Судавная О.И., Фролов С.В Типовые расчеты по высшей математике. Методические указания и задачи для студентов вечернего отделения. I семестр
Подождите немного. Документ загружается.
22. а) Проекция вектора
d
на вектор
{
}
2;1; 2a
=
равна 7/3, б) проекция
вектора
d
на вектор
{
}
2; 2;1b =−
равна – 1/3, в) вектор
d
ортогонален
вектору
{
}
1; 1; 0с =−
.
23. а) Проекция вектора
d
на вектор
{
}
1; 0; 1a
=
равна – 0,5 2 , б) скалярное
произведение вектора
d
и вектора
{
}
6; 3; 2b =−
равно 4, в) вектор
d
ортогонален вектору
{
}
5;1; 3c =− −
.
24. а) Скалярное произведение вектора
d
и вектора
{
}
2;1; 2a
=
−
равно – 1,
б) вектор
d
ортогонален вектору
{
}
1; 0;1b =−
, в) проекция вектора
d
на
вектор
{
}
1; 2; 2c
равна
=
1
2
3
.
25. а) Проекция вектора
d
на вектор
{
}
3; 2; 6a
=
−
равна – 4/7, б) проекция
вектора
d
на вектор
{
}
0;1;1
равна 0,5
b =
2 , в) вектор
d
ортогонален
вектору
{
}
1; 3; 5с =−−
.
26. а) Вектор
d
ортогонален вектору
{
}
0; 1;1a
=
−
, б) скалярное произведение
вектора
d
и вектора
{
}
2; 2;1b =
равно – 7, в) проекция вектора
d
на
вектор
{
}
1; 2; 2c =−
равна 1/3.
III. Решите задачи средствами аналитической геометрии.
1. Докажите, что прямые
21
321
x
yz
−
+
==
−
и
632
1
z
пересекаются и напишите уравнение плоскости, проходящей через эти
прямые.
21
xy−++
==
−
2. Докажите, что прямые
21
211
x
yz
−
+
=
=
−
и
21
x
yz
21 1
−
+
==
−
−
параллельны
и напишите уравнение плоскости, проходящей через эти прямые.
20
3. Докажите, что точка A(1; 2; – 1) не лежит на прямой
21
321
x
yz−+
==
−
и
напишите уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и
точку А.
4. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки A(1; 2; – 1) и
B(2; – 2; 0) перпендикулярно плоскости 2x – y + 3z = 4.
21
5. Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую
21
1
x
21
yz−+
=
−−
=
перпендикулярно плоскости x + 2 y – 2z = 2.
6. Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точку M
1
перпендикулярно плоскости, проходящей через три точки M
1
(0; 1; 2),
M
2
(1; 0; 2), M
3
(1; 2; 0).
7. Найдите координаты проекции точки A(3; –5; 5) на плоскость
0224
x
yz−++=
.
8. Составьте канонические уравнения прямой, заданной пересечением двух
плоскостей
22
21
xyz
xy
z
+−=
⎧
⎨
−+ =
⎩
.
9. Найдите координаты проекции точки A(3;–5;5) на прямую
1
211
x
yz−
==
−
.
10. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
A(1; –1; 2) параллельно двум плоскостям x – y + 2z = 5 и 2x + y – z = 3.
11. Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точки A(1;
2; – 1) и B(–1; 8; 2) и найдите координаты точек пересечения этой прямой
с координатными плоскостями.
12. Найдите координаты точек пересечения с осями координат плоскости,
проходящей через три точки A(1; 0 – 4), B(0; – 1; – 3), C(1; – 2; 2).
13. Прямая, проходящая через точку A(– 2; 1; – 1), образует с осью Ox угол
30
о
, а с осью Oz – угол 60
о
. Определите угол, образованный прямой с
осью Oy и составьте параметрические уравнения этой прямой.
14. Докажите, что прямая
21
32 2
x
yz
−
+
==
−
параллельна плоскости
0224
xy
z−+ +=
и найдите расстояние от этой прямой до плоскости.
15. Докажите, что прямые
21
2
x
yz
21
+
+
==
−
−
(1) и
1
121
x
y+
=
−−
z
=
(2)
скрещиваются и составьте уравнение плоскости, проходящей через
прямую (1) параллельно прямой (2).
22
16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку A(–2; –1; –1)
параллельно плоскости 2x + 3 y – 6z = 6 и найдите расстояние между
плоскостями.
17. Составьте уравнения плоскостей, параллельных плоскости x + 2y + 2z = 3
и расположенных на расстоянии 6 от данной плоскости.
18. Составьте канонические уравнения прямой, проходящей через точки
A(– 1; – 2; 1) и B(1; – 8; – 2) и найдите угол, образованный этой прямой и
плоскостью x + 2y – 2z = 3.
19. Найдите угол, образованный прямой
132
1
z
22
xy
−
++
==
−
−
и плоскостью
– x + z = 3, а также координаты их точки пересечения.
20. Через точку M(1; – 2; 2) проведена прямая, образующая угол 60
о
с осью Oy
и угол 45
о
с осью Oz. Найдите угол, образованный этой прямой с осью Ox,
если известно, что он острый, и составьте канонические уравнения этой
прямой.
21. Плоскость отсекает от оси Ox отрезок длиной 6, от оси Oy – длиной 2, от
оси Oz – длиной 3. Определите, сколько плоскостей удовлетворяют этому
условию. Найдите расстояние от начала координат до одной из таких
плоскостей. Докажите, что расстояния от начала координат до каждой из
таких плоскостей равны.
22. Нормальный вектор
n
плоскости образует углы в 60
o
с осями Ox и Oy.
Определите, сколько плоскостей, удовлетворяющих такому условию,
удалены от начала координат на
6 и найдите их уравнения.
23. Докажите, что прямые
112
1
z
21
xy
−
++
==
−
и
11
321
x
yz
−
+
==
−
скрещиваются и найдите расстояние между ними.
24. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М (– 2;– 1; 3)
перпендикулярно двум плоскостям 2x – 2y + 3z – 1 = 0 и x – y + 2z – 1 = 0.
25. Составьте параметрические уравнения линии пересечения двух
плоскостей 2x + 3y + z – 2 = 0 и – 3x – 5y + 2z – 2 = 0.
26. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки A(– 1;– 1; – 1) и
B(– 2; – 3; 1) перпендикулярно плоскости 2x + 4y – 3z + 3 = 0.
23
IV. Геометрическое тело удовлетворяет перечисленным ниже
условиям.
1) Изобразите сечение тела координатной плоскостью, указанной в
условии задачи. Определите вид кривых, ограничивающих сечение.
Найдите координаты точек их пересечения.
2) Определите вид поверхностей, ограничивающих тело. Сделайте его
схематический рисунок.
1. Тело ограничено поверхностями 4z = x
2
+ y
2
+12 и z = x
2
+ y
2
и содержит
точку M(0;0;1). Секущая плоскость: Oxz.
2. Тело ограничено поверхностями 4z = 16 – x
2
– y
2
и z = x
2
+ y
2
– 1 и
содержит точку О(0;0;0). Секущая плоскость: Oyz.
3. Тело ограничено поверхностями x
2
+ y
2
+ 16z
2
= 25 и 25(x
2
+ y
2
) – 81z
2
=
=144 и содержит точку О(0;0;0). Секущая плоскость: Oxz.
4. Тело ограничено поверхностями 9z = x
2
+ y
2
и x
2
+ y
2
+ 16z
2
= 25 и
содержит точку M(0;1;0). Секущая плоскость: Oyz.
5. Тело ограничено поверхностями 16(x
2
+ y
2
) + z
2
= 25 и 25z
2
– 81(x
2
+ y
2
)
=
= 144 и содержит точку О(0;0;0). Секущая плоскость: Oxz.
6. Тело ограничено поверхностями z = 9(x
2
+ y
2
)
и 16(x
2
+ y
2
) = 25 – z
2
и
содержит точку M(0;0;–1). Секущая плоскость: Oyz.
7. Тело ограничено поверхностями x
2
+ y
2
+ z
2
= 25 и x
2
+ y
2
= z
2
– 7
и
содержит точку О(0;0;0). Секущая плоскость: Oxz.
8. Тело ограничено поверхностями 9z = 5(x
2
+ y
2
) и z + 4 = x
2
+ y
2
и
содержит точку M(0;0;–1). Секущая плоскость: Oyz.
9. Тело ограничено поверхностями x
2
+ y
2
= (z + 1)
2
, x
2
+ y
2
= 5 – z и
z = – 1 и содержит точку О(0;0;0). Секущая плоскость: Oxz.
10. Тело ограничено поверхностями 4(x
2
+ y
2
)= z
2
и z = x
2
+ y
2
– 3 и
содержит точку M(0;1;0). Секущая плоскость: Oyz.
11. Тело ограничено поверхностями x
2
+ y
2
+ z
2
= 25 и 9z
= 4(x
2
+ y
2
) и
содержит точку M(0;0;–1). Секущая плоскость: Oxz.
12. Тело ограничено поверхностями x
2
+ y
2
= 9 и 9(x
2
+ y
2
) + 25z
2
= 225 и
содержит точку M(0;4;0). Секущая плоскость: Oyz.
24
13. Тело ограничено поверхностями y
+ 2z – 8 = 0, y
– 2z – 8 = 0 и y = 0,5x
2
и содержит точку M(0;4;0). Секущая плоскость: Oxy.
14. Тело ограничено поверхностями x
2
+ y
2
+ z
2
= 16 и x
2
+ y
2
– z
2
= 0 и
содержит точку M(2;0;0). Секущая плоскость: Oxz.
15. Тело ограничено поверхностями z
2
= x
2
+ y
2
, x + 2z = 3 и x – 2z = 3 и
содержит точку M(0;0;1). Секущая плоскость: Oxz.
16. Тело ограничено поверхностями z
2
– x
2
= 5 и x
2
+ y
2
= 4 и содержит
точку O(0;0;0). Секущая плоскость: Oxz.
17. Тело ограничено поверхностями x
2
+ y
2
= z
2
– 5 и 4z
2
= 9(x
2
+ y
2
) и
содержит точку M(0;0;1). Секущая плоскость: Oxz.
18. Тело ограничено поверхностями z
2
= x
2
+ y
2
и x
2
+ y
2
= 16 – z
2
и
содержит точку M(0;0;2). Секущая плоскость: Oyz.
19. Тело ограничено поверхностями x
2
+ y
2
= 25 – z
2
и (x – 2)
2
+ y
2
= 4 и
содержит точку M(–2;0;0). Секущая плоскость: Oxz.
20. Тело ограничено поверхностями x
2
+ y
2
= z
2
+ 5 и x
2
+ y
2
= 9 и
содержит точку M(0;2,5;0). Секущая плоскость: Oyz.
21. Тело ограничено поверхностями z = x
2
+ y
2
– 4 и 4(x
2
+ y
2
) – (z – 4)
2
= 0 и
содержит точку О(0;0;0). Секущая плоскость: Oyz.
22. Тело ограничено поверхностями, z + 4 = x
2
+ y
2
z + y = 2 и содержит
точку O(0;0;0). Секущая плоскость: Oyz.
23. Тело ограничено поверхностями x
2
+ y
2
= z
2
– 5 и 25(x
2
+ y
2
) – 4z
2
= 64 и
содержит точку O(0;0;0). Секущая плоскость: Oxz.
24. Тело ограничено поверхностями 2x = y
2
, x + 2z = 8 и x – 2z = 8 и содержит
точку М(4; 0; 0). Секущая плоскость: Oxz.
25. Тело ограничено поверхностями x
2
+ (y – 2)
2
= 4, y + z = 3 и y – z = 3 и
содержит точку М(0; 1; 0). Секущая плоскость: Oyz.
26. Тело ограничено поверхностями x
2
+ y
2
+ z
2
= 13 и x
2
+ y
2
– z
2
= 5 и
содержит точку М(3; 0; 0). Секущая плоскость: Oxz.
25
Типовой расчет по теме «Введение в математический анализ»
Методические указания
Содержание расчетных заданий
I. Нахождение пределов различными способами.
II. Нахождение производных сложных функций.
III. Нахождение производных с помощью предварительного
логарифмирования.
IV. Нахождение производных функций, заданных параметрически.
V. Исследование функций и построение их графиков.
Образцы решения задач по теме «Пределы»
Пример 1. Найдите предел
2
2
3/2
14 19 3
lim
49
x
x
x
x
→−
+
−
−
.
Решение. Числитель и знаменатель дроби обращаются в ноль в точке
x = – 3/2. Следовательно, в данном случае имеет место
неопределенность типа 0/0. Для устранения неопределенности разложим
числитель и знаменатель на множители и сократим дробь:
2
2
3/2 3/2
14 19 3 14( 1/ 7)( 3/ 2)
lim lim
(2 3)(2 3)
49
xx
xx x x
xx
x
→− →−
+− − +
==
+−
−
3/2 3/2
(7 1)(2 3) 7 1
lim lim
(2 3)(2 3) 2 3
xx
x
xx
x
xx
→− →−
−
+−
==
+
−−
.
Найдем предел непосредственной подстановкой:
3/2
7 1 7( 3/2) 1 23/2 23
lim
2 3 2( 3/ 2) 3 6 12
x
x
x
→−
−
−−−
=
==
−−−−
.
Ответ: 23/12.
Пример 2. Найдите предел
2
3
23
lim
51 6 2
x
xx
xx
→
−−
+
−−
.
Решение. Числитель и знаменатель дроби обращаются в ноль в точке
x = 3. Следовательно, в данном случае имеет место неопределенность типа
0/0. Для ее устранения, во-первых, разложим на множители числитель, а во-
вторых, умножим числитель и знаменатель на сумму корней, стоящих в
знаменателе:
(
)
()()
2
33
(1)(3)51 62
23
lim lim
51 6 2
51 62 51 62
xx
xx x x
xx
xx
xx xx
→→
+− ++ −
−−
==
+− −
+− − ++ −
26
() ()
33
(1)(3)51 62 (1)(3)51 62
lim lim
516 2 3
xx
xx x x xx x x
xx x
→→
+− ++ − +− ++ −
===
+− + −
(
)
()
3
lim ( 1) 5 1 6 2 (3 1)(4 4) 32
x
xx x
→
= − + + + − =− + + =−
.
Ответ: – 32.
Пример 3. Найдите предел
32
22
85
lim
91
x
xx
xx
→−∞
1
1
+
−
+
.
Решение. Числитель дроби стремится к –
∞
, а знаменатель – к +
∞
,
поэтому получается неопределенность типа
∞
∞
. Для устранения
неопределенности вынесем за скобку в числителе множитель x
3
, а в
подкоренном выражении знаменателя вынесем x
2
.
Далее преобразуем дробь с учетом того, что |x| = – x при x < 0 (
x
→−∞
):
(
)
()
()
3333
32
22 2 2
22 2
85/ 1/ 85/ 1/
851
lim lim lim
911 911/
911/
xx x
xxx xxx
xx
xx xx x
xx x
→−∞ →−∞ →−∞
+− +−
+−
==
++
+
=
()
(
)
33 3
32 2
85/ 1/ 85/ 1/
8
lim lim
3
911/ 911/
xx
xxx xx
xx x
→−∞ →−∞
⎛⎞
+− +−
⎜⎟
==−
⎜⎟
⎜⎟
−+ +
⎝⎠
=−
.
На последнем шаге принято во внимание, что функции 5/x, 1/x
3
, 11/x
2
являются бесконечно малыми при
x
→−∞
.
Ответ: – 8/3.
Пример 4. Найдите предел
2
lim 2 3 2 3
x
xx x
→+∞
⎛⎞
+
−− −
⎜⎟
⎝⎠
.
Решение. В данном случае имеется неопределенность типа . Для ее
устранения умножим и разделим функцию на сумму корней:
∞−∞
2
lim 2 3 2 3
x
xx x
→+∞
⎛⎞
+−− −
⎜⎟
⎝⎠
=
22
2
23 23 23 23
lim
23 23
x
xx x xx x
xx x
→+∞
⎛⎞⎛
+−− − +−+ −
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
==
+−+ −
⎞
⎟
⎠
22
22
2323
lim lim
23 23 23 23
xx
xx x x
xx x xx x
→+∞ →+∞
+−−+
=
=
+−+ − +−+ −
27
2
22
lim
12/3/ 2/3/
x
x
xxxxx
→+∞
==
⎛⎞
+− + −
⎜⎟
⎝⎠
2
22
lim
12/ 3/ 2/ 3/
x
x
xxxxx
→+∞
==
⎛⎞
+− + −
⎜⎟
⎝⎠
22
lim
12/ 3/ 2/ 3/
x
x
xx xx
→+∞
=
=+∞
+− + −
.
Ответ:
+∞ .
Пример 5. Найдите предел
(
)
()
()
2
22
5
00
5
5 1 arcsin
lim
1tg log1(2sin)
x
x
xx
x
x
→+
−
++
.
Решение. Непосредственная замена аргумента функции числом x = 0
дает неопределенность типа 0/0. Чтобы избавиться от этой
неопределенности, построим цепочку эквивалентных бесконечно малых (см.
приложение) для каждого множителя в числителе и знаменателе дроби:
(
)
0
51~ ln5
x
x
x
→
− ;
22
0
in ~
x
xx xx
→
arcs
;
(
)
2
22
5
00
11
1tg ~ tg ~
55
xx
xxx
→→
+=
1
5
x
;
()
22
2
5
00
(2sin ) 4
log 1 (2sin ) ~ ~
ln 5 ln 5
xx
x
x
x
→→
+
.
Используя принцип замены бесконечно малых множителей под знаком
предела эквивалентными, получим
(
)
(
)
()
2
2
2
22
5
00 00
5
5 1 arcsin
ln 5
lim lim
4
1tg log1(2sin)
5ln5
x
xx
xx
x
xx
xx
xx
→+ →+
−
⋅
=
=
++
⋅
32 2
3
00
5 ln5 5ln5
lim
4
4
x
x
x
→+
==.
Ответ:
2
5ln 5
4
.
28
Пример 6. Найдите предел
22
8
16 8
/4
lim cos
4
xx
x
x
π
π
π
π
−+
→
⎛⎞
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
.
Решение. Введем обозначение:
22
8
16 8
() cos
4
xx
fx x
π
π
π
−+
⎛⎞
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
. С
помощью непосредственной подстановки в данную функцию числа
/4
x
π
=
,
получим неопределенность типа
1
∞
. Прологарифмируем эту функцию:
()
2
8ln cos( / 4)
ln ( )
16 8
x
fx
2
x
x
π
π
π
−
=
−
+
. Последнее выражение в точке
/4
x
π
=
представляет собой неопределенность типа 0/0. Для устранения этой
неопределенности найдем
/4
lim ln ( )
x
f
x
π
→
с помощью правила Лопиталя:
()
()
22
/4 /4 /4
22
8ln cos( / 4)
8ln cos( / 4)
lim ln ( ) lim lim
16 8
16 8
xx x
x
x
fx
xx
xx
ππ π
π
π
ππ
ππ
→→ →
′
−
−
=
==
′
−+
−+
()
/4 /4
8sin( /4)
tg( / 4)
lim lim
(32 8 )cos( / 4) 4
xx
x
x
xx x
ππ
π
π
ππ π
→→
−−
−−
==
−− −
=
2
/4 /4
tg ( / 4) 1 1
lim lim
(4 ) 4
4cos ( / 4)
xx
x
x
x
ππ
π
π
π
→→
′
−
−−
==
′
−
−
=−
.
Таким образом, получили
/4
1
lim ln ( )
4
x
fx
π
→
=
−
. В силу непрерывности
логарифмической функции отсюда следует, что
/4
1
ln lim ( )
4
x
fx
π
→
⎛⎞
=
−
⎜⎟
⎝⎠
.
Значит,
1
4
4
/4
1
lim ( )
x
fx e
e
π
−
→
==
.
Ответ:
4
1
e
.
Замечания. 1) В примере 6 при нахождении предела
/4
lim ln ( )
x
f
x
π
→
правило Лопиталя было применено дважды. Однако в примерах такого типа
можно комбинировать правило Лопиталя с принципом замены бесконечно
малых множителей под знаком предела эквивалентными.
2) Аналогичным образом можно раскрывать неопределенности типов
и .
0
0
0
∞
29