,

51 52 54 55 56 57 60 61 62 65

Задача 1.4. Пружинный манометр (рис. 1.4), подключенный к

закрытому резервуару с нефтью (

884 кг мρ = ), показывает из-

быточное давление

изб

. Определить абсолютное давление воздуха

на поверхности нефти и высоту подъема уровня нефти в трубке

1 над уровнем нефти в резервуаре h , если высота нефти в резервуа-

ре

, а расстояние от точки подключения до центра манометра

(табл. 1.4).

Рис. 1.4. Схема к задаче 1.4

Таблица 1.4

Исходные данные к задаче 1.4

№ варианта

Величина

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

кПа

изб

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

мH,

1,85 2,05 2,25 2,45 2,65 2,85 3,05 3,25 3,45 3,65

z м,

0,65 0,81 0,97 1,13 1,29 1,45 1,61 1,77 1,93 2,09

Задача 1.5. Определить, на какой высоте

от центра трубы ус-

тановится уровень ртути в ртутном манометре (рис. 1.5), если из-

вестны избыточное давление в водопроводной трубе

изб

и показа-

ние ртутного манометра

h (табл. 1.5). Плотность ртути

13600 кг м .

Рис. 1.5. Схема к задаче 1.5

Таблица 1.5

Исходные данные к задаче 1.5

№ варианта

Величина

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

кПа

изб

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

смh,

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1.2. Сила давления жидкости на плоские поверхности

Сила давления жидкости и центр давления на плоские стенки

могут быть вычислены аналитическим и графоаналитическим спо-

собами.

Аналитический способ. Сила полного гидростатического дав-

ления на плоскую произвольно ориентированную поверхность вы-

числяется по формуле:

(

)

полн 0 ц .т.

P = p

gh ω+ , (1.4)

где

– внешнее давление, Па,

– плотность жидкости, кг/м

; g –

ускорение свободного падения, м/с

;

ц .т.

h – глубина погружения

центра тяжести смоченной площади, м; ω – смоченная площадь пло-

ской поверхности, м

Сила избыточного гидростатического давления при условии, что

внешнее давление равно атмосферному

0 атм

, находится по

уравнению:

изб ц .т.

P =

gh ω . (1.5)

Точка приложения равнодействующей силы избыточного дав-

ления (центр давления) для плоской поверхности определяется по

формуле (1.3):

(

)

дц.т 0 ц .т.

l = l + J ωl

, (1.6)

где

l – расстояние от свободной поверхности до центра давления

(считая по наклону стенки), м;

sin

ц .т. ц .т.

l =h α – расстояние от

свободной поверхности до центра тяжести смоченной площади

(считая по наклону стенки, где

α – угол наклона стенки по отноше-

нию к горизонту), м;

J – момент инерции смоченной площади от-

носительно оси, проходящий через ее центр тяжести, м

. Формулы

для определения центров тяжести

ц .т.

l и моментов инерции

J пло-

ских фигур относительно оси, проходящей через центр тяжести,

приведены в табл. A.1.

Графоаналитический способ. Для определения силы избыточ-

ного гидростатического давления на плоскую стенку

изб

P нужно

построить эпюру избыточного гидростатического давления. Тогда

сила давления будет равна площади эпюры

изб

, умноженной на

ширину стенки b:

изб изб

P= Fb. (1.7)

Формула справедлива в том случае, если ширина стенки или за-

твора остается постоянной с изменением глубины.

Если в формулу (1.7) вместо площади эпюры избыточного гид-

ростатического давления

изб

подставить площадь эпюры полного

гидростатического давления

полн

, то получим силу полного гидро-

статического давления:

полн полн

PFb

. (1.8)

Для построения эпюры нужно отложить величину гидростати-

ческого давления для рассматриваемой точки нормально к поверх-

ности, на которую она действует.

Так, например, эпюра избыточного гидростатического давления

па плоский наклонный щит АВ (рис. 1.6, a) будет представлять тре-

угольник ABC, а эпюра полного гидростатического давления – тра-

пеция ABC’D’ (рис. 1.6, б).

a б

Рис. 1.6. Эпюры избыточного (а) и полного (б) гидростатического давления

на плоскую стенку

Для нахождения центра давления нужно определить центр тя-

жести эпюры, из полученного центра провести линию, перпендику-

лярную к рассматриваемой поверхности до пересечения с ней, и из-

мерить расстояние от этой точки до свободной поверхности по на-

клону стенки. Это расстояние и даст расстояние до центра давления.

Задача 1.6. Торцовая вертикальная стенка

дока, предназначен-

ного для ремонта судов, имеет форму равнобочной трапеции с ши-

риной по дну

b и шириной поверху

(табл. 1.6). Определить наи-

большую величину силы избыточного гидростатического давления

воды на стенку и центр давления, считая, что при глубине воды,

равной

, верхний край стенки находится на одном уровне со сво-

бодной поверхностью воды в доке.

Таблица 1.6

Исходные данные к задаче 1.6

№ варианта

Величина

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b, м

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

B, м

16 20 18 21 24 23 28 25 33 32

h, м

7 7 7 8 8 8 9 9 9 9

Задача 1.7. Построить эпюру избыточного гидростатического

давления и определить величину вертикальной и горизонтальной

составляющих силы давления воды, действующей на один погонный

метр передней грани устоя АD (рис. 1.7). Дано: угол

φ ; h

; h

(табл. 1.7).

Рис. 1.7. Схема устоя

Таблица 1.7

Исходные данные к задаче 1.7

№ варианта

Величина

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

φ,°

47 49 51 53 55 57 59 61 63 65

мh,

2,7 3,1 3,5 3,8 4,1 4,3 4,5 4,8 5,2 5,7

мh,

1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,6 1,6 1,7 1,8 1,9

мh,

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

Задача 1.8. В сосуд налиты ртуть, вода и масло. Высота слоя

ртути h

, слоя воды h

и слоя масла h

(табл. 1.8). Вычислить избы-

точное гидростатическое давление на дно сосуда. Построить эпюру

избыточного гидростатического давления и определить величину

силы давления на плоскую боковую стенку сосуда шириной b.

Плотность масла принять равной

800 кг м , плотность ртути при-

нять

13600 кг м .

Таблица 1.8

Исходные данные к задаче 1.8

№ варианта

Величина

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

смh,

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

смh,

45 55 65 75 85 95 105 115 125 135

смh,

130 120 110 100 90 80 70 60 50 40

смb,

75 80 85 90 95 100 105 110 115 120

Задача 1.9. На каком расстоянии от дна х нужно расположить

ось вращения О–О, чтобы плоский прямоугольный затвор откры-

вался автоматически, как только глубина воды в верхнем бьефе бу-

дет превышать h

(табл. 1.9)? Глубина в нижнем бьефе h

(рис. 1.8).

Рис. 1.8. Схема затвора

Таблица 1.9

Исходные данные к задаче 1.9

№ варианта

Величина

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

мh,

2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 4,4 4,8 5,2 5,6

мh,

0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8

Задача 1.10. Щит, перекрывающий канал, расположен под уг-

лом

OAB α∠=и закреплен шарнирно к опоре над водой (рис. 1.9).

Определить величину силы T, которую необходимо приложить к

тросу для открывания щита, если ширина щита b, глубина воды пе-

ред щитом h

, а после щита h

. Шарнир расположен над уровнем во-

ды в верхнем бьефе на расстоянии h

(табл. 1.10). Массой щита и

трением в шарнире пренебречь.

Рис. 1.9. Схема щита

Таблица 1.10

Исходные данные к задаче 1.10

№ варианта

Величина

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

, м

5,0 4,8 4,6 4,4 4,2 4,0 4,3 4,5 4,7 4,9

, м

1,1 1,2 1,3 1,4 1,6 1,5 1,7 1,9 2,1 2,0

, м

1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9

b, м

8,0 9,2 10,1 11,2 12,4 13,2 14,3 15,1 16,3 16,8

α, º

85 80 75 70 65 60 55 50 45 40

1.3. Сила давления жидкости на криволинейные

поверхности

В общем случае криволинейной поверхности для определения

равнодействующей силы давления жидкости

P необходимо знать

проекции суммарного давления на три взаимно перпендикулярных

направления:

222

xyz

P= P+P+P

, (1.9)

где

P – горизонтальная составляющая силы давления по направле-

нию оси ОХ;

P – горизонтальная составляющая силы давления по

направлению оси ОY,

P – вертикальная составляющая по направ-

лению оси OZ.

Ниже рассмотрен только простейший случай криволинейной

поверхности – цилиндрическая поверхность, которая встречается

наиболее часто. В случае цилиндрической поверхности равнодейст-

вующая силы давления жидкости

P определяется по формуле:

P= P +P (1.10)

Горизонтальная составляющая силы избыточного гидростати-

ческого давления

P находится по формуле:

x ц.т.x

gh ω

′

(1.11)

где

ω – площадь проекции криволинейной поверхности на пло-

скость, перпендикулярную оси ОХ, т. е. на вертикальную плоскость