Свинолобов Н.П., Бровкин В.Л. Теоретические основы металлургической теплотехники

Подождите немного. Документ загружается.

2.12.2. Теорема импульса Эйлера и уравнение Бернулли

для всего потока

При записи уравнений (1.20) и (2.19) особо подчеркивалось, что ско-

рость во всех точках в любом сечении потока одинакова. Более правильно

говорить, что уравнения (1.20) и (2.19) справедливы для элементарной

струйки в потоке. Поскольку в сечении потока имеет место неравномер-

ность скоростей, то в уравнении импульсов Эйлера нужно использовать ре-

альное количество движения, а в

уравнении Бернулли – реальную кинети-

ческую энергию (т.е. среднее динамическое давление) в различных сечени-

ях в потоке.

Уравнение импульсов Эйлера и уравнение Бернулли для всего потока

принимают окончательный вид:

(

)

=⋅α−⋅α⋅ GWWm

11б22б

[Н], (2.84)

12пот2

2кст21

1кст1

Pgz

P Δ+ρ+

ρ⋅

⋅α+=ρ+

ρ⋅

⋅α+ [Па]. (2.85)

2.12.3. Распределение скоростей в круглой трубе

при турбулентном течении

Как отмечалось в разделе 2.10, Л. Прандтль принял допущение: тур-

булентное касательное напряжение τ

не зависит от координаты у, что про-

тиворечит выражению (2.73), вытекающего из уравнения импульсов Эйле-

ра и для турбулентного течения.

В связи с этим неожиданным явилось хорошее совпадение измерен-

ных профилей скорости логарифмическому закону по всему сечению пото-

ка вплоть до оси трубы. Причина этого обстоятельства, как указал

Т. Карман, заключается

в том, что допущение Л. Прандтля τ

= τ

ст

компен-

сировалось другим допущением – принятием линейной зависимости для

пути перемешивания [9].

Все трубы имеют шероховатость. Но если толщина вязкого подслоя

превышает размер бугорка шероховатости, то она считается аэродинамиче-

ской "гладкой" трубой.

По опытным данным И. Никурадзе в диапазоне Rе = 4⋅10

- 3⋅10

для

гладких труб имеет место

5,5

ln5,2

⋅

⋅=

, (2.86)

где у = R - r, R – радиус трубы, r – текущий радиус.

На рис. 2.13 представлено распределение скоростей для "гладкой"

трубы при различных критериях Рейнольдса. Чем больше критерий Рей-

нольдса, тем заметнее изменяется скорость вблизи стенки, профиль скоро-

стей становится более полным.

Т. Карман и С.И. Аверин определяли распределение скоростей в тур-

булентном потоке из уравнения, в котором учитывается изменение каса-

тельного

турбулентного напряжения по сечению потока

стт

⋅τ=τ . (2.87)

Т. Карман и С.И. Аверин,

как и Л. Прандтль, пренебре-

гают ламинарной вязкостью в

турбулентном ядре потока.

Распределение скоростей в по-

токе по Карману и Аверину,

как и в решении Прандтля, вы-

ражается через динамическую

скорость W

. Различие реше-

ний по Карману и Аверину

обязано определению посто-

янных интегрирования из раз-

личных граничных условий.

Т. Карман использует обще-

принятое понятие о вязком по-

граничном слое, а С.И. Аверин

использует понятие о вихре-

вом пограничном слое.

В решениях Кармана и

Аверина также получается ло-

гарифмическое распределение

скоростей.

В трех решениях

динамическая скорость опре-

деляется неизвестной силой

трения на стенке. В свою очередь, сила трения на стенке зависит от распре-

деления скоростей в потоке, и, следовательно, от критерия Рейнольдса. Та-

ким образом, скорость в потоке определяется в неявном виде. Отсутствие

конкретной связи между динамической скоростью и критерием Рейнольдса

осложняет

использование решений Прандтля, Кармана и Аверина в инже-

нерных расчетах.

Рис. 2.13. Распределение безразмерной

скорости по сечению гладкой круглой

трубы при различных значениях Re

Выдающийся американский физик-педагог Р. Фейнман отмечает [15]

по поводу теории турбулентности: "Это – центральная проблема, которую в

один прекрасный день нам понадобится решить, а мы этого не умеем".

2.13. Потери на трение

2.13.1. Потери на трение при ламинарном течении

Потери на трение согласно уравнению Бернулли компенсируются па-

дением статического давления на участке L

и теоретически для ламинар-

ного движения рассчитываются по формуле:

L32

л12тр

⋅

⋅η=Δ , (2.88)

т.е. потери на трение при ламинарном движении пропорциональны средней

расходной скорости

W в первой степени.

Между тем, при развитом турбулентном движении потери пропорцио-

нальны квадрату средней расходной скорости. Исходя из этих соображе-

ний, потери на трение определяются по универсальной формуле Дарси-

Вейсбаха

тртр

ρ⋅

⋅⋅μ=Δ

, (2.89)

где μ

тр

– коэффициент трения, определяемый из эксперимента. Для лами-

нарного движения в круглой трубе из (2.88) и (2.89) следует

тр

=μ . (2.90)

Для ламинарного движения между двумя бесконечными плоскостями

= 0, а распределение скоростей также отвечает закону квадратной пара-

болы в виде (2.72) с заменой R на Н, где Н – половина ширины канала.

Для прямоугольного канала в уравнении (2.89) используется гидрав-

лический диаметр канала

гидр

⋅

, (2.91)

где F [м

] – "живое" сечение канала; П [м] – периметр канала.

2.13.2. Потери на трение при турбулентном течении

На распределение скоростей в турбулентном потоке, бесспорно, влия-

ет шероховатость стенки трубы. На рис. 2.14 представлено распределение

скоростей для Re = 10

при различной относительной шероховатости трубы

= Δ/R, где Δ – размер бугорка. Чем меньше ε

, тем более гладкая поверх-

ность трубы.

Каждому профилю скоро-

стей соответствует свой закон

сопротивлений и свой коэффи-

циент трения μ

тр

. Коэффициент

трения для аэродинамически

"гладких" труб может быть оп-

ределен теоретически. По-

скольку теоретические форму-

лы для расчета μ

тр

относитель-

но сложны и в принципе при-

ближенны, то коэффициент μ

тр

лучше всего определять из

опытных данных.

Хотя и здесь не все так

просто. Дело в том, что шерохо-

ватость имеет различную струк-

туру (волнистую и зернистую),

различные размеры бугорков,

различную концентрацию бугорков на единицу поверхности трубы и т.д.

На рис. 2.15 представлены экспериментальные данные зависимости

тр

= f(Re, Δ/R) для труб с относительной шероховатостью ε

= Δ/R менее

0,0667. При малой относительной шероховатости (Δ/R < 0,00197) кривая

тр

= f(Re) совпадает с кривой для "гладких" труб. Чем больше критерий

Рейнольдса для гладких труб, тем меньше коэффициент трения μ

тр

(как при

ламинарном течении).

При большой шероховатости труба ведет себя как гладкая лишь в не-

большом интервале изменения критерия Рейнольдса. Начиная с некоторого

значения Re

, коэффициент μ

тр

постепенно увеличивается. Однако при дос-

тижении определенного значения критерия Re

, дальнейшее возрастание

критерия Re не приводит к возрастанию коэффициента трения. Величина

коэффициента трения в этой области определяется только относительной

шероховатостью. Чем больше Δ/R, тем больше и μ

тр

, что легко объяснимо.

При Δ больше δ

, бугорки обтекаются турбулентным потоком, как плохо

обтекаемые тела, с образованием отрывных (вихревых) зон. В этой области

течения потери пропорциональны квадрату скорости.

Рис. 2.14. Распределение безразмерной

скорости по сечению круглой трубы

при различной относительной

шероховатости Δ/R

2.14. Потери при местных сопротивлениях

При переходе потока из узкого канала в широкий (переход с большой

скорости W

на малую W

) прежде всего, присутствуют потери энергии

компрессии из-за подтормаживания потока. Однако основные потери обя-

заны возникновению обратного движения в пространстве между потоком и

стенкой канала, т.е. потерям при движении потоков навстречу друг другу

(рис. 2.16).

Рис. 2.15. Зависимость коэффициента трения от Re при различной

относительной шероховатости Δ/R

Рис. 2.16. Виды гидравлических сопротивлений:

а - переход из узкого в широкое; б - переход из широкого в узкое; в - поворот на 90

Возврат газов из сечения 2-2 в сечение 1-1 для варианта "а" обязан бо-

лее высокому статическому давлению Р

cт2

, по сравнению с Р

ст1

из-за пере-

хода избыточной кинетической энергии

(

)

2/W2/WP

112дин

⋅ρ−⋅ρ=Δ в

статическую, поскольку ΔР

дин12

. > ΔР

пот12

. Крайние молекулы с небольшой

скоростью движутся по пути наименьшего сопротивления.

Согласно формуле Борда потери при расширении потока под углом

α = 180° при условии равенства скоростей по сечению определяются по

формуле:

(

)

рас

ρ⋅−

=Δ

. (2.92)

По такой же формуле в теоретической механике определяется потеря

кинетической энергии при неупругом ударе твердых тел. Поэтому потери

давления при внезапном расширении обычно называют потерями на удар.

Потери уменьшаются с уменьшением угла перехода ϕ и в диффузоре с

ϕ = 6-8° практически минимальны. Следовательно, диффузор служит для

максимального перехода кинетической энергии

потока в энергию компрес-

сии. Потери при переходе под углом ϕ рассчитываются по универсальной

формуле для любых переходов:

расрас

ρ⋅

⋅=Δ

. (2.93)

Значения К

рас

= (ϕ, D

) приведены в справочной литературе. При

ϕ = 180° коэффициент потерь К

рас

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

. Когда D

>> D

полно-

стью теряется динамическое давление Р

дин1

Потери при переходе потока из широкого канала в узкий (переход с

малой скорости на большую), потери при повороте потока без изменения и

с изменением скорости также обязаны образованию вихревой зоны (см.

рис. 2.16б, 2.16в) в пространстве между стенкой канала и потоком газа. По-

тери при переходе можно рассчитать по формуле

потерь при переходе с

большой скорости W

на меньшую W

(

)

рас

ρ⋅−

=Δ . (2.94)

Поскольку скорость W

не известна, то потери рассчитывают по уни-

версальной формуле (2.93), где К

суж

, К

пов

определяются из эксперимента.

При переходе из широкого канала в узкий по И.Д. Семикину коэффи-

циент потерь К

суж

определяется по формуле:

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−⋅

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−⋅=ϕ

cos1

15,0D/D,K

12суж

. (2.95)

Максимальные потери будут при переходе из бесконечного простран-

ства под углом ϕ = 360°. Они равны: ΔР

суж

= Р

дин

При повороте потока без изменения скорости по И.Д. Семикину

()

cos1

пов

ϕ−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

, (2.96)

где R – радиус закругления канала.

Обращаем внимание на то, что в формулах (2.95-2.96) не учитывается

неравномерность скоростей по сечению потока.

При резком повороте потока под углом ϕ = 90° (R = 0) теряется дейст-

вительное динамическое давление

кдин

ρ⋅

α=

, т.к. получается, что

пов

= α

Большинство сложных мест-

ных сопротивлений можно пред-

ставить как комбинацию элемен-

тарных местных сопротивлений.

Для уменьшения потерь при мест-

ных сопротивлениях нужно устра-

нить свободное пространство, в

котором образуется вихревое дви-

жение (см. рис. 2.17а-в). Расход га-

зов измеряется с помощью диа-

фрагмы, – при этом неизбежны

большие потери. Значительные

по-

тери присутствуют на регулирую-

щей заслонке и дымовом шибере,

предназначенных для изменения

расхода газа, воздуха и дыма по

ходу процесса нагрева. Коэффици-

енты потерь при этих местных со-

противлениях приведены в спра-

вочной литературе [16].

Рис. 2.17. Стандартные способы

уменьшения потерь давления на

гидравлических сопротивлениях:

1 - металлические каналы; 2 - кирпичные

каналы

2.15. Элементы теории подобия и моделирования

Из-за теоретических затруднений (действительность всегда сложнее

любой теории) в механике газов (и особенно в теплопередаче) большое

значение приобретает экспериментальный путь исследования как в самой

печи, так и на моделях печи. Чтобы исследовать влияние на процесс какой-

то одной величины, остальные нужно сохранить неизменными, что не все-

гда возможно или затруднительно

из-за большого количества переменных.

Кроме того, нужно быть уверенным, что результаты, полученные с помо-

щью конкретной установки (модели), можно перенести и на другие анало-

гичные процессы (образец). Эти трудности помогает разрешить теория по-

добия.

Элементы теории подобия (правила или теоремы теории подобия) лег-

че усваиваются, если уравнения процессов будут

представлены в безраз-

мерном виде, при этом размерные физические величины объединяются в

безразмерные комплексы. Число таких комплексов, называемых критерия-

ми или числами подобия, меньше числа величин, из которых составлены

эти комплексы, что упрощает исследование физических процессов. Кроме

того, безразмерные переменные отражают влияние не только отдельных

факторов, но и их в совокупности

. Теория подобия, являясь теоретической

базой для эксперимента, служит подспорьем и для теоретических исследо-

ваний и потому изложение элементов теории подобия полезно и в ознако-

мительных курсах для металлургов.

2.15.1. Уравнения Навье-Стокса в безразмерном виде.

Критерии подобия для процессов движения жидкости и газов[5]

Введем в уравнения Навье-Стокса безразмерные координаты

X = x / L

; Y = y / L

; Z = z / L

, (2.97)

где L

– характерный размер тела (например, длина печи, длина пластины,

радиус трубопровода), и безразмерные скорости

р/б

W =

;

р/б

W = ;

р/б

W =

, (2.98)

где W

– характерная скорость в потоке (скорость набегающего потока,

скорость в середине потока, скорость истечения газо-воздушной смеси из

горелки).

Подставляя эти значения в уравнение для скорости W

в лагранжевой

форме записи (2.26, 2.29) для случая с g

= 0 и вынося постоянные W

и L

за знак дифференциала для установившегося движения (∂W

/∂τ = 0) не-

сжимаемой жидкости, из (2.26, 2.29) получим:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

⋅+

∂

⋅+

∂

⋅⋅

р/б

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

⋅

⋅ν

∂

⋅

⋅ρ

−=

р/б

(2.99)

так как

р/б

∂

⋅⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅∂

⋅⋅=

∂

⋅

и т. д. (2.100)

р/б

∂

⋅=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

и т. д. (2.101)

Разделяя каждое слагаемое в (2.99) на

W / L

, будем иметь

∂

⋅+

∂

⋅+

∂

⋅

р/б

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

⋅

∂

⋅

⋅ρ

−=

р/б

WLX

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

⋅+

∂

−=

р/б

, (2.102)

где

⋅ρ

– число Эйлера;

⋅

– число Рейнольдса.

Аналогичное уравнение записывается и для скорости W

при g

= 0

∂

⋅+

∂

⋅+

∂

⋅

р/б

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

⋅+

∂

−=

р/б

. (2.103)

Считая, что ось z перпендикулярна поверхности Земли, для скорости

в уравнении добавится слагаемое с g

= g:

∂

⋅+

∂

⋅+

∂

⋅

р/б

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

⋅+

∂

−=

р/б

, (2.104)

где

⋅

– число Фруда.

Исходя из уравнений (2.102) - (2.104) безразмерные переменные мож-

но разделить на два вида: 1) определяющие – это числа, целиком состав-

ленные из независимых переменных и постоянных величин, входящих в

условие однозначности: X, Y, Z, Re, Fr; 2) определяемые – это числа, в ко-

торые входят искомые зависимые переменные

р/б

W ,

р/б

W ,

р/б

W , Eu.

Безразмерные физические переменные называют числами подобия

или критериями подобия. Однако не будет большой погрешностью в изло-

жении, если числа подобия Re, Eu и Fr будут также называться и критерия-

ми подобия (что и было в прошлом).

Из системы уравнений (2.102) - (2.104) следует:

р/б

W = f

(X, Y, Z, Re, Fr); (2.105)

р/б

W = f

(X, Y, Z, Re, Fr); (2.106)

р/б

W = f

(X, Y, Z, Re, Fr); (2.107)

Eu = f

(X, Y, Z, Re, Fr). (2.108)

Между тем, из размерных уравнений (2.26) - (2.31) и условий одно-

значности проекции скоростей W

, W

и W

являются функциями 8 пере-

менных: W = f(х, у, z, ρ, ν, g, W

, L

). Система безразмерных уравнений

(2.102) - (2.104) с учетом уравнения неразрывности, выраженного также в

безразмерном виде,