Степанов А.Г. Динамика машин
Подождите немного. Документ загружается.
Учитывая ортогональность производных фундаментальных функций, определим
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
C
f x X x dx
X x dx
D C
x X x dx
X x dx
j
j
l
j
l
j
j
j j
j
l
j
l
=
′ ′
′
= +
′ ′
′
∫
∫
∫
∫
0
2
0
0
2
0
1
( )
,
( )
.
ω
µ
ϕ
(8.77)
Подставив значения начальных условий (8.69)
( ) ( )
l
x
xXx
EF
S
xf
nn
λ== sin и
и
выполнив преобразования, получим
( )
.
2 sin 2
sin4
nnn
n
j
EF
lS
C
λ+λλ
λ
=
(8.78)
Отметим, что использование пакета Mathcad 7 освобождает от процедуры
преобразований формул к виду подобному формуле (8.78). Вычисление значений
коэффициентов
C
j
и D
j
осуществляется по формулам в общем виде (8.76), (8.77).
Таким образом, подставив значения C
j
и D
j
в уравнения (8.65), с помощью
выражений (8.64) определяются относительная деформация u(x,t) и скорость деформации
( )
,u x t
вязкоупругого элемента в заданном сечении x. Усилие определяется по уравнению
(8.72).
Пример 8.9. Определить усилие в верхнем сечении каната при свободных колебаниях массы,
подвешенной на канате. Условия приложения и снятия усилия аналогичны таковым в примере 8.8.
Коэффициенты C
j
и D
j
олределяются по уравнениям (8.77). Вычислив u(x,t) и
),( txu
с помощью
выражения (8.72) определяется усилие в верхнем сечении каната. Реализация вычислительного процесса и
построения графиков аналогична приведенным в примере 8.8.
283
283
Рис. 8.15. Относительная величина усилия в верхнем сечении каната
На рис. 8.15 показаны кривые, характеризующие изменение усилия, соответствующие первой, второй,
третьей и сумме пяти гармоник. При t = 0 значение ординаты кривой первой гармоники превышает
соответствующую величину суммарной кривой в 1,03 раза. Ордината второй гармоники составляет 0,034 от
суммарной, а третьей - 0,0057. Поэтому кривая третьей гармоники на рис. 8.15 практически сливается с
осью абсцисс. Эти результаты говорят о том, что при исследовании данной задачи достаточно учитывать
три гармоники, при этом их сумма будет отличаться от реальной кривой не более чем в (1,03 - 0,034) = 0,996
раза. Отметим, что здесь под реальной кривой понимается теоретическая кривая, полученная при учете
бесконечного числа гармоник. Из рисунка видно, что высокочастотные гармоники быстро затухают и
усилие колеблется по гармоническому закону.
8.5.3. ДВЕ МАССЫ, СОЕДИНЕННЫЕ ВЯЗКОУПРУГИМ СТЕРЖНЕМ
Схема, показанная на рис. 8.8 соответствует работе многих машин, в том числе
конвейеров и одноконцевых подъемных установок.
По аналогии с вышерассмотренными задачами продифференцируем уравнение (8.66), а
затем умножим на
′
X x
n
( )
и проинтегрировав в пределах [c - d], получим для первого
уравнения
( ) ( ) ( ) ( )
′ ′
=
′ ′
=
∞
∑
∫∫
f x X x dx C X x X x dx
n j j n
j
c
d
c
d
1
.
Используя свойство ортогональности производных фундаментальных функций задачи,
получим
284
284
C
f x X x dx
X x dx
D C
x X x dx
X x dx
n
n
l
n
l
n
n
n n
n
l
n
l
=
′ ′
′
= +
′ ′
′
∫
∫
∫
∫
( ) ( )
( ( ))
,
( ) ( )
( ( ))
.
0
2
0
0
2
0
1
ω
µ
ϕ
(8.79)
Для определения динамических составляющих сил упругости в канате при свободных
колебаниях можно воспользоваться данными, приведенными в примере 8.4.
Начальные условия характеризуются функциями (8.69). Вычисления постоянных C
n
и D
n
осуществляются по уравнению (8.79). Динамические составляющие усилий в точках
крепления канатов определяются по зависимостям (8.72).
Колебания механической системы имеют гармонический характер, Первая
гармоника составляет 96 % от суммы амплитудного значения [70]. Для достижения
инженерной точности достаточно учитывать три гармоники.
8.5.4. МАССА С ПРИСОЕДИНЕНИЕМ К НЕЙ ДВУХ КАНАТОВ
Данная задача имеет практический интерес. Примером такой механической системы
является уравновешенная подъемная установка после остановки органа навивки.
Эквивалентная схема для ветвей канатов уравновешенного подъема приведена на рис. 8.6. В
этой схеме в колебательном процессе участвуют два каната, каждый из которых
подчиняется закономерностям (8.64), (8.65).
Запишем эти выражения для канатов, имеющих длины l
1
и l
3
u x t X x T t u x t X x T t
j j
j
j j
j
1 1
1
3 3
1
( , ) ( ) ( ); ( , ) ( ) ( ).= =
=
∞
=
∞
∑ ∑
Если использовать начальные условия, сформулированные зависимостями (8.69), то для t
= 0 можно записать
f x C X x f x C X x
i j j
j
i j j
j
( ) ( ); ( ) ( ).= =
=
∞
=
∞
∑ ∑
1
1
3
1
Выполнив вычислительные процедуры аналогичные тем, которые использованы при выводе
выражений (8.79), получим
285
285
C
f x X x dx f x X x dx
X x dx X x dx
D C
x X x dx x X x dx
X x dx X x dx
n
n
l
n
l
l
n n
l
l
l
n
n
n n
n
l
n
l
l
n n
l
l
l
=
′ ′
+
′ ′
′
+
′
= +
′ ′
+
′ ′
′
+
′
∫ ∫
∫∫
∫ ∫
∫∫
1 1
0
3 3
1
2
3
2
0
1 1
0
3 3
1
2
3
2
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ( )) ( ( ))
,
( ) ( ) ( ) ( )
( ( )) ( ( ))
ω
µ
ϕ ϕ
.
(8.80)
Отметим еще раз, что при численном интегрировании функции T(t) в качестве
начальных условий принимаются T(0) = С
n
;
( ) .T D C
n n n n
0 = −ω µ
Используя уравнения (8.64), (8.72) определяются кинематические и динамические
параметры при свободных колебаниях механической системы "масса, с присоединенными к
ней двумя канатами". Характеристики процесса имеют гармонический характер.
8.5.5. ДВУХКОНЦЕВАЯ НЕУРАВНОВЕШЕННАЯ ПОДЪЕМНАЯ УСТАНОВКА
Эквивалентная схема двухконцевой подъемной установки приведена на рис. 8.10.
Анализируя выражения (8.77), (8.79) и (8.80 ), определяющие значения C
n
и D
n
для
различных механических систем, можно заметить общие закономерности. Используя эти
закономерности, запишем значения коэффициентов C
n
и D
n
.
Итак, эквивалентная схема рассматриваемой задачи состоит из двух канатов и трех
масс, поэтому по аналогии с (8.79) и (8.80) можно сразу записать
C
f x X x dx f x X x dx
X x dx X x dx
D C
x X x dx x X x dx
X x dx X x dx
n
n
l
n
l
l
n
l
n
l
l
n
n
n n
n
l
n
l
l
n
l
n
l
l
=
′ ′
+
′ ′
′
+
′
= +
′ ′
+
′ ′
′
+
′
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
1 1
0
2 2
1
2
0
2
2
1 1
0
2 2
1
2
0
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ( )) ( ( ))
,
( ) ( ) ( ) ( )
( ( )) ( ( ))
ω
µ
ϕ ϕ
.
(8.81)
Динамический процесс при свободных колебаниях носит гармонический характер. Первая
гармоника имеет преобладающее влияние. Высшие гармоники искажают гармонический
процесс, затем быстро затухают и не влияют на результирующую кривую [70].
286
286
8.5.6. УРАВНОВЕШЕННАЯ ПОДЪЕМНАЯ УСТАНОВКА
Эквивалентная схема уравновешенной подъемной установки, состоящей из трех масс и
четырех канатов, приведена на рис. 8.11. Отличительная особенность этой схемы от
вышерассмотренных состоит в том, что начало оси координат принято в середине массы
m
2
. В разделе 8.3.6 было отмечено, что в любой механической системе значения
собственных чисел и фундаментальные функции не зависят от выбора точки начала отсчета
системы координат, поэтому, несмотря на это отличие, при определении коэффициентов C
n
и D
n
, можно использовать общие закономерности.
На этом основании, принимая за основу схему, приведенную на рис. 8.11, запишем значения
постоянных интегрирования
∑
∫
∫ ∫∫∫
=
−
+−
−−
′
′′
+
′′
+
′′
+
′′
=
4
1
2
0
4
0
213
))((
)()()()()()()()(
1
42
2
21
31
i
d
c
i
l
ll
l
n
l
nn
l
ll
n
n
dxxX
dxxXxfdxxXxfdxxXxfdxxXxf
C
(8.82)
,
))((
)()(
))((
)()()()()()(
1
4
1
2
4
4
1
2
0
0
221133
42
2
1
21
31
∑
∫
∫
∑
∫
∫ ∫∫
=
+
=
−
−
−−
′
′
ϕ
′
+
+
′
′
ϕ
′
+
′
ϕ
′
+
′
ϕ
′
+µ
ω
=
i
d
c
i
ll
l
n
i
d
c
i
l
l
nn
l
ll
n
nn
n
n
dxxX
dxxXx
dxxX
dxxXxdxxXxdxxXx
CD
где
( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) .
′
=
′
+
′
+
′
+
′
∫
∑
∫ ∫ ∫ ∫
=
− −
−
−
+
X x dx X x dx X x dx X x dx X x dx
i
c
d
i
n
l l
l
n
l
n
l
n
l
l l
1
4
2
3
2
1
2
0
2
2
0
4
2
1 3
1
1
2
2
2 4
По аналогии, для многоканатной подъемной установки, работающей в режиме скольжения
канатов по футеровке барабанов (рис. 8.13), можно записать
C
f x X x dx f x X x dx f x X x dx
X x dx X x dx X x dx
D C
x X x dx x X x dx x X
n
n
l
n n
l
l l
l
n
l
n n
l
l l
l
n
n
n n
n n
=
′ ′
+
′ ′
+
′ ′
′
+
′
+
′
= +
′ ′
+
′ ′
+
′ ′
−
+
−
+
∫ ∫∫
∫ ∫∫
3 3
0
4 4
0
3
2
0
2
4
2
0
3 3 4
3
4
3
4
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( )) ( ( )) ( ( ))
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ω
µ
ϕ ϕ ϕ
4
0
0
3
2
0
2
4
2
0
4
3
3
4
883
n
l
l l
l
l
n
l
n n
l
l l
l
x dx
X x dx X x dx X x dx
( )
( ( )) ( ( )) ( ( ))
.
( . )
+
−
−
+
∫∫∫
∫ ∫∫
′
+
′
+
′
287
287
Таким образом, определив постоянные интегрирования C
n
и D
n
, зная фундаментальные
функции из уравнений (8.64) и (8.72) определяются кинематические и динамические
параметры механических систем.
Пример 8.10. исследовать закономерности формирования усилия в канатах многоканатной подъемной
установки. Эквивалентную схему установки см. рис. 8.11. Расположение масс m
1
и m
3
соответствует встрече
сосудов в стволе (см. рис. 8.12, б). Определим усилия в канатах 1 (x=0); 2 (x=0); 3 (x = - l
1
);
4 (x = l
2
).
Для исследования процесса свободных колебаний механической системы, показанной на рис. 8.11,
предположим к канату 4 в координате x = l
2
+ l
4
, приложена статическая сила S
ст
, скорость
v
0
= 0, при этом масса m
2
закреплена. В момент снятия силы S
ст
, масса m
2
освобождается и под действием
сил упругости в канатах совершает свободные колебания. Закономерности формирования усилий в канатах
определить в относительных единицах, т. е. результаты, полученные по формуле (8.72) разделить на S
ст
.
Для определения расчетных коэффициентов воспользуемся результатами, приведенными в табл. 8.3.
Эти данные позволяют определить фундаментальные функции каждого каната для пяти гармоник. Для
определения функций T(t) и
( )
tT
(уравнения (8.65)) находятся коэффициенты ω
n
, µ
n
, C
n
и D
n
, которые
приведены в табл. 8.5. Вычислительный процесс и построение графиков выполнены в математическом
пакете Mathcad 7.
Таблица 8.5
Значения коэффициентов C
n
и D
n
Номер гармоники 1 2 3 4 5
λ
n
0,68 1,011 1,7894 1,8758 3,282
ω
n
5,264 7,8267 13,8497 14,5232 25,408
µ
n
0,125 0,1868 0,3307 0,3468 0,6067
C
n
- 0,803 0,8303
- 6,27⋅10
-3
0,065
4,537⋅10
-4
D
n
- 0,0192 - 0,0198
- 1,49⋅10
-4
1,54⋅10
-3
1,08⋅10
-5
На рис. 8.16 показаны характеристики формирования усилия в канате 1 в точке крепления этого
каната к массе m
2
(x = 0). Видно, что на результирующее усилие определяющее влияние оказывают 1 и 2
гармоники. Третья и последующие гармоники не превышают относительной величины 0,02.
Рис. 8.16. Усилия в канате 1(x = 0) в точке крепления его к массе m
2
288
288
На рис. 8.17 приведены характеристики формирования усилия в канате 2 в точке крепления этого
каната к массе m
2
(x = 0). Определяющее влияние на результирующее усилие оказывают 1, 2 и 3 гармоники.
Так как длины канатов l
1
и l
2
равны, а масса m
3 >
m
1
, то частота колебаний во втором случае несколько выше
по сравнению с первым. Четвертая и пятая гармоники практически не оказывают влияния.
Рис. 8.17. Усилия в канате 2 (x = 0) в точке крепления его к массе m
2
На рис. 8.18 показаны характеристики формирования усилия в уравновешивающем канате 3 в точке
крепления его к массе m
1
(x = -l
1
). Для данного случая на результирующую величину оказывают
существенное влияние четыре первых гармоники.
Рис. 8.18. Усилия в уравновешивающем канате 3 (x = -l
1
) в точке крепления его к массе m
1
На рис. 8.19 приведены характеристики формирования усилия в уравновешивающем канате 4 в точке
крепления его к массе m
3
. Видно, что результирующая кривая повторяет закономерности четвертой
гармоники, так как ее влияние оказалось определяющим.
289
289
Рис. 8.19. Усилия в уравновешивающем канате 4 (x = l
2
) в точке крепления его к массе m
3
На рис. 8.20 показаны результирующие кривые, характеризующие динамический процесс в головных и
уравновешивающих канатах многоканатной подъемной установки при свободных колебаниях.
Рис. 8.20. Усилия в канатах (1 - 4) многоканатной подъемной установки
Полученные результаты показывают, что в сложных механических системах, состоящих из
нескольких вязкоупругих стержней и сосредоточенных масс, формируются динамические процессы в
которых колебания усилий могут иметь не гармонический характер. В зависимости от соотношения масс и
длин стержней определяющими могу быть не первые гармоники.
8.6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
290
290
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Методику исследований вынужденных колебаний рассмотрим на примере
механической системы, показанной на рис. 8.11. Эта схема выбрана по той причине, что она
отражает все возможные случаи, встречающиеся на шахтных подъемных установках. Схема
соответствует двухконцевой уравновешенной подъемной установке.
Представим эту схему на рис. 8.21, на котором показаны номер каната и внешние
силы, действующие на механическую систему. Например, для подъемной установки массы
m
1
и m
3
соответствуют груженому и порожнему сосудам, на которые действуют силы
вредного сопротивления F
1
и F
3
. Если m
2
- масса машины, то к ней приложены силы
двигателя F
дв
(t) или тормоза F
т
(t). Как правило, действует одна из этих сил, но встречаются
режимы работы в которых на машину оказывает влияние сумма сил Σ F
дв
(t) - F
т
(t).
Таким образом, представленную систему можно рассматривать как систему, которая
состоит из четырех отдельных рассмотренных выше схем. Все канаты представлены
стержнями, к которым прикреплены массы. Динамическое состояние каждого каната
характеризуется уравнением (8.7).
Рис. 8.21. Эквивалентная схема двухконцевой уравновешенной подъемной установки
Если канат i имеет ускорение j
i
(x,t), а к массе m
i
приложена сила F
i
(x,t), то уравнение
запишется так:
( )
( )
∂
∂
µ
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
2
1
U
t
a
t
U
x
j x t
F x t
m
i
k
i
i
i
i
− +
= +,
,
,
(8.84)
где
( )
F x t
m
i
i
,
- ускорение, которое получила бы масса m
i
с абсциссой x в момент времени t,
если бы на нее не действовали никакие силы, кроме вынуждающей силы F
i
(x,t).
Уравнение (8.84) является неоднородным уравнением гиперболического типа, для
решения которого можно также использовать метод разделения переменных (метод Фурье)
[19].
l
x
m
F
1
m
2
m
3
д вт
F ( t )
l
12
1
0
34
l l
4
1
3
3
.
F ( t )
2
F
291
291
Отметим, что уравнение (8.84) справедливо для любого каната, показанного на рис.
8.17. Краевые условия сформулированы в разделе 8.3.6.
Сделаем допущение, что функции j
i
, и F
i
не зависят от x. Принимая в качестве
решения уравнение (8.15)
( ) ( ) ( )
U x t X x T t
j j
j
, ,=
=
∞
∑
1
подставив которое в уравнение (8.84), получим
.
)(
)()()()()()()(
1
2
1
2
∑∑∑
∞
=
∞
=
+=
′′
−
′′
µ−
j
i
i
ijij
j
jjђjij
m
tF
tjxXtTaxXtTaxXtT
Здесь, как и раньше, производные по времени обозначены точками, а производные по
координате - штрихами.
Умножим обе части равенства на X
i n
(x) и с учетом того, что
′′
= −X x k X x
i i
( ) ( ),
2
запишем
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
( )
∑
∞
=
−σ
+=+µ+
1
2
).()(2
j
ni
i
i
injijj
lxxX
m
tF
tjxXxXtTbtTtT
Проинтегрировав это выражение в пределах [с-d], получим
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
∑
∫ ∫
∞
=
−σ
+=+µ+
1
2
.)(2
j
d
c
d
c
nnjjjjj
dxxXlx
m
tF
tjdxxXxXtTbtTtT
Здесь c и d - координаты i - каната. Индекс i для упрощения записи опущен.
Полученное выражение справедливо для любого i - каната. Используя выражения (8.62),
характеризующие ортогональность фундаментальных функций, получим [29]
( ) ( ) ( )
[ ]
.
)(
)(
)()()(
2
1
2
1 1
2
2
∑
∑ ∑
∞
=
= =
+
′
−
′
=+µ+
j
j
i
i
i
i
i
i
ii
jjjj
X
dX
p
tF
dXcX
b
EF
tj
tTbtTtT
(8.85)
Например, для рассматриваемой механической системы, в которой четыре каната (i = 4) и
три массы (i-1= 3) при j (t) = 0, уравнение (8.85) для процесса торможения можно записать
( ) ( ) ( )
∑
∫ ∫ ∫ ∫
∞
=
−
−− −
+
++−++++
++−
=
=+µ+
1
0
0
2
2
2
3
2
1
2
1
2
3
1
2
4
2
2
2
1
2
3
2432111
2
.
)()0()()()()()(
))()0()()((
1
2
1
31 1
2 42
2
j
l
ll l
l ll
l
•
jjj
lX
p
m
X
p
m
lX
p
m
dxxXdxxXdxxXdxxX
lXFXtFlXF
p
tTbtTtT
(8.86)
292
292