Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
§
1.
Індивідуальне завдання 1.
381
16.
Л/(і,2,3), І:
17.
М(0,1,3), І:
18.
А/(-1,0,4), І:
19.
М (0,3,5), І:
20.
Л/(і,2,0), Ь:
21.
Л/(о,2,і), Ь:
22.
А/(3,-1,0), Ь :
23.
А/ (0,-1,3), І:
24.
М (і,0,-1), І:
25.
М(0,2,3), І:
26.
М (-1,2,0), І:
27.
А/(2,-2,-3), І:
28.
М (0,1,4), І:
29.
М (-1,0,1), І:
30.
Л/(-1,0,-і), І:
31.
Л/ (2,1,0), Ь :
х-2
у-3
2 +
1
-1
-1 4
х +
1
у-3
2 +
1
3
-4
5
х +
1
у + 2
2-3
-3 2 -2
х-1
у-2
2-4
2 0
1
х + 2
у-2
2-3
1
0
0~~
х-1
У А
2 + 2
2 -і
3
х-1
7
+
1
2 +
1
1
0 -1
х + 2
у-1
2 + 3
-1 1 2
х - 3 у + 2
2-8
~Т
-1
0
х +
1
У 2 +
1
-2 0
_
3
х-1
у-3
2 + 5
6
1
х-2
у-1
2 + 3
4 -3
-2
х-1 у+ 2
2-3
2
-5
-2
х-1
у-3'
2 + 2
1 0 -2
х + 3
у-2
2 + 5
0 -3
11
х-7
у-3
2+1
3
1 -2
382
Глава
9.
Типові розрахункові завдання
Задача 10. [ гл. 2, §1, приклад ІЗ ].
Знайти точку М', симетричну точці М відносно площини Р .
Варіанти завдань
1.
М
(1,0,1),
Р
Ах
+
6у
+
4г - 25 = 0
2.
М
(-1,0,-1),
Р
2х + 6^-2. +
11
= 0.
3.
М
(0,2,1),
Р
2х
+
4у - 3 = 0.
4.
М
(2,1,0),
Р
>>
+ _+2 = 0.
5.
М (-1,2,0),
Р
4х-5у-2-7
= 0.
6.
М
(2,-1,1),
Р
х-
у
+
2г - 2= 0.
7.
М
(1,1,1),
Р
х
+
4у
+
2>г
+ 5 = 0.
8.
М
(1,2,3),
Р
2х +
>>
+
2
+ 1= 0.
9.
М
(0,-3,-2),
Р 2х + 10у + 102-1 = 0
10.
М
(1,0,-1),
Р 2у+
47-1
= 0.
11.
М
(з,-з,і),
Р
2х-4/-42-13
= 0.
12.
м
(-2,-3,0),
Р
х
+
5у
+
4
=
0.
13.
м
(2,-2,-3),
Р
^
+ 7 + 2 = 0.
14.
м
(-1,0,1),
Р 2х + 4^-3 = 0.
15.
м
(3,3,3),
Р 8х + 6 у + 8г - 25 = 0
16.
м
(-2,0,3),
Р
2х-2^
+ 10. +
1
=0.
17.
м
(0,-3,-2),
Р
х
+
2у +
32
+ 14 = 0.
18.
м
(2,-1,1),
Р
х + 2^-57 + 20 = 0.
19.
м
(1,1,1),
Р
х-3.у
+ 77-24 = 0.
20.
м
(1,2,3),
Р
Зх
+^-57-12
= 0.
21.
м
(1,0,-1),
Р
х +
3;.
-52+ 9 = 0.
22.
м
(2,1,0),
Р
х-2у + 57 + 17 = 0.
23.
м
(-2,-3,0),
Р
2х-Зу-5г-7 = 0.
24.
м
(-1,0,-1),
Р
Зх-2у-4г-8 = 0.
§
1.
Індивідуальне завдання 1.
383
25.
М
(0,2,1),
Р х +
2>>-2-2
= 0.
26.
М (3,-3,-1), Р
5л:-
у +4г+ 3 = 0.
27.
м(з,з,з),
Р
дг
+ Зу +
52-42
= 0
28.
М (-1,2,0),
Р х-2у + 2 + 4 = 0.
29.
М (2,-2,3),
Р
2х-3у + 2 + 6 = 0.
ЗО.
М (-1,0,1),
Р
Х+>>
+ 2 + 10 = 0.
31.
М (0,-3,-2), Р
х-Зу-22
+ 3 = 0.
Задача 11. [ гл. 2, §2, приклади 1,2,4 ].
Встановити тип кривої другого порядку Ь та знайти всі її характерис-
тики: для кола - координати центра та радіус; для еліпса - координати центра,
півосі, ексцентриситет, рівняння директрис; для гіперболи - координати цен-
тра, дійсну та уявну півосі, координати фокусів, ексцентриситет, рівняння ди-
ректрис, рівняння асимптот; для параболи - параметр параболи, координати
вершини, координати фокуса, рівняння директриси.
Побудувати графіки кривих.
Варіанти завдань
1.
Ь:
9х
2
+4у
2
+6х-Лу-2 = 0 .
2.
Ь:
9х
2
-Ібу
2
-6х + 8у-144 = 0.
3.
І:
12х
2
-12х-32у-29 = 0.
4.
І: 16х
2
+ 25 у
2
+ 32х - 1 ООу - 284 = 0
5.
І:
9х
2
- 16у
2
+ 90х + 32у - 367 = 0.
6.
І: 9>>
2
-7у~16 = 8х.
7.
І:
4х
2
+3у
2
-8х + 12у-32 = 0.
8. І: 16х
2
-9у
2
-64х-\8у + 199 = 0.
9.
І:
х = 2у
2
-Пу + ІА.
10.
Ь:
4х
2
+9у
2
-4х + 6у-2 = 0.
11.
Ь:
-
16х
2
+ 9у
2
+ 8х - 6у -144 = 0 .
12.
Ь:
\2у
2
-12х-32у-29 = 0.
13.
£: 25х
2
+16 у
2
-1
ООх
+ 32у - 284 = 0
384
Глава 9. Типові розрахункові завдання
14.
Ь:
-16х
2
+ 9
у
2
+ 32х + 90у - 367
15.
І:
1 2
х = -- у +у.
4
16.
Ь:
Зх
2
+4/+12х-8>'-32 = 0.
17.
І:
-9х
2
+ 16.у
2
-18х-64.у + 199
18.
І:
.у = 2х
2
-12х + 14 .
19.
Ь:
х
2
-2х + 4>>
2
-3 = 0.
20.
І: 4х
2
-у
2
+ 2>>-3 = 0.
21.
І:
у
= 4х
2
-8х + 6.
22.
_:
х
2
+2^
2
+ 4х-4>> = 0.
23.
_:
2х
2
- 3у
2
- 6х + 9у - 2 = 0 .
24.
1:
4х
2
+ 4х + 2у>-1 = 0.
25.
Ь:
х
2
+ у
2
-Зх-5у+ 1,25 = 0.
26.
Ь:
2х
2
+ 6х + Зу + 6 = 0 .
27.
Ь:
-4х
2
+ >>
2
+ 8х-6>>-8 = 0.
28.
Ь:
9х
2
+'4у
2
+ 6х-4у-2 = 0.
29.
2х + у
2
- 3
V
+ 4 = 0 .
30.
і:
х
2
-4у
2
+8у-5 = 0.
31.
І:
4х
2
—
8х + у
2
=0.
Задача 12. [гл. 2, §2, приклади 5-9].
Встановити тип заданої поверхні Р та побудувати її.
Варіанти завдань
1.
Р: х
1
+у
2
+г
2
=2аг . 2.Р:г = 4-х
2
.
3.
Р: х
1
+у
2
=2аг. 4. Р: у
2
+2
2
=4х .
5.
Р: х
2
+г
2
= 2аг . 6. Р: х
2
+
у
2
-і
2
=0 .
2
7.
Р:
х
2
-у
2
=2аг . 8. Р: у
2
+ г
2
--- = 0 .
§2.
Індивідуальне завдання 2.
385
9.
Р:
Л-
2
-у
2
=2
2
. 10.
Р
2
2 2
4 9 1
11. Р:
X
2
=62.
12.
Р
/2
2
ч
.
2 = -(
X
+
V
) .
13.
Р:
~
2 2
2 = 2 +
X
+ у .
14.
Р
2
2
2
V 2 .
-
х + -— + - - = 0 .
4 9
15.
Р:
х
2
+2
2
=25.
16.
Р
2 =
1-Х
2
-у
2
.
17. Р:
25 16
18.
Р
:
у
2
= 6х - 4 .
19.
Р:
2
2
=1.
16 9
20.
Р
:
2х
2
-32
2
= 12у.
21.
Р:
2х
2
-Зг
2
= -12у.
22.
Р
:
2х
2
-у
2
+б2
2
=12.
23.
Р:
х
2
+4у
2
-4 = 0.
24.
Р
:
2х
2
+у
2
-Зл
2
+62 = 0
25.
Р:
у
2
+
7
2
=-2.
26.
Р
:
2х
2
+у
2
+ 22 +
1
= 0.
27.
Р:
у
2
= а х .
28.
Р
:
2х
2
-у
2
+22 +
1
=0.
29. Р:
X
2
= 4 .
30.
Р
:
2х
2
+2
2
+2х + 2 = 0.
31.
Р:
2
2
х + у = а х .
І §2.
Індивідуальне завдання
2.
Визначники. Матриці. Системи лінійних алгебраїчних
рівнянь
|
Задача
І.[гл.
З, §1, приклади 4 - 6].
•
Обчислити визначник четвертого порядку.
І Варіанти завдань
4 0 12
3-1 2 0
1 2-11'
2 4-3 3
1 4 0
-З 2 1
1 -1 2
З 0 4
1 2 3 0 І
-1-2 0 4
2 5 6 1
1 3 5 2
386 Глава 9. Типові розрахункові завдання
4.
7.
10.
16.
19.
22.
-1 2 0 3
2
0 4
0 1 -1 .
1 --1
1
2
-3
-4
1
2
2
0
. 5.
2
-4
1
3
8
-9
3
1
. 6.
2
-1
0
1
3
0
1
2
3 -5
1
-8 6
1
10 3
3 2 1 --1
3
1 -
-3 4 -1
2 3
0
|
1 -1
2
-2
1
-1
1 -
2
-1
2
2
0
8.
1
2
-3
-3
-2
-5
1
2
і
1
3
-1
-4
2
7
3
-8
4
0
3 1 2
3
1 -7 3
і
2 -3
5
-6
3
0
1 0
1 2 3 4
-1
3
1
-3
6
1
2
-1
1
3
5
. 11.
2
3
5 8
8 0
9
2
12.
1
2
2
1
-1
-3
_
і;
9 4
2
1
4 3 3
3 3
-7 -5
і*
5
4 3 2
4
3 2
1 0
1
2
з і
4
3
2 2
2 3
1
4
14.
3
2
4 0
4 6
7
8
15.
1
2
2
1
0 -
3 -
4
і
1
2
4 5
3
1 1 2 3
-3
3
1
0 1
1
2 1
-1
3
3 1 2
3
1
2
3 4
4
2
0
-2
1
3
1
0
. 17.
6
-3
4
2
-1
0
0
5
. 18.
-1
1
0
3
-1
1
2
-1
"2
3
1 1
3 -1 2
1
2
1 6 0
2 0 1 -1
1 -1
0 4
3 1
0 1
0
1
1
-1
2
0
2
1
. 20.
-1
2
2
-1
3
1
0
1
. 21.
2
3
1
-1
-1
2
1
2
-1 2 3
4
1 3
0 -1
-2 0 -1
1
3
1
-7
0
1 -1 2
3
4
1 -1
2
-1
І
2
-1
0
3
4
2
. 23.
0
-2
2
1
3
0
1
4
. 24.
0
2
3
1
1
1
1
0
0 4 -2 1
2 3 -2
1
2
-1
0 3
§2.
Індивідуальне завдання
2.
387
25.
28.
1 1 -1
3 3
1 2 -1 -1 2 0
3
-1 2
3 1
2
1 0
-1 1 -2 1
-3
26. .
27.
2 1 0 4 1 2 1 0 1 2 2 0
-1
-1
1 4
-2
-3
1
2 -1 3 0 4
2
3
-1
2
-3 1 0
5
2
3
4
5
4 7 1 4 3 -2 1 -4 1
3 2 3
.
29.
.
ЗО.
4 0 1
3
!
6 -3 2 1 2 7 5 4
-2 -4
2 3 6
2 1 0
-3 -10 2 11
2-315
0 5 14
1-10 2
4-131
Задача 2. [ гл. З, §2, приклади 1,3 ].
Знайти матрицю С, виконавши вказані операції над матрицями А та В.
Варіанти завдань
'
2
3
Г
'
2
7 1
\
1.
С
= 2(А + В)В;
А
= -1 2 4
й =
-1 0 1
0 3 0
5
1 2
)
/
(2
3
\\
'0
8 7"
2. с =
А(2А + В);
А
= 4 -1
0
5 = 2
7 3
,о
1
4
V
3 5
)
(4 -2 о
ч
Го -2
3.
с
= 2А(А + В);
А
= 1 1 2
В
=
2 4 3
,з
-2
0,
,о
(\
-1
°1
( 5
3 -
-
4. с
=
ЗВ(В-2А);
А
=
2 0 1
-1 2 0
ч
1
1
1
0 о,
388
Глава 9. Типові розрахункові завдання
(2
2
-
-1 (
0
3 -1
5.
С
= =
2б(_ -А);
А
=
0 -1
2
в =
2
-1
2
.5
0
1
У
1
4.
(
3
4
5
Л (
0
1
"
2
1
6.
с
= 2А(А-В);
А
=
-1
0
2
в =
-1
1
2
-1
о,
{
4
5
б
({)
-
1
2
]
7.
с
= В{А-ЗВ);
А
=
-1 0
3
в =
1
0
-
-,2
2
-
-1 1
2,
(1
-3
0"
Г-4
2
8.
с
=
В(А + 2В);
А
=
1 -1
0
_
в =
1
0
1
,2
0
2
У
,
3
2
1,
(
2
3
-
-1
ґ-1
0
5^
9.
с
= 2А{2В~А);
А
=
4 0 2
в =
0
1
3
0 7
)
.
2
-2
(4
5
-
-2
Л
Г
2
1
_1
1
10.
с
=
{А + 2В)В;
А
=
3
-1 0
в =
0
1
3
,4
2
°,
,5
0
з,
'
5
1
7^
(2 4
11.
с
=
2{А - В)А ;
А
=
-1 -2
1
в =
3
1
0
.
0
1 2,
,0
2
'
7
2 0
'0
2
У
12.
с
= В(А-ЗВ); А
=
-7 -2 1
,
в =
1
0
- 2
V
1
1 1
)
,з
і
1
2
0>
(
3
0
-
13.
с
=
А(2А + В);
А
=
0 4
1
в =
-1 -2
0
,7
3
2,
V
"
1
з,
§2.
Індивідуальне завдання 2.
389
{
5
-1
3
1
Гз о
-
2
1
14.
С
В)2А;
А
=
0
2 -1
і і
-
2
,-2
-1
°>
'3 2
-5'
Г-і
2
4^
15.
С = {Л-
2В)В;
А
=
4 2
0
в =
0
3 2
И
1
2
,-1 -
-3
ґ
0 3
-г
< 1
4
16.
С
= 2(А
-В)А;
А =
2 0
4
в =
-3
-2
0
,3 5
ч
, 5
0
2,
(\ 4
2^
'4 0-
2
)
17.
С = 2А(А + В);
А =
2
1
-2
в =
4 1
1
1
\
/
2 4 -
5
,
(4
2 г
'2 0
2
18.
С = 3(Л-В)В;
А =
3
-2
0
в =
5 -1
-2
-1
2
/
-1
( 1 0
3
1
(
1
5
19.
С = (2Л-б)л ;
А = -2 0
1
в =
0 1
3
,-3 -1
Г7
-3 0^
(-4 2
20.
С = В(А + 2В);
Л = І -1
0
в = 1 0
1
0
\
, 3 2
1
(
2
-5
(\ -2
°1
21. С = 2(В~А)А;
А = 5
-1
5
в =
1 -2
1
,°
1 о,
К
' 1
1
°1
ґ
4 1 її
22.
С = 3{А + В)В;
А =
1
2 1
в =
0 1 1
.-2
1
К
ч
о о і,
390
Глава 9. Типові розрахункові завдання
' 1
2
6
1
'2
-1 П
23.
С
= 2А{А + В);
А =
-2
-1
0 2
-1 і
V
3
1 -1
/
.0
0 і,
ґ
\ 0
°1
г
2
-1
24.
с
=
В(2В-ЗА);
А =
1 1 0
в = 4 -2
5
^0 0
І
.2
-1
°,
<\
1 2
Л
'і
1
25.
с
= 2А(В + А); А = 2 -
1
>
в = 0
0 1
1
12
0
1
Г4 ( 2
0
26.
с
=
В(2А-В); А =
2 -
2
в =
1
1
,з
0
з,
,-з
0
(\ 2
3^
Гі
-5
7
1
27.
с =
(ЗЛ
- 2В)В ;
А =
0 1
1 в = 3
-1 0
о,
.»
2
°,
'\ 1
2^
'3
-1
28.
с
=
(А-2В)А;
А = 0 1
в = 0
1
0
,о і
-0
0
' 1
-1 1
ґ
2
-2
29.
с
= (А + 2В)А;
А =
-1 2
0
в =
1
2 -
1
-2
,4
0
(\ - 2
Ґ2
-2
30.
с
=
(А-2В)В; А = 2 1
1
в = 1
2 -
.3 "
2
».
,4
0
<
( 1
1
3^
Г
2
1
Г
31.
с
=
(А + ЗВ)2В ;
А =
1 -2 1 в =
0
1 0 .
,-з
1
о
у
0
о,