Валиев Ф.С. Сопротивление материалов: основы теории и примеры выполнения индивидуальных расчетных заданий (часть 1)

Подождите немного. Документ загружается.

мое (предельное) для данного материала напряжение, получен-

ное на основании экспериментальных исследований.

Допускаемое напряжение определяется по формуле:

[σ] =

где σ

– опасное напряжение; n – коэффициент запаса прочности.

Для пластичных материалов за опасное напряжение

принимается предел текучести σ

или σ

0,2

; для хрупких материа-

лов – временное сопротивление (предел прочности) σ

Значение

коэффициента запаса прочности, а следователь-

но, и допускаемого напряжения зависит от многих факторов.

Основными факторами, которые влияют на выбор его значения,

являются:

1) соответствие механических свойств материала конструк-

ции и отдельно испытанных образцов;

2) учет конкретных условий работы рассчитываемой конст-

рукции;

3) метод определения напряжений (степень точности этого

метода);

4) неточность задания внешней нагрузки;

5) долговечность

и значимость проектируемого сооружения

или машины.

Значения допускаемых напряжений или коэффициентов за-

паса прочности устанавливаются техническими условиями и

нормами проектирования. Для строительных сталей значение

коэффициента запаса прочности принимается n = 1,4÷1,6; для

хрупких материалов n = 2,5÷3,5; для древесины n = 3,5÷6.

Метод разрушающих нагрузок. Критерий прочности, при-

нятый в методе допускаемых напряжений, а именно, напряже-

ния в точке, не всегда и не полностью характеризует условия на-

ступления разрушения конструкции. В ряде случаев за такой

критерий целесообразнее принимать предельную нагрузку, ко-

торую может выдержать конструкция, не разрушаясь и сущест-

венно не изменяя форму. При этом

условие прочности, состоя-

щее в том, что предельная или разрушающая нагрузка не должна

превышать допускаемую, можно представить в виде:

max

[]

пред

≤=

где n – коэффициент запаса прочности, принимаемый таким же,

как и в методе допускаемых напряжений.

Использования этого метода будет показано на конкретных

примерах при расчетах на прочность при

центральном растя-

жении-сжатии, кручении и прямом изгибе.

3.3. Определение напряжений и расчеты на прочность

при центральном растяжении–сжатии

При центральном растяжении-сжатии нормальные напря-

жения в поперечных сечениях, достаточно удаленных от места

приложения сил, постоянны (принцип Сен-Венана) и определя-

ются по формуле:

=σ

(3.1)

где

– нормальное напряжение; А – "чистая" площадь попе-

речного сечения бруса после вычета возможных ослаблений се-

чения отверстиями, т.е. А = А

netto

Если площадь поперечного сечения бруса постоянна по

длине, то условие прочности для пластичного материала имеет

вид (при условии, что коэффициенты условий работы и надеж-

ности равны единице, т.е. γ = 1, γ

= 1):

≤

⋅

или

max

=≤

(3.2)

где

max

– наибольшее значение продольной силы по абсолют-

ной величине берется из эпюры N (сечение, где имеется

max

является опасным); R – расчетное сопротивление материала по

пределу текучести.

Если брус выполнен из хрупкого материала, т.е. когда рас-

четные сопротивления на растяжение и сжатие различны

(R R ),

≠

то условие прочности имеет следующий вид:

max

max t

сж

max

⎫

σ= ≤

⎪

⎬

⎪

σ= ≤

⎪

⎭

(3.3)

где

max

– наибольшая растягивающая продольная сила (на

эпюре N имеет знак "плюс");

max

– наибольшая по абсолютной

величине сжимающая продольная сила (на эпюре N имеет знак

"минус");

R,R – расчетные сопротивления материала на рас-

тяжение и сжатие по пределу прочности.

Используя условия прочности (3.2) или (3.3), можно решать

задачи трех типов:

1-й тип –

проверочная задача. Используя все заданные ве-

личины и эпюру N, по формулам (3.2) и (3.3) можно проверить

прочность бруса.

2-й тип –

проектная задача, т.е. подбор сечения бруса.

Приняв

max

R,σ=

определяем требуемую для этого величи-

ну площади

поперечного сечения из формулы (3.2):

max

(3.4)

Зная эту площадь, можно определить конкретные размеры

сечения заданной формы.

Для хрупкого материала из формул (3.3) требуемую пло-

щадь сечения находим отдельно:

для растянутой зоны –

max

и сжатой зоны –

max

= .

Из полученных значений площадей выбираем большую.

3-й тип –

определение несущей способности стержня или

определение допускаемой продольной силы.

Приняв

max

определяем величину наибольшей допус-

каемой продольной силы:

– для пластичного материала

[

]

NRA;

⋅

(3.5)

– для хрупкого материала

[

]

NRA.

⋅

Для бруса из хрупкого материала из двух сил в качестве до-

пускаемой выбираем меньшую:

[

]

NRA. =⋅

3.4. Напряжения на наклонных площадках

Проведем наклонное сечение n–n

под некоторым углом α к

поперечному сечению (рис. 3.4а) и определим действующие в

этом сечении напряжения. Площадь наклонного сечения А

по

линии n–n

будет больше поперечного сечения А (по линии n–n

cosα

Тогда полное напряжение на наклонной площадке будет

равно:

NFF

pcosασcosα

cosα

== =⋅ =⋅

. (3.6)

Разложив полное напряжение на наклонной площадке по

направлениям нормали к площадке и касательной, получим нор-

мальное и касательное напряжения на наклонной площадке

(рис. 3.3г):

σ pcosασcosα cosασcos α

=⋅ =⋅ ⋅ =⋅

, (3.7)

τ psinασsinα cosα sin2α

=⋅ =⋅ ⋅ =⋅ . (3.8)

Из формулы (3.7) следует, что нормальные напряжения σ

достигают максимального значения при α = 0, т.е. в поперечном

сечении:

α 0max1

σσσ

Здесь σ

обозначает наибольшее главное напряжение (поня-

тие о главных напряжениях будет дано в главе 4).

Поэтому расчет прочности растянутого или сжатого бруса

производится по нормальным напряжениям в его

поперечных се-

чениях

Из формулы (3.8) следует, что касательные напряжения

имеют наибольшие и наименьшие значения при α = ±45º:

ττ

min

max

45α

±==

±=

. (3.9)

Площадки, на которых действуют максимальные и мини-

мальные касательные напряжения

max

min

, называются площадками

сдвига.

N=F

а)

б)

в)

)

Рис. 3.3

3.5. Деформации участков стержня и перемещения сечений.

Условия жесткости

При осевом растяжении или сжатии до предела пропор-

циональности σ

справедлив закон Гука, т.е. закон о прямо про-

порциональной зависимости между нормальными напряжения-

ми

и продольными относительными деформациями

⋅

(3.10)

или

ε=

(3.11)

Здесь Е – коэффициент пропорциональности в законе Гука име-

ет размерность напряжения и называется

модулем упругости

первого рода

, характеризующим упругие свойства материала,

или

модулем Юнга.

Относительной продольной

деформацией

называется от-

ношение абсолютной продоль-

ной деформации участка

Δl

стержня к длине этого участка

l до деформации:

;

=−ll l

ε=

(3.12)

Относительная поперечная деформация будет равна: ε' =

= Δb/b, где Δb = b

– b.

Отношение относительной поперечной деформации ε' к от-

носительной продольной деформации ε, взятое по модулю, есть

для каждого материала величина постоянная и называется коэф-

фициентом Пуассона:

′

γ=

Определение абсолютной деформации участка бруса

В формулу (3.11) вместо

подставим выражения (3.1)

и (3.12):

⋅

Отсюда получим формулу для определения абсолютного

удлинения (или укорочения) участка стержня длиной

l :

⋅

Δ=

⋅

(3.13)

Рис. 3.4

Δl

В формуле (3.13) произведение Е⋅А называется жестко-

стью бруса при растяжении или сжатии,

которая измеряется в

кН, или в МН.

По этой формуле определяется абсолютная деформация

если на участке продольная сила постоянна. В случае, когда на

участке продольная сила переменна, она определяется по фор-

муле:

N(x)dx

Δ=

⋅

∫

(3.14)

где N(х) – функция продольной силы по длине участка.

В частности, по этой же формуле вычисляется абсолютная

деформация при учете собственного веса для вертикального

бруса, когда вес одного погонного метра бруса входит в выра-

жение для N(х) как интенсивность распределенной нагрузки, на-

правленной вниз, параллельно оси бруса:

C.B

qA=ρ⋅

где

ρ – плотность материала бруса, кН/м

, Н/м

; А – площадь

поперечного сечения бруса, м

Определение перемещений сечений бруса

Определим горизонтальное перемещение точки а оси бруса

(рис. 3.5) – u

: оно равно абсолютной деформации части бруса

аd, заключенной между заделкой и сечением, проведенным че-

рез точку, т.е.

aad

Δl

Рис. 3.5

В свою очередь удлинение участка аd состоит из удлинений

отдельных грузовых участков 1, 2 и 3:

ad 1 2 3

=Δ +Δ +Δllll (3.15)

Продольные силы на рассматриваемых участках:

;0N

.FNN

Следовательно,

;

⋅

Δ=

⋅

Δ=

⋅

Тогда

aad

EA EA

⋅

=Δ = +

⋅⋅

Аналогично можно определить перемещение любого сече-

ния бруса и сформулировать следующее правило:

перемещение любого сечения j стержня при растяжении–

сжатии определяется как сумма абсолютных деформаций n

грузовых участков, заключенных между рассматриваемым и

неподвижным (закрепленным) сечениями, т.е.

∑

(3.16)

Условие жесткости бруса запишется в следующем виде:

[

]

max

uu≤

, (3.17)

где

max

u– наибольшее значение перемещения сечения, взятое по

модулю из эпюры перемещений;

[u] – допускаемое значение пе-

ремещения сечения для данной конструкции или ее элемента,

устанавливаемое в нормах.

ПРИМЕР 3.2

Требуется

построить эпюру N для бруса, изображенного на

рис. 3.6а и подобрать площадь сечения А и размер сторон квад-

ратного сечения из условия жесткости при

Е = 0,27

⋅

МПа, [u] = 2 мм = 2

⋅

–3

м.

РЕШЕНИЕ

1. В данной задаче, как и в предыдущей, нет необходимости

определять реакцию заделки, так как один конец бруса свобод-

ный.

2. Разбиваем брус на грузовые участки 1, 2, 3.

3. В пределах каждого грузового участка проводим сечения

на расстоянии x

от начала участка, т.е. используем местную сис-

тему координат.

4. Используя рабочее правило и принятое правило знаков, в

каждом сечении записываем функцию продольной силы N

(х

) (в

таком случае рекомендуется рукой или бумагой закрывать от-

брасываемую часть бруса, чтобы не делать дополнительных ри-

сунков). При этом рассматриваем свободную часть бруса.

Рис. 3.6

–

8144/А

0,74/А

2963/А

Эп.u (10

–5

) м

)

11 1 1

N(x) F 20кH (const) 0 x 1 м.=− =− ≤ ≤

22 1 2 2

222

N(x) F F q x

20 30 10 x 50 10 x , 0 x 2 м.

=− − − ⋅ =

=− − − ⋅ ==− − ⋅ ≤ ≤

При

x0 м, N (0) 50 кH.

=−

При

x2 м, N (2) 70 кH;

=−

312 33

333

N(x) F F q(2 x) F

10 10 (2 x ) 30 10x ; 0 x 2 м;

=− − − ⋅ + + =

=− − ⋅ + =− − ≤ ≤

При

x0 м, N (0) 30 кH;

=−

При

x2 м, N (2) 50 кH.

=−

5. По вычисленным результатам строим эпюру N (рис. 3.3б).

Анализ построенной эпюры N позволяет выделить следую-

щие особенности:

–

в сечении, где приложена сосредоточенная сила F, парал-

лельная оси бруса, имеется скачок, равный этой силе;

– на грузовых участках, где действуют равномерно распре-

деленные нагрузки интенсивностью q, на эпюре N имеются на-

клонные прямые, тангенсы углов между этими прямыми и осью

бруса равны интенсивности распределенной по длине нагрузки q;

– на тех грузовых участках, где отсутствует распределен-

ная нагрузка, эпюра N постоянна.

6. Определим перемещения характерных сечений и постро-

им эпюру перемещений при А = const:

= 0 (так как здесь защемление, препятствующее верти-

кальным перемещениям).

N(x)dx ( 30 10x)dx

EA EA

х 2

30х 10 30 2 10

0,2963 10 м

;

ЕА 0,27 10 кПа А А

−

⋅−−⋅

=Δ = = =

⋅⋅

−− −⋅−

−⋅

== =

⋅⋅⋅

∫∫

C32

55 53

(50x 10 )

N(x)dx (50 10x)dx

EA EA EA

(502 10 )

0, 444 10 м

;

0,27 10 A A

0,2963 10 0,444 10 0,7403 10 м

AA A

−

−− −

=Δ +Δ

−−

⋅−−

== = =

⋅⋅ ⋅

−⋅−⋅

−⋅

⋅⋅

−⋅−⋅−⋅

=+=

∫∫

D321

55 53

20 кН 1 м 0,0741 10 м

;

E A 0,27 10 кПа А А

0,7403 10 0,0741 10 0,8144 10 м

AA A

−

−− −

Δ+Δ+Δ

⋅

−⋅ − ⋅

Δ= = =

⋅⋅⋅

−⋅−⋅−⋅

=+=

lll

Используя полученные результаты, строим эпюру переме-

щений сечений (см. рис. 3.3в), из которой видим, что

max

0,8144 10

−

⋅

= Используя равенство

[

]

max

uu,= получаем

0,8144 10

210 м.

−

⋅

=⋅

Отсюда А =

22 22

0,8144 10

0,4072 10 м 0, 41 10 м .

210

−

−−

−

⋅

=⋅≈⋅

⋅

При А =

а 0,41 м ,= сторона квадратного поперечного се-

чения будет равна а =

0,41 10 0,064 м 6, 4 см.

−

⋅= =

ПРИМЕР 3.3

Для бруса, изображенного на рис. 3.7а требуется:

– построить эпюру N без учета собственного веса;

– подобрать площади поперечных сечений из условий проч-

ности;

– построить эпюры продольных сил N, нормальных напряже-

ний σ и перемещений сечений u с учетом собственного веса бруса

и проверить прочность и жесткость при следующих данных:

R12МПа 12 10 кПа;==⋅

= 0,9 МПа = 0,9

⋅

кПа.

E0,2710 кПа=⋅

; ρ = 25 кН/м

; [u] = 0,5

⋅

–3

м.

РЕШЕНИЕ

1. Как и в предыдущем примере, опорную реакцию не опре-

деляем, так как один конец бруса свободен.

2. Выделяем грузовые участки стержня 1, 2, 3.

3. В этом примере эпюру N будем строить, записывая их

функции на каждом грузовом участке, используя рабочее прави-

ло, приведенное в конце примера 3.1 (с. 17).

Расчет без учета собственного веса бруса

N F 100 кН;=− =−

22 3 2 n 2 2 2

N (x ) F F q x 100 140 20x 40 20x ;=− + − ⋅ =− + − = −

= 0, N

(0) = 40 кН;

= 1,2 м, N

(1,2) = 16 кН;

) = – F

+ F

–F

– q

(1,2 + x

) =

= –100 +140 – 120 – 20

⋅

(1,2 + x

) = –104 – 20x

= 0, N

(0) = –104 кН;

= 1,2 м, N

(1,2) = –144 кН.

По вычисленным значениям строим эпюру продольных сил

N (рис. 3.7б).

Рис. 3.7

4. Из условий прочности (3.3), используя эпюру N, постро-

енную без учета собственного веса, определяем требуемую пло-

щадь поперечного сечения бруса, соблюдая заданное соотноше-

ние площадей на отдельных участках (рис. 3.7а). По условию за-

дачи на участках 2 и 3 (нижняя ступень) площади сечения оди-

наковы и равны 2А. Для этих участков из эпюры N имеем:

max

N 144 кH;=

max

N40кН.=

В условиях прочности (3.3) приравняем

max

= и полу-

чаем:

р 32

max

тр

40 кН

A44,4410м 2А;

R0,910кПа

−

== =⋅ =

⋅

44,44 10

A 22,22 10 м ;

−

⋅

==⋅

c32

max

тр

144 кH

A1210 м 2A;

R1210 кПa

−

== =⋅ =

⋅

12 10

A610 м .

−

⋅

==⋅

На участке 1 (верхняя ступень) площадь сечения по усло-

вию задачи должна быть равна А. Из эпюры N для этого участка

имеем:

max

N 100 кH;=

max

N0= .

Площадь поперечного сечения будет равна:

c32

max

тр

100 кH

A8,3310 м A.

R1210 кПa

−

== =⋅ =

⋅

Из трех найденных значений А выбираем большую:

A 22,22 10 м

−

=⋅

, 2А = 44,44⋅ 10

–3

Расчет с учетом собственного веса

5. Построение эпюры N с учетом собственного веса.

Cобственный вес стержней постоянного сечения учитывает-

ся как равномерно распределенная по длине каждого грузового

участка нагрузка, направленная вниз. Интенсивность этой рас-

пределенной нагрузки равна весу части стержня единичной дли-

ны на данном участке.

Для 1-го участка она равна:

(1)

св

= А

⋅

ρ = 22,2

⋅

–3

⋅

25 кН/м

≈

0,56 кН/м.

Для 2 и 3-го участков, где площадь поперечного сечения

равна 2А:

(2,3)

св

= 2А

⋅

ρ = 44,4

⋅

–3

⋅ 1

⋅

25 кН/м

≈

1,12 кН/м.

(х

) =

(1)

3 св 11

F q x 100 0,56x ;−− ⋅ =− −

= 0, N

(0) = –100 кН;

= 1,0 м, N

(1,0) = –100,56 кН;

(1) (2 )

22 3 2 св 2n св

N(х )FFq1м x(q q )

100 140 0,56 х (20 1,12) 39,44 21,12х ;

=− + − ⋅ − + =

=− + − − + = −

= 0, N

(0) = 39,44 кН;

= 1,2 м, N

(1,2) = 14,11 кН.

(2,3) (1)

33 3 2 1 n св 3 св

N(х )FFF(qq)(х 1, 2 ) q 1

100 140 120 (20 1,12)(х 1, 2) 0, 56 1

105,89 21,12х ;

−+ −− + + − ⋅=

−+−−+ + − ⋅=

=− −

= 0, N

(0) = –105,89 кН;

= 2,0 м, N

(2,0) = –148,11 кН.

По вычисленным значениям строим эпюру продольных сил

N с учетом собственного веса (рис. 3.7в).

6. Определяем нормальные напряжения в сечениях по фор-

муле:

σ=

Для этого в пределах каждого грузового участка проведем

сечения, бесконечно близкие к началу и к концу участка.

Выпишем площади в указанных сечениях:

На 1-м участке –

11 2 2

A A A 22, 22 10 м .

−

−−

=== ⋅

На 2 и 3-м участках:

33 44 55 66

AAAA2A44,4410 м .

−

−−−−

===== ⋅

Напряжения в указанных сечениях будут равны:

11 c

-3 2

100 кH

4,5 10 кПа 4,5 MПа < R ;

A 22,22 10 м

−

σ= = =− ⋅ =−

⋅

22 c

100,56 кН

4,53 10 кПа 4,53 МПа R;

A22,2210м

−

σ= = =− ⋅ =− <

⋅

33 t

39,44 кH

0,89 10 кПа 0,89 MПа < R ;

A 44,44 10 м

−

σ= = = ⋅ =

⋅

44 t

14,11кН

0,32 10 кПа 0,32 МПа R;

A 44, 44 10 м

−

σ= = = ⋅ = <

⋅

55 c

-3 2

105,89 кH

2,38 10 кПа 2,38 MПа < R ;

A 44,44 10 м

−

σ= = =− ⋅ =−

⋅

66 c

-3 2

148,11кH

3,33 10 кПа 3,33 MПа < R .

A 44,44 10 м

−

σ= = =− ⋅ =−

⋅

Сравнение с расчетными сопротивлениями на растяжение и

на сжатие в соответствующих сечениях показывает, что условия

прочности выполняются во всех сечениях, а в сечении 3–3 вы-

полняется практически со знаком равенства. Это говорит о том,

что площади сечений подобраны верно.

Ввиду того, что площадь поперечного сечения рассчитыва-

ется по эпюре продольных сил,

построенной без учета собствен-

ного веса, а напряжения определяются по эпюре N, построенной

с учетом собственного веса, возможны перенапряжения в неко-

торых сечениях. В таких случаях, если перенапряжение больше

5 %, необходимо несколько увеличить площадь поперечного се-

чения.

По вычисленным значениям строим эпюру нормальных на-

пряжений с учетом собственного веса бруса (рис. 3.8б).

7. Определение абсолютных деформации участков бруса.

В общем случае абсолютные деформации грузовых участ-

ков определяются по формуле (3.14):

xi i

N(x)dx

Δ=

⋅

∫

При Е⋅А

= const интеграл

N(x )dx

∫

равен площади эпюры

продольных сил на i-м грузовом участке.

Так как при учете собственного веса на любом грузовом

участке эпюра продольных сил имеет вид трапеции, то абсолют-

ную деформацию этого участка можно вычислить по формуле:

i(ср)i

Δ=

⋅

где N

i(ср)

– средняя линия трапеции.

1(ср)1

(100 100,56) 1

16,71 10 м;

E A 0,27 10 22,22 10

−

−+ ⋅⋅

Δ= = =− ⋅

⋅⋅⋅⋅

2(ср)2

(39,44 14,11) 1.2

2,68 10 м;

E A 0, 27 10 44,44 10

−

+⋅⋅

Δ= = = ⋅

⋅⋅⋅⋅

3(cр)3

(105,89 148,11) 2

21,17 10 м.

ЕА 0,27 10 44,44 10

−

−+⋅⋅

Δ= = =− ⋅

⋅⋅⋅⋅

•

= 100 кН

= 140 кН

=120 кН

2 2

=20

кН

1 1

3 3

4 4

5 5

6 6

(2,3)

св

(1)

св

2 м

1,2 м

1 м

Эпюра

(МПа)

Эпюра u (10

–5

м)

4,5

35,2

4,53

0,89

0,32

2,38

3,33

18,49

21,79

–

а)

б) в)

Рис. 3.8

По формуле (3.16), используя найденные значения

Δl

, оп-

ределяем перемещение сечений u

i–i

(при этом будем иметь в

виду, что сечение 5–5 бесконечно близко к сечению 4–4, а сече-

ние 3–3 бесконечно близко к сечению 2–2):

u0;

−

55 44 3

uu 21,1710м;

−

−−

==Δ=− ⋅l

33 22 3 2

uu 21,17102,6810

18,49 10 м;

−−

−

=Δ +Δ =− ⋅ + ⋅ =

=− ⋅

11 3 2 1

55 5 5

21,17 10 2,68 10 16,71 10 35,2 10 м.

−

−− − −

=Δ +Δ +Δ =

=− ⋅+ ⋅− ⋅=−⋅

lll

Далее строим эпюру перемещений сечений u, откладывая

перемещения в каждом сечении перпендикулярно оси бруса

(рис. 3.8в).

Так как в подынтегральном выражении формулы (3.14)

функция N(x) на всех участках нашего бруса есть полином пер-

вой степени, эпюра перемещений на этих участках изменяется

по закону квадратной параболы.

В местах приложения внешних сосредоточенных сил парал-

лельных оси бруса на эпюре перемещений u имеет место излом

линии эпюры.

8. Проверка жесткости бруса.

Из эпюры перемещений u видно, что

max

u35,210м

−

⋅=

[

]

0,352 10 м u0,510м.

−−

⋅<=⋅ Условие жесткости выполняется.

3.6. Статически неопределимые задачи

Брусья и шарнирно-стержневые системы, в которых внут-

ренние усилия и реакции опор от заданной нагрузки можно оп-

ределить с помощью лишь одних уравнений равновесия (урав-

нений статики), называются статически определимыми.

В отличие от них

статически неопределимыми называются

брусья и системы, внутренние усилия или реакции опор в кото-

рых нельзя определить с помощью одних лишь уравнений равно-

весия.

Поэтому при их расчете необходимо составлять дополни-

тельные уравнения –

уравнения совместности деформаций или

перемещений сечений, учитывающих характер деформации

системы (геометрическая сторона задачи).

Число дополни-

тельных уравнений, необходимых для расчета системы, харак-

теризует степень ее статической неопределимости.

Всегда

можно составить столько дополнительных уравнений, сколько

не хватает уравнений статики для решения задачи.

Усилия в элементах статически определимых систем возни-

кают только от действия внешней нагрузки (включая собствен-

ный вес конструкций).

В элементах статически неопределимых

систем усилия могут возникать и при отсутствии внешней на-

грузки – в результате, например, изменения температуры,

смещения опорных связей, а также при монтаже из-за неточ-

ности изготовления отдельных элементов конструкции.

Составление дополнительных (к уравнениям равновесия)

уравнений перемещений (геометрическая сторона задачи) рас-

смотрим на примере.

Стержень защемлен по концам и нагружен силой F, дейст-

вующей вдоль оси стержня (рис. 3.9). Собственный вес стержня

не учитываем.

Под действием силы F в этом случае в заделках могут воз-

никать только показанные реакции V

и V

, которые требуется

определить. Направления неизвестных опорных реакций выби-

раем произвольно.

Для данного случая (когда все силы действуют вдоль одной

прямой) можно составить только одно уравнение равновесия:

∑

= ;0F

.0VFV

−

Для определения двух неизвестных V

и V

необходимо со-

ставить дополнительно одно уравнение, т.е. рассматриваемая за-

дача является статически неопределимой (степень статической

неопределимости бруса равна единице).

Для составления дополнительного уравнения рассмотрим

геометрическую сторону задачи – составим условие совмест-

ности деформаций отдельных участков: общая длина бруса не

может изменяться, следовательно

Удлинение

l можно выразить как сумму удлинений двух

участков:

Рис. 3.9

0.Δ=Δ +Δ =ll l

(3.18)

Рассмотрим

физическую сторону задачи и абсолютные уд-

линения участков

Δl

, используя закон Гука по формуле

(3.13), выразим через продольные силы N

и N

;

⋅

Δ=

⋅

Δ=

⋅

(3.19)

В этих формулах

представляют собой выражения

продольных сил на участках 1 и 2, записываемые по методу се-

чений:

;FVN

−

NV.

(3.20)

Подставим выражения (3.19) с учетом (3.20) в формулу

(3.18) и получим:

B1B2

11 2 2

(V F) V

EA EA

−⋅ ⋅

=+=

⋅⋅

(3.21)

Отсюда найдем

22 1

221 112

EAF

EA EA

⋅⋅⋅

⋅⋅+⋅⋅

При условии

получим:

21 12

⋅⋅

⋅+ ⋅

(3.22)

Если

AA,=

то

⋅

(3.23)

Если

A2A,=

то

⋅

+⋅

(3.24)

Реакцию

найдем из уравнения статики:

VFV.=−

(3.25)

При равномерном изменении температуры окружающей

среды вокруг бруса на Δt° формулы (3.19) запишутся в виде:

111

222

⋅

⎫

Δ= +α⋅⋅Δ°

⎪

⋅

⎪

⎬

⋅

⎪

Δ= +α⋅⋅Δ°

⎪

⋅

⎭

(3.26)

где α

и α

– коэффициенты линейного расширения материалов

бруса.

Подставляя формулы (3.26) в формулу (3.18) и используя

(3.20), найдем реакцию V

при совместном воздействии на брус

силы F и изменением температуры окружающей среды на Δt

градусов.

ПРИМЕР 3.4

Требуется

определить реакции опор и построить эпюры

продольных сил, нормальных напряжений и перемещений сече-

ний для составного бруса ступенчатого сечения, изображенного

на рис. 3.10а, при следующих исходных данных:

F 100 кH;

110 м;

−

Δ= ⋅

t30C;

=°

A210 м ;

−

=⋅

E210 кПа;=⋅

A2A410 м ;

−

==⋅

E0,710 кПа;=⋅

12,5 10 ;

град

−

α= ⋅

22,5 10 .

град

−

α= ⋅

РЕШЕНИЕ

1. Найдем полное удлинение бруса

l при увеличении

температуры на Δt = 30 °C и воздействии силы F при отсутствии

правой опоры

1211 22

100 2

12,5 10 2 30 22,5 10 1 30

210 210

19,25 10 м.

−−

−

Δ=Δ +Δ =α Δ+ +α Δ=

⋅

⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅

=⋅

ll l l l

Имеющийся зазор Δ между правой опорой и сечением В

бруса меньше полученной величины полного удлинения

,Δl

т.е.

110 м 19,25 10 м.

−−

Δ= ⋅ < Δ = ⋅l

Таким образом, после закрытия зазора задача становится

один раз статически неопределимой.