Задачи по кинематике
Подождите немного. Документ загружается.
КИНЕМАТИКА
Предмет изучения механики – механическое движение, т.е. изменение с
течением времени взаимного расположения тел или их частей в пространстве.
Движение происходит в пространстве и во времени.
Существует два вида движения:
1. поступательное (любая прямая, жестко скрепленная с телом, при
движении перемещается параллельно самой себе);
2. вращательное (любая прямая, жестко скрепленная с телом, при
движении поворачивается на некоторый угол).
Для описания движения необходимо ввести систему отсчета,
представляющую собой систему координат и систему отсчета времени.
Кинематика – раздел механики, изучающий способы описания механического
движения независимо от вызывающих его причин.
1. Кинематика поступательного движения
Траектория – линия, которую описывает тело или материальная точка, при
своем движении в пространстве. По виду траектории движение бывает
прямолинейным или криволинейным. Частным
случаем криволинейного движения есть движение
по окружности.
Путь
s
– расстояние, отсчитанное вдоль
траектории. Путь измеряется в метрах,
выражается положительным числом и складывается арифметически.
s
= м.
13 12 23
s s s
.
Перемещение
r
– вектор, начало которого находится в начальной точке, а
конец – в конечной точке движения. Как любой вектор, перемещение
характеризуется численным значением (модулем) и направлением, складываются
перемещения по правилам сложения векторов, т.е. геометрически.
r
= м.
1
13 12 23
r r r
.
Если материальная точка за равные, сколь угодно малые промежутки времени
t
, проходит равные участки пути
s
, то движение называют равномерным.
Скорость в этом случае
s s
v
t t
.
В случае неравномерного движения в рассмотрение вводится средняя
скорость
путь
время
s
v
t
.
Скорость в данный момент времени (мгновенная скорость):
0
lim
мгн
t
s ds
v
t dt
Поскольку при описании движения необходимо учитывать не только
численное значение скорости, но и ее направление, то под скоростью понимают
векторную величину
0
lim
t
r dr
v r
t dt
.
м
с
v
Для модуля скорости:
0 0 0 0 0
lim lim lim lim lim
t t t t t
r r r
r s s ds
v v
t t t s s t dt
.
x x y y z z x y z v
v r v e v e v e x e y e z e v e
,
где
x
v
,
y
v
,
z
v
- составляющие скорости, а
x
e
,
y
e
,
z
e
- орты декартовой системы
координат.
Ускорение – векторная величина, характеризующая изменение скорости во
времени..
0
lim
t
v dv
a v r
t dt
.
2
м
с
a
.
2
Учитывая, что
v
v v e
, рассмотрим три вида движения.
1.
const; const
v
v e
(движение прямолинейное неравномерное)
( )
v v v
d dv
a v v e e v e a
dt dt
.
Тангенциальное ускорение
a
характеризует изменение скорости по модулю.
2.
const; const
v
v e
(движение криволинейное равномерное)
2
( )
v
v v n
de
d v
a v v e v v e n a
dt dt R
Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.
3.
const; const
v
v e
(движение неравномерное криволинейное)
( )
v
v v n
de
d dv
a v v e e v a a
dt dt dt
.
2 2
n
a a a a
.
Равноускоренное движение описывается
формулами:
2
0
0
2
at
s v t
v v at
.
2. Кинематика вращательного движения
Для равномерного прямолинейного движения скорость характеризует
быстроту изменения перемещения. Для вращательного движения угловая скорость
определяет быстроту изменения углового перемещения
. Угловое перемещение
есть векторная величина, модуль которой равен углу
поворота, направленный вдоль оси вращения так, чтобы
из его конца поворот тела был виден происходящим
против часовой стрелки.
Тогда угловая скорость
0
lim
t
d
t dt
3
радиан
,
-1
радиан
с
с
.
Направление вектора
и
совпадают. Кроме того, направление
выбирается так, чтобы, если смотреть с вершины
, то движение должно казаться
происходящим против часовой стрелки, т.е. векторы линейной скорости
v
, угловой
скорости
и радиус вектор точки
r
должны образовывать правовинтовую
систему.
Изменение угловой скорости характеризуется угловым ускорением
.
0
lim
t
d
t dt
,
-2
2
радиан
=с
с
.
Для ускоренного движения направления векторов угловой скорости и
углового ускорения совпадают, а для замедленного – противоположны.
Следует отметить, что векторы
,
и
являются псевдовекторами,
т.к. их направления выбираются условно.
3. Связь между величинами, характеризующими поступательное и
вращательное движение
0 0 0
lim lim lim
t t t
s R
v R R
t t t
,
,v R
2
2
n
v
a R
R
,
, ,v R v R R a a R
Часто вместо угловой скорости
, которую иногда называют круговой
(угловой, циклической) частотой, используют частоту
n
, связанную с круговой
частотой соотношением
2 n
.
-1
об
= с = Гц
с
n
.
В этом случае угол поворота
обычно выражают в количестве оборотов
N
,
при этом,
2 N
.
4
Равноускоренное движение по окружности описывается уравнениями:
2
0
0
2
t
t
t
или
2
0
0
2 2
2
2 2
t
N n t
nt n t t
.
ЗАДАЧИ
Задача 1
Тело, брошенное вертикально вверх, вернулось на землю через
3t
с. Найти
высоту подъема тела и его начальную скорость.
Решение
Движение тела вверх является равнозамедленным с ускорением - g и
происходит в течение времени t
1
, а движение вниз – равноускоренным с ускорением
g
и происходит в течение времени t
2
. Уравнения, описывающие движение на
участках АВ и ВА, образуют систему:
2
1
0 1
0 1
2
2
1 2
,
2
,
,
2
,
.
B
A
gt
h v t
v v gt
gt
h
v gt
t t t
Поскольку
0
B
v
, то
0 1
v gt
. Подставив
0
v
в первое уравнение системы,
получим
2
2
2
gt
h
. Если сравнить это выражение с третьим уравнением системы, то
можно сделать вывод о том, что время подъема равно времени спуска
1 2
1,5
2
t
t t
с. Начальная скорость и скорость при приземлении равны друг другу
и составляют
0 1
9,8 1,5 14,7
A
v v gt
м/с.
Высота подъема тела
5
2
2
1
9,8 1,5
22,05
2 2
gt
h
м.
Задача 2
Свободно падающее тело в последнюю секунду движения прошло половину
пути. Найти высоту, с которой оно брошено и время движения.
Решение.
Зависимость пройденного пути от времени для свободно
падающего тела
2
2
gt
h
. Поскольку участок ВС, составляющие
половину всего пути, пройден за время, равное 1 с, то первая
половина пути АВ пройдена за время
1t
с. Тогда движение на
участке ВС может быть описано как
2
1
2 2
g t
h
.
Решая систему
2
2
2
1
2 2
gt
h
g t
h
получим
2
4 2 0t t
. Корни этого уравнения
1
3, 41t
с и
2
0,59t
с. Второй корень не подходит, т.к. время движения, исходя из
условия задачи, должно превышать одну секунду. Следовательно, тело падало в
течение 3,41 с и прошло за это время путь
2 2
9,8 3, 41
57
2 2
gt
h
м.
Задача 3
С башни высотой 25 м горизонтально со
скоростью
x
v
10 м брошено тело. Найти: 1)
время
t
падения тела, 2) на каком расстоянии
l
от
основания башни оно упадет, 3) скорость
v
в
6
конце падения, 4) угол, который составит траектория тела с землей в точке его
приземления.
Решение
Движение тела является сложным. Оно участвует в равномерном движении по
горизонтали и равноускоренном с ускорением
g
по вертикали. Поэтому участок АВ
описывается уравнениями:
2
2
x
x
y
x v t
v const
gt
y
v gt
Для точки А эти уравнения принимают вид:
2
2
x
y
l v t
gt
h
v gt
2 2 25
2,26
9,8
h
t
g
с
Тогда
10 2, 26 22,6l
м, а
9,8 2, 26 22,15
y
v
м/с.
Поскольку
x y
v v v
, то
2 2
100 490,5 24,3
x y
v v v
м/с.
Угол, который траектория составляет с землей, равен углу
в треугольнике
скоростей в т. А, тангенс которого
22,15
tg 2,215
10
y
x
v
v
, поэтому
68,7
.
Задача 4
Для тела, брошенного с горизонтальной скоростью
10
x
v
м/с, через
время
2t
с после начала движения найти: нормальное, тангенциальное и полное
ускорения, а также радиус кривизны траектории в этой точке.
Решение
Вертикальная составляющая скорости
9,8 2 19,6
y
v gt
м/с
Скорость в точке А:
7
x y
v v v
,
2 2 2 2
10 19,6 22
x y
v v v
м/с .
Векторы
, ,
x y
v v v
образуют треугольник скоростей, а векторы
, ,
n
a a a g
-
треугольник ускорений. Как видно из рисунка, эти треугольники подобны, а это
означает, что их стороны пропорциональны:
n
y x
a a
a
v v v
.
Отсюда,
19,6
9,8 8,73
22
y y
v v
a a g
v v
м/с
2
,
10
9,8 4,45
22
x x
n
v v
a a g
v v
м/с
2
.
Нормальное ускорение
2
n
v
a
R
, поэтому радиус кривизны траектории
2 2
22
108,8
4, 45
n
v
R
a
м.
Задача 5
Тело брошено со скоростью
0
10v
м/с
2
под углом
30
к горизонту. На
какую высоту тело поднимется. На каком расстоянии от места бросания оно
упадет на землю? Какое время он будет в движении?
Решение
Горизонтальная и вертикальная составляющие начальной скорости
0 0
0 0
cos
sin
x
y
v v
v v
8
Движение на участке ОА можно разложить на два простых движения:
равномерное по горизонтали и равнозамедленное по вертикали:
0 1
0
2
1
0
0 1
2
x
x x
y
y y
x v t
v v
gt
y v t
v v gt
В точке А
1 0 1
2
1
0
0 1
2
0
x
y
y
l v t
gt
h v t
v gt
0
0
1
sin
y
v
v
t
g g
.
Тогда
2 2
2
0
1
sin
2 2
v
gt
h
g
и
2 2
0
0 0
1
sin cos sin 2
2
x y
v v
v v
l
g g g
.
Если тело участвует одновременно в нескольких движениях, то в каждом из
них оно участвует независимо от другого, следовательно, время движения на
участке АВ определяется временем движения вниз -
2
t
. На основании вывода,
сделанного в задаче 4, время движения вверх равно времени движения вниз, а,
значит,
0
2 1
sin
10 sin 30
0,51
9,8
v
t t
g
с
1
2 1,02t t
с.
При равномерном движении по горизонтали за равные промежутки времени
тело проходит равные участки пути, следовательно,
2
2
0
1 2
sin 2
10 sin 60
4,42
2 2 9,8
v
l l
g
м.
Дальность полета
2
0
1
sin 2
2 8,84
v
l l
g
м.
Высота подъема тела
2 2
2 2
0
sin
10 sin 30
1, 28
2 2 9,8
v
h
g
м.
Задача 6
Колесо вращается равноускоренно с угловым ускорением
3 рад/с
2
.
Определить, какой угловой скорости достигнет тело после
t
3 с своего
вращения? Сколько оборотов
N
оно при этом совершит?
Решение
9
Если тело вращается равноускоренно, то его движение описывает следующая
система уравнений
2
0
0
2
t
t
t
В начальный момент тело покоилось, значит,
0
0
. Тогда
2
2
t
t
.
Следовательно,
3 3 9t
рад/с.
Количество оборотов
2 2
3 3
2,15
2 4 4
t
N
оборота.
Задача 7
Вентилятор вращался с частотой
0
n
900 об/мин. После выключения
вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки
N
75 об. Какое
время
t
прошло с момента выключения до остановки вентилятора? С каким
угловым ускорением
он двигался?
Решение
Равнозамедленное движение вентилятора описывается следующей системой
уравнений
2
0
0
2 2
2
2 2
t
N n t
n n t
Поскольку вентилятор остановился, то его конечная частота
0n
. Тогда
выразим
0
2 n
t
из второго уравнения и, подставив его в первое уравнение, а
также учитывая, что
0
900n
об/мин = 15 об/с, получим
2
2
0
15
9,42
75
n
N
рад/с
2
.
Время движения равно
0
2
2 15
10
9,42
n
t
с.
10