Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны

Подождите немного. Документ загружается.

ГЛ АВА 11

Линейные волны в жидкости

Вывод основных уравнений гидродинамики идеальной жидко-

сти — уравнения Эйлера и уравнения непрерывности. Дис-

персионное уравнение для звуковых волн в жидкости. Аку-

стический эффект Допплера. Основные уравнения линейной

теории стратифицированной жидкости. Гравитационные и

капиллярные волны на поверхности идеальной несжимаемой

жидкости. Дисперсионные уравнения для “мелкой” и “глубо-

кой” воды (анализ размерностей и точное решение). Круговые

волны на воде. Корабельные волны (волны за движущимся ис-

точником). О связи капиллярных волн с моделью атомного

ядра. Внутренние волны ма лой амплитуды в стратифициро-

ванной жидкости. Линейные волны Россби.

§ 1. Основные уравнения гидродинамики идеальной жидкости. Зву-

ковые волны. Акустический эффект Допплера

При гидродинамическом описании жидкость рассматривается как сплош-

ная среда (см., например, [1, 2]), т. е. при анализе смещения некоторой

частицы жидкости речь идет не об отдельной молекуле, а об элементе

объема жидкости, включающем много молекул. В гидродинамике такой

элемент, малый по сравнению с пространственными масштабами интере-

сующих нас процессов, но большой по сравнению с межмолекулярными

расстояниями, считается точкой. Для полного описания поведения дви-

жущейся жидкости достаточно, чтобы в такой точке были заданы сле-

дующие независимые переменные: скорость жидкости v(x, y, z, t), тер-

модинамические величины, например энтропия S(x, y, z, t), отнесенная

к единице массы жидкости [3], и плотность массы ρ(x, y, z, t) (x, y, z

— координаты рассматриваемого элемента объема в момент времени t).

При таком, эйлеровом, описании скорость v(x, y, z, t) не связана с опре-

деленными частицами жидкости, которые перемещаются со временем в

пространстве, а относится к определенным точкам пространства в момент

времени t. Также надо понимать и величины S и ρ.

Существование волн в жидкости, находившейся первоначально в ста-

ционарном состоянии, обусловлено возмущением жидкости и конкурен-

252

цией между силой, стремящейся возвратить жидкость в исходное состо-

яние, и силами инерции, которые заставляют жидкость проскочить его.

Например, для волн на воде возвращающими являются сила тяжести и

сила поверхностного натяжения, для вращающейся жидкости — сила Ко-

риолиса, для проводящей жидкости — сила действия магнитного поля.

Ограничимся рассмотрением идеальной жидкости. Идеальной назы-

вается жидкость, при движении которой вектор напряжения в жидкости

перпендикулярен любому элементу поверхности независимо от того, как

он ориентирован в пространстве (т. е. выполняется закон Паскаля). Ма-

тематически это означает, что давление в жидкости есть скаляр, а не

тензор [4]. В этом случае в жидкости отсутствуют сдвиговые силы, в

частности силы вязкости.

Согласно второму закону Ньютона уравнение движения элемента объ-

ема dV жидкости плотности ρ можно записать в виде ρ(dv/dt)dV = dF,

где v — скорость рассматриваемого элемента, dF — сила, действующая

на каждый элемент объема dV . На любой выделенный объем V жидко-

сти со стороны окружающей жидкости действует сила, равная интегралу

от давления, который берется по поверхности выделенного объема, т. е.

−

pdS. (Предполагается, что вектор dS равен площади элемента поверх-

ности по абсолютному значению и направлен по внешней нормали к ней;

отсюда знак минус перед силой). Но по интегральной теореме о гради-

енте −

pdS = −

∇p dV . Кроме того, на выделенный элемент может

действовать внешняя заданная сила с плотностью ρa

вн

. Таким образом,

dF = −∇p dV + ρa

вн

dV , и уравнение движения становится таким:

= −∇p + ρa

вн

. (11.1)

Учитывая в (11.1), что dv/dt = ∂v/∂t + (v∇) v, приходим к основному

уравнению гидродинамики — уравнению Эйлера:

∂v

∂t

+ (v∇) v = −∇p + ρa

вн

. (11.2)

Очевидно, что имеет место закон сохранения массы

ρ dV рассматрива-

емого объема: изменение во времени массы в данном объеме −

∂

∂t

ρ dV

равно взятому с обратным знаком потоку массы −

ρv dS через поверх-

ность, ограничивающую этот объем, т.е.

∂

∂t

ρ dV +

ρv dS = 0 , (11.3)

253

или в дифференциальной форме

∂ρ

∂t

+ div(ρv) = 0. (11.4)

Это — уравнение непрерывности. Вектор j = ρv называют плотностью

потока жидкости.

В уравнениях (11.2) и (11.3) пять неизвестных: плотность, три соста-

вляющие скорости и давление, т. е. одного уравнения не хватает. Таким

уравнением является уравнение термодинамического состояния.

Будем считать, что теплообмен между отдельными элементами жид-

кости отсутствует (жидкость течет с такой скоростью, что отдельные ее

участки не успевают обмениваться теплом друг с другом) и что она не

обменивается теплом с окружающими телами, с которыми соприкасает-

ся. Таков допущение означает, что движение происходит адиабатически

в ка ждом элементе жидкости, т. е. энтропия S, отнесенная к единице

массы жидкости, остается постоянной при перемещении этого элемента

в пространстве. Таким образом

∂S

∂t

+ v∇S = 0 . (11.5)

Умножим (11.4) на S, (11.5) на ρ и, сложив полученные соотношения,

получим S∂ρ/∂t + ρ∂S/∂t + S div ρv + ρv∇S = 0. Используя в последнем

соотношении формулу div(af) = a div f + f ∇a, приходим к уравнению

непрерывности для энтропии

∂(ρS)

∂t

+ div(ρSv) = 0 , (11.6)

где (ρSv) — плотность потока энтропии. Если в начальный момент вре-

мени распределение энтропии жидкости пространственно однородно, то

S = const (11.7)

в любой момент времени. Такой адиабатическ ий процесс, происходящий

при постоянной энтропии, называется изэнтропийным. В этом случае

уравнение состояния есть просто функциональная зависимость между

плотностью и давлением: p = p(ρ) (или ρ = ρ(p)), откуда



dρ



dρ

. (11.8)

254

Линеаризуя уравнения (11.2), (11.4) о тносительно малых возмущений ρ

и p

плотности, скорости и давления соответственно на фоне их равно-

весных значений ρ

, v

и p

, получаем (считаем a

вн

= 0)

∂v

∂t

+ (v

∇)v

= −

∇p

∂p

∂t



dρ



[div(v

) + ρ

div v

] = 0 .

(11.9)

В случае неподвижной среды (v

= 0), ввод я потенциал скорости v =

= ∇ϕ, получаем для возмущения давления p

= −ρ

∂ϕ/∂t. В результате

из второго уравнения (11.9) следует волновое уравнение

∂

∂t

− c

∆ϕ = 0 , (11.10)

где c =

(∂p/∂ρ)

— скорость звука. Очевидно, что в декартовых коор-

динатах волновому уравнению удовлетворяет и каждая из трех компонент

скорости (чтобы убедиться в этом, надо применить к волновому уравне-

нию операцию grad), и давление.

Если все переменные в волне зависят лишь от одной из декартовых

координат (плоская волна), то уравнение (11.10) переходит в уже обсу-

ждавшееся в гл. 9 одномерное уравнение ∂

ϕ/∂t

−c

∂

ϕ/∂x

= 0, кото-

рое имеет общее решение в виде суперпозиции двух встречных плоских

волн:

ϕ(x, t) = f

(x − ct) + f

(x + ct) .

Поскольку в рассматриваемом приближения дисперсии у звуковых волн

нет, то закон дисперсии выглядит так:

ω = ±ck . (11.11)

Бегущие звуковые волны произвольной формы оказываются стационар-

ными, т. е. их профиль в процессе распространения не меняется. Это

легко пояснить на спектральном языке. Из-за отсутствия дисперсии все

спектральные составляющие, образующие волну, движутся с одинаковы-

ми скоростями и фазовые соотношения между ними сохраняются.

В плоской акустической волне отлична от нуля только x-компонента

скорости v

= ∂ϕ/∂x, т. е. частицы в волне д вижутся только по (или

только против) направлению распространения волны. Именно поэтому

акустические волны в жидкостях являются продольными.

255

Если скорость среды, в которой распространяется звуковая волна, от-

лична от нуля, то закон дисперсии (11.11) уже будет нарушен. Например,

если плоская волна распространяется в однородном движущемся вдоль x

с постоянной скоростью v

потоке, то из (11.9) следует закон дисперсии:

ω = ±ck + v

k . (11.12)

Можно получить соотношение более общего вида, чем (11.12) для

случая однородного потока жидкости движущегося со скоростью u. Сле-

дуя [1, § 68], введем неподвижную систему координат x, y, z, и назовем ее

системой K, а также систему K

координат x

, y

, z

, движущуюся отно-

сительно системы K со скоростью u. В системе K

жидкость неподвижна

и монохроматическая волна в ней имеет вид

ϕ = const·e

i(kr

−kct)

где r

— радиус-вектор в системе K

связан с радиусом-вектором r в си-

стеме K формулой r

= r−ut. Поэтому в неподвижной системе координат

волна запишется так:

ϕ = const·e

i[kr−(kc+k~n)]t)

~n — единичный вектор в направлении распространения волны. Коэффици-

ент при t в показателе экспоненты есть частота ω волны. Следовательно, в

движущейся среде частота связана с волновым вектором k соотношением

ω = ck + uk . (11.13)

Групповая скорость распространения волн равна

гр

dω

= c

+ u ,

т.е. ~v

гр

есть векторная сумма скорости c в направлении k и “сносовой”

скорости u звука д вижущейся жидкости. С помощью формулы (11.13)

можно описать акустический эффект Допплера, состоящий в том, что ча-

стота звука, воспринимаемого наблюдателем, движущимся относительно

источника, не совпадает с частотой колебаний последнего.

Предположим, что звук, испускаемый неподвижным относительно сре-

ды источником, воспринимается наблюдателем, движущимся со скоро-

стью u. В системе K

, покоящейся относительно среды, имеем k = ω

/c,

где ω

— частота колебаний источника. В т о же время в системе K, дви-

жущейся вместе с наблюдателем, среда движется со скоростью (−u) и

частота звука будет в соответствии с соотношением (11.13) ω = ck − uk.

256

Введем угол θ между направление скорости u и волнового вектора k.

Тогда воспринимаемая движущимся наблюдателем частота звука будет

равна

ω = ω



1 −

cos θ



. (11.14)

Рассмотрим теперь распространение в неподвижной среде звуковой

волны, испускаемой движущимся источником. Пусть u обознач ает ско-

рость д вижения источника. Перейдем от неподвижно системы координат

к системе K

, движущейся вместе с источником. В этой системе среда

движется со скоростью (−u), источник покоится, а ч астота, излучаемой

им звуковой волны должна быть равна частоте ω

колебаний, совершае-

мых источником. Тогда из формул ы (11.13), заменяя знак перед u, и вводя

угол θ между направлениями u и k, получим:

= ck



1 −

cos θ



Вспомним, что в исходной неподвижной системе K частота связана с

волновым вектором равенством ω = ck. Тогда

ω =

1 −

cos θ

. (11.15)

Это соотношение устанавливает связь между частотой ω

колебаний дви-

жущегося источника звука и частотой ω звука, который слышит непо-

движный наблюдатель. Когда источник удаляется от наблюдателя, угол

θ между его вектором скорости и направлением приходящей в точку на-

блюдения волной меняется в пределах π/2 < θ ≤ π, поэтому cos θ < 0, и,

следовательно, частота, частота, слышимого наблюдателем звука умень-

шается по сравнению с ω

(см. ф ормул у (11.15)).

Если источник приближае тся к наблюдателю, то 0 ≤ θ < π/2, cos θ >

0, и частота ω > ω

увеличивается с увеличением скорости u. Инте-

ресен случай, когда u cos θ > c, согласно формуле (11.15) ω становится

отрицательной. Это означает, что слышимый наблюдателем звук будет

доходить до него в обратном порядке: звук, излученных источником в бо-

лее поздние моменты времени, дойдет до наблюдателя раньше, чем звук,

излученный в более ранние моменты времени.

§ 2. Основные уравнения линейной теории

волн в стратифицированной жидкости

Для описания волн в океане или атмосфере уравнения гидродинами-

ки следует обобщить таким образом, чтобы учесть вращение Земли и

257

стратификацию жидкости, т. е. зависимость плотности жидко сти от вер-

тикальной координаты. В частности, плотность морской воды зависит от

давления, температуры и относительного содержания массы растворен-

ных солей, которые меняются с глубиной [5–7]. Соответствующее обоб-

щение приводит к тому, что уравнение Эйлера вместо (11.2) примет вид



∂v

∂t

+ (v∇)v



= −∇p − 2ρ[Ωv] − ρg∇z . (11.16)

Здесь Ω — угловая скорость вращения Земли, ∇z — единичный вектор

вертикальной оси координат; a

вн

заменено на g, поскольку жидкость на-

ходится в поле тяжести.

Предположим теперь, что длины интересующих нас волн много мень-

ше радиуса Земли, и будем решать (11.16) и (11.4) на плоскости, соприка-

сающейся со сферической Землей в данной точке, Оси соответствующей

прямоугольной системы координат направлены следующим образом: ось

z — вертикально вверх, ось x — по параллели, с запада на восток, ось

y — по меридиану с юга на север. Линеаризуем уравнения от носительно

некоторого состояния покоя, в котором плотность и давление суть функ-

ции только z. Пусть p = p

(z) + p

(x, y, z, t), ρ = ρ

(z) + ρ

(x, y, z, t), где

, ρ

 p

, ρ

. Заметим, что v = v

(x, y, z, t), так же как и p

и ρ

, есть

величина первого порядка малости. Тогда из уравнений (11.16) и (11.4)

получим

∂v

∂t

= −2[Ωv

] −

∇p

− g

∇z , (11.17)

∂ρ

∂t

= −ρ

div v

− v

∇ρ . (11.18)

Уравнение состояния (11.8) в линейном приближении имеет вид

(ρ

+ ρ

) =

+ p

) ,

или

∂ρ

∂t

+ v

∂v

∂z



∂ρ

∂t

+ v

∂p

∂z



где c(z) = 1/

(∂p/∂ρ)

— адиабатическая скорость звука. Учитывая, что

∂p

/∂z = −ρ

g, окончательно получаем

∂ρ

∂t

+ v

∂v

∂z



∂ρ

∂t

− ρ



. (11.19)

258

У горизонтального дна нормальная составляющая скорости должна

исчезать, поэтому при z = −H

= 0 . (11.20)

где H — глубина жидкости. На поверхности жидкости давление соста-

вляет p

+ p

= const, поэтому d(p

+ p

)/dt = 0, что с учетом правой

части (11.19) дает при z = 0

∂p

∂t

− ρ

= 0 . (11.21)

Воспользуемся в уравнениях (11.17)-(11.19) так называемым приближе-

нием Буссинеска: всюду, где ρ

(z) не стоит под знаком дифференциала,

будем считать ρ

= const, причем пусть ρ

(0) = ρ

. Решение уравне-

нии (11.17)-(11.19) будем искать в виде (см. [8])

= (P(z)/ρ

(x, y)e

iωt

, v

= (P(z)/ρ

(x, y)e

iωt

= −iωV(z)V

(x, y)e

iωt

p = P(z)V

(x, y)e

iωt

, ρ

= ρ

(x, y, z)e

iωt

(11.22)

где ω — частота интересующих нас волн.

Подставляя (11.22) в (11.17)-(11.19), после простых преобразований по-

лучаем из (11.17)

+ iqV

− sωρ

V(z)

P(z)

∂V

∂x

, (11.23)

− iqV

∂V

∂y

, (11.24)

∂P(z)

∂z

P(z) + ρ

(ω

− N

)V(z) − sωP(z)

= 0 ; (11.25)

из (11.19) имеем

V(z)

P(z)

− ρ

P(z)

∂V(z)

∂z



∂V

∂x

∂V

∂x



. (11.26)

При выводе (11.23)-(11.26) использовано полученное из (11.18) выражение



P(z)

−

(z)V(z)



(11.27)

259

и определение частоты свободных вертикальных колебаний частиц жид-

кости, так называемой частоты Вяйсяля:

N(z) =



−



∂ρ

∂z

(z)



1/2

. (11.28)

В уравнениях (11.23) и (11.24) введены следующие безразмерные величи-

ны:

q = (2Ω

/ω) = (2Ω/ω) sin ϕ , q = (2Ω

/ω) = (2Ω/ω) cos ϕ , (11.29)

где ϕ — географическая широта места. С учетом (11.22) граничные усло-

вия (11.20) и (11.21) перепишутся так:

z = −H, V(z) = 0 , (11.30)

z = 0, P(z) + ρ

gV(z) = 0 . (11.31)

Как показано в [8], уравнения (11.23)-(11.26) допускают разделение пе-

ременных в двух случаях: 1) s и q, взятые при ϕ, равном широте ме-

ста, являются постоянными; это приближение справедливо для волн, на

длине которых q и s меняются мало, — для звуковых, поверхностных,

внутренних и инерционных волн; 2) можно пренебречь слагаемыми, со-

держащими лишь Ω

, т. е. s, поскольку s ∼ Ω

. Итак, пусть

























−i(k

x+k

, (11.32)

, V

— постоянные, V

= 1, что не ограничивает общности решения.

Тогда уравнения (11.23) и (11.24) принимают вид

+ iqV

+ sωρ

V(z)

P(z)

, V

− iqV

Из этой системы уравнений находим, что

ω(1 − q

)



+ sω

V(z)

P(z)

− iqk



, (11.33)

ω(1 − q

)



+ iqsω

V(z)

P(z)

+ iqk



. (11.34)

260

Наконец, из уравнения (11.25 и (11.26), используя (11.32)-(11.34), получа-

ем два уравнения для V(z) и P(z):

∂P(z)

∂z



−

− iqsk

1 − q



P(z) + ρ



− 4Ω

1 − q

− N



V(z) = 0 ,

(11.35)

∂V(z)

∂z



−

+ iqsk

1 − q



V(z) +



−

(1 − q

)



P(z) = 0 ,

(11.36)

где ξ

= k

+ k

Учтем т еперь, что частота ω звуковых волн намного превосходит Ω и

N; сила тяжести для этих волн в океане тоже не играет роли. Поэтому

в (11.35) и (11.36) можно пренебречь слагаемыми, содержащими s, q ∼ Q,

N и g. Такое пренебрежение дает

∂P(z)

∂z

+ ρ

V(z) = 0 ,

∂V(z)

∂z

−

P(z) +

P(z) = 0 .

(11.37)

Исключая V(z), приходим к уравнению

∂

P(z)

∂z



(z)

− ξ



P(z) = 0 , (11.38)

которое является основным в акустике океана.

Хотя c(z) изменяется мало с глубиной, наличие, например, минимума

c(z) на какой-то глубине приводит к образованию подводного акустиче-

ского волновода, по которому звук низкой частоты от источников (для

низких частот поглощение в воде мало) может распространяться на рас-

стояния до нескольких десятков тысяч километров [8, 9].

Заметим сразу, что в предположении несжимаемости c

= dp/dρ → ∞

уравнения (11.35), (11.36) могут быть упрощены и приведены к виду

∂P(z)

∂z

−

− iqsk

1 − q

P(z) + ρ



− 4Ω

1 − q

− N



V(z) = 0 , (11.39)

∂V(z)

∂z

+ iqsk

1 − q

V(z) +



(1 − q

)



P(z) = 0 . (11.40)