Васильев А.Н., Михайлин В.В. Введение в спектроскопию диэлектриков. Часть I
Подождите немного. Документ загружается.
ôîíîíîâ, íàçûâàåòñÿ ïîëÿðîíîì. Ýòî íàçâàíèå èñïîëüçóåòñÿ
äëÿ ñîñòîÿíèé, ÿâëÿþùèõñÿ ðåçóëüòàòîì âçàèìîäåéñòâèÿ ñ
ëþáûì òèïîì ôîíîíîâ, íåçàâèñèìî îò íàëè÷èÿ èëè îòñóòñò
-
âèÿ âûçâàííîé ôîíîíàìè ïîëÿðèçàöèè ðåøåòêè.
Ðàäèóñ òàêîãî ïîëÿðîíà ìîæíî îöåíèòü èç ñîîòíîøåíèÿ
íåîïðåäåëåííîñòè äëÿ âîëíîâîãî âåêòîðà âèðòóàëüíûõ ôîíî
-
íîâ, çíà÷åíèå êîòîðîãî ïî ìîäóëþ ïîðÿäêà
Q
. Òåì ñàìûì ðå
-
øåòêà âîçìóùàåòñÿ ýëåêòðîíîì íà ðàññòîÿíèÿõ ïîðÿäêà
2p Q
,
÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ìíîãî áîëüøå ïîñòîÿííîé ðå
-
øåòêè
a
. Â ñâÿçè ñ ýòèì òàêèå ïîëÿðîíû íàçûâàþòñÿ ïîëÿðî
-
íàìè áîëüøîãî ðàäèóñà.
Óðàâíåíèå (14.6) ñïðàâåäëèâî òîëüêî äëÿ
k < Q 2
. Äëÿ
áîëüøèõ
k
çíàìåíàòåëü (14.5) îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè íåêîòî
-
ðûõ çíà÷åíèÿõ
q
. Ïðè ýòîì ñòàíîâèòñÿ âîçìîæíûì ïðîöåññ
ðåàëüíîãî èñïóñêàíèÿ ôîíîíà ýëåêòðîíîì. Óñëîâèå
k < Q 2
ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ ÷åðåíêîâñêîãî èçëó÷åíèÿ ôîòîíà ýëåê-
òðîíîì â ñðåäå. Ñêîðîñòü ýëåêòðîíà
h k m
s
*
äëÿ ïîðîãîâîãî
çíà÷åíèÿ
k = Q 2
ðàâíà ñêîðîñòè çâóêà â ñðåäå
c
LA
, ïîýòîìó
òîëüêî ýëåêòðîíû ñ áîëüøåé ñêîðîñòüþ ìîãóò èñïóñêàòü çâó-
êîâûå âîëíû – ôîíîíû. Ââîäÿ â çíàìåíàòåëü ôîðìóëû (14.4)
ñîãëàñíî àäèàáàòè÷åñêîìó ïðèáëèæåíèþ òåîðèè âîçìóùåíèé
áåñêîíå÷íî ìàëóþ ìíèìóþ ÷àñòü, ïîëó÷èì, ÷òî ýíåðãèÿ
E
()
()
2
k
òàêæå ñòàíîâèòñÿ êîìïëåêñíîé:
EE i
() ()
() () () ()
20
kkkk=++DG
,
ãäå
D()k
îïðåäåëÿåò ñäâèã ýëåêòðîííîãî óðîâíÿ çà ñ÷åò âçàè
-
ìîäåéñòâèÿ ñ ôîíîíàìè, à
G()k
— åãî øèðèíó:
D
W
()
;
$
;
() () (
int
() ()
k
kq k
kq q k
qq
=-
-
-+ -
V.p.
10
2
00
H
EE
LA
h )
,
() ;
$
;
() ()
int
()
q
qq
q
kkqk
kq q
å
å
=- ´
´-+-
G
W
p
d
10
2
0
H
EE
LA
h
()
()
() .
0
k
(14.7)
Òàêèì îáðàçîì, ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñòàöèîíàð
-
íûìè ëèøü äëÿ íóëåâîé òåìïåðàòóðû è ìàëûõ âîëíîâûõ âåê
-
òîðîâ
k < Q 2
, à äëÿ áîëüøèõ âîëíîâûõ âåêòîðîâ, è òåì ñà
-
ìûì, áîëüøèõ ýíåðãèé, ñòàíîâÿòñÿ íåñòàöèîíàðíûìè.
190
Òèïè÷íûå âðåìåíà æèçíè òàêèõ ñîñòîÿíèé ïîðÿäêà
h 210 10
13 12
G» ¸
--
c.
Äëÿ êîíå÷íûõ òåìïåðàòóð íåîáõîäèìî ó÷åñòü ðàâíîâåñ
-
íîå ðàñïðåäåëåíèå ôîíîíîâ è âêëþ÷èòü íå òîëüêî ïðîöåññû
èñïóñêàíèÿ ôîíîíîâ, íî è èõ ïîãëîùåíèÿ:
D
W
()
;
$
;
() ()
int
() ()
k
kq k
kq q
qq
=-
±
±-
V.p.
m
mh
nn
EE
LA
1
2
00
H
()
,
() ;
$
;
()
int
()
k
kkqk
kq
q
qq
q
åå
åå
±
±
=±´
´±
T
nn
E
Gp
d
m
m
1
2
0
H
()
hW
LA
T
E() () .
()
qk-
0
Ìû çäåñü îïÿòü èñïîëüçîâàëè îáîçíà÷åíèå
K
T
äëÿ óñ-
ðåäíåíèÿ ïî ÷èñëàì çàïîëíåíèÿ ôîíîíîâ
{}n
q
. Ïîñëå âûïîë-
íåíèÿ ýòîãî óñðåäíåíèÿ øèðèíà ïîëÿðîííîãî ñîñòîÿíèÿ îêà-
çûâàåòñÿ ðàâíîé
G
W
()
(( ) () ())
ex
() ()
k
q
kq q k
q
=
-+ -
-
å
ps
d
2
00
21
h
h
MNc
EE
LA
LA
p( ( ) )-
é
ë
ê
ê
+
hW
LA B
kTq
+
+- -
-
ù
û
ú
ú
d(( ) () ())
exp( ( ) )
() ()
EE
kT
LA
LA B
00
1
kq q k
q
h
h
W
W
.
(14.8)
Ïðè
T > 0
ýòî âûðàæåíèå îòëè÷íî îò íóëÿ ïðè âñåõ
k
, ò.å.
ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ ïåðåñòàþò áûòü ñòàöèîíàðíûìè çà
ñ÷åò ïîãëîùåíèÿ è èñïóñêàíèÿ ôîíîíîâ. Âòîðîé ÷ëåí â (14.8)
óìåíüøàåòñÿ ñ ïàäåíèåì òåìïåðàòóðû, è äëÿ íóëåâûõ òåìïå
-
ðàòóð (14.8) ïåðåõîäèò â (14.7).
14.2 Ïîëÿðîíû áîëüøîãî ðàäèóñà. Ïîëÿðèçàöèîííîå
âçàèìîäåéñòâèå
 èîííûõ êðèñòàëëàõ áîëüøóþ ðîëü èãðàþò îïòè÷åñêèå
ôîíîíû, êîòîðûå íå ïðèâîäÿò ê èçìåíåíèþ îáúåìà, íî ñâÿçà
-
íû ñ âîçíèêíîâåíèåì ïîëÿðèçàöèè êðèñòàëëà. Â ïîëíóþ ïî
-
ëÿðèçàöèþ êðèñòàëëà âíîñÿò âêëàä êàê èîíû, òàê è ýëåêòðî
-
íû. Ñ îïòè÷åñêèìè êîëåáàíèÿìè ñâÿçàíà òîëüêî èîííàÿ
191
ñîñòàâëÿþùàÿ ïîëÿðèçàöèè. Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûäåëèòü âêëàä
èîííîé ïîäñèñòåìû, çàìåòèì, ÷òî íà íèçêèõ ÷àñòîòàõ (â ñòàòè
-
÷åñêîì ñëó÷àå
w<<W
LO
) â ïîëÿðèçàöèþ âíîñÿò âêëàä êàê
èîííàÿ, òàê è ýëåêòðîííàÿ ïîäñèñòåìû; åñëè æå ÷àñòîòû âûá
-
ðàòü â îáëàñòè ïðîçðà÷íîñòè êðèñòàëëà (
W
LO g
E<< <<w h
),
òî ëèøü âêëàä ýëåêòðîííîé ïîäñèñòåìû îñòàåòñÿ íåèçìåííûì.
Âêëàä èîííîé ïîäñèñòåìû â ïîñëåäíåì äèàïàçîíå ÷àñòîò áûñ
-
òðî óìåíüøàåòñÿ (êàê
W
LO
22
w
), ïîñêîëüêó èîíû íå óñïåâàþò
ñëåäèòü çà èçìåíÿþùèìñÿ çíà÷åíèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
Òàêèì îáðàçîì, èíòåðåñóþùàÿ íàñ èîííàÿ ÷àñòü ïîëÿðèçàöèè
ðàâíà
Pr Dr Dr() () ()=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
--
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
é
ë
ê
ù
û
ú
=
¥
1
4
1
1
1
1
0
pe e
Dr()
4pe
*
,
ãäå
e
0
è
e
¥
— ñîîòâåòñòâåííî ñòàòè÷åñêàÿ è âûñîêî÷àñòîòíàÿ
äèýëåêòðè÷åñêèå ïðîíèöàåìîñòè, à
e
ee
*
¥
-
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
11
0
1
(14.9)
– ýôôåêòèâíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü. Èíåðöèîí-
íàÿ ÷àñòü ïîëÿðèçàöèè ñîçäàåò â êðèñòàëëå ýëåêòðè÷åñêîå
ïîëå, ïîòåíöèàë êîòîðîãî ðàâåí
4
3
p
div Pr
rr
()
¢
-
¢
¢
ò
dr
. (14.10)
 ïðåäñòàâëåíèè âòîðè÷íîãî êâàíòîâàíèÿ ãàìèëüòîíèàí
âçàèìîäåéñòâèÿ èìååò âèä (14.3) ñ çàìåíîé
F
ac
s
íà
F
e
v
LO
opt
s
()q
q
=-
*
1
2
2
p
e
hW
. (14.11)
Ýòîò ãàìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâèÿ áûë âïåðâûå ââåäåí Ôðå
-
ëèõîì [104, 105].
Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñèëû ýëåêòðîí-ôîíîííîé ñâÿçè
óäîáíî ââåñòè áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð
a
e
=
*
*
e
m
s
LO
2
3
2h W
.
192
Äëÿ áîëüøèíñòâà èîííûõ êðèñòàëëîâ åãî çíà÷åíèå èçìåíÿåò
-
ñÿ â ïðåäåëàõ îò 1 äî 10. Òàê æå êàê è â ñëó÷àå âçàèìîäåéñòâèÿ
ñ àêóñòè÷åñêèìè ôîíîíàìè, ìîæíî ïî ôîðìóëå (14.4) îöå
-
íèòü âëèÿíèå ôîíîíîâ íà ñäâèã êðàÿ çîíû ïðîâîäèìîñòè è èç
-
ìåíåíèÿ ýôôåêòèâíîé ìàññû ýëåêòðîíà. Ïðè
a<1
ñïðàâåäëè
-
âà òåîðèÿ âîçìóùåíèé, è ìîæíî ïîëó÷èòü
E
k
m
s
LO
()
()
2
22
2
1
6
k =-
æ
è
ç
ö
ø
÷
-
*
h
h
a
aW
.
Ñðåäíåå ÷èñëî âèðòóàëüíûõ ôîíîíîâ, âõîäÿùèõ â îáðàçîâà
-
íèå «îäåòîãî» ýëåêòðîíà, îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì
a 2
. Àíàëîãè÷
-
íûå ðåçóëüòàòû áûëè ïîëó÷åíû áîëåå ñëîæíûì îáðàçîì äëÿ
ïðîìåæóòî÷íîé îáëàñòè
a<6
áåç èñïîëüçîâàíèÿ òåîðèè âîç
-
ìóùåíèé. Ôåéíìàí, èñïîëüçóÿ ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ïî òðà
-
åêòîðèÿì, ïîëó÷èë ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè [106,
107]:
E
k
m
s
LO
()
()
k =
+
-
*
h
h
22
216a
aW
.
Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî òåîðèÿ ïîëÿðîíîâ îêàçàëàñü õîðî-
øåé ìîäåëüþ äëÿ ïðîâåðêè è ðàçâèòèÿ òåîðèè âçàèìîäåéñòâèÿ
÷àñòèöû ñ êâàíòîâàííûìè ïîëÿìè. Ïîýòîìó â ðàçâèòèè ýòîé
òåîðèè ó÷àñòâîâàëè ìíîãèå êðóïíûå ôèçèêè.
Êàê óæå îáñóæäàëîñü â ðàçäåëå 14.1, ïîëÿðîííûå ñîñòîÿ-
íèÿ ñ íèçêîé ýíåðãèåé ñòàáèëüíû ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå.
Îäíàêî ïîðîã íåñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé îòëè÷àåòñÿ îò ñëó
-
÷àÿ àêóñòè÷åñêèõ ôîíîíîâ èç-çà íåçàâèñèìîñòè (â íóëåâîì
ïðèáëèæåíèè)
W
LO
îò
q
. Èìåííî, ýëåêòðîí ìîæåò èñïóñòèòü
ðåàëüíûé ôîíîí, åñëè åãî ýíåðãèÿ ïðåâûøàåò ýíåðãèþ ïðî
-
äîëüíîãî îïòè÷åñêîãî ôîíîíà
hW
LO
. Øèðèíà ïîëÿðîííîãî
ñîñòîÿíèÿ ðàâíà
G
W
() ()
(( ) ())
exp(
() ()
kq
kq k
q
=
-+ -
--
å
p
d
N
F
EE
LO
opt
s
2
00
1
h
hW
LO B
kT)
é
ë
ê
ê
+
+
+- -
-
ù
û
ú
ú
d(( ) ())
exp( )
.
() ()
EE
kT
LO
LO B
00
1
kq kh
h
W
W
(14.12)
Ïðîöåññû èñïóñêàíèÿ è ïîãëîùåíèÿ ôîíîíîâ ïîäðîáíî ðàññ
-
ìàòðèâàþòñÿ â ñëåäóþùåì òîìå.
193
Ïîðîãîâàÿ ýíåðãèÿ äëÿ èñïóñêàíèÿ îïòè÷åñêèõ ôîíîíîâ
îêàçûâàåòñÿ çàìåòíîé (
hW
LO
~10 40¸
ìýÂ), â òî âðåìÿ êàê
ïîðîãîâàÿ ýíåðãèÿ äëÿ èñïóñêàíèÿ àêóñòè÷åñêèõ ôîíîíîâ
êðàéíå ìàëà (ïîðÿäêà
mc
ac ac
*--
¸
254
210 10~
ýÂ).
14.3 Êîíòèíóàëüíîå ïðèáëèæåíèå
Îïèñàíèå ýëåêòðîí-ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, ïðîâå
-
äåííîå â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, îñíîâûâàëîñü íà ïðåäïîëîæå
-
íèè îá îòíîñèòåëüíî ñëàáîì ýëåêòðîí-ôîíîííîì âçàèìîäåéñò
-
âèè.  íàñòîÿùåì ðàçäåëå áóäåò ðàññìîòðåí ñëó÷àé ñèëüíîãî
âçàèìîäåéñòâèÿ. Òàêîé ñëó÷àé íå ðåàëèçóåòñÿ â áîëüøèíñòâå
êðèñòàëëîâ, íî ñ êà÷åñòâåííîé òî÷êè çðåíèÿ î÷åíü âàæíî.
Ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ýëåêòðîíîì è
ïîëÿðèçàöèåé ðåøåòêè ìîæåò ïðèâåñòè ê îáðàçîâàíèþ ïîòåí
-
öèàëüíîé ÿìû è çàõâàòó ýëåêòðîíà â ýòó ÿìó, áûëî âïåðâûå
âûñêàçàíî Ëàíäàó [108] è ðåàëèçîâàíî â äåòàëÿõ Ïåêàðîì
[109]. Ïåêàð èñïîëüçîâàë äëÿ îïèñàíèÿ ýëåêòðîí-ðåøåòî÷íî-
ãî âçàèìîäåéñòâèÿ êîíòèíóàëüíîå ïðèáëèæåíèå, êîãäà äå-
ôîðìàöèÿ è ïîëÿðèçàöèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê íåïðåðûâíûå
ïëàâíûå ôóíêöèè, èçìåíÿþùèåñÿ íà ðàññòîÿíèÿõ, áîëüøèõ
ïîñòîÿííîé ðåøåòêè. Îòäåëüíûå ôîíîíû â òàêîì ïîäõîäå íå
ðàññìàòðèâàþòñÿ. Òàêîå ïðèáëèæåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ ñèëü-
íîé ýëåêòðîí-ôîíîííîé ñâÿçè (
a>>1
).
Ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà â êðèñòàëëå ìîæåò áûòü çàïèñàíà â
âèäå ôóíêöèîíàëà îò âîëíîâîé ôóíêöèè ýëåêòðîíà
y()r
è
èîííîé ïîëÿðèçàöèè
Pr()
:
E
m
dr
dr
{,} () ()
()
yy y
pe
Pr r
Pr
=-
Ñ
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+
+
*
*
*
ò
h
22
3
23
2
2
òò
- PrDr() () ,dr
3
(14.13)
ãäå âòîðîå ñëàãàåìîå — ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ èîííîé ïîëÿ
-
ðèçàöèè êðèñòàëëà:
Udrdr==
òò
*
1
2
2
1
323
DrPr Pr() () ()pe
,
D
1
— âåêòîð èíäóêöèè, ñâÿçàííûé ñ ïîëÿðèçàöèåé
Pr()
(ãäå
DP
1
4=
*
pe
),
194
Dr r
rr
rr
() ( )=
¢
¢
-
¢
-
¢
ò
edry
2
3
3
(14.14)
— âåêòîð èíäóêöèè, ñîçäàâàåìûé çàðÿäîì ýëåêòðîíà ñ ðàñï
-
ðåäåëåíèåì
y
2
. Òðåòüå ñëàãàåìîå â (14.13) îïðåäåëÿåò ýíåð
-
ãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíà ñ ðåøåòêîé. Â òàêîì ïîäõîäå
ó÷èòûâàåòñÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà (ïåðâîå ñëàãàå
-
ìîå â (14.13)), îäíàêî â ñîîòâåòñòâèè ñ àäèàáàòè÷åñêèì ïðèá
-
ëèæåíèåì êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ðåøåòêè îïóñêàåòñÿ.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ
y
è
P
íåîáõîäèìî ìèíèìèçèðîâàòü ôóí
-
êöèîíàë (14.13) ïðè óñëîâèè íîðìèðîâêè âîëíîâîé ôóíêöèè
y()r
.  ïåðâóþ î÷åðåäü ìèíèìèçèðóåì
E{,}y P
ïî îòíîøåíèþ ê
âàðèàöèÿì
Pr()
. Ýòî ìîæåò áûòü ñäåëàíî ïóòåì ðåøåíèÿ óðàâ
-
íåíèÿ íà ôóíêöèîíàëüíóþ ïðîèçâîäíóþ
dy dE{,}PP= 0
.Ðå
-
øåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ äàåò ñâÿçü
Pr()
ñ èíäóêöèåé (14.14),
ñîçäàâàåìîé ýëåêòðîíîì:
Pr Dr() ()=
*
4pe
. (14.15)
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî ðåøåíèå â
E{,}y P
, íàõîäèì ôóíêöèîíàë, çà-
âèñÿùèé óæå òîëüêî îò âîëíîâîé ôóíêöèè ýëåêòðîíà
y
:
E
m
dr dr{} () ()yy
pe
=Ñ -
**
òò
h
2
2
323
2
1
8
rDr
,
ãäå
D
îïðåäåëåíî â (14.14).
Ïåêàð [109] íàøåë ìèíèìóì ýòîãî ôóíêöèîíàëà ñ ïî
-
ìîùüþ ïðîáíîé ôóíêöèè, çàâèñÿùåé îò ïàðàìåòðà
r
0
:
y
p
0
0
0
3
0
1
7
() exp( )r =
+
-
rr
r
rr
, (14.16)
êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé, íîðìèðîâàííîé
è äîñòàòî÷íî ãëàäêîé â òî÷êå
r = 0
(â ýòîé òî÷êå èìååò íóëåâóþ
ïðîèçâîäíóþ). Ìèíèìèçàöèÿ ôóíêöèè
Er E() { ()}
00
=yr
îò
-
íîñèòåëüíî
r
0
äàåò çíà÷åíèå
rme
0
22
2=
**
h e
. Óñëîâèåì ïðè
-
ìåíèìîñòè êîíòèíóàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ
ra
0
>>
,
ãäå
a
— ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè. Çíà÷åíèå ýíåðãèè ïîëÿðîíà äëÿ
ïðîáíîé ôóíêöèè (14.16) îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì
Eme
0
22
0054=-
**
, h e
. Ýòà ýíåðãèÿ îïðåäåëÿåò ýíåðãèþ òåð
-
ìè÷åñêîé äèññîöèàöèè ïîëÿðîíà ñ ðàçðóøåíèåì
195
ïîëÿðèçàöèîííîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìû. Ýíåðãèÿ îïòè÷åñêîé
äèññîöèàöèè ïîëÿðîíà
E
1
áîëüøå
E
0
â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíöè
-
ïîì Ôðàíêà-Êîíäîíà. Îïòè÷åñêèé ïåðåõîä ïðîèñõîäèò áåç
ðàçðóøåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ÿìû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íåîáõîäè
-
ìî âû÷èñëèòü ïîòåíöèàëüíóþ ÿìó (14.10), ñîçäàííóþ ïîëÿ
-
ðèçàöèåé ðåøåòêè (14.15), âûçâàííîé âîëíîâîé ôóíêöèåé
(14.16), è íàéòè â òàêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå ýíåðãèþ îñíîâíî
-
ãî ñîñòîÿíèÿ. ×èñëåííûé ðàñ÷åò äàåò âåëè÷èíó
Eme
1
22
0163=-
**
, h e
, ÷òî â òðè ðàçà áîëüøå
E
0
. Ïîñêîëüêó
ïðè îïòè÷åñêîì ïåðåõîäå ÿìà ñðàçó íå ðàçðóøàåòñÿ, òî àáñî
-
ëþòíîå çíà÷åíèå
E
1
ðàâíî ýíåðãèþ ôîòîèîíèçàöèè ïîëÿðîíà.
Âçàèìîäåéñòâèå ýëåêòðîíà ñ îïòè÷åñêèìè êîëåáàíèÿìè â
èîííûõ êðèñòàëëàõ ïðèâîäèò ê âîçíèêíîâåíèþ ïîëÿðîíà
áîëüøîãî ðàäèóñà. Íî â ðÿäå êðèñòàëëîâ íàáëþäàþòñÿ ïîëÿ
-
ðîíû ìàëîãî ðàäèóñà. Îáðàçîâàíèå òàêèõ âîçáóæäåíèé òàêæå
ìîæåò áûòü ðàññìîòðåíî â êîíòèíóàëüíîì ïðèáëèæåíèè.
Àêóñòè÷åñêèå äåôîðìàöèîííûå ôîíîíû èãðàþò â ýòîì ïðî-
öåññå âàæíóþ ðîëü [110, 111].
Äåôîðìàöèîííûé ïîòåíöèàë ìîæåò áûòü âûðàæåí ÷åðåç
îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå îáúåìà ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè
r() ()rur= div
â âèäå
-sr()r
(14.1). Ïëîòíîñòü ýíåðãèè äåôîð-
ìàöèè ðàâíà
br
2
2
, ãäå
b
— óïðóãàÿ ïîñòîÿííàÿ êðèñòàëëà.
Òàêèì îáðàçîì ýíåðãèÿ ïîëÿðîííîãî ñîñòîÿíèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóí-
êöèîíàëîì
E{,,}yrP
, êîòîðûé îòëè÷àåòñÿ îò (14.13) íàëè÷èåì
äâóõ äîïîëíèòåëüíûõ ÷ëåíîâ
-+
òò
syr
b
r
2
2
33
2
() ()rrdr dr
.
Ìèíèìèçàöèÿ ôóíêöèîíàëà
E{,,}yrP
ïî
P
äàåò òîò æå ðåçóëü
-
òàò (14.15), ÷òî è ðàíüøå, ìèíèìèçàöèÿ ïî
r
äàåò
rsyb()r =
2
. Ïîäñòàíîâêà ýòèõ çíà÷åíèé â
E{,,}yrP
äàåò çà
-
âèñÿùèé òîëüêî îò
y()r
ôóíêöèîíàë. Îáñóäèì íåêîòîðûå îá
-
ùèå ñâîéñòâà ýòîãî ôóíêöèîíàëà. Ïðîáíàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò
áûòü âûáðàíà â âèäå
ym m() ( ) ( )r = afra
32
, (14.17)
çàâèñÿùåì îò âàðèàöèîííîãî ïàðàìåòðà
m
. Ôóíêöèÿ
fx()
ïðåäïîëàãàåòñÿ íîðìèðîâàííîé:
41
22
0
p xf xdx()
¥
ò
=
.Åñëè
196
ñðåäíåå çíà÷åíèå
x
äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
fx
2
()
ïîðÿäêà
åäèíèöû, òî ñðåäíåå çíà÷åíèå
r
äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
y
2
ïîðÿä
-
êà
a m
. Ïîñêîëüêó äëÿ ïðèìåíèìîñòè êîíòèíóàëüíîãî ïðèá
-
ëèæåíèÿ
a m
äîëæíî áûòü áîëüøå
a
,òî
m
äîëæíî áûòü ìåíüøå
åäèíèöû.
Ïîäñòàíîâêà (14.17) â ôóíêöèîíàë
E{}y
è âûíåñåíèå
ñòåïåíåé
m
çà çíàêè èíòåãðàëîâ äàåò
EBg g
d
p
() ( )mmmm=--
23
, (14.18)
ãäå
B
,
g
d
è
g
p
— êîíñòàíòû, îïðåäåëÿåìûå êîíêðåòíûì âè
-
äîì
fx()
. Åñëè âûáðàòü
fx x() exp( )=-2
34 2
p
, òî ýòè êîíñòàí
-
òû ðàâíû
B
ma
=
*
3
2
2
2
ph
,
g
m
d
=
*
s
pb3
2
h
,
g
ema
p
=
*
*
2
3
2
2
pe h
.
Âèäíî, ÷òî
B
ñâÿçàíî ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé ýëåêòðîíà,
g
d
îïðåäåëÿåòñÿ äåôîðìàöèîííûì âçàèìîäåéñòâèåì ñ àêóñòè÷åñ-
êèìè ôîíîíàìè, à
g
p
— ïîëÿðèçàöèîííûì âçàèìîäåéñòâèåì ñ
îïòè÷åñêèìè ôîíîíàìè. Çíà÷åíèÿ
g
d
è
g
p
îïðåäåëÿþò òèï
êðèâîé
E()m
. Ýêñòðåìóìû êðèâîé
E()m
îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíå-
íèåì
23 0
2
mm--=gg
d
p
, (14.19)
ðåøåíèå êîòîðîãî èìååò âèä
m
12
113 3
,
[]=± -gg g
p
dd
.
Ïîëåçíî ïîñòðîèòü íå òîëüêî êðèâûå
E()m
(ðèñ. 37, à), íî òàê
-
æå è ôàçîâóþ äèàãðàììó â êîîðäèíàòàõ ñèëû ýëåêòðîí-ôî
-
íîííîé ñâÿçè äëÿ äåôîðìàöèîííîãî è ïîëÿðèçàöèîííîãî âçà
-
èìîäåéñòâèé (ðèñ. 37, á). Çíà÷åíèå
m
1
(
mm
12
<
) ñîîòâåòñòâó
-
åò ëîêàëüíîìó ìèíèìóìó êðèâîé
E()m
, à çíà÷åíèå
m
2
–ëî
-
êàëüíîìó ìàêñèìóìó.  ñëó÷àå
g
d
¹ 0
ýíåðãèÿ
E()m
ñ ðîñòîì
m
ñòðåìèòñÿ ê
-¥
. Íàñ èíòåðåñóåò òîëüêî îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè
êîíòèíóàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ (
01££m
).  ñëó÷àå
mm
12
1<<
(ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îí ðåàëèçóåòñÿ ïðè
gg
p
d
+<32
) ó ôóí
-
êöèîíàëà
E()m
èìååòñÿ òîëüêî îäèí ìèíèìóì, ñîîòâåòñòâóþ
-
ùèé ñîñòîÿíèþ ñ îòíîñèòåëüíî áîëüøèì ðàäèóñîì (òàê íàçû
-
âàåìûé ñâîáîäíûé ïîëÿðîí, îáîçíà÷àåìûé áóêâîé
F
).
197
Åñëè óðàâíåíèå (14.19) íå èìååò ðåøåíèé (
31gg
d
p
>
)
èëè
m
1
1>
(
31g
d
<
,
gg
p
d
+>32
) ýíåðãèÿ
E()m
óìåíüøàåòñÿ ñ
ðîñòîì
m
äî òåõ ïîð, ïîêà íå ñòàíåò íàðóøàòüñÿ óñëîâèå
ïðèìåíèìîñòè êîíòèíóàëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ (
m<1
). Òåì ñà-
ìûì äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ íåò âàðèàöèîííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è î
ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà
E()m
â îáëàñòè
m<1
, è äëÿ íàõîæ-
äåíèÿ ñîñòîÿíèÿ àâòîëîêàëèçîâàííîãî ïîëÿðîíà òðåáóåòñÿ
ìèêðîñêîïè÷åñêèé ïîäõîä. Òàêîå ñîñòîÿíèå îáîçíà÷àåòñÿ
áóêâîé
S
. Êîíòèíóàëüíîå ïðèáëèæåíèå äàåò òîëüêî òîò ðå-
çóëüòàò, ÷òî íåò ðåøåíèé ñ áîëüøèì ðàäèóñîì, è ÷òî ñòàáèëü
-
íîå ñîñòîÿíèå ïîëÿðîíà èìååò ìàëûé ðàäèóñ. Ýíåðãèÿ òàêîãî
ïîëÿðîíà ìîæåò áûòü ãðóáî îöåíåíà ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìó
-
ëû (14.18) ïðè
m=1
.
 òîé ÷àñòè ôàçîâîé äèàãðàììû, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò
ñëó÷àþ
31gg
d
p
<
,
31g
d
>
,
gg
p
d
+>32
, îäíîâðåìåííî ìîãóò
ñîñóùåñòâîâàòü îáà òèïà ðåøåíèé. Â çàâèñèìîñòè îò èõ îòíî
-
ñèòåëüíûõ ýíåðãèé ìîãóò ðåàëèçîâûâàòüñÿ äâà ñëó÷àÿ: ñòà
-
áèëüíîå ñâîáîäíîå ðåøåíèå è ìåòàñòàáèëüíîå àâòîëîêàëèçî
-
âàííîå (îáîçíà÷àåìîå êàê
FS()
), èëè íàîáîðîò (
SF()
). Äëÿ
ñëó÷àÿ
SF()
àêòèâàöèîííûé áàðüåð ìåæäó äâóìÿ ñîñòîÿíèÿìè
ìîæåò áûòü îöåíåí êàê
EBgg g
A
p
d
d
=-413 27
32 2
()
.
 ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå
FS()
àêòèâàöèîííûé áàðüåð íå
198
E()m
0
F
FS()
SF()
S
1
m
1
2
g
p
13/
23/
1
g
d
Ðèñ. 37. Çàâèñèìîñòü ýíåãðèè
E()m
îò âàðèàöèîííîãî ïàðàìåòðà
m
(ëåâàÿ ïàíåëü) è ôàçîâàÿ äèàãàðììà ñóùåñòâîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ
ñîñòîÿíèé ïîëÿðîíà (ïðàâàÿ ïàíåëü).
ìîæåò áûòü îöåíåí äîñòàòî÷íî êîððåêòíî, ïîñêîëüêó êîíòè
-
íóàëüíîå ïðèáëèæåíèå óæå ïëîõî ïðèìåíèìî äëÿ
m=1
.
Ïîäîáíûé àíàëèç áûë ïðîâåäåí â ðàáîòàõ [112, 113] äëÿ
áîëåå ñëîæíîãî ñëó÷àÿ àâòîëîêàëèçàöèè ïîëÿðîíà â ïðèñóòñ
-
òâèè äåôåêòà.
Àâòîëîêàëèçàöèÿ èãðàåò çíà÷èòåëüíóþ ðîëü ïðè èññëåäî
-
âàíèè âçàèìîäåéñòâèÿ ñâåòà ñ òâåðäûìè òåëàìè. Ïðè ïðåäû
-
äóùåì ðàññìîòðåíèè îáñóæäàëàñü àâòîëîêàëèçàöèÿ çàðÿäà
áåç óòî÷íåíèÿ, ýëåêòðîí ýòî èëè äûðêà. ×àùå âñåãî íàáëþäà
-
åòñÿ àâòîëîêàëèçàöèÿ äûðêè, êîòîðàÿ õîðîøî èçó÷åíà â èîí
-
íûõ êðèñòàëëàõ. Ïîäðîáíîå îïèñàíèå ñòðóêòóðû òàêîé äûðêè
ïðåäñòàâëåíî íèæå.
 òâåðäûõ òåëàõ ìîãóò íàáëþäàòüñÿ áîëåå ñëîæíûå ñëó
-
÷àè îáðàçîâàíèÿ àâòîëîêàëèçîâàííûõ ñîñòîÿíèé. Àâòîëîêà
-
ëèçîâàííûé ýêñèòîí (self-trapped exciton, STE) ÿâëÿåòñÿ ïðè
-
ìåðîì òàêîãî âîçáóæäåíèÿ. ×èñëî ïàðàìåòðîâ ïðè ýòîì ìíîãî
áîëüøå, ÷åì â ñëó÷àå îòäåëüíîé ÷àñòèöû, ïîýòîìó ïîâåäåíèå
ýëåêòðîííî-äûðî÷íîé ïàðû áîëåå ñëîæíîå è ðàçíîîáðàçíîå.
 ñëó÷àå äâóõ ÷àñòèö ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì çàðÿäà ðîëü
ïîëÿðèçàöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ýôôåêòèâíî îñëàáåâàåò
èç-çà äàëüíîäåéñòâóþùåãî õàðàêòåðà ýòîãî âçàèìîäåéñòâèÿ
(ïîëÿ ýëåêòðîíà è äûðêè ÷àñòè÷íî êîìïåíñèðóþò äðóã äðó-
ãà). Ïîýòîìó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî êîðîòêîäåéñòâóþ-
ùåå äåôîðìàöèîííîå âçàèìîäåéñòâèå ÷àñòèö ñ ðåøåòêîé. Îñ-
íîâíîå âëèÿíèå ïîëÿðèçàöèÿ ðåøåòêè èìååò íà èçìåíåíèå êó-
ëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ (÷òî âûðàæàåòñÿ âî ââåäåíèè ïîñ-
òîÿííûõ
e
0
èëè
e
¥
, êàê ýòî îáñóæäàëîñü â ðàçäåëå 6.4).
Çäåñü ìû ïðåäñòàâèì òîëüêî ïðèìåð ôàçîâîé äèàãðàììû
äëÿ îòíîøåíèÿ ìàññ
mm
e
h
**
= 025,
è äëÿ ñëó÷àÿ ïðåíåáðåæå
-
íèÿ ïîëÿðèçàöèîííûì âçàèìîäåéñòâèåì [114]. Ôàçîâàÿ äèàã
-
ðàììà íà ðèñ. 38 ïîêàçûâàåò çàâèñèìîñòü ñîñòîÿíèé îò äåôîð
-
ìàöèîííûõ ïîòåíöèàëîâ
g
d
e
è
g
d
h
, îòîáðàæàåìûõ ïî îñÿì àáñ
-
öèññ è îðäèíàò, ñîîòâåòñòâåííî. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
g
d
eh,
ìî
-
ãóò ïðèíèìàòü ëþáîé çíàê, è äèàãðàììà èìååò öåíòð èíâåð
-
ñèè.
Äëÿ ìàëûõ
g
d
e
è
g
d
h
ñòàáèëüíûì ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿíèå ñâî
-
áîäíîãî ýêñèòîíà
F
ex
, ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé ýêñèòîí Âàíü
-
å-Ìîòòà. Ñ óâåëè÷åíèåì, ñêàæåì, ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ
g
d
h
,
ïðîèñõîäèò àâòîëîêàëèçàöèÿ äûðêè (
S
h
). Ýëåêòðîí â ýòîì
199