Степанов А.Г. Динамика машин
Подождите немного. Документ загружается.
A B
A B
j
j j j j
λ α
λ α λ λ λ α
+ =
+ + − =
1
2 2
0
0
,
( tg ) ( tg ) .
(8.30)
Для нахождения значения собственных чисел λ
j
из системы (8.30) составлен определитель
λ α
λ α λ λ λ α
j
j j j j
1
2 2
+ −tg tg
Раскрытие этого определителя дает трансцендентное уравнение
tg .λ λ
α α
λ α α
j j
j
=
+
−
1 2
2
1 2
(8.31)
Численные значения собственных чисел λ
j
определяются с помощью пакета Mathcad 7. Для
этого уравнение (8.31) представляется в виде
f
j j j
j
( ) tg .λ λ λ
α α
λ α α
= −
+
−
1 2
2
1 2
(8.32)
Для заданных значений, например, α
1
= 0,5; α
2
= 0,5 строим искомую функцию (рис. 8.9) и
по методике, описанной выше, определяются собственные числа задачи λ
j
.
f
λ
j
( )
λ
j
π
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
25
15
5
5
15
25
Рис. 8.9. График изменения функции f (λ
j
) для одноконцевого подъема
Из уравнений (8.30) определяется взаимосвязь постоянных интегрирования A
j
и B
j
. Приняв
один из них равным единице, определяется значение другого и записываются
фундаментальные функции задачи
X x A
x
l
B
x
l
j j j j j
( ) cos sin .= +λ λ
Пример 8.4. Определить фундаментальные функции задачи '' одноконцевая подъемная установка'', с
данными α
1
= 0, 5, α
2
= 0,5.
Из рис. 8.9 определяются приближенные значения собственных чисел λ
j
. Далее организуется цикл
вычисления функции (8.32) с шагом, равным заданной точности. При изменении знака функции
вычислительный процесс останавливается и определяются величины λ
j
.
λ
1
= 0,962; λ
2
= 3,431; λ
3
= 6,44; λ
4
= 9,53; λ
5
= 12,64.
253
253
Если принять, например B = 1, то из первого уравнения (8.30)
A
j
j
= −
α
λ
1
, т. е.
A
1
= -0,52; A
2
= -0,146; A
3
=- 0,078; A
4
= - 0,052; A
5
= - 0,04,
Такие же результаты получаются, если использовать второе уравнение (8.30). Фундаментальные функции
задачи характеризуются первым уравнением системы (8.14). Например, для первой гармоники
X x
x
l
x
l
1
0 5186 0 964 0 964( ) , cos , sin , .= − +
8.3.5. ДВУХКОНЦЕВАЯ НЕУРАВНОВЕШЕННАЯ ПОДЪЕМНАЯ УСТАНОВКА
Двухконцевую неуравновешенную подъемную установку можно представить
эквивалентной схемой, показанной на рис. 8.10. В данной задаче имеется три массы,
соединенные двумя канатами, имеющими длины l
1
и l
2
. Так как в каждом уравнении
фундаментальной функции, характеризующего динамическое состояние каната две
постоянных интегрирования, то для их определения необходимо четыре уравнения.
Рис. 8.10. Эквивалентная схема двухконцевой неуравновешенной подъемной установки
Сформулируем граничные условия задачи:
Динамическая составляющая силы массы m
1
уравновешивается силой упругости S
1
, т.
е.
при
x m
u t
t
EF
t
u t
x
к
= = +0
0
1
0
1
2
1
2
1
;
( , )
( )
( , )
.
∂
∂
µ
∂
∂
∂
∂
Динамическая составляющая силы массы m
2
уравновешивается силами упругости S
1
и
S
2
, т. е.
при
x l m
u l t
t
EF
t
u l t
x
EF
t
u l t
x
к к
= = − + + +
1 2
2
1 1
2
1 1 2 1
1 1;
( , )
( )
( , )
. ( )
( , )
.
∂
∂
µ
∂
∂
∂
∂
µ
∂
∂
∂
∂
Координаты перемещения канатов прикрепленных к массе m
2
равны, т. е.
при
x l u l t u l t= =
1 1 1 2 1
; ( , ) ( , ).
l
x
m
SS
1
m
2
m
3
22
SS
l l
12
1 1
0
254
254
Динамическая составляющая силы массы m
3
уравновешивается силой упругости S
2
, т.
е.
при
x l l l m
u l t
t
EF
t
u l t
x
к
= + = = − +
1 2 3
2
2
2
2
1;
( , )
( )
( , )
.
∂
∂
µ
∂
∂
∂
∂
Первые граничные условия рассматриваемой задачи и задачи одноконцевой
подъемной установки (рис. 8.8) одинаковы. Поэтому зависимость будет аналогична
первому уравнению системы (8.30)
A B
j1 1 1
0λ α+ = .
Вторые граничные условия рассматриваемой задачи и задачи ветвей канатов
уравновешенного подъема (см. рис. 8.6) одинаковы, поэтому зависимость аналогична
уравнению (8.22). На основании второго граничного условия, по аналогии с решением
задачи для ветвей канатов уравновешенного подъема получим
m
p
к
X l X l
X l
j
2
2
1 1 2 1
1 1
( )
( ) ( )
( )
,− =
′
−
′
или
A B A B
j
j j
j
j j j j1
2
1
2
2 2
0( cos sin ) ( sin cos ) sin cos ,
λ
α
λ λ
λ
α
λ λ λ λ− + + + − =
Разделив все члены уравнения на cos λ
j
, имеем
A B A B
j
j
j
j j1
2
1
2
2 2
1 0( tg ) ( tg ) tg ,
λ
α
λ
λ
α
λ λ− + + + − =
(8.33)
где
α
2
1
2
=
pl
m
.
Третье граничное условие по аналогии с (8.23) дает уравнение
A B A B
j j1 1 2 2
0+ − − =tg tgλ λ
. (8.34)
Четвертое граничное условие дает уравнение
A
l
l
B
l
l
j
j
j
j2
3
2
1
2
3
2
1
1 1 1 0[ tg ( )] [ tg ( ) ] ,
λ
α
λ
λ
α
λ− + + + + =
(8.35)
где
α
3
1
3
=
pl
m
.
На основании полученных уравнений можно составить определитель
255
255
λ α
λ
α
λ
λ
α
λ λ
λ λ
λ
α
λ
λ
α
λ
j
j
j
j
j j
j j
j
j
j
j
l
l
l
l
1
2 2
3
2
1 3
2
1
0 0
1 1
1 1
0 0 1 1 1
− + −
− −
− + + +
tg tg tg
tg tg
tg ( ) tg ( )
(8.36)
Раскрывая определитель, и приравнивая функцию f (λ
j
) к нулю определяются
собственные числа задачи. Постоянные интегрирования определяются так же, как в выше
рассмотренных задачах.
Пример 8.5. Определить фундаментальные функции задачи '' динамика двухконцевой неуравновешенной
подъемной установки''.
Данные установки: m
1
= 13900 кг; m
2
= 86000 кг; m
3
= 6800 кг; p = 7,79 кг⋅м
-1
.
Используя пакет Mathcad 7 строим зависимость значения определителя (8.36) от λ
j
и находим собственные
числа задачи. По уравнениям (8.30), (8.33 ÷ 8.35) составляется система однородных алгебраических
уравнений. Принимая значения коэффициента, например А
1
равным единице, система уравнений
превращается в неоднородную, из которой определяются для каждой гармоники коэффициенты В
1
, А
2
, В
2
.
В табл. 8.2 приведены собственные числа λ
j
и коэффициенты фундаментальных функций А
i
и В
i
..
Таблица 8.2
Собственные числа λ
j
и коэффициенты А
i
и В
i
, (А
1
= 1).
Наименование B
1
A
2
B
2
Начало подъема
λ
1
= 0,423
- 1,799 0,211 - 0,049
l
1
= 420 м, l
2
= 70 м;
λ
2
= 3,203
-13,609 0,172 - 0,186
α
1
= 0,235; λ
3
= 6,314
- 26,826 0,164 - 0,071
α
2
= 0,038; λ
4
= 9,445
- 40,129 0,161 0,012
α
3
= 0,481. λ
5
= 12,582
- 53,454 0,160 0,105
Встреча сосудов
λ
1
= 0,330
- 2,402 0,191 - 0,040
l
1
= 245 м, l
2
= 245 м;
λ
2
= 3,178
-23,147 0,198 -1,217
α
1
= 0,137; λ
3
= 6,302
- 45,895 0,198 - 2,426
α
2
= 0,022; λ
4
= 9,437
- 68,73 0,198 -3,636
α
3
= 0,281. λ
5
= 12,575
- 91588 0,198 - 4,850
Конец подъема
λ
1
= 0,18
- 4,58 0,160 0,005
l
1
= 70 м, l
2
= 490 м;
λ
2
= 3,152
- 80,346 0,191 - 2,6
α
1
= 0,0392; λ
3
= 6,288
- 160,29 0,145 0,635
α
2
= 0,063; λ
4
= 9,428
-240 0,089 10,9
α
3
= 0,082. λ
5
= 12,566
- 320 2,535 - 12000
8.3.6. ДВУХКОНЦЕВАЯ УРАВНОВЕШЕННАЯ ПОДЪЕМНАЯ УСТАНОВКА
Эквивалентная схема, которая характеризует двухконцевую уравновешенную
подъемную установку, показана на рис. 8.11. Массы m
1
, m
2
и m
3
соединены канатами,
имеющими длины l
1
и l
2
. К массам m
1
и m
3
присоединяются уравновешивающие канаты с
длинами l
3
и l
4
. В качестве начала координат выберем точку 0, расположенную в центре
массы m
2
. Начало координат может быть выбрано в любой точке системы, при этом
256
256
уравнения, характеризующие граничные условия и определитель, будут разными. Однако,
собственные числа задачи останутся, для всех случаев, одинаковыми [70].
Рис. 8.11. Эквивалентная схема
двухконцевой уравновешенной
подъемной установки
Граничные условия задачи
формулируются следующим
образом:
♦ Cила упругости в нижнем
сечении уравновешивающего
каната, имеющего длину l
3
, равна нулю, т. е.
при
x l l EF
t
u l l t
x
к
= − + +
− −
=( ); ( )
( , )
.
1 3
3 1 3
1 0µ
∂
∂
∂
∂
♦ Динамическая составляющая силы массы m
1
уравновешена силами упругости S
1
и
S
3
, т. е.
при
x l m
u l t
t
EF
t
u l t
x
u l t
x
к
= −
−
= +
−
−
−
1 1
2
1 1
2
1 1 3 1
1;
( , )
( )[
( , ) ( , )
].
∂
∂
µ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
♦ Координаты перемещений точек канатов, которые прикреплены к массе m
1
равны, т.
е.
при
).,(),(;
11131
tlutlulx −=−−=
♦ Динамическая составляющая силы массы m
2
уравновешена силами упругости S
1
и
S
2
, т. е.
при
x m
u t
t
EF
t
u t
x
u t
x
к
= = + −0
0
1
0 0
2
2
2
2
2 1
;
( , )
( )[
( , ) ( , )
].
∂
∂
µ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
♦ Координаты перемещений точек канатов, которые прикреплены к массе m
2
равны, т.
е.
при
x u t u t= =0 0 0
1 2
; ( , ) ( , ).
♦ Динамическая составляющая силы массы m
3
уравновешена силами упругости S
2
и
S
4
, т. е.
при
x l m
u l t
t
EF
t
u l t
x
u l t
x
к
= = + −
2 3
2
2 2
2
4 2 2 2
1;
( , )
( )[
( , ) ( , )
].
∂
∂
µ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
♦ Координаты перемещений точек канатов, которые прикреплены к массе m
3
равны, т.
е.
при
x l u l t u l t= =
2 2 2 4 2
; ( , ) ( , ).
♦ Сила упругости в нижнем сечении уравновешивающего каната l
4
, равна нулю, т. е.
при
x l l EF
t
u l l t
x
к
= + +
+
=
2 4
4 2 4
1 0; ( )
( , )
.µ
∂
∂
∂
∂
Выполнив преобразования, сделанные при выводе формул (8.22 ÷ 8.24), получим
систему уравнений
l
x
m
SS
1
m
2
m
3
22
SS
l
12
1 3
0
SS
l l
4
1
3
4
.
257
257
A
l
l
B
A B A B
A B A B
B A B
A A
A
l
l
B
l
l
A
l
l
B
A
j
j
j
j
j j
j j
j
j
j
j
j j
3
3
1
3
1
1
1
1
3 3
3 3 1 1
1 2
2
2
1 2
2
3
2
1
2
3
2
1
4
2
1
4
2
1 0
1 0
0
0
0
1 0
tg ( ) ;
( tg ) ( tg ) tg ;
tg tg ;
;
;
( tg ) ( tg ) tg ;
λ
λ
α
λ
λ
α
λ λ
λ λ
λ
α
λ
α
λ
λ
α
λ λ
+ + =
+ + − − + =
− − + =
− + + =
− =
+ + − − + =
+ − − =
−
+
+ =
B
l
l
A B
l
l
A
l l
l
B
j j
j
2
2
1
4 4
2
1
4
2 4
1
4
0
0
tg tg ;
tg .
λ λ
λ
(8.37)
Здесь
α α α
1
1
1
2
1
2
3
1
3
= = =
pl
m
pl
m
pl
m
; ; .
Система уравнений (8.37) позволяет составить характеристический определитель
0 0 0 0 1 1 0 0
1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 0
3
1
1 1
2
3
2
1 3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
tg ( )
tg tg tg
tg tg
tg tg tg
tg tg
tg
λ
λ
α
λ
λ
α
λ λ
λ λ
λ
α
λ
α
λ
λ
α
λ λ
λ λ
λ
j
j
j
j
j j
j j
j
j
j
j
j j
j j
j
l
i
l
i
l
i
l
i
l
i
l
i
l l
+
+ − −
− −
−
−
+ − −
−
−
+
4
1
1
i
(8.38)
Приравняв значения определителя (8.38) нулю, находим собственные числа задачи λ
j
.
Так как система уравнений (8.37) является однородной, поэтому она не имеет решений
[24]. Приняв значение коэффициента A
1
, равным единице, система уравнений (8.37)
становится неоднородной и появляется возможность определения всех неизвестных
коэффициентов A
j
и B
j
.
Пример 8.6. Определить фундаментальные функции механической системы, характерной для
многоканатной подъемной установки. Характеристика установки соответствует условиям шахты им. 9
Пятилетки в Донбассе. На этой шахте была смонтирована первая отечественная четырехканатная подъемная
машина с дисковыми тормозами и тиристорным приводом. Расчетные схемы со взаимным расположением
масс, соответствующие началу подъема, встрече сосудов и концу подъема приведены на рис. 8.12.
Суммарная. плотность канатов p = 26 кг⋅м
-1
258
258
Рис. 8.12. Расчетные схемы многоканатной подъемной установки:
а - начало подъема; б - встреча сосудов; в - конец подъема
С помощью пакета Mathcad 7 определяются необходимые характеристики динамической системы. В
табл. 8.3 приведены собственные числа и коэффициенты А
j
и B
j
для пяти гармоник задачи.
Таблица 8.3
Собственные числа и коэффициенты А
j
и B
j
(A
1
= 1, A
2
= 1).
Наименование B
1
B
2
A
3
B
3
A
4
B
4
Начало подъема
λ
1
= 1,141
5,109 3,614 - 1,691 3,877 1,037 2,378
l
1
= 945 м, α
1
= 0,78 λ
2
= 3,495
10,452 5,871 - 2,462 1,067 1,485 0,643
l
2
= 25 м, α
2
= 0,763 λ
3
= 6,396
-77,428 - 85,811 9,578 - 2,091 - 13,17 - 2,875
l
3
= 15 м, α
3
= 1,024 λ
4
= 8,561
- 0,719 -11,938 0,077 0,069 - 2,204 1,965
l
4
= 935 м
λ
5
= 9,671
6,144 - 6,53 - 0,49 0,207 - 0,638 - 0,269
Встреча сосудов
λ
1
= 0,680
- 2,489 - 4,226 0,663 - 2,906 - 0,532 - 2,333
l
1
= 485 м, α
1
= 0,4 λ
2
= 1,011
1,463 - 1,12 0,54 1,174 0,318 - 0,693
l
2
= 485 м, α
2
= 0,392 λ
3
= 1,789
5,371 0,801 -27,811 11,774 2,879 1,219
l
3
= 475 м, α
3
= 0,525 λ
4
= 1,876
0,113 - 4,677 - 1,304 0,838 - 15,215 - 9,783
l
4
= 475 м
λ
5
= 3,282
70,62 62,238 - 8,743 1,9 9,531 2,071
Конец подъема
λ
1
= 0,093
- 6,467 -11,068 1,538 - 0,696 - 2,796 - 1,266
l
1
= 25 м, α
1
= 0,021 λ
2
= 0,169
24,086 15,73 -3,001 0,591 2,426 0,478
l
2
= 945 м, α
2
= 0,01 λ
3
= 0,255
5,783 - 6,893 - 0,462 0,196 - 0,672 - 0,285
l
3
= 935 м, α
3
= 0,027 λ
4
= 0,336
3,574 -13,098 - 0,221 0,083 - 0,991 - 0,37
l
4
= 15 м
λ
5
= 0,419
2,596 - 18,145 - 0,221 0,051 -1,111 - 0,431
Данные этой таблицы будут использованы при исследовании свободных и вынужденных колебаний
многоканатной подъемной установки.
Подставив значения коэффициентов A
i
и B
i
в первое уравнение (8.14) и, имея в виду, что
λ
j j
k l=
1
,
получим фундаментальные функции задачи.
8.3.7. МНОГОКАНАТНАЯ ПОДЪЕМНАЯ УСТАНОВКА В РЕЖИМЕ
СКОЛЬЖЕНИЯ КАНАТОВ
Многоканатная подъемная установка передает тяговое усилие от машины к канатам за
счет фрикционных сил между канатами и барабаном трения. В режиме предохранительного
торможения, при больших динамических нагрузках, разность натяжений канатов, имеющих
=
3
1
5
0
0
m
1
x
0
=
2
4
0
0
0
=
3
2
0
0
0
m
m
2
3
=
2
5
=
9
4
5
=
1
5
=
9
3
5
l
l
l
l
3
1
2
4
l
l
l
l
m
m
m
x
=
2
4
0
0
0
=
3
2
0
0
0
=
3
1
5
0
0
0
1
2
3
4
1
2
3
=
4
7
5
=
4
8
5
=
4
8
5
=
4
7
5
0
x
=
3
2
0
0
0
=
2
4
0
0
0
=
3
1
5
0
0
=
9
3
5
=
2
5
=
9
4
5
=
1
5
l
l
l
l
m
m
m
1
2
3
3
1
2
4
а
б
в
259
259
длины l
1
и l
2
, может стать больше силы трения между канатами и барабаном. В этом случае
наступает процесс скольжения. Масса m
2
отсоединяется от канатов и эквивалентная схема,
показанная на рис. 8.11, преобразуется в схему, изображенную на рис. 8.13. Отметим, что
длина канатов l остается постоянной величиной независимо от местоположения подъемных
сосудов.
Рис. 8.13. Эквивалентная схема
многоканатной подъемной установки при скольжении канатов
Граничные условия задачи формулируются следующим образом:
Сила упругости в нижнем сечении уравновешивающего каната, имеющего длину l
3
,
равна нулю, т. е.
при
x l EF
t
u l t
x
к
= − +
−
=
3
3 3
1 0; ( )
( , )
.µ
∂
∂
∂
∂
Динамическая составляющая силы массы m
1
уравновешена силами упругости S и S
3
,
т. е.
при
x m
u t
t
EF
t
u t
x
u t
x
к
= = + −0
0
1
0 0
1
2
2
3
;
( , )
( )[
( , ) ( , )
].
∂
∂
µ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Координаты перемещений точек канатов, прикрепленных к массе m
1
равны, т. е.
при
x u t u t= =0 0 0
3
; ( , ) ( , ).
Динамическая составляющая силы массы m
3
уравновешена силами упругости S
4
и
S, т. е.
при
x l m
u l
t
EF
t
u l t
x
u l t
x
к
= = + −;
( , )
( )[
( , ) ( , )
].
3
2
2
4
0
1
∂
∂
µ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Координаты перемещений точек канатов, прикрепленных к массе m
3
равны,
т. е.
при
x l u l t u l t= =; ( , ) ( , ).
4
Сила упругости в нижнем сечении уравновешивающего каната, имеющего длину l
4
,
равна нулю, т. е.
при
x l l EF
t
u l l
x
к
= + +
+
=
4
4 4
1 0; ( )
( )
.µ
∂
∂
∂
∂
Эти граничные условия позволяют получить систему уравнений
l
x
m
SS
1
m
3
4
4
S
l
21
3
0
S
l = l + l
3
260
260
A
l
l
B
A B B
A A
A B A B
A B A B
A
l
l
B
j
j
j
j
j
j j
j j
j
3
3
3
1
3
3
3 3
4 4
4 4
4
4
4
0
0
0
1 0
0
1 0
tg ,
,
,
( tg ) ( tg ) tg ,
tg tg ,
tg ( ) .
λ
λ
α
λ
α
λ
λ
α
λ λ
λ λ
λ
+ =
+ − =
− + =
+ + − − + =
+ − − =
− + + =
(8.39)
здесь
α α λ
1
1
3
3
= = =
pl
m
pl
m
к l
j
; ; .
Характеристический определитель:
tg
tg tg tg
tg tg
tg ( )
λ
λ
α
λ
α
λ
λ
α
λ λ
λ λ
λ
j
j
j
j
j
j j
j j
j
l
l
l
l
3
1
3 3
4
1 0 0 0 0
0 1 1 0 0
1 0 1 0 0 0
0 0 1 1
0 0 1 1
0 0 0 0 1 1
−
−
+ − −
− −
− +
(8.40)
Определитель (8.40) и система уравнений (8.39) позволяют найти собственные числа и
фундаментальные функции задачи.
Пример 8.7. Определить фундаментальные функции механической системы, характерной для
многоканатной подъемной установки при скольжении канатов. Характеристика установки соответствует
таковой в примере 8.6.
Рассмотрим динамический процесс скольжения канатов по канатоведущему барабану для случая
соответствующего встрече сосудов (рис. 8.12, б). Расчетная схема многоканатной подъемной установки в
режиме скольжения канатов показана на рис. 8.13.
Характеристический определитель и система уравнений (8.39) позволяют найти собственные числа и
коэффициенты А
i
и В
i
, которые для пяти гармоник приведены в табл. 8.4.
Таблица 8.4
Собственные числа и коэффициенты А
j
и B
j
. (A = 1; A
3
= 1)
261
261
Наименование B B
3
A
4
B
4
Встреча сосудов
λ
1
= 1,051
- 1,892 - 0,58
6,85⋅10
-3
- 1,323
l = 970 м
λ
2
= 3,602
- 0,238 4,262 2,204 - 2663
l
3
= 485 м
λ
3
= 4,015
- 2,871 2,144 - 3,558 0,952
l
4
= 485 м
λ
4
= 6,558
- 8,33 - 0,139 - 1,201 - 0,526
λ
5
= 9,608
- 1,153 - 10,848 2,291 - 8,097
Подставив значения А
j
, B
j
в первое уравнение (8.14) и, имея в виду, что λ
j
= кl, получим
фундаментальные функции задачи.
8.4. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
При исследовании свободных и вынужденных колебаний механических систем с
распределенными параметрами для определения постоянных интегрирования уравнения
(8.16) знание свойств ортогональных функций, упрощает процедуры нахождения C
j
и D
j
.
Известно [17, 59], что для системы функций ортогональных на отрезке [0, l]
выполняются условия
( ) ( )
n j X x X x dx
j n
l
≠ =
∫
; ,
0
0
(8.41)
( )
∫
≠=
l
j
dxxXjn
0
2
,0;
(8.42)
где n и j - соответствующие номера гармоник. Величину
( )
[ ]
X x dx X
j
l
j
2
0
1
2
∫
=
принято
называть квадратом нормы функции
( )
X x
j
[46, 59].
Все задачи по определению фундаментальных функций, рассмотренные в разделе
8.3, относились к двум принципиально различным схемам.
Первая схема, показанная на рис. 8.2, характеризует динамическое состояние
уравновешивающего каната, т. е. вязкоупругого стержня без массы. Все другие схемы
относятся к системам, в которых вязкоупругие стержни соединяют сосредоточенные
массы.При определении фундаментальных функций различных механических систем было
принято допущение о том, что все канаты имеют одну конструкцию, поэтому такие
характеристики, как модуль упругости E, площадь проволок F, линейная плотность p для
всех канатов одинаковы. Такое допущение освобождает от чрезмерной громоздкости записи
доказательств. В случае необходимости учета различных характеристик вязкоупругих
стержней методология нижеприведенных рассуждений не изменится.
8.4.1. ВЕТВЬ УРАВНОВЕШИВАЮЩЕГО КАНАТА
На основании уравнения (8.17) фундаментальную функцию можно записать
( ) ( )
X x j
x
l
j
= −sin .
π
2
2 1
Рассмотрим две гармоники j = 1 и n = 2, тогда
( )
X x
l
x x
1
0 5= =sin , sin ;
π
α
( )
X x
l
x x
2
15= =sin , sin .
π
β
Подставив значения X
1
(x) и X
2
(x) в (8.41), и воспользовавшись
таблицами интегралов, получим [38]
262
262