91
Таким образом, параметрические уравнения циклоиды имеют вид
= −
= −
(2.4.5)
Параметр t можно менять от –∞ до +∞. Ближайшая к началу коорди-
нат и лежащая правее него точка пересечения циклоиды с осью Ox отвечает
значению t = 2π, т.к. она получается после одного полного оборота катя-
щейся окружности. Для этого значения параметра будем иметь x = 2πR.
Кроме того, из (2.4.5) следует, что наивысшая точка циклоиды, соот-
ветствующая t = π, имеет координаты (πR; 2R). Очевидно, для циклоиды
выразить y как элементарную функцию
нельзя, выразить же x через
y можно ( arccos 1
t
= −
), но полученная при этом формула будет очень
громоздка. Параметрические уравнения циклоиды значительно проще.
Эвольвента окружности
Рассмотрим еще одну интересную кривую, которая имеет
применение в теории зубчатых зацеплений.
Определение 2.4.6. Эвольвента окружности
есть линия, описы-
ваемая точкой нити, которая, оставаясь туго натянутой, разматывается с
этой окружности.
Предположим, что нить нерастяжима и предварительно была намо-
тана на окружность. Найдем параметрические уравнения эвольвенты ок-
ружности.
Поместим начало координат в центр окружности и проведем ось Ox
через ту точку окружности, где находится точка, описывающая эвольвенту
в момент, когда нить еще целиком
намотана на окружность (на рисунке
это точка A). Пусть в некоторый мо-
мент времени нить занимает положе-
ние BM, точка B при этом изобража-
ет точку схода нити с окружности, а
M – точку, описывающую эвольвенту.
Радиус окружности мы обозначим че-
рез R, а угол оси Ox и луча OB через t.
Так как нить нерастяжима, то ее
отрезок BM равен дуге
окружности. Значит, BM = Rt. С другой сто-
роны, так как нить остается туго натянутой, то она сходит с окружности по
y
x
N
A E
С
В