Судавная О.И., Фролов С.В Типовые расчеты по высшей математике. Методические указания и задачи для студентов вечернего отделения. I семестр
Подождите немного. Документ загружается.
7. а)
2
325
2
x
−
; б)
lim
x
x
→
−+
2
2
1
lim
91
x
xx
xx
→−∞
+
−
−
;
в)
()
(
)
22
00
lim ctg 2 ln 1 2
x
xx xx
→+
+
; г)
0
lim (1 cos )
x
x
x
→
− .
8. а)
5
264
5−
; б)
lim
x
x
x
→
+−
3
22
24
lim
91
x
x
xx
→+∞
−
+
;
в)
2
2sin(/3)
0
cos 2 1
lim
1
xx
x
x
e
→
−
−
; г)
ctg
2
20
lim 2
2
x
x
x
π
→−
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
.
9. а)
7
7
lim
34
x
x
x
→
−
+−5
; б)
2
4
lim
52
x
x
xx
x
→−∞
−
−
;
в)
2
00
arc tg 2 3
lim
ln 1 9sin
3
x
x
x
→+
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
; г)
()
ctg
0
lim sin 1
x
x
x
→
+
.
10. а)
3
3
lim
45
x
x
1
x
→
−
−+
; б)
2
98
lim
43
x
x
xx
→+∞
−
+
;
в) ; г)
()
2
0
lim 3 ctg2,5
x
xx
→
+ x
1
ln
lim (ln 2 )
x
x
x
→+∞
.
11. а)
2
2
3/2
49
lim
23
x
x
x
x
→
−
−−
; б)
22
lim 5 2
x
x
xx x
→−∞
⎛⎞
+− +
⎜⎟
⎝⎠
;
в)
3
4
22
0
13 /21
lim
arctg ( / 2)
x
x
x
→
+
−
; г)
()
3/
00
lim 1
x
x
x
→+
+
.
12. а)
2
2
2/3
344x
lim
94
x
x
x
→−
−−
−
; б)
2
4
16 1
lim 5
4
x
x
x
x
x
→+∞
+
+
;
в)
(
)
2
00
ln 2 3
lim
sin 2
x
x
x
→+
−
; г)
1
1
1
lim 1 cos
2
x
x
x
π
−
→
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
.
13. а)
2
2
1/5
592x
lim
25 1
x
x
x
→
+−
−
; б)
22
lim 2 3
x
x
xx x
→−∞
⎛⎞
+− −
⎜⎟
⎝⎠
;
в)
2
0
arcsin 1,5
lim
1cos2,5
x
x
x
→
−
; г)
()
ln
00
lim sin 1
x
x
x
→+
+
.
40
14. а)
2
2
3/4
16 9
lim
43
x
x
x
x
→−
−
−−
; б)
2
2
94
lim
94
x
xx
x
→−∞
+
−
;
в)
2
5
2
0
1cos2
lim
1110
x
x
x
→
−
−+
; г)
()
1/ln
lim 2 3
x
x
x
→+∞
+
.
15. а)
4
4
lim
73
x
5
x
x
→
−
−−
; б)
2
2
2,1 0, 2 0, 7
lim
0,55 0,75
x
xx
xx
→+∞
+−
−
;
в)
2
6
sin 2
0
112tg 1
lim
51
xx
x
x
→
+−
−
; г)
2
3
0
lim (1 tg )
x
x
x
→
+
.
16. а)
4
513
lim
4
x
x
x
x
→
+− −
−
; б)
2
2
0,75 3, 25 8,75
lim
2,5 7,5 0,5
x
x
x
xx
→+∞
+−
−+
;
в)
2
32
0
cos 1
lim
4
x
x
x
x
→
−
+
; г)
()
1
2
lim
x
x
x
ex
→+∞
+ .
17. а)
4
3
1/2
16 1
lim
81
x
x
x
→−
−
+
; б)
2
2
541
lim
94
x
x
x
−
+
xx
→−∞
+
;
в)
2
3
0
arcsin 2
lim
116sin
x
x
x
→
−+
; г) .
()
sin2x
/2 0
lim tg
x
x
π
→+
18. а)
3
4
2
8
lim
16
x
x
x
→
−
−
; б)
2
lim 1
x
xx x
→+∞
⎛⎞
+
+−
⎜⎟
⎝⎠
;
в)
5
0
110sin 1
lim
arctg5
x
x
x
→
+−
; г)
1
1
1
lim ( )
x
x
x
−
→
.
19. а)
2
3
1/ 2
654
lim
81
x
xx
x
→
+−
−
; б)
32
23
532
12 4 3 6
lim
810
53
x
xxx
xx
→+∞
1
−
+−
−
;
в)
2
3
0
1tg 1
lim
ln(1 2 )
x
x
x
x
→
−−
+
; г)
(
)
ctg3
00
lim 2
x
x
x
e
→+
− .
20. а)
2
2
4/3
916
lim
65
x
x
4
x
x
→−
−
+−
; б)
3
3
2
58
lim
61
x
x
x
x
x
→+∞
−
+
−
;
в)
2
4
2
0
1cos2
lim
12sin 1
x
x
x
→
−
+−
; г)
1
2
sin
1
lim (2 )
x
x
x
π
→
−
.
41
21. а)
2
2
4/3
654
lim
916
x
xx
x
→
−−
−
; б);
32
3
10 5 2 5
3936
lim
12 5
512
x
xxx
xx
→−∞
+
−+
−
в)
00
arctg 3
lim
tg
2
x
x
x
x
x
π
→+
; г)
()
1
2
ln
1
lim 3 2
x
x
x
→
− .
22. а)
3
2
1/ 2
81
lim
65
x
x
4
x
x
→−
+
−−
; б)
2
3
3
91
lim
82
x
x
x
→−∞
−
+
;
в)
2
2
arcsin
0
tg
2
lim
31
x
x
x
→
−
; г)
()
1
2
0
lim 3 1
x
x
x
→
+
.
23. а)
2
2
52 4 7
lim
4
x
xx
x
→
−− −
−
; б)
2
2
3, 7 2, 4 1,8
lim
5, 2 4 4,5
x
x
x
x
x
→+∞
−+
+−
;
в)
()
3sin(/2)
2
0
1
lim
ln 1 4tg ( / 7)
xx
x
e
x
→
−
−
; г)
0
lim (arcsin )
x
x
x
→
.
24. а)
2
2
4
lim
47 52
x
x
x
x
→
−
−− −
; б)
23
2
2,8 3,2 2,5 4,2
lim
1, 8 2,1 3, 6
x
x
xx
xx
→−∞
−+ +
+−
;
в)
2
3
00
arcsin ( 3 )
lim
tg (2 )
x
x
x
x
→+
; г)
()
1/cos
/2
lim sin
x
x
x
π
→
.
25. а)
3
4
3
27
lim
81
x
x
x
→
−
−
; б)
2
lim 2 1 2 1
x
xx x
→+∞
⎛⎞
+
−− +
⎜⎟
⎝⎠
;
в)
32
2
0
32
lim
1cos3
x
x
x
x
→
−
−
; г)
2
ln
00
lim (sin )
x
x
x
x
−
→+
.
26. а)
4
3
3
81
lim
27
x
x
x
→−
−
+
; б)
2
lim 2 1
x
x
xx
→−∞
⎛⎞
+
−+
⎜⎟
⎝⎠
;
в)
()
2
00
ln 1 sin
lim
tg sin
x
x
x
x
x
→+
+
−
; г)
()
1
4
/4
lim tg
x
x
x
π
π
−
→
.
42
II. Найдите производную функции f (x) и ее значение в заданной точке x
0
1.
0
(2 1) 1
() 4sin ;
22
x
x
fx x
π
+
==
2.
3
3
2
0
() ; 8
x
fx xe x==
3.
2
0
11
() cos ;fx x x
x
π
==
4.
()
40
() log 4 4 ; 0
xx
fx x x
−
=+ =
5.
2
0
1
() tg ;
22
x
fx x
π
==
6.
0
1
( ) arcsin 2 ;
4
fx x x==
7.
2
0
() arctg 1; 2fx x x=−=
8.
()
20
() log sin2 ; log
4
x
fx x
2
π
==
9.
2
0
12
() sin ;fx x x
x
π
==
10.
()
0
1
( ) arctg 2 ;
4
fx x x x==
11.
2
0
3
( ) arcsin 1 ; ln
2
x
fx e x=−=
12.
cos(ln ) / 3
0
() ;
x
f
xe x e
π
==
13.
0
11
() arctg ;
2
1
x
x
e
fx x
e
−
==
+
14.
2
0
() ln 5 ; 2fx x x x
⎛⎞
=+−
⎜⎟
⎝⎠
=
15.
0
() arcsin ; 4
1
x
fx x
x
==
+
16.
0
( ) arctg 1; ln 5
x
fx e x=−=
17.
0
() cos sin ; ln
3
xx x
fx e e e x
π
=+ =
18.
0
1
() ln ; 4
1
x
fx x
x
−
==
+
19.
0
() ln(sin cos);
4
fx x x x x
π
=+ =
43
20.
2
0
() ln 16 ; 5fx x x x
⎛⎞
=−+
⎜⎟
⎝⎠
=
21.
0
13
() arctg ;
2
fx x x
x
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
=
2
22.
()
()
2/
0
() 2 sinln ;
f
xx x xxe
π
=+ =
23.
/2
0
( ) sin(ln ) (ln ) cos(ln );fx x x x x e
π
=− =
24.
0
() ; 0
x
x
ex
fx x
e
−
==
25.
()
2
0
( ) arctg tg ;
4
fx x x
π
==
26.
0
() ; ln2
xx
xx
ee
fx x
ee
−
−
−
==
+
III. Найдите производную функции f (x) с помощью предварительного
логарифмирования
1.
arctg
() (6 5)
x
fx x=− 2.
23
() (sin )
x
fx x
−
=
3.
() (tg)
x
f
xx=
4.
() (cos)
x
e
f
xx=
5.
()
1/
2
() 1
x
fx x=+
6.
2
sin
() (0,5 1)
x
fx x=+
7.
4
() (sin )
x
f
xx=
8.
( ) (arcsin )
x
f
xx=
9.
() (sin )
x
e
f
xx=
10.
arcsin
() (3 2)
x
fx x=+
11.
2
() (cos)
x
f
xx=
12.
()
5
() 1 5
x
f
xx=+
13.
tg
() (10 7)
x
fx x=+ 14.
35
() (tg)
x
fx x
−
=
15.
3
() (cos)
x
f
xx=
16.
() (ctg)
x
f
xx=
17.
(1 ) /
()
x
x
fx x
−
= 18.
arcsin
() (4 9)
x
fx x=+
19.
(
)
1
3
() 2 3
x
fx x x
−
=− 20.
(
)
cos
2
() 3 2
x
fx x x=+
21.
75
() (ctg )
x
fx x
−
= 22.
57
() (arcsin )
x
fx x
+
=
23.
(
)
sin
3
() 1
x
fx x=+
24.
() (arctg)
x
fx x=
25.
(
)
ln
2
() 2
x
fx x x=+
26.
3
() (tg )
x
f
xx=
44
IV. Функция y = f (x) задана параметрически. Найдите
1) первую производную
df
dx
данной функции;
2) вторую производную
2
2
d
f
dx
данной функции
1.
4
2
1
arcsin
x
t
y
t
⎧
=−
⎪
⎨
⎪
=
⎩
2.
()
4
4
arctg
ln 1
x
t
yt
⎧
=
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
3.
2
arcsin
1
t
t
x
e
y
e
⎧
=
⎪
⎨
⎪
=−
⎩
4.
2
2
cos
sin
t
t
xe
ye
−
−
⎧
=
⎪
⎨
⎪
=
⎩
5.
2
3
3cos
2sin
x
t
y
t
⎧
=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
6.
2
tg
ln cos
x
t
yt
⎧
=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
7.
arcsin
1
x
t
y
t
⎧
=
⎪
⎨
⎪
=−
⎩
8.
(
)
()
1
ln 1
xtt
yt
⎧
=
+
⎪
⎨
=
+
⎪
⎩
9.
2
3
3sin
2cos
x
t
y
t
⎧
=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
10.
()
2
arctg
ln 1+
t
t
x
e
ye
⎧
=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
11.
sin
cos
x
tt
yt
⎧
=−
⎪
⎨
⎪
=
⎩
12.
(
)
()
1
ln 1
tt
t
xe e
ye
⎧
=
+
⎪
⎨
⎪
=
+
⎩
13.
2
ctg
ln sin
x
t
yt
⎧
=
⎪
⎨
=
⎪
⎩
14.
2
2sin2
sin
x
tt
yt
=
−
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩
15.
ln cos
ln sin
x
tt
y
tt
=+
⎧
⎨
=−
⎩
16.
2
cos
2sin2
x
t
yt
⎧
=
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
17.
(
)
2
3
1
32
3
t
x
tt
yte
⎧
=+
⎪
⎨
⎪
=
⎩
18.
()
2
3
1
32
3
t
xte
ytt
−
⎧
=
⎪
⎨
=−
⎪
⎩
19.
2
1
arccos
t
t
x
e
y
e
⎧
=−
⎪
⎨
⎪
=
⎩
20.
2
2
11
1
xt
y
tt
⎧
=
+
⎪
⎨
⎪
=+
⎩
45
21.
()
2
ln 1
arctg
x
t
y
tt
⎧
=+
⎪
⎨
⎪
=−
⎩
22.
12
arccos 2
x
t
y
t
⎧
=−
⎪
⎨
=
⎪
⎩
23.
2
2
x
tt
y
tt
⎧
=
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
24.
22
5
5
x
tt
y
tt
−
⎧
=+
⎪
⎨
=
−
⎪
⎩
25.
cos sin
sin cos
x
tt t
y
tt
=−
⎧
⎨
=+
⎩
t
26.
cos sin
sin cos
x
tt
y
tt t
=
+
⎧
⎨
=−
⎩
V. Исследуйте функцию f (x) и постройте ее график
1.
1/
()
x
f
xxe=
2.
(
)
2
() ln 2 2fx x x
=
−+
3.
(
)
2
0,5 1
()
x
fx xe
−
=
4.
ln
()
ex
fx
x
=
5.
3
3
() 3
f
xx=−x
6.
3
2
() 1,5
f
xx x=−
7.
3
2
()
(1)
x
fx
x
=
−
8.
3
2
(1 )
()
x
fx
x
−
=
9.
3
2
() 1,5
f
xx=−x
10.
3
23
() 3 2
f
xx=+x
11.
2
31
()
x
fx
x
−
=
12.
2
4
()
4
x
fx
x
=
+
13.
1(2 )
()
x
fx e
−
=
14.
(
)
2
2
() 2
x
f
xx e
−
=+
15.
2
2
()
x
x
fx e
−
=
16.
2
21
()
x
fx xe
−
=
17.
2
()
23
x
fx
x
=
−
18.
2
4
()
(1)
x
fx
x
=
+
19.
2
() 8
f
xx x=−
20.
2
() 4 5fx x x
=
−+
21.
3
2
()
1
x
fx
x
=
−
22.
3
2
4
()
x
fx
x
−
=
23.
21
()
x
f
xxe
−
=
24.
() arctg
f
xx x
=
25.
2
4
()
(1)
x
fx
x
=
−
26.
3
2
()
1
x
fx
x
=
−
46
Приложение
Эквивалентные бесконечно малые
1.
() 0
sin ( ) ~ ( )
x
xx
α
α
α
→
6.
()
() 0
1~ (
x
x
ex)
α
α
α
→
−
2.
() 0
tg ( ) ~ ( )
x
xx
α
α
α
→
7.
()
() 0
1~ ()ln
x
x
axa
α
α
α
→
−
3.
2
() 0
1cos() ~ ()2
x
x
x
α
αα
→
−
8.
(
)
() 0
ln 1 ( ) ~ ( )
x
x
x
α
α
α
→
+
4.
() 0
arcsin ( ) ~ ( )
x
x
α
x
α
α
→
9.
(
)
() 0
log 1 ( ) ~ ( ) ln
a
x
x
xa
α
α
α
→
+
5.
() 0
arctg ( ) ~ ( )
x
xx
α
α
α
→
10.
()
() 0
1() 1~ (
x
xx)
μ
α
αμ
→
+−
α
Таблица производных
1.
0( )C C const
′
==
9.
()
sin cos
x
x
′
=
2.
(
)
1aa
x
ax
−
′
=
10.
()
cos sin
x
x
′
=−
3.
(
)
(
)
12xx
′
=
11.
()
2
tg 1 cos
x
x
′
=
4.
()
2
11
x
x
′
=−
12.
()
2
ctg 1 sin
x
x
′
=−
5.
(
)
ln
xx
aa
′
= a
13.
()
2
arcsin 1 1
x
x
′
=−
6.
(
)
x
x
ee
′
=
14.
()
2
arccos 1 1
x
x
′
=− −
7.
()
log 1 ( ln )
a
x
xa
′
=
15.
()
(
)
2
arctg 1 1
x
x
′
=+
8.
()
ln 1
x
x
′
=
16.
()
(
)
2
arcctg 1 1
x
x
′
=− +
Основные формулы дифференцирования
1.
()
2.
()
(
() ()Cf x C f x
′
=
)
′
() () () ()ux vx u x v x
′
′′
±=±
3.
()
4.
()() ()() () ()uxvx u xvx uxv x
′
′′
=+
2
() ()() () ()
()
()
ux u xvx uxv x
vx
vx
′
′
′
⎛⎞
−
=
⎜⎟
⎝⎠
5.
()
()
()
x
x
fx f
ϕ
ϕ
ϕ
′
′
′
=
⋅
47
В 2007 году СПбГУ ИТМО стал победителем конкурса инновационных
образовательных программ вузов России на 2007–2008 годы. Реализация
инновационной образовательной программы «Инновационная система
подготовки специалистов нового поколения в области информационных и
оптических технологий» позволит выйти на качественно новый уровень
подготовки выпускников и удовлетворить возрастающий спрос на
специалистов в информационной, оптической и других
высокотехнологичных отраслях экономики.
Кафедра высшей математики
Кафедра высшей математики (ВМ) была организована в 1930 году.
Первым заведующим кафедрой был профессор Г.Д. Гродский. С конца 1936
года кафедрой ВМ заведовал профессор И.П. Натансон. С 1944 по 1973 г.
кафедрой заведовал В.А. Тартаковский – выдающийся математик и
замечательный педагог.
В разное время на кафедре ВМ преподавали академик В.И. Смирнов,
член-корреспондент АН СССР Д.К. Фаддеев, проф. И.С. Соминский, проф.
Ф.И. Харшиладзе, проф. А.Ф. Андреев, проф. Ю.В. Аленицин, проф.
И.А. Молотков.
В 1979 году кафедру ВМ возглавил доктор технических наук, профессор
В.Г. Дегтярев, специалист по теории движения космических аппаратов. С
1997 года кафедрой руководит И.Ю. Попов, в область научных интересов
которого входят теория рассеяния, теория операторов, моделирование
сложных физических систем.
Кафедра ВМ осуществляет обучение студентов всех специальностей
университете по дисциплине «Высшая математика» и читает ряд
специальных дисциплин математического цикла. Кафедра ВМ является
самой многочисленной кафедрой в университете по числу преподавателей. В
настоящее время на кафедре ВМ работают такие выдающиеся ученые как
профессора В.В. Жук, А.П. Качалов, Г.П. Мирошниченко, А.Г. Петрашень,
В.П. Смирнов, В.М. Уздин, В.Ю. Тертычный – член Нью-Йоркской
академии.
На кафедре ВМ сложилась научная школа по математическому
моделированию сложных физических систем, активно развиваются
направления, связанные с нанотехнологиями, квантовыми компьютерами и
квантовыми технологиями. Сложилось тесное сотрудничество с крупными
научными центрами, как в России, так и за рубежом.
48
Типовые расчеты по высшей математике
Методические указания и задачи
для студентов вечернего отделения
I семестр
Составители: О. И. Судавная, С. В. Фролов
В авторской редакции
Компьютерный набор и верстка О. И. Судавная
Рисунки Л. И. Судавная, С. В. Фролов
Дизайн обложки О. И. Судавная
Редакционно-издательский отдел Санкт-Петербургского государственного
университета информационных технологий, механики и оптики
Зав. РИО Н.Ф. Гусарова
Лицензия ИД №00408 от 05.11.99
Подписано к печати
Тираж 100 экз.