Юсевич А.И. Расчет химико-технологических систем средствами Mathcad

Подождите немного. Документ загружается.

Результатом численного решения дифференциального уравне-

ния является таблично заданная функция, т.е. набор дискретных зна-

чений аргумента х и соответствующих им значений функции у. Одна-

ко часто возникает задача приближенного вычисления значений

функции в промежутках между узловыми (заданными) точками, т.е.

задача интерполяции. Наилучшим образом эта задача решается ап-

проксимацией исходной зависимости с помощью сплайна. В этом

случае исходная функция заменяется отрезками, например, кубиче-

ских полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Ко-

эффициенты полиномов рассчитываются так, чтобы непрерывными

были первая и вторая производные аппроксимируемой функции. Ли-

ния, которую описывает сплайн-функция, напоминает по форме гиб-

кую линейку, закрепленную в узловых точках.

Для осуществления сплайн-аппроксимации в Mathcad можно

воспользоваться следующими функциями:

cspline(VX, VY) ,

которая возвращает вектор VS вторых производных аппроксимируе-

мой функции, заданной векторами VX и VY ее значений (абсцисс и

ординат);

interp(VS, VX, VY, x) ,

которая возвращает интерполяционное значение у(х) для заданного

значения х на основании векторов VS, VX, VY.

Таким образом, сплайн-аппроксимация проводится в два этапа.

На первом этапе с помощью функции cspline отыскивается вектор VS

вторых производных функции y(x), заданной векторами VX и VY. На

втором этапе для каждой искомой точки вычисляется значение y(x) с

помощью функции interp.

VS cspline S

 







 y x( ) interp VS S

 

 S

 

 x







0 0.5 1

 

y x( )

 

x

Возвращаясь к

примеру А, прове-

дем сплайн-аппрок-

симацию табличной

функции, получен-

ной в результате ре-

шения дифференци-

ального уравнения.

Пример Б. Решить систему дифференциальных уравнений













,5.1

при следующих начальных условиях: у=1 и z=2 при х=0.















Вектор начальных условий

x1 0

Начальное значение аргумента

x2 10

Конечное значение аргумента

n 1000

Число шагов

Символьный вектор производных искомых функций

[второй аргумент (

) представляет собой вектор,

т.е. y

=у, у

=z в решаемой системе уравений]

D x y( )

1.5 y

 y

 



3 y

 

 2 y

















S Bulstoer V x1 x2 n D( )

Решение системы дифференциальных уравнений с

записью результата в матрицу

(в нулевом столбце

записаны значения

, в первом - соответствующие

значения

, во втором - значения

)

Графики искомых функций

0 5 10

 

0 1 2

0.01 0.975 1.989

0.02 0.95 1.977

0.03 0.925 1.964

0.04 0.901 1.95

0.05 0.876 1.935

0.06 0.852 1.919

0.07 0.828 1.902

0.08 0.805 1.884

0.09 0.781 1.865

0.1 0.758 1.846



Задания для самостоятельного выполнения

1. Построить графики функций одной переменной:

а)





671

 xxxf ,





10 ;10





x ; б)









xxf 4.0exp1092









10 ;0



x ;

в)









11.025.0exp33 xxxxf  ,





10 ;10





x ;

г)

 













5 ;1



x ;

д)

 

2165

xf 





10 ;0



x ;

е)

 

1646  xxxf ,





2 ;2





x ;

ж)

 



















ln7

xf ,





10 ;10





x ;

з)









wwR 3sin1











wwR 5sin2.12







2. Построить графики функций двух переменных:

а)

)

(







при





;





;

б)

916),(2 yxyxz  при

100





;

100





;

в)

),(3 xyyxz  при

1000

990

1000





;

1000

990

1000





;

г)





),(4 yxyxyxz  при





;





;

д)





xyyxz sin),(5





при





;





3. Решить алгебраические уравнения:

а)







;

б) 148.3

ln 





;

в)









366.0coslg





x ;

г) 34.0

arcsin 













x

;

д) 7.1164

24 2

 xx ;

е)





14.0exp109





xx ;

ж)

556.0









;

з)

245











4. Решить системы линейных алгебраических уравнений:

а)













;132212

,232221

,132212

xxx

б)

















;2321

,13221

,121

xxx

в)

























;44834261

,34832914

,242332312

,14334221

xxxx

г)





















;1542322313

,544342919

,1543332212

,04321

xxxx

д)























;0483251

,04532213

,04433221

,04321

xxxx

; е)























.9362.149347.630392.121

,3654.2438652.426931.01

,9367.14333674.0291

,3412.1431931.023361.012

xxxx

5. Решить системы нелинейных алгебраических уравнений:

а)

















;10322

,15251

,53321

xxx

б)

 































);10ln(3

),15ln(251ln

),5ln(3321exp

xxx

;

в)



















;9.9921

,3.021sin

г)

 























.3712exp

,4.0

321

121

,221.652.331

321

xxx

6. Решить дифференциальные уравнения I порядка (в случае, ес-

ли начальные условия не указаны, задать их самостоятельно):

а)

' xyy  , y(0)=1,

]

;

[



h=0.1;

б)





, y(0)=1,

]

;

[



, h=0.1;

в) yxy 

' , y(0)=2,

]

;

[



h=0.1;

г)

)cos(

' , y(1)=1,

]

;

[



h=0.1;

д)















dyyxdxyx , y(0)=1; е)

)

cos(

)

sin(





;

ж)

' yx

y  ;

з)









01'2'5







yxyy .

7. Решить системы дифференциальных уравнений (в случае, ес-

ли начальные условия не указаны, задать их самостоятельно):

а)



, y(0)=1, z(0)=2; б)

eyx





, x(0)=1, y(0)=2;

в)

zyxz

zyxy

zyxx





;

г)

 

)sin(





, y(0)=2; z(0)=1.

8. Решить дифференциальные уравнения высших порядков (в

случае, если начальные условия не указаны, задать их самостоятель-

но):

а)

eyyy

26'''  , y(0)=1, y'(0)=1;

б)







;

в)





)

sin(

, y(0)=3, y'(0)=0,

y''(0)=–1;

г) 1848120'''

 xxy .

2. АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ ХТС

Любая ХТС как объект исследования имеет определенную тех-

нологическую структуру. Технологическая структура (или техноло-

гическая топология) ХТС – это строение и внутренняя форма органи-

зации системы, отражающая состав элементов (т.е. их число, конст-

рукционный тип и технологическое назначение) и особенности взаи-

мосвязей между элементами.

Технологическую топологию ХТС отображают, используя раз-

нообразные схемы: чаще всего технологические и операторные.

Технологическая схема ХТС – это такой чертеж, на котором каж-

дый элемент системы представлен в виде стандартного графического

изображения, а технологические связи даны в виде направленных ли-

ний (рис. 3), а также приведены краткие сведения о химических фор-

мулах, составах технологических потоков и некоторые сведения о

свойствах веществ, участвующих в химико-технологическом процессе.

Рис. 3. Технологическая схема процесса олигомеризации пропан-пропиленовой

фракции на твердом фосфорно-кислотном катализаторе: 1 – насос; 2 – рекупера-

тивный теплообменник; 3 – подогреватель; 4 – кожухотрубчатый реактор; 5 – де-

пропанизатор; 6 – колонна выделения димеров; 7 – колонна выделения тримеров;

8 – колонна выделения тетрамеров пропилена; I – пропан-пропиленовая фракция;

II – водяной пар; III – водяной конденсат; IV – димеры пропилена; V – пропан;

VI – тримеры пропилена; VII – тетрамеры пропилена; VIII – тяжелый остаток

Операторная схема ХТС – это такой чертеж, на котором каж-

дый элемент изображают в виде одного или совокупности типовых

технологических операторов (ТТО), а взаимосвязи между ТТО и тех-

нологические соединения между элементами показывают направлен-

ными линиями. Операторная схема ХТС дает первоначальное пред-

ставление о физико-химической сущности всех химико-технологичес-

ких процессов системы (рис. 4).

Рис. 4. Операторная схема процесса олигомеризации пропан-пропиленовой фрак-

ции на твердом фосфорно-кислотном катализаторе: 1 – смеситель потоков; 2 – ре-

куперативный теплообменник; 3 – подогреватель; 4 – реактор; 5 – депропаниза-

тор; 6 – колонна выделения димеров; 7 – колонна выделения тримеров; 8 – колон-

на выделения тетрамеров пропилена

Типы технологических связей, характерные для технологической

топологии ХТС, приведены на рис. 5.

В зависимости от типа технологических связей в структуре ХТС

выделяют однонаправленные (разомкнутые) и встречнонаправленные

(замкнутые) ХТС. Однонаправленные, или ациклические ХТС – это

системы, содержащие однонаправленные технологические связи: по-

следовательные, параллельные и последовательно-обводные.

Встречнонаправленные, или контурные ХТС – это системы, со-

держащие обратные технологические связи. Такие ХТС могут быть

одноконтурными и многоконтурными.

Одноконтурные ХТС в своей структуре содержат один простой

контур (рис. 6, а). Простой контур представляет собой замкнутую со-

вокупность элементов ХТС, при обходе которой в направлении техно-

логических потоков никакой элемент, кроме начального, дважды не

повторяется.

Многоконтурные ХТС могут быть упорядоченными и взаимо-

связанными. Упорядоченные многоконтурные ХТС содержат в своей

Рис. 5. Типы технологических связей: а – последовательная; б – последовательно-

обводная; в – параллельная; г – обратная по потоку вещества; д – обратная по по-

току энергии связь

структуре произвольное число упорядоченно расположенных в опре-

деленном направлении одноконтурных подсистем (рис. 6, б).

Взаимосвязанные многоконтурные ХТС имеют в своей структу-

ре различное число произвольно взаимосвязанных одноконтурных

подсистем, содержащих общие элементы, которые принадлежат одно-

временно нескольким различным подсистемам (рис. 6, в, г).

В общем случае технологическая топология ХТС может содер-

жать произвольную комбинацию различных однонаправленных и

встречнонаправленных технологических связей.

Тип технологических связей существенно влияет на технологи-

ческие и технико-экономические показатели эффективности функ-

ционирования ХТС, на свойства ХТС, а также определяет порядок и

способ расчета ХТС.

Рис. 6. Контурные ХТС: а – одноконтурная; б – упорядоченная многоконтурная;

в, г – взаимосвязанные многоконтурные ХТС

Большая сложность технологической топологии современных

ХТС, их многомерность по числу составляющих элементов, высокая

степень параметрического взаимовлияния элементов обусловливают

возникновение при решении задачи анализа ХТС ряда трудностей ме-

тодологического и вычислительного характера, которые могут быть

преодолены с применением аппарата теории графов. Например, для

разработки алгоритмов оптимальной стратегии расчета ХТС при тех-

нологически направленном способе анализа сложных многоконтур-

ных ХТС применяют параметрические потоковые графы.

Параметрические потоковые графы (ППГ) – топологические

модели ХТС, отображающие преобразование элементами ХТС пара-

метров физических потоков системы. Вершины ППГ отображают тех-

нологические операторы ХТС, а также точки стыковки технологиче-

ских трубопроводов, источники и стоки физических потоков ХТС. Ду-

ги ППГ соответствуют физическим потокам ХТС. На рис. 7 представ-

лен ППГ операторной схемы ХТС, приведенной на рис. 4.

Рис. 7. Параметрический потоковый граф процесса олигомеризации пропан-

пропиленовой фракции

Структурный анализ ППГ позволяет выбрать особые дуги ППГ,

соответствующие множеству разрываемых технологических потоков.

Разрыв особых дуг в структуре исходного многоконтурного ППГ дан-

ной ХТС превращает этот многоконтурный ППГ в эквивалентный

ациклический ППГ, который может быть упорядочен по слоям вер-

шин (т.е. для которого может быть определена упорядоченная после-

довательность расчета математических моделей отдельных элементов

ХТС, соответствующих вершинам ППГ).

Задача структурного анализа многоконтурного ППГ, отобра-

жающего сложную встречнонаправленную (замкнутую) ХТС, форму-

лируется следующим образом. Дан исходный многоконтурный ППГ,

который содержит l разнопараметрических дуг Q=(q

, q

,…, q

) и m

простых контуров (L

, L

,…, L

). Необходимо определить множество

особых дуг Q*=(q

, q

,…, q

), Q* Q с минимальной суммой парамет-

ричностей ():







min , (1)

которые разрывают все m простых контуров в исходном ППГ. Оче-

видно, что если все дуги исходного ППГ имеют одинаковую парамет-

ричность, то отыскивается минимальное множество особых (разры-

ваемых) дуг, т.е. (1) переписывается следующим образом:

min



. (2)