Токарев А.Н. Основы теории надёжности и диагностика. Учебник

Подождите немного. Документ загружается.

6. Плотность вероятности отказа - вероятность отказа

за малую единицу наработки при работе элемента (машины) без

замены:

)(

lf =⋅=

где dm/dℓ - элементная вероятность, с которой в любой

момент времени могут произойти отказы при работе машины без

замены;

P′(ℓ) - производная от Р(ℓ).

Применительно к отказам машин, где имеет место

восстанавливаемые и невосстанавливаемые изделия, вводятся

дополнительные показатели:

- интенсивность отказов (для невосстанавливаемых

изделий);

- параметр потока отказов (для восстанавливаемых

изделий).

Примечание: невосстанавливаемыми называются изделия,

работоспособность которых, в случае возникновения отказа, не

подлежит восстановлению (например: стекла, лампочки и т.п.).

Восстанавливаемыми называются изделия, работоспособность

которых в случае возникновения отказа подлежит восстановлению

методами профилактических операций или ремонта.

Интенсивность (опасность) отказов – это вероятность

отказов неремонтируемого изделия в единицу времени или

наработки после

определенного момента времени или наработки,

при условии, что до этого момента отказ не возник.

Интенсивность отказов определяется числом отказов в

единицу времени, отнесенных к среднему числу элементов,

исправно работающих в данный отрезок времени:

()

(

)

()

(

)

()

llN

∆⋅

∆

где m(∆ℓ

) - число отказов в течение интервала ∆ℓ

;

N(ℓ) - число изделий работоспособных к моменту ℓ.

Примечание: плотность вероятности отказов отличается от

интенсивности отказов тем, что плотность подсчитывается с

учётом выбывания отказавших элементов из расчёта, а

интенсивность не зависит от количества ранее отказавших

элементов.

Параметр потока отказов - это плотность вероятности

возникновения отказа восстанавливаемого изделия, определяемая

для данного момента времени или пробега:

∆⋅

∆

)('

)(

где N - число восстанавливаемых объектов, находящихся

под наблюдением;

′

(∆ℓ

) - суммарное число отказов в интервале ∆ℓ

(в общем

случае

′

(∆ℓ

) ≠ m(∆ℓ

), т.к. восстанавливаемые объекты могут

отказать несколько раз без их замены).

7. Законы распределения случайной величины. Как

известно, при увеличении числа испытаний случайные величины

подчиняются определённым законам. Типов распределения

случайных величин довольно много. Многие из них хорошо

изучены, обобщены и сформулированы в законы. Каждый закон

распределения случайной величины имеет свои

характеристики

распределения. Определяющим фактором отношения типа

распределения к тому или иному закону является плотность

распределения вероятности события.

Виды законов распределения случайной величины

3.2.1 Нормальное распределение

Закон нормального распределения является основным

в математической статистике. Он формируется тогда, когда на

протяжении исследуемого процесса на его результат влияет

сравнительно большое число независимых

факторов, каждое из

которых, в отдельности, оказывает лишь незначительное действие

по сравнению с суммарным влияниям всех остальных.

Плотность распределения данного закона выражается

соотношением:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

exp

)(

πσ

∑

ll )(

где M(ℓ) – математическое ожидание.

Графики нормального распределения изображены на рис. 3.1.

а – плотность распределения; б – функция распределения

(вероятность отказа); в – функция надёжности (вероятность

безотказной работы).

Рисунок 3.1 - Кривые нормального распределения

Среднее квадратическое отклонение данного закона выражается:

)(

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

∑

где ℓ, D(ℓ) — соответственно среднее значение и дисперсия

исследуемой величины.

Функция распределения (вероятность отказа) данного закона

имеет вид:

dР

∫

∞−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

exp

)(

πσ

Функция надежности (вероятность безотказной работы)

противоположна функции распределения:

)(1)( ll PR

−

Примечание: для вычисления вероятности безотказной

работы (для того чтобы каждый раз не вычислять интеграл при

«ручных» расчетах) используют специальные таблицы [25]. С этой

целью для удобства расчётов, вводится понятие квантиль

нормированного нормального распределения.

ll −

U - квантиль нормированного нормального

распределения.

Значения квантилей нормального распределения

приведены в специальных таблицах. Определяя по таблицам

значение квантиля можно легко вычислить вероятность

безотказной работы [10,12, 25].

Вид основных характеристик нормального распределения

очень сильно зависит от величины среднего квадратического

отклонения (см. рис. 3.2).

Математическое ожидание на графике определяет

положение петли, а среднее квадратическое отклонение —

ширину

петли (см. рис. 3.2). Кривая плотности распределения тем

острее и выше, чем меньше σ.

а — плотность вероятности f(ℓ); б — вероятность безотказной

работы R(ℓ); в — интенсивность отказов λ(ℓ).

Рисунок 3.2 - Основные характеристики нормального

распределения при разных значениях среднего квадратического

отклонения.

Область применения нормального закона.

Нормальному распределению подчиняется наработка до

отказа многих восстанавливаемых и невосстанавливаемых

изделий. Так нормальному закону подчиняется наработка до

первого отказа, интенсивность изменения, ресурс и другие

величины.

Нормальный закон довольно часто используется при

решении задач технической эксплуатации машин. Помимо задачи

оценки вероятности безотказной работы за данное время или

за

данную наработку встречается обратная задача — определение

наработки, соответствующей заданной вероятности

безотказной работы.

Значения этой наработки так же можно определить с

помощью квантилей нормированного нормального распределения:

u+=

По таблице определяют значение квантилей, а далее всё

остальное.

Пример: определить вероятность безотказной работы в

течение t=1,5*10

ч. работы подшипника качения, если ресурс по

износу подчиняется нормальному закону с параметрами:

t=3,5*10

ч; σ=10

ч.

Решение. Находим квантиль из выражения:

0,2

105,3105.1

−=

⋅−⋅

−

По таблицам квантилей определяем, что при данном значении

квантиля R(t) = 0,9772.

Ответ: R(t) = 0,9772.

3.2.2 Экспоненциальное распределение

Закон экспоненциального распределения нашел широкое

применение особенно в технике. Основной отличительной чертой

этого закона является то, что вероятность безотказной работы

не зависит от того, сколько проработало изделие с начала

эксплуатации. Закон не учитывает постепенного изменения

параметров технического состояния, а рассматривает так

называемые «нестареющие» элементы и их отказы. Как правило,

этот закон описывает надежность работы изделия в период его

нормальной эксплуатации, когда постепенные отказы ещё не

проявляются и надежность характеризуется только внезапными

отказами.

Эти отказы вызываются неблагоприятным сочетанием

различных факторов и поэтому имеют постоянную интенсивность

λ. Экспоненциальное

распределение часто называют основным

законом надежности.

Вероятность безотказной работы этого закона

определяется выражением:

−

∫

= eeR

)(

где е —2,71828 ... основание натурального логарифма;

λ - интенсивность отказов (параметр распределения).

Если, что наиболее часто встречается, λ

≤

0,1, то формула

вероятности безотказной работы упрощается и принимает вид:

−

≈

1)(tP

Плотность распределения описывают соотношением вида

−

=−= e

)(

Функция распределения вероятность отказа выражается

зависимостью

etRtP

−

−=−= 1)(1)(

Графическое изображение показателей

экспоненциального распределения приведено на рис. 3.3.

а) плотность распределения; б) вероятность безотказной работы;

в) интенсивность отказов.

Рисунок 3.3 - Кривые экспоненциального распределения

Область применения

Экспоненциальный закон распределения наиболее часто

применяется при следующих ситуациях:

- описание внезапных отказов;

- описание времени безотказной работы разнообразных

изделий, в том числе сложных технических систем,

эксплуатируемых в период после приработки и до проявления

постепенных отказов;

- решение проблем, связанных с обслуживанием

сложных систем, в частности, при описании закона

восстановления и при описании продолжительности ремонтных

воздействий;

- описание времени безотказной работы системы с

большим числом

последовательно соединённых элементов, если каждый из

элементов в отдельности не оказывает влияния на отказы системы

и в ряде других случаев.

Пример расчета вероятности безотказной работы.

Дано: наработка на отказ сложной технической системы

подчиняется экспоненциальному закону распределения с

параметром λ=15*10

-5

-1

Определить вероятность безотказной работы системы за

t=100 ч, а также найти среднее значение наработки на отказ.

Решение. Вычислим вероятность безотказной работы.

985.0100101511)(

=⋅⋅−=−=

−

ttP

Среднее значение наработки на отказ найдем по формуле:

6677

101

)(

≈===

TtM ч.

Таким образом, вероятность безотказной работы системы

составляет 0,985, а среднее значение наработки на отказ – 6677

часов.

3.2.3 Логарифмически нормальное распределение

Логарифмически нормальный закон распределения

встречается тогда, когда на протекание исследуемого процесса и

его результат влияет сравнительно большое число случайных и

взаимонезависимых факторов, интенсивность действия которых

зависит от достигнутого случайной величиной состояния

Логарифмически нормальное распределение является

двухпараметрическим

),(

l распределением случайной

величины, логарифм которой распределен по нормальному закону.

Как распределение оно несколько точнее, чем нормальное.

Плотность распределения описывается зависимостью

()

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

⋅⋅

.00

exp

)(

при

πσ

Параметры а и σ оценивают по результатам испытаний с

помощью формул:

∑

где ℓ

– наработка до отказа i-го изделия;

N – число изделий, поставленных на испытания.

∑

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

Функция распределения вероятности отказа имеет вид

(

)

∫

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−=

exp

)( d

πσ

Математическое ожидание и среднее квадратическое

отклонение наработки до отказа соответственно равны

()()

1exp2exp)(;)(

−+==

σσσ

aeM

Кривые логарифмически нормального распределения

изображены на рис. 3.4.

а – плотность вероятности f(ℓ); б – вероятность безотказной

работы R(ℓ)

Рисунок 3.4 - Кривые логарифмически нормального распределения

при различных параметрах

иa

Область применения

В теории надежности такое распределение используют:

- для описания наработки до отказа деталей в период

наступления усталости материала;

- для описания процессов восстановления;

- для описания износовых отказов или наработки между

отказами сложных технических систем.

При эксплуатации машин этот закон используется при опи-

сании процессов усталостных разрушений, коррозии, наработки

до

ослабления предварительной затяжки крепежных соединений и в

ряде других случаев.