Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные колебания и волны

Подождите немного. Документ загружается.

Таким образом, полная картина процесса следующая. После начала

действия силы в течении времени порядка нескольких τ (это время на-

зывается временем установления) движение представляет собой суперпо-

зицию собственных затухающих колебаний о сциллятора с частотой ω и

вынужденных незатухающих колебаний с амплитудой и частотой, зави-

сящих только от параметров внешней силы. После окончания времени

установления остаются только вынужденные колебания.

Наиболее отчетливо процесс установления можно наблюдать в спе-

циальном случае, когда сначала осциллятор покоился (x

= 0, v

= 0)

и в момент времени t = 0 на него начинает действовать сила F (t) =

= F

sin(ω

t). Будем также считать, что добро тность осциллятора велика.

Из формул (5.16) следует, что вынужденное колебание сдвинуто по фазе

на ψ = −π/2 относительно внешней силы, а подставив p = ω

в (5.18),

получаем, что амплитуда вынужденных колебаний равна F

/(2γω

). В

полном решении необходимо учесть также собственные колебания ос-

циллятора:

x(t) = e

−γt

(A cos ω

t + sin ω

t) −

2γω

cos ω

t .

В в первом слагаемом сделана замена ω на ω

, т.к. эти частоты мало от-

личаются друг от друга, и накапливающаяся из-за такой замены ошибка

в фазе колебаний за время установления будет мала. По требовав выпол-

нение начальных условий, получаем A = F

/(2γω

), B = F

/(2ω

). Так

как A/B = ω

/γ  1, то слагаемое, пропорциональное коэффициенту B

дает заметный вклад в полное колебание только в течении нескольких

первых периодов действия внешней силы, а затем его влиянием можно

пренебречь. В итоге получаем простой результат:

x(t) = −

2γω

(1 − e

−γt

) cos ω

t . (5.20)

Проце сс установления колебаний, рассчитанный по формуле (5.20), по-

казан на рис. 5.3. На начальном этапе, пока t  τ , амплитуда колебаний

меняется во времени по линейному закону: 1 − exp(−γt) ≈ γt, поэто-

му x(t) ≈ −F

t/(2ω

) cos ω

t, однако затем происходит насыщение и на

временах порядка времени установления а м плитуда выходит на стацио-

нарный уровень A

= F

/(2γω

§ 4. Резонанс

Через достаточно большое время после начала действия силы в систе-

ме устанавливаются вынужденные колебания, амплитуда и фаза которых

Рис. 5.3. Установление колебаний в осцил ляторе при точ-

ном резонансе

задаются формулами (5.18) и (5.16). Исследуем эти соотношения более

подро бно. Начнем с ам плитуды. Введем безразмерную величину u = p/ω

и перепишем формулу (5.18) в виде

A(u) =

/ω

(1 − u

)

+ u

, (5.21)

Q = ω

/2γ — добротность осциллятора. Зависимости A(u) для разных

значений добротности приведены на рис. 5.4. Из них видно, что мак-

симальное значение амплитуда достигает при p ≈ ω

. Возрастание ам-

плитуды вынужденных колебаний, когда частота внешней силы близка

к собственной частоте осциллятора, называется резонансом, а зависи-

мость амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешнего воздей-

ствия называется резонансной кривой. Кривые на рис. 5.4 показывают,

что чем выше добротность системы, тем “острее” резонансная кривая.

Максимальное значение амплитуды достигается при частотах, несколь-

ко меньших, чем ω

, однако чем больше добротность, тем резонансная

частота ближе к ω

. Точное значение резонансной частоты можно най-

ти, вычислив нуль производной функции A(u). Обозначим выражением

под корнем в (5.21) через D(u) = (1 − u

)

+ u

, тогда D

(u) = −

−4u(1 − u

) + 2u/Q

, следовательно A(u) имеет два экстремума u = 0 и

u =

1 − 1/(2Q

). Второй корень соответствует резонансу, отсюда полу-

чаем ω

= ω

−2γ

. В условиях большой добротности ω

≈ ω

[1−1/(4Q

)].

Видно, что уже при Q = 5 относительная разность между ω

и ω

ока-

зывается меньше одного процента. Для колебательных систем, у которых

добротность больше нескольких десятков, этой разностью почти всегда

Рис. 5.4. Резонансные кривые осциллятора для различных

величин затухания. γ

> γ

можно пренебречь. По этой причине в дальнейшем мы будем полагать

= ω

без специальных оговорок.

Если внешняя сила постоянна (p = 0), то статическое смещение ос-

циллятора равно A(0) = F

/ω

. Положив в (5.21) p = ω

, получаем, что

точно в резонансе амплитуда колебаний есть A

= F

/(2γω

). Отно-

шение A

/A(0) = Q, откуда видно, что для добротных систем размах

резонансных колебаний может достигать огромных величин! Система,

устойчивая к внешнему статическому воздействию, может быть разру-

шена, если внешняя сила содержит частотные компоненты, совпадающие

с резонансной частотой. Именно поэтому необходим тщательный расчет

резонансных частот таких сложных колебательных систем, к ак балки,

мосты, турбины моторов, корпуса самолетов и кораблей, а также слож-

ных электрических схем.

Красивый пример использования резонанса можно найти у Л.И. Ман-

дельштама [2, с.251]. ”Звонарь на колокольне, раскачивающий тяжелый

колокол, пользуется, хотя и бессознательно, тем же явлением. Он не в

состоянии преодолеть тяжесть колокола одним усилием и поэтому посту-

пает так. Он дает веревке слабый толчок: колокол отклоняется, но очень

незначительно, а затем возвращается обратно; как раз в момент возвраще-

ния звонарь дает следующий толчок и такими ритмичными, следующими

в tempo колебаний колокола толчками, он его раскачивает до тех пор,

пока язык не ударит по колоколу. Вот почему, между прочим, звонить в

тяжелый колокол, особенно снизу, при помощи веревки, т.е. в условиях,

когда следить за колебаниями нельзя, требует немалого навыка”.

Резонансные кривые на рис. 5.4 соответствуют системам с малой до-

бротностью. Если добротность осциллятора велика, то к ачественный вид

резонансных кривых оказывается иным из-за необходимости другого вы-

Рис. 5.5. Резонансная кривая осциллятора в случае боль-

шой добротности. Ширина резонансной кривой на уровне

A/A

= 1/

√

2 равна 2γ.

бора масштабов по осям координат. Чтобы исследовать этот случай, раз-

ложим функцию D(u) вблизи резонансного значения в ряд, ограничив-

шись двумя слагаемыми. Пренебрегая поправками порядка 1/Q

к основ-

ным членам разложения, получим D(u) ≈ 1/Q

+ 4(u − 1)

. Подставляя

это разложение в (5.21) и возвращаясь к размерным величинам, получаем

A(p) =

/(2γω

)

1 + (p − ω

)

/γ

. (5.22)

В этом приближении резонансная кривая симметрична относительно ча-

стоты ω

. Полученная зависимость часто называется лоренцевой кривой,

или лоренцевым распределением, поскольку она играет важную роль в

теории дисперсии света, построенной Г.Лоренцем. Резонансная кривая

(5.22) приведена на рис. 5.5.

На измерении формы резонансной кривой о снован метод эксперимен-

тального определения параметров осциллятора — собственной частоты и

добротности. Для этого в эксперименте снимают зависимость амлитуды

колебаний осциллятора от частоты и строят ее в координатах (p, A

Максимум этой кривой приходится на резонансную частоту. Кроме того,

из (5.22) следует, что при p = ω

± γ квадрат амплитуды уменьшается в

два раза по сравнению с резонансным значением. Поэтому измерив ши-

рину резонансной кривой на уровне 1/2, можно определить ∆ω = 2γ и

вычислить добротность осциллятора по формуле Q = ω

/∆ω

Рассмотрим теперь случай резонанса в осцилляторе без затухания.

Прямая подстановка в (5.18) γ = 0 и p = ω

дает бесконечность, по-

этому иногда можно встретить утверждение, что а м плитуда колебаний

консервативного осциллятора в резонансе бесконечна. На самом деле это

утверждение неверно и ошибка состоит в том, что вынужденное решение

(5.17) найдено в предположении, существования стационарных колебаний

с постоянной амплитудой, что в данном случае не выполняется. Чтобы

получить правильный ответ, следует действовать более аккуратно. Рас-

смотрим, например, осциллятор без затухания, который покоится и при

t = 0 на него начинает действовать сила F (t) = F

cos(pt + ψ

), причем

сначала p 6= ω

. Решение равно

x(t) = A cos ω

t + B sin ω

t +

− p

cos(pt + ψ

)

Находя коэффициенты A и B из начальных условий, приводим эту фор-

мулу к виду

x(t) =

− p

[cos(pt + ψ

) − cos(ω

t + ψ

)] −

(ω

+ p)

sin ψ

sin ω

t .

При переходе к пределу p → ω

в первом слагаемом следует аккуратно

вычислить неопределенность типа 0/0, что дает

x(t) = −

2ω

sin ψ

sin ω

t +

2ω

sin(ω

t + ψ

), . (5.23)

Видно, что решение является суммой двух слагаемых, одно из кото-

рых ограничено, а второе соответствует колебанию с линейно растущей

во времени ам плитудой. Таким образом, в любой момент времени реше-

ние остается конечным, однако колебания никогда не выходят на стаци-

онарный уровень. Через некоторое время второе слагаемое оказывается

преобладающим, в итоге получаются колебания с линейно растущей ам-

плитудой. В реальных системах, конечно, такое возрастание будет в кон-

це концов ограничено одним из неучтенных факторов: малым затуханием

или нелинейностью.

§ 5. Фазовые соотношения при резонансе

Исследуем теперь фазовые соотношения между вынуждающей силой

и откликом осциллятора. Сдвиг фазы между этими колебаниями задается

формулами (5.16). Из них, во-первых, следует, что при любой частоте

sin ψ < 0, т.е. −π < ψ < 0. Следовательно отклик всегда отстает по фазе

от воздействия. В о-вторых, из (5.16) следует, что

tg ψ =

−2γp

− p

Рис. 5.6. Фаза вынужденных колебаний осциллятора отно-

сительно фазы внешней силы. γ

> γ

Предположим, что частота p такова, что резонанса нет. Это значит, что

|ω

− p|  γ. Если ω

 p, то tg ψ ≈ ψ ≈ −p/(Qω

), если же ω



то tg ψ ≈ ω

/(QP ) и ψ ≈ −π + ω

/(Qp). Таким образом, вне резонанса

колебания осциллятора происходят л ибо в фазе с внешним воздействи-

ем (p  ω

), либо в противофазе с ним (p  ω

). Переход из одного

состояния в другое при изменении частоты воздействия происходит в уз-

кой полосе шириной порядка 2γ вблизи резонансной частоты. Точно в

резонансе (p = ω

) сдвиг фазы равен ψ = −π/2.

Зависимости ψ(p) для нескольких значений добротности приведены

на рис. 5.6. От метим, что при увеличении добротности, эти кривые все

более приближаются к функции-ступеньке. Для осциллятора без потерь

ψ = 0, если p < ω

и ψ = −π, если p > ω

Явление резонанса проявляется буквально на каждом шагу. Приведем

несколько примеров.

Резонанс лежит в основе принципа действия сверхвысокочастотных

электронных приборов, в которых используются высокодобротные о бъ-

емные резонаторы. Типичными приборами этого класса являются кли-

строны, а простейшим из них можно назвать двухрезонаторный пролет-

ный усилительный клистрон (рис. 5.7) [3]. Входной сигнал от внешнего

источника с частотой ω, близкой к собственной частоте ω

резонатора,

воздействует на электронный пучок внутри высокочастотного зазора. По-

этому на входе в трубу дрейфа электроны имеют разные скорости. Труба

дрейфа — пространство, свободное от внешних высокочастотных полей. В

этом пространстве из-за конечного времени пролета электроны, покинув-

шие резонатор с большими скоростями, догоняют электроны, вылетевшие

раньше с меньшими скоростями. Это приводит к группированию электро-

нов, образованию электронных сгустков — уплотнений и в результате —

к возникновению переменной составляющей тока [4]. Если частота воз-

Рис. 5.7. Схематическое изображение двухрезонаторного

клистрона — усилителя: 1 — входной и выходной объем-

ные резонаторы; 2 — электронная пушка; 3 — электронный

поток; 4 — коллектор, собирающий электроны; 5 — трубка

дрейфа; V

— потенциал резонаторов и т рубки дрейфа; V

вх

и V

вых

— СВЧ входное и выходное напряжения.

буждения входного резонатора близка к собственной частоте выходного,

то электронные сгустки будут возбуждать его резонансным образом, ч то

приведет к усилению входного сигнала. Когда входной сигнал велик, в

пучке начинают сказываться нелинейные процессы и возникают гармо-

ники тока частоты ω. Такие гармоники будут эффективно возбуждать

колебания в выходном резонаторе опять-таки при выполнении условий

резонанса во времени, которые для n-й гармоники запишутся в виде

nω ≈ ω

(n-целое). Это будет уже клистрон-умножитель частоты.

Использование явления резонанса чрезвычайно разнообразно. На его

основе определяют, в ч астности, собственные колебания молекул в веще-

стве. Молекулы некоторых газов, молекулы с электрическим дипольным

моментом, парамагнитные атомы и ионы во внешнем магнитном поле и

т.п. имеют такой набор энергетических уровней, которому соответствуют

собственные (резонансные) частоты, лежащие в сверхвысокочастотном

(СВЧ) диапазоне радиоволн. Если такая молекула или атом облучаются

СВЧ электромагнитными колебаниями, частота которых удовлетворяет

условию hν = W

− W

, (h — постоянная Планка; W

— значения

энергии на верхнем и нижнем уровнях), то может произойти ре зонансное

поглощение.

Для изучения поглощения СВЧ колебаний атомами или молекулами

применяют радиоспектроскопы (рис. 5.8) [5]. От генератора СВЧ колеба-

Рис. 5.8. Блок-схема спектроскопа: α — величина, харак-

теризующая поглощение, ν

и ν

— резонансные частоты

ний

излучение попадает в поглощающую ячейку — объемный резонатор

(или отрезок волновода), заполненный исследуемым веществом. Когда

частота сигнала, подаваемого от внешнего источника, совпадает в резо-

наторе или волноводе с резонансной частотой поглощения исследуемого

вещества, то происходит поглощение СВЧ излучения, которое приводит

к ослаблению сигнала на выходе приемника и к появлению на кривой

зависимости поглощаемой мощности от частоты пиков — максимумов

поглощения спектральных линий. Исследование резонансных частот, ши-

рины и формы спектральных линий позволяет определить структуру мо-

лекул, структуру атомных ядер и строение электронных оболочек атомов,

устанавливать характер взаимодействия между атомами и молекулами в

веществе и т. д. (подробнее см. [5]).

Резонанс можно использовать и для глобальных измерений. С его по-

мощью удалось, например, определить параметры осциллятора Земля -

атмосфера [6]. Внешней силой в этом случае служит Луна, которая вра-

щается вокруг Земли и вызывае т два раза в сутки приливы атмосферы с

периодом 12 часов 40 минут. Если атмосферу сместить, то благодаря воз-

вращающей гравитационной силе возникнут ее колебания относительно

Земли. Для измерения параметров γ и ω

такого глобального осциллято-

ра достаточно найти A

и ψ при каком-нибудь одном значении ω. Так

и было сделано: измерили величину атмосферных приливов и время их

В качестве генератора СВЧ колебаний часто применяют отражательные клистроны

(рис. 5. 8), в которых модуляция электронов по скорости и передача энергии сгруппиро-

ванным пучком электронов высокочастотному полю осуществляется в одном резонаторе

благодаря тому, что электроны группируются в тормозящем статическом поле в простран-

стве резонатор-отражатель (электрод с потенциалом V

на рис. 5.9) и возвращаются в

резонатор. Частоту колебаний можно плавно изменять, меняя напряжение на отражателе.

Сигнал от клистрона, поступающий в ячейку, модулируется по частоте.

Рис. 5.9. Схематическое изображение клистронного гене-

ратора и картина распределения статического потенциала

вдоль длины прибора;

Рис. 5.10. К определению собственных параметров Земля

—атмосфера: = 2π/ω = 10 ч. 20 мин. 1 — Земля, 2 —

Луна, 3— атмосфера Земли.

100

задержки, что позволило по одной известной точке построить резонансну

ю кривую (рис. 5.10).

§ 6. Энергетические соотношения при резонансе и метод усред нения

Полезно получить выражения для резонансной кривой и фазы выну-

жденных колебаний другим способом, в основе которого лежит метод

усреднения. Проведем этот вывод на примере колебательного контура,

описываемого уравнением (5.2). Умножим его на I =

Q и учтем, что

Q = dQ

/dt, 2

Q = d(

/dt, ω

= (1/LC) и γ = R/(2L). Полученное

уравнение можно записать в виде



(t)



+ RI

(t) = E(t)I(t) . (5.24)

Очевидно, что это закон сохранения энергии: работа, совершаемая ЭДС,

расходуется на изменение энергии в контуре и омические потери. Усред-

ним это уравнение по времени, предполагая, что переходной процесс за-

вершился и в контуре существуют только периодические вынужденные

колебания. При усреднении полной производной по периоду получается

нуль, поэтому результат усреднения таков:

(t) = E(t)I(t) . (5.25)

Это соотношение выражает закон сохранения энергии в среднем за пери-

од.

Одного уравнения недостаточно, чтобы определить амплитуду и фазу

колебаний. Для получения второго уравнения умножим (5.2) на Q(t) и

воспользуемся формулой Q

Q = d(Q

Q)/dt −

. Получаем

Q − γQ

) −

+ ω

E(t)Q(t) .

После усреднения по времени слагаемое с полной производной вновь ис-

чезает, а оставшееся выражение приводится к виду

(t)

−

(t)

E(t)Q(t) . (5.26)

В левой части (5.26) стоит разность средних за период значений электри-

ческой и магнитной энергий колебаний. Физический смысл этого соотно-

шения становится понятным, если привлечь аналогию между коле ба ни-

ями в контуре и колебаниями механической системы, например грузика