Васильев А.Н., Михайлин В.В. Введение в спектроскопию диэлектриков. Часть I
Подождите немного. Документ загружается.
ñïåêòðå ïîãëîùåíèÿ ìîãóò áûòü ñâÿçàíû ñ íàëîæåíèåì ïëîò
-
íîñòåé ñîñòîÿíèé êîìáèíèðóþùèõñÿ ôîíîíîâ.
Âîîáùå ãîâîðÿ, õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ (13.7) ÿâ
-
ëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ïî âñåì ìîäàì. Ïîýòîìó åå Ôóðüå-îá
-
ðàç ÿâëÿåòñÿ ìíîãîêðàòíîé ñâåðòêîé âñåõ âîçìîæíûõ ôîðì
ëèíèé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñâÿçàíà ñ îäíîé ôîíîííîé ìîäîé.
Ýòîò ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ îáùèì äëÿ ñëó÷àÿ íåâûðîæäåííûõ
ýëåêòðîííûõ ïåðåõîäîâ. Íàïðèìåð, îáùóþ ôîðìó ëèíèè ïðè
âêëþ÷åíèè äîïîëíèòåëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü
ñâåðòêîé ôîðìû ëèíèè ïðè ó÷åòå òîëüêî ýòîãî âçàèìîäåéñò
-
âèÿ ñ ïðåæíåé ôîðìîé ëèíèè. Ïðè âûïîëíåíèè ýòîé ñâåðòêè
íåîáõîäèìî öåíòðèðîâàòü âñå ëèíèè îòíîñèòåëüíî áåñôîíîí
-
íîé ëèíèè.
Ìîæíî ñäåëàòü åùå îäíî çàìå÷àíèå îáùåãî õàðàêòåðà î
ñïåêòðå ëþìèíåñöåíöèè äåôåêòà. Ýòà ëþìèíåñöåíöèÿ ñâÿçà
-
íà ñ ïåðåõîäàì èç âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ â îñíîâíîå. Âûøå
äëÿ îïèñàíèÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ïðåäïîëàãàëîñü ëèøü,
÷òî ñèñòåìà ôîíîíîâ íàõîäèòñÿ â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè. Âðå-
ìÿ æèçíè âîçáóæäåííîãî ýëåêòðîííîãî ñîñòîÿíèÿ îòíîñèòåëü-
íî èñïóñêàíèÿ ôîòîíà îáû÷íî ìíîãî áîëüøå õàðàêòåðíîãî
âðåìåíè ôîíîííîé ðåëàêñàöèè, ïðèâîäÿùåé ê óñòàíîâëåíèþ
òåïëîâîãî ðàâíîâåñèÿ â ôîíîííîé ïîäñèñòåìå. Ïîýòîìó ïðè
îïèñàíèè ëþìèíåñöåíöèè ìîæíî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïðîèñõî-
äèò èñïóñêàíèå ôîòîíà ïðè ïåðåõîäå èç òåðìè÷åñêè ðàâíîâåñ-
íîãî ïî ôîíîíàì âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ â îñíîâíîå. Âûðà-
æåíèå äëÿ ôîðìû ëèíèè èñïóñêàíèÿ áóäåò ñîâïàäàòü ñ âûðà-
æåíèåì äëÿ ôîðìû ëèíèè ïîãëîùåíèÿ ñ òîé ðàçíèöåé, ÷òî
E
fi
0
áóäåò èìåòü äðóãîé çíàê. Îòñþäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî â
ñëó÷àå ëèíåéíîé ýëåêòðîí-ðåøåòî÷íîé ñâÿçè ôîðìà ëèíèè
ïîãëîùåíèÿ ÿâëÿåòñÿ çåðêàëüíûì îòðàæåíèåì îòíîñèòåëüíî
áåñôîíîííîé ëèíèè ôîðìû ëèíèè èñïóñêàíèÿ ëþìèíåñöåí
-
öèè âîçáóæäåííîãî äåôåêòà (ðèñ. 33, á).
13.3 Ñèëüíàÿ ýëåêòðîí-ôîíîííàÿ ñâÿçü
Õàðàêòåðíûå ÷åðòû ñïåêòðà ïîãëîùåíèÿ â ñëó÷àå ñèëü
-
íîé ýëåêòðîí-ôîíîííîé ñâÿçè ìîæíî ðàçîáðàòü íà ïðîñòîì
ïðèìåðå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ îïòè÷åñêèìè êîëåáàíèÿìè [95].
Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ÷àñòîòà îïòè÷åñêèõ ôîíîíîâ íå
çàâèñèò îò âîëíîâîãî âåêòîðà:
WW
opt
()k =
0
. Ïðè ýòîì õàðàê
-
òåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ îïòè÷åñêîé ìîäîé
(13.8) ïðèíèìàåò âèä
180
gt
iE t
St
kT
iS t
fi
B
() exp ( cos ) sin=-- +
é
ë
ê
ê
0
0
0
0
1
2h
h
W
W
Wcth
ù
û
ú
ú
.
Çäåñü
SS=
å
opt,k
k
— âåëè÷èíà, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü è íå ìàëîé (îäíàêî êàæäàÿ
èç
S
opt,k
ìàëà, ÷òî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü âûðàæåíèå
(13.8)). Åñëè òåìïåðàòóðà ìàëà,
kT
B
<< hW
0
, òî âûðàæåíèå
äëÿ
gt()
ïðèîáðåòàåò âèä
gt
iE t
SSe
iE t
S
fi
it
fi
() exp exp=-+
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
=-
é
ë
ê
ê
ù
00
0
hh
W
û
ú
ú
=
¥
å
Se
n
n
in t
n
W
0
0
!
.
Ôîðìà ëèíèè ìîæåò áûòü ëåãêî ïîëó÷åíà Ôóðüå-ïðåîáðàçî-
âàíèåì:
G
eS
n
En
Sn
fi
n
()
!
().wdw=--
-
=
¥
å
0
0
0
h W
Êàê âèäíî, ñïåêòð ïîãëîùåíèÿ èìååò âèä áîëüøîãî ÷èñëà ðàñ-
ïðåäåëåííûõ ïî çàêîíó Ïóàññîíà äåëüòà-ôóíêöèé. Â äåéñòâè-
òåëüíîñòè ïðåäïîëîæåíèå î ïîñòîÿíñòâå ÷àñòîò
W
opt
()k
íå ÿâ-
ëÿåòñÿ ñòðîãèì, ïîýòîìó äåëüòà-ôóíêöèè ðàçìûâàþòñÿ, è
ñïåêòð ñòàíîâèòñÿ íåïðåðûâíûì. Èñïîëüçóÿ äëÿ
n!
â ñëó÷àå
áîëüøèõ
n
ôîðìóëó Ñòèðëèíãà, ìîæíî ïîëó÷èòü îöåíêó ôîð
-
ìû ëèíèè äëÿ
kT
B
<< hW
0
:
G
S
ES
S
fi
() exp
()
w
p
w
=-
--
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
1
2
2
0
0
0
2
0
2
W
W
W
h
, (13.9)
ò. å. ãàóññîâó ëèíèþ ïîãëîùåíèÿ øèðèíîé
2
0
SW
, öåíòð êî
-
òîðîé íàõîäèòñÿ ïðè ýíåðãèè
ES
fi
0
0
+ hW
. Ôîðìà ëèíèè ïðè
ðàçëè÷íûõ
S
ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå ïîêàçàíà íà ðèñ. 34.
Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ëåãêî ìîæåò áûòü èíòåðïðåòèðî
-
âàí íà ÿçûêå êîíôèãóðàöèîííûõ êîîðäèíàò. Âñå îïòè÷åñêèå
ìîäû âíîñÿò ëèíåéíûé âêëàä â ãàìèëüòîíèàí (12.6). Îáîçíà
-
÷èì ÷åðåç
Q
1
íåêîòîðóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ íîðìàëüíûõ
181
êîîðäèíàò
BBQ
-
å
1
kk
k
(ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â
îñíîâíîì ñîñòîÿíèè
Q
i
k
= 0
). Òîãäà â ãàìèëü
-
òîíèàí áóäåò âõîäèòü
òîëüêî
BQ
1
. Ïîñòîÿííàÿ
B
âûáèðàåòñÿ èç òåõ ñî
-
îáðàæåíèé, ÷òîáû ïðè
ââåäåíèè êîîðäèíàòû
Q
1
â ãàìèëüòîíèàí êîýôôè
-
öèåíò ïðè
Q
1
2
áûë áû ðà
-
âåí
W
0
2
2
(ò.å.
BS
2
0
2
2=W
). Ââåäåííàÿ
òàêèì îáðàçîì ìîäà íà-
çûâàåòñÿ ìîäîé âçàèìî-
äåéñòâèÿ è íå ÿâëÿåòñÿ
íîðìàëüíîé ìîäîé ñèñòåìû.
Ïðè ýòîì ïîòåíöèàëüíàÿ
ýíåðãèÿ ìîæåò áûòü èçîáðà-
æåíà äëÿ äâóõ ñîñòîÿíèé
ýëåêòðîííîé ñèñòåìû â âèäå
äâóõ ïàðàáîë (ðèñ. 35). Â îñ-
íîâíîì ñîñòîÿíèè ïðè íóëå-
âîé òåìïåðàòóðå êîîðäèíàòà
Q
1
ðàñïðåäåëåíà ïî Ãàóññó
(âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ
ñèñòåìû â òî÷êå
Q
1
èç-çà íó
-
ëåâûõ êîëåáàíèé ðàâíà
exp( )-Q
1
2
0
2
0
2WWh
). Èç-çà
òîãî, ÷òî îïòè÷åñêèé ïåðåõîä
ïðîòåêàåò çà âðåìåíà, ñóùåñòâåííî ìåíüøèå âðåìåí ðåëàêñà
-
öèè ðåøåòêè, èçìåíåíèÿ êîîðäèíàò, â ÷àñòíîñòè
Q
1
, íå ïðîèñ
-
õîäèò (ïðèíöèï Ôðàíêà—Êîíäîíà [98, 99]). Òîãäà ëèíèÿ
ïîãëîùåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíà
182
0
10 20 30
0
0,2
0,1
G
()
h
1
2
3
w
w-e
W
fi
h
Ðèñ. 34. Ôîðìà ëèíèè ïîãëîùåíèÿ â
ñëó÷àå ñèëüíîé ýëåêòðîí-ôîíîííîé
ñâÿçè: 1 — S=3; 2 — S=10; 3 — S=20.
Ýíåðãèÿ îòñ÷èòûâàåòñÿ îò ýíåðãèè áåñ
-
ôîíîííîãî ïåðåõîäà.
E
kT
kT
Q
B
B
Ðèñ. 35. Ñõåìà ïåðåõîäîâ ìåæäó
äâóìÿ óðîâíÿìè ïðè ñèëüíîé
ýëåêòðîí-ôîíîííîé ñâÿçè.
GdQ Q EQSS
fi
()~ exp( )( )~
~exp
wdw
11
2
0
0
10 0
22--+-
-
ò
WWWhh h
()
.
w- -
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
ES
S
fi
0
0
2
0
2
2
h W
W
Òåì ñàìûì ïîëó÷åí ðåçóëüòàò, âûâåäåííûé ðàíåå áîëåå ñòðî
-
ãî. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ðàññìîòðåòü è ñëó÷àé âûñî
-
êèõ òåìïåðàòóð. Ïðè ýòîì íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïî êîîð
-
äèíàòå
Q
1
îïðåäåëÿåòñÿ óæå íå íóëåâûìè êîëåáàíèÿìè, à òåì
-
ïåðàòóðíûì ðàñïðåäåëåíèåì Áîëüöìàíà:
exp( )-QkT
B1
2
0
2
2W
.
Âñëåäñòâèå ýòîãî ðàñïðåäåëåíèå ïîãëîùåíèÿ èìååò òîæå ãàóñ
-
ñîâ âèä, íî ñ çàìåíîé
hW
0
â äèñïåðñèè íà
2kT
B
:
G
ES
SkT
kT
fi
B
B
()~exp
()
,.w
w
-
--
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
>>
hh
h
0
0
2
0
0
4
W
W
W
(13.10)
 ñëó÷àå ïðîìåæóòî÷íûõ òåìïåðàòóð, êîãäà òåðìè÷åñêèå
ôëóêòóàöèè ñðàâíèìû ñ êâàíòîâûìè íóëåâûìè êîëåáàíèÿìè,
hW
0
çàìåíÿåòñÿ íà
hhWW
0
2cth( )
0
kT
B
:
G
ES
SkT
fi
B
()~exp
()
.w
w
-
--
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
0
0
2
0
2
22
h
h
W
WWcth( )
0
(13.11)
Àíàëîãè÷íîå ðàññìîòðåíèå ìîæíî ïðîâåñòè è äëÿ èñïóñ-
êàíèÿ ëþìèíåñöåíöèè. Ïðè ýòîì â îáîèõ ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ
ïîëó÷àþòñÿ àíàëîãè÷íûå (13.9)—(13.11) âûðàæåíèÿ, îäíàêî
ìàêñèìóì ñäâèíóò â òî÷êó
ES
fi
0
0
h -W
. Òåì ñàìûì ëèíèè ïîã
-
ëîùåíèÿ è ñâå÷åíèÿ îêàçûâàþòñÿ çåðêàëüíî-ñèììåòðè÷íûìè
îòíîñèòåëüíî ýíåðãèè áåñôîíîííîãî ïåðåõîäà
E
fi
0
h
, à ñäâèã
ìåæäó ýíåðãèÿìè ëèíèé ïîãëîùåíèÿ è èçëó÷åíèÿ â ñëó÷àå
ñèëüíîé ýëåêòðîí-ðåøåòî÷íîé ñâÿçè ñîñòàâëÿåò
2
0
SW
— óäâî
-
åííûé ñòîêñîâ ñäâèã äëÿ êàæäîé èç ëèíèé.
Äàííîå ðàññìîòðåíèå âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîííûõ ñîñ
-
òîÿíèé ñ ôîíîíàìè äëÿ ñëó÷àÿ ñèëüíîé ñâÿçè ñïðàâåäëèâî íå
òîëüêî äëÿ îïèñàíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ îïòè÷åñêèìè ôîíîíà
-
ìè, íî òàêæå è äëÿ ñëó÷àÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ëîêàëüíûìè êî
-
ëåáàíèÿìè îêîëî äåôåêòà.  ýòîì ñëó÷àå
Q
1
ïðèîáðåòàåò áî
-
ëåå î÷åâèäíûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë êîíôèãóðàöèîííîé
183
êîîðäèíàòû, îïèñûâàþùåé ñìåùåíèå ëèáî ñàìîãî äåôåêòíîãî
àòîìà, ëèáî áëèæàéøèõ ê äåôåêòó èîíîâ.
Äèàãðàììà êîíôèãóðàöèîííûõ êîîðäèíàò îêàçûâàåòñÿ
÷ðåçâû÷àéíî ïîëåçíîé ïðè àíàëèçå ñëîæíûõ ñëó÷àåâ ñ ïåðå
-
õîäàìè ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè, õîòÿ áû îäíî èç êîòîðûõ âûðîæ
-
äåíî. Ïðè ýòîì, ïîñêîëüêó ñìåùåíèå èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâå
-
ñèÿ äåôåêòíîãî èîíà è/èëè îêðóæàþùèõ èîíîâ ñíèìàåò âû
-
ðîæäåíèå, ñòðîãîå ðåøåíèå çàäà÷è î ôîðìå ëèíèè ñòàíîâèòñÿ
ãðîìîçäêèì, è óäîáíî ïðîâåñòè êà÷åñòâåííûé àíàëèç. Íàïðè
-
ìåð, ðàññìîòðèì ñëó÷àé ïåðåõîäîâ èç íåâûðîæäåííîãî îñíîâ
-
íîãî ñîñòîÿíèÿ
A
â äâóêðàòíî âûðîæäåííîå âîçáóæäåííîå
ñîñòîÿíèå
E
, âçàèìîäåéñòâóþùåå ñ äâóêðàòíî âûðîæäåííîé
ëîêàëüíîé ôîíîííîé ìîäîé. Âçàèìîäåéñòâèå
E
-ñîñòîÿíèÿ ñ
E
-ìîäîé ïðèâîäèò ê ðàñùåïëåíèþ ýòîãî óðîâíÿ íà äâà óðîâ
-
íÿ, ýíåðãèÿ êîòîðûõ çàâèñèò òîëüêî îò êîìáèíàöèè
r= QQ
1
2
2
2
+
ôîíîííûõ êîíôèãóðàöèîííûõ êîîðäèíàò
Q
1
è
Q
2
E
-ìîäû (ðèñ. 36).  ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ ðàñïðåäåëåíèå ïî
r
â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ïðîïîðöèîíàëüíî
r
r
exp -
é
ë
ê
ù
û
ú
2
0
2
0
22
W
WWhhcth( )
0
kT
B
,
è åãî ìàêñèìóì ñäâèíóò èç òî÷êè
r=0
. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â
ýòîì ñëó÷àå ëèíèÿ
ïîãëîùåíèÿ áóäåò
èìåòü äâóãîðáûé õà-
ðàêòåð èç-çà ïåðåõî
-
äîâíàäâàóðîâíÿ
âîçáóæäåííîãî ðàñ
-
ùåïëåííîãî
E
-ñîñòî
-
ÿíèÿ. Ìîæíî îòìå
-
òèòü, ÷òî â ñëó÷àå,
ïîêàçàííîì íà ðèñ.
36, ëèíèÿ ñ ìåíüøåé
ýíåðãèåé èìååò áîëü
-
øóþ øèðèíó, ÷åì ëè
-
íèÿ ñ áîëüøåé ýíåð
-
ãèåé (ïîñêîëüêó íàê
-
ëîíû êîíôèãóðàöè
-
îííûõêðèâûõíà
-
÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ è
184
E
E
A
(+)QQ
12
2 2 1/2
I
hn
ïîãëîùåíèå
ñâå÷åíèå
Ðèñ. 36. Ñõåìà ïåðåõîäîâ â ñëó÷àå âîçíèê
-
íîâåíèÿ ýôôåêòà ßíà–Òåëëåðà.
âåðõíåãî ïîäóðîâíÿ
E
-ñîñòîÿíèÿ áëèæå äðóã ê äðóãó).
Òåîðåìà î çåðêàëüíîñòè ëèíèé ïîãëîùåíèÿ è ëþìèíåñ
-
öåíöèè áîëüøå íå âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âûðîæäåííûõ ñîñòîÿíèé.
Äåéñòâèòåëüíî, â âîçáóæäåííîì ýëåêòðîííîì ñîñòîÿíèè ñèñ
-
òåìà ïåðåéäåò â ñîñòîÿíèå ìåòàñòàáèëüíîãî ðàâíîâåñèÿ ïî ôî
-
íîííîé ïîäñèñòåìå âáëèçè ìèíèìóìà íèæíåé èç äâóõ êðèâûõ.
Òåì ñàìûì ëèíèÿ ëþìèíåñöåíöèè áóäåò îäíîãîðáîé è áóäåò
ñîîòâåòñòâîâàòü ïåðåõîäàì òîëüêî ñ îäíîãî èç âîçáóæäåííûõ
óðîâíåé.
13.4 Áåçûçëó÷àòåëüíûå ïåðåõîäû
Êðîìå ïåðåõîäîâ èç îäíîãî ýëåêòðîííîãî ñîñòîÿíèÿ â
äðóãîå ïóòåì ïîãëîùåíèÿ èëè èñïóñêàíèÿ ôîòîíà, â ñèñòåìå
«äåôåêò + ôîíîíû» âîçìîæíû ïåðåõîäû áåç ó÷àñòèÿ ôîòî
-
íîâ.  ÷àñòíîñòè, òàêîâûìè ÿâëÿþòñÿ áåçûçëó÷àòåëüíûå ïå
-
ðåõîäû èç âîçáóæäåííîãî ýëåêòðîííîãî ñîñòîÿíèÿ â îñíîâíîå.
Åñëè áû àäèàáàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå ÿâëÿëîñü òî÷íûì,
òàêèå ïåðåõîäû áûëè áû çàïðåùåíû. Íàïîìíèì, ÷òî äëÿ
îáîñíîâàíèÿ àäèàáàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ â (12.4) áûëè
îïóùåíû ÷ëåíû â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ
{}K
. Åñëè ïðåäïîëàãàåò-
ñÿ, ÷òî ýëåêòðîííàÿ ôóíêöèÿ
y(; )rR
âñå-òàêè çàâèñèò îò êîîð-
äèíàò èîííîé ïîäñèñòåìû, ýòè ÷ëåíû ïðèâîäÿò ê ñâÿçûâàíèþ
ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîííîé ïîäñèñòåìû.
Ïðè ðàññìîòðåíèè óðîâíåé ýíåðãèè â ñèñòåìå «äåôåêò +
ðåøåòêà» (ðèñ. 26) ìîæíî ââåñòè äâå âåëè÷èíû, ïîëåçíûå äëÿ
ïîñëåäóþùåãî èçëîæåíèÿ: ýíåðãèþ áåñôîíîííîãî ïåðåõîäà
E
fi
0
è ýíåðãèþ àêòèâàöèè
E
fi
A
, ðàâíóþ ðàññòîÿíèþ ïî øêàëå
ýíåðãèè ìåæäó òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ êîíôèãóðàöèîííûõ êðè
-
âûõ è ìèíèìóìîì âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ. Åñëè ïðåäïîëà
-
ãàòü ïðèìåíèìîñòü ãàðìîíè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ âñåõ
Q
,
òî
EEE E
fi
A
fi
=-()
02
4DD
, (13.12)
ãäå
DWES= h
.
 ïðèáëèæåíèè ñëàáîé ñâÿçè èç (13.12) ñëåäóåò, ÷òî
E
fi
A
î÷åíü áîëüøîå è ïîïàäàåò â îáëàñòü, ãäå ïðèìåíèìîñòü ãàðìî
-
íè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ çàâåäîìî íàðóøàåòñÿ.  ýòîì ñëó÷àå
âåðîÿòíîñòü áåçûçëó÷àòåëüíûõ ïåðåõîäîâ èç âîçáóæäåííîãî
ñîñòîÿíèÿ â îñíîâíîå ñîñòîÿíèå îêàçûâàåòñÿ ïîðÿäêà [100]
185
w
EE
n
fi
M
fi
MM
~exp ln
()
,-
+
-
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
ì
í
ï
î
ï
ü
ý
ï
þ
ï
00
1
1
hhWW
(13.13)
ãäå
W
M
— ìàêñèìàëüíàÿ ÷àñòîòà ôîíîíà, äëÿ êîòîðîãî ôàê
-
òîð Õóàíãà-Ðèñà
S
M
îòëè÷åí îò íóëÿ,
n
M
— ñîîòâåòñòâóþùåå
÷èñëî çàïîëíåíèÿ ýòîé ôîíîííîé ìîäû. Èç (13.13) âèäíî, ÷òî
âåðîÿòíîñòü áåçûçëó÷àòåëüíûõ ïåðåõîäîâ â ýòîì ïðèáëèæå
-
íèè áûñòðî ïàäàåò ñ ðîñòîì ýíåðãèè áåçûçëó÷àòåëüíîãî ïåðå
-
õîäà
E
fi
0
. Àíàëîãè÷íàÿ çàâèñèìîñòü áûëà ïîëó÷åíà â ðàáîòå
[101]. Â ðàáîòå [102] áûëî ïîêàçàíî äëÿ ðåäêîçåìåëüíûõ
èîíîâ â èîííîì êðèñòàëëå ýòà âåðîÿòíîñòü ñóùñòâåííà (ïî
ñðàâíåíèþ ñ âåðîÿòíîñòüþ èçëó÷àòåëüíûõ ïåðåõîäîâ) òîëüêî
äëÿ
E
fi
M
0
6hW£
. Òèïè÷íûå çíà÷åíèÿ âûðàæåíèÿ â êâàäðàò
-
íûõ ñêîáêàõ â (13.13) áîëüøå èëè ïîðÿäêà äâîéêè.
 ïðîòèâîïîëîæíîì ïðåäåëå ñèëüíîé ñâÿçè ýëåêòðîíîâ ñ
ôîíîíàìè ñòîêñîâ ñäâèã
DE
óæå íå ÿâëÿåòñÿ ìàëûì, è â ñîîò-
âåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (13.12) òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ êîíôè-
ãóðàöèîííûõ êðèâûõ ïðèáëèæàåòñÿ ê ìèíèìóìó âåðõíåé êîí-
ôèãóðàöèîííîé êðèâîé. Â ýòîì ïðåäåëå âåðîÿòíîñòü áåçûçëó-
÷àòåëüíîãî ïåðåõîäà ìîæåò áûòü çàïèñàíà [96, 101] êàê
wE
kT
fi
A
B
~exp -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
hhww
22
cth
.
 ïðåäåëå âûñîêèõ òåìïåðàòóð ýòî äàåò
()
wEkT
fi
A
B
~exp -
,
à äëÿ íèçêèõ -
()
wE
fi
A
~exp - h w
.
Çäåñü
w
îçíà÷àåò íåêîòîðóþ ñðåäíþþ ÷àñòîòó ôîíîíîâ, íà êî
-
òîðîé ïðîèñõîäèò âçàèìîäåéñòâèå. Ýòîò ðåçóëüòàò òèïè÷åí
äëÿ àêòèâàöèîííûõ ïðîöåññîâ ñ ýíåðãèåé àêòèâàöèè
E
fi
A
,è
ñâÿçàí ñ òåì, ÷òî ìàòðè÷íûé ýëåìåíò îïåðàòîðà íåàäèàáàòè÷
-
íîñòè ìàêñèìàëåí â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ êîíôèãóðàöèîííûõ
êðèâûõ. Ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ âîçìîæíî òóííåëèðîâàíèå
ñèñòåìû ñ îäíîé êîíôèãóðàöèîííîé êðèâîé íà äðóãóþ.
186
§14 Ïîëÿðîíû
14.1 Ïîëÿðîíû áîëüøîãî ðàäèóñà. Äåôîðìàöèîííîå
ýëåêòðîí-ôîíîííîå âçàèìîäåéñòâèå
Äëÿ èññëåäîâàíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ çîííûõ ýëåêòðîíîâ ñ
ôîíîíàì íåîáõîäèìî îöåíèòü êîýôôèöèåíòû
B
sk
â ãàìèëüòî
-
íèàíå (12.6). Êàê áóäåò âèäíî èç äàëüíåéøåãî, íàèáîëüøóþ
ðîëü ïðè âçàèìîäåéñòâèè ñ çîííûìè ñîñòîÿíèÿìè èãðàþò
äëèííîâîëíîâûå ôîíîíû. Òàêîãî ðîäà ñîñòîÿíèÿ óäîáíî èçó-
÷àòü, ïîëüçóÿñü òàê íàçûâàåìûì êîíòèíóàëüíûì ïðèáëèæå-
íèåì, êîãäà êðèñòàëë ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê íåïðåðûâíàÿ ñðå-
äà. Ïðè ýòîì àêóñòè÷åñêèå è îïòè÷åñêèå ôîíîíû îïèñûâàþòñÿ
ïî-ðàçíîìó.
Êàê âûøå óêàçûâàëîñü, àêóñòè÷åñêèå ôîíîíû ïðèâîäÿò ê
èçìåíåíèþ îáúåìà ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè. Îòíîñèòåëüíîå èç-
ìåíåíèå îáúåìà ñîñòàâëÿåò
1 + div ur()
, ãäå
ur()
— ñìåùåíèå
òî÷êè
r
êðèñòàëëà ïðè àêóñòè÷åñêîé äåôîðìàöèè (ñì. (12.5)).
Èçìåíåíèå îáúåìà ýêâèâàëåíòíî èçìåíåíèþ ïîñòîÿííîé ðå-
øåòêè êðèñòàëëà. Êàê âèäíî èç ðèñ. 10, èçìåíåíèå ðàññòîÿíèÿ
ìåæäó àòîìàìè ïðèâîäèò ê ñäâèãó ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé. Â
ïðîñòåéøåì ïðèáëèæåíèè çàêîí äèñïåðñèè äëÿ ýëåêòðîíîâ â
çîíå
s
ñäâèãàåòñÿ íà íåêîòîðóþ âåëè÷èíó:
EE
sss
(,()) () ()kur k ur=-sdiv
. (14.1)
Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â ýòîé ôîðìóëå íàçûâàþò äåôîðìàöèîí
-
íûì ïîòåíöèàëîì Áàðäèíà è Øîêëè [103]. Òî÷íûå âû÷èñëå
-
íèÿ
s
s
äîñòàòî÷íî ñëîæíû. Îöåíêà äëÿ
s
s
äàåò çíà÷åíèÿ ïî
-
ðÿäêà íåñêîëüêèõ ýëåêòðîí-âîëüò (â ìåòàëëàõ
s
s
ïîðÿäêà
ýíåðãèè Ôåðìè
E
F
). Êîýôôèöèåíò
s
s
ïðåäïîëàãàåòñÿ íåçà
-
âèñÿùèì îò âîëíîâîãî âåêòîðà
k
. Ýòî ñïðàâåäëèâî äëÿ ýëåêò
-
ðîíîâ íèçêèõ ýíåðãèé.
Âûðàæåíèå (14.1) ñïðàâåäëèâî ëèøü äëÿ èçîòðîïíûõ êó
-
áè÷åñêèõ êðèñòàëëîâ.  áîëåå ñëîæíûõ ñèñòåìàõ ïîìèìî
u
íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü äðóãèå êîìáèíàöèè ïðîèçâîäíûõ ñî
187
ñâîèìè çíà÷åíèÿìè ïîñòîÿííûõ êîýôôèöèåíòîâ. Ôîðìóëà
(12.4) ïîçâîëÿåò âûðàçèòü çíà÷åíèÿ äåôîðìàöèîííîãî ïîòåí
-
öèàëà ÷åðåç íîðìàëüíûå êîîðäèíàòû ôîíîíîâ èëè ÷åðåç îïå
-
ðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ àêóñòè÷åñêèõ ôîíîíîâ ñ ïî
-
ìîùüþ óðàâíåíèé (12.5) è (12.7) (ñì. [1]):
-= -
-
-
+
å
s
s
s
LA LA
i
NFbbediv
ac
ur q
qq
qr
q
() ( )( )
12
.
Çäåñü ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïðîâîäèòñÿ ïî âîëíîâûì
âåêòîðàì
q
ïðîäîëüíûõ àêóñòè÷åñêèõ ôîíîíîâ.  êóáè÷åñêèõ
êðèñòàëëàõ ïîïåðå÷íûå ôîíîíû íå äîëæíû ó÷èòûâàòüñÿ â äå
-
ôîðìàöèîííîì ïîòåíöèàëå, ïîñêîëüêó ïîïåðå÷íûå ôîíîíû â
èçîòðîïíîì êðèñòàëëå íå ïðèâîäÿò ê èçìåíåíèÿì îáúåìà. Ýòè
òèïû àêóñòè÷åñêèõ ôîíîíîâ äîëæíû ó÷èòûâàòüñÿ òîëüêî â
ïüåçîýëåêòðè÷åñêèõ è ñåãíåòîýëåêòðè÷åñêèõ êðèñòàëëàõ (ñì.
íèæå, ðàçäåë 18.3). Êîýôôèöèåíò
F
s
ac
îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæå-
íèåì
Fi
Mc
s
s
LA
ac
()q
q
=-s
h
2
, (14.2)
ãäå
M
— ñóììàðíàÿ ìàññà àòîìîâ â ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêå,
c
LA
— ñêîðîñòü çâóêà â êðèñòàëëå, ñâÿçàííàÿ ñ ÷àñòîòîé àêóñòè-
÷åñêèõ ôîíîíîâ ñîîòíîøåíèåì
W
LA LA
c()qq=
.
Ïîñëå ïåðåõîäà ê ýëåêòðîííûì îïåðàòîðàì ðîæäåíèÿ è
óíè÷òîæåíèÿ îïåðàòîð ýëåêòðîí-ôîíîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ
çàïèñûâàåòñÿ â âèäå
$
() ( )
int
,
H =-
-
+
+
-
+
å
NFaabb
s
s
s
LA LA
s
12
ac
q
kq
k
qq
kq
. (14.3)
Êàæäîå ñëàãàåìîå â ýòîé ñóììå ñîîòâåòñòâóåò ðàññåÿíèþ ýëåê
-
òðîíà ñ èìïóëüñîì
hk
â ñîñòîÿíèå ñ èìïóëüñîì
h()kq+
, ñîïðî
-
âîæäàþùååñÿ ïîãëîùåíèåì ôîíîíà ñ èìïóëüñîì
hq
èëè èñ
-
ïóñêàíèåì ôîíîíà ñ èìïóëüñîì
-hq
. Ïåðåõîäàìè ýëåêòðîíà
ìåæäó ðàçëè÷íûìè âåòâÿìè ýëåêòðîííîãî ñïåêòðà ìû çäåñü
ïðåíåáðåãàåì.
Äëÿ òîãî ÷òîáû îöåíèòü âëèÿíèå ôîíîíîâ íà ýëåêòðîí
-
íûé ñïåêòð, ìîæíî âû÷èñëèòü ïðè íóëåâîé òåìïåðàòóðå ýíåð
-
ãèþ ýëåêòðîííîãî ñîñòîÿíèÿ âî âòîðîì ïîðÿäêå òåîðèè âîçìó
-
ùåíèé:
188
EE
E
LA
() ()
int
()
() ()
;
$
;
() ()
20
2
0
10
kk
kq k
kq q
qq
=-
-
-+ -
H
hW E
()
()
0
k
q
å
.(14.4)
Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ãàìèëüòîíèàíà âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó
ñîñòîÿíèÿì áåç ôîíîíîâ ñ âîëíîâûì âåêòîðîì
q
k
q
;0
è ñîñòî
-
ÿíèåì ñ îäíèì ôîíîíîì ýòîé ìîäû
kq
q
- ;1
ìîæåò áûòü âû
-
÷èñëåí ñ ïîìîùüþ (14.3):
kq k
q
qq
-=;
$
;
int
10
2
2
2
H s
s
LA
MNc
h
.
Çíàìåíàòåëü (14.4) ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä ïî
k
. Ïîñëå
ïîäñòàíîâêè
E
()0
â ïðèáëèæåíèè ýôôåêòèâíîé ìàññû
m
s
*
çíà
-
ìåíàòåëü (14.4) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå
h
2
22[( ) ]qq Q kq+-
*
m
s
, (14.5)
ãäå
Qqq=
*
2mc
sLA
h
. Ïåðåõîäÿ îò ñóììèðîâàíèÿ ïî
q
ê èíòåã-
ðèðîâàíèþ, íåñëîæíî ïîëó÷èòü çàêîí äèñïåðñèè ýëåêòðîíà
ïðè ìàëûõ
k
:
E
m
Bk A
s
()
()
2
2
2
2
k =-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
*
h
, (14.6)
ãäå
A
x
xx=-++
é
ë
ê
ù
û
ú
z
2
2
1ln( )
,
B
x
x
x=
+
+
-+ +
é
ë
ê
ù
û
ú
2
3
21
21
1
2
1
2
z
()
ln( )
,
xaQ=p
,
zs p=
*
()
ss
mvQMh
2
,
v
— îáúåì ýëåìåíòàðíîé
ÿ÷åéêè êðèñòàëëà,
a
— ïîñòîÿííàÿ ðåøåòêè. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
A
è
B
— ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû, ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî âçà
-
èìîäåéñòâèå ñ ôîíîíàìè ïðèâîäèò ê ïîíèæåíèþ äíà çîíû
ïðîâîäèìîñòè, óâåëè÷åíèþ ýôôåêòèâíîé ìàññû ýëåêòðîíà çà
ñ÷åò âîâëå÷åíèÿ èîííîé ïîäñèñòåìû â äâèæåíèå ýëåêòðîíà. Â
ýòèõ æå ïðèáëèæåíèÿõ ìîæíî îöåíèòü ñðåäíåå ÷èñëî ôîíî
-
íîâ, îêðóæàþùèõ ýëåêòðîí:
nxxxQc
LAq
=+-+z[ln( ) ( )]11h
.
 ñëó÷àå ñëàáîé ñâÿçè, êîãäà òîëüêî è ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ òå
-
îðèåé âîçìóùåíèÿ,
n
q
îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå åäèíèöû. Òàêîå
ýëåêòðîííîå ñîñòîÿíèå, îêðóæåííîå «îáëàêîì» âèðòóàëüíûõ
189