Задачи по кинематике
Подождите немного. Документ загружается.
2 2
2 2
кин кин кин
пост вр
mv I
W W W
,
а для бруска
2
2
кин кин
пост
mv
W W
.
Учитывая, что моменты инерции перечисленных тел
2 2 2
2 1
, ,
5 2
шар диск об
I mR I mR I mR
, а
v
R
, запишем:
2
2
2
кин
шар
пот кин
mv
W
W W
2
m R
2
5 2
v
2
R
2
2 2
0,7 3,74 /
0,7
2
кин
диск
gh
mv v м с
mv m R
W
2
2
2 2
v
R
2
2 2
0,75 3,61м/с
0,75
2
кин
обруч
gh
mv v
mv m R
W
2
2
2
v
R
2
2
3,13м/с
2 4,43м/с
2
кин
брусок
mv v gh
mv
W v gh
Ускорения найдем, воспользовавшись формулой
2 2
0
2
v v
a
s
, где
0
0v
, а
sin
h
s
. Тогда
2
2
2
2
sin 9,8 0,5
3,5м/с
0,7 2 1, 4
sin 9,8 0,5
3, 27 м/с
0,75 2 1,5
sin
sin 9,8 0,5
2
2,45м/с
2 2
2
шар
диск
обруч
брусок
g
a
g
a
v
a
g
h
a
a
sin
2
g
2
9,8 0,5 4,9 м/с .
Задача 17
Колесо, вращаясь равнозамедленно, уменьшило за время
60t
сек.
31
частоту вращения с
1
n
5 об/с до
2
n
3 об/с. Колесо считать тонкостенным
обручем массой m =1 кг и радиусом R = 0,2 м. Найти угловое ускорение колеса
,
момент сил торможения M, работу сил торможения А и число оборотов N,
сделанных колесом за время t = 60 с.
Решение
Поскольку движение колеса является равнозамедленным, то оно описывается
формулами
2
1
2 1
2 2
2
2 2
t
N n t
n n t
Отсюда модуль углового ускорения
1 2
2 2 5 3
0,21
60
n n
t
рад/с
2
.
Количество оборотов
2 2
1
0,21 60
5 60 240
4 4
t
N n t
об.
Момент инерции обруча
2 2
1 0, 2 0,04I mR
кг·м
2
.
Из основного уравнения динамики вращательного движения
I M
найдем момент сил торможения
3
0,04 0,21 8, 4 10M I
Н·м.
Работа сил торможения может быть найдена из соображений, что она пошла
на изменение кинетической энергии вращающегося колеса.
Тогда,
2 1
2 2
2
2 2
2 1
2 1
2 2 2 2 2 2
2 1
4
2 2 2
2 2 0,04 5 3 12,63Дж.
кин кин
A W W
I I
I
n n
I n n
Задача 18
32
Маховое колесо начинает вращаться с угловым ускорением ε = 0,5 рад/с
2
и
через время t
1
= 15 с после начала движения приобретает момент импульса
1
L
= 70
кг·м
2
/с. Найти кинетическую энергию W колеса и его момент импульса
2
L
через
время t
2
= 20 с после начала движения.
Решение
Угловая скорость махового колеса через время
1
t
после начала вращения
1 1
t
. Поскольку момента импульса колеса
1 1
L I
, то его момент инерции
1 1
1 1
L L
I
t
.
Угловая скорость через время
2
t
после начала вращения
2 2
t
.
Кинетическая энергия через время
2
t
после начала вращения колеса равна
2
2 2
2
1 2
2 1 2
1 1
70 0,5 20
467
2 2 2 2 15
кин
L t
I L t
W
t t
Дж.
Момент импульса колеса через время
2
t
после начала его вращения
1
2 2
L
L I
2
t
1 2
1
1
70 20
9,33
15
L t
t
t
кг·м
2
·с
-1
.
Задача 19
Тонкий однородный стержень длиной l может вращаться относительно
горизонтальной оси, проходящей через конец стержня. Стержень отклонили на 90º
от положения равновесия и отпустили. Определить скорость v нижнего конца
стержня в момент прохождения положения равновесия.
Решение
При движении стержня выполняется закон сохранения энергии
пот кин
W W
,
где
пот
W
- потенциальная энергия стержня в
начальном (поднятом) положении, а
кин
W
- кинетическая
энергия в момент прохождения положения равновесия.
33
Обратим внимание на тот факт, что в качестве «нулевого» уровня потенциальной
энергии принимается уровень центра масс С стержня в положении равновесия.
Потенциальная энергия
2
пот
W mgl
.
Поскольку стержень вращается, то его кинетическая энергия
2
2
кин
W I
.
Для нахождения момента инерции I стержня относительно оси, проходящей
через его конец, воспользуемся теоремой Штейнера:
2
2 2
2
0
12 2 3
ml l ml
I I mx m
.
Угловая скорость стержня
v
l
.
Кинетическая энергия
2 2 2 2
2
1
2 2 3 6
кин
I ml v mv
W
l
.
Отсюда
2
2 6
mgl mv
,
и скорость нижнего конца стержня в момент прохождения положения равновесия
3v gl
.
Задача 20
Горизонтальная платформа массой m=100 кг вращается вокруг
горизонтальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой
1
n
= 10
об/мин. Человек массой
0
m
60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой
частотой
2
n
начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края
платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека –
точечной массой.
Решение
34
Воспользуемся для решения задачи законом сохранения момента импульса
для замкнутой системы «человек-платформа»:
L L
.
В первом состоянии момент импульса системы состоял из момента импульса
платформы и момента импульса, человека, стоящего на краю платформы, т.е.
1 1 1
2
пл чел пл чел пл чел
L L L I I n I I
.
Во втором состоянии момент импульса системы изменился за счет того, что
момент импульса человека стал равным нулю, т.к. он перешел в центр платформы,
где его момент инерции как материальной точки равен нулю, поскольку ось
вращения проходит через него. Поэтому
2
2
пл
L n I
.
Отсюда
2
1
2
пл чел
n I I
2 пл
n I
.
Частота вращения платформы станет
2 2
1 0
1 1 0
2
2
10 100 60
16
100
пл чел
пл
n mR m R
n I I n m m
n
I mR m
об/мин.
Задача 21
Обруч радиусом R =1 м висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает
колебания в вертикальной плоскости. Найти период колебаний обруча.
Решение
Обруч представляет собой физический маятник, период колебаний которого
можно найти по формуле
2
I
T
mgx
,
где m - масса обруча, I - момент инерции обруча относительно точки подвеса,
x - расстояние между точкой подвеса и центром масс.
Момент инерции I найдем по теореме Штейнера
2 2 2 2
0
2I I mx mR mR mR
.
35
Расстояние
x R
. Тогда период колебаний
2
2
m
T
2
R
m g R
2 2 0,5
0,32
9,8
R
g
с.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
1. Механические колебания
Колебаниями или колебательными движениями являются движения или
изменения состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во
времени.
Физическая система, совершающая колебание около положения равновесия,
называется осциллятором.
Колебания называются периодическими, если значения физических величин,
изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки
времени. Периодом колебаний Т называется тот наименьший промежуток времени,
по истечении которого повторяются значения всех величин, характеризующих
колебательное движение. За это время совершается одно полное колебание.
Частотой периодических колебаний υ называется величина, равная числу полных
колебаний, совершаемых в единицу времени. Циклической (круговой) частотой ω
периодических колебаний называется величина, равная числу полных колебаний,
которые совершаются за 2π единиц времени.
1 2
T
(1)
Механические колебания происходят в системе, в которой на тело (или
материальную точку) действуют в общем случае упругая (или квазиупругая) сила
(kx), сила сопротивления (трения) (
rx
) и вынуждающая периодическая сила (
0
cosF t
). Тогда уравнение движения имеет вид:
0
cosmx kx rx F t
, (2)
36
где
x
,
x
– скорость и ускорение тела (точки) массы m;
k
– коэффициент
упругости;
r
– коэффициент сопротивления;
– циклическая частота
вынуждающей силы;
0
F
– амплитудное значение вынужающей силы.
1.1. Свободные незатухающие колебания
Колебания системы, выведенной из положения равновесия и далее
предоставленной самой себе, называются свободными. В этом случае при
отстутствии сил сопротивления уравнение движения имеет вид:
mx kx
. (3)
Действующая сила пропорциональна смещению (k – коэффициент
пропорциональности, а в случае пружинного маятника,
коэффициент жесткости пружины) и всегда направлена к
положению равновесия. Такой силой является, например,
сила упругости. Любая другая сила, неупругая по
природе, но удовлетворяющая соотношению F = – kx,
называется квазиупругой.
Решение уравнения (3) имеет вид
0
cos( )x A t
, (4)
где x – величина, периодически меняющаяся
во времени (для механических колебаний это
смещение точки от положения равновесия); А –
модуль ее максимального значения (амплитуда); t –
время;
0
( )t
– фаза колебаний;
0
–
циклическая (собственная или круговая) частота; α
– начальная фаза.
Простейший вид колебаний, происходящих по
закону косинуса или синуса, называется
гармоническими, а система в этом случае
называется гармоническим осциллятором.
Скорость и ускорение гармонического осциллятора находят, взяв первую, а
затем вторую производные от смещения x:
37
0 0 0 0 max 0
sin( ) cos( ) sin( )
2
dx
v x A t A t v t
dt
, (5)
2
2
0 0 max 0
2
2 2
0 0 0
cos( ) cos( )
cos( ) .
dv d x
a x A t a t
dt dt
A t x
(6)
Тогда сила
2 2
0 0 max 0 0
cos( ) cos( ) ,F ma mx mA t F t m x kx
(7)
При гармонических колебаниях происходят периодические взаимные
превращения энергии, в частности, для механической системы – превращения
кинетической энергии в потенциальную.
W
пот
=
2
2
kx
=
2 2 2
0 0
cos ( )
2
m A t
, (8)
W
кин
=
2 2
2 2
mv mx
=
2 2 2 2
0 0
sin ( )
2
m A t
. (9)
Полная энергия гармонического осциллятора:
W
полн
= W
кин
+ W
пот
=
2 2
0
2
m A
. (10)
Пружинный маятник – система, состоящая из груза
массы m, прикрепленного к пружине, массой которой
можно пренебречь по сравнению с массой груза. Уравнение
движения этой системы (по II закону Ньютона):
mx kx
, или
2
0
0x x
, где
циклическая частота и период:
2
0
k m
;
2
m
T
k
, (11)
а решение этого дифференциального уравнения имеет вид
0
cos( )x A t
.
Математический маятник – материальная точка,
подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая
движение по дуге окружности в вертикальной плоскости под
38
действием силы тяжести. Уравнение движения этой системы на основании
основного уравнения динамики вращательного движения имеет вид:
2
sinml mgl
. Для случая малых колебаний
sin
уравнение принимает
вид
( ) 0g l
. Решением его является функция
max 0
cos( )t
, (12)
где
max
– амплитуда колебаний, т.е. наибольший угол, на который
отклоняется маятник, а циклическая частота и период колебаний:
2
0
g l
,
2
l
T
g
. (13)
Физический маятник – твердое тело, совершающее колебания вокруг
горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса, расположенную выше его
центра масс. Уравнение движения этого тела имеет вид:
sinI mgx
(
I
– момент инерции маятника относительно
оси, проходящей через точку подвеса). Для случая малых
колебаний уравнение
( ) 0mgx I
имеет решение
2
max 0
cos( )t
,
где циклическая частота и период колебаний:
2
0
mgx I
,
2
I
T
mgx
. (14)
Приведенная длина физического маятника (
пр
l
)
– это длина такого
математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом
данного физического маятника:
пр
l I mx
. (15)
При сложении двух гармонических
колебаний одного направления и одинаковой
частоты
1 1 0 1
cos( )x A t
и
2 2 0 2
cos( )x A t
получается
39
гармоническое колебание
0
cos( )x A t
, где амплитуда результирующего
колебания находится из выражения:
2 2 2
1 2 1 2 2 1
2 cos( )A A A A A
, (16)
а начальная фаза – из выражения:
1 1 2 2
1 1 2 2
sin sin
cos cos
A A
tg
A A
. (17)
При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний, заданных
уравнениями
0
0
cos
cos( )
x A t
y B t
где
имеет смысл разности фаз складываемых колебаний в общем случае
движение происходит по кривой, уравнений которой имеет вид:
2 2
2
2 2
2
cos sin
x y xy
A B AB
. (18)
Это уравнение эллипса, оси которого повернуты
относительно координатных осей. В зависимости от
разности фаз
могут быть следующие частные
случаи:
1).
0
. Результирующее движение происходит по
прямой 1 на рисунке, уравнение которой
( )y B A x
, (19)
с частотой
0
и амплитудой, равной
2 2
A B
.
2).
. Результирующее движение происходит по прямой 2, уравнение которой
( )y B A x
, (20)
с частотой
0
и амплитудой, равной
2 2
A B
.
3).
2
. Траектория результирующего движения – эллипс (кривая 3),
приведенный к главным осям, уравнение которого имеет вид
40