Стариков А.В. Основы информатики: учебное пособие (часть 1)

Подождите немного. Документ загружается.

Таким образом, двоичное число 0110 1111 запишется в шестнадцатерич-

ной системе счисления как 6F. Процесс обратного преобразования заключается

в замене каждой шестнадцатеричной цифры числа соответствующей тетрадой

бит. Например, шестнадцатеричное число ABCD представляется двоичным

числом 1010 1011 1100 1101. Шестнадцатеричная запись числа предпочтитель-

нее восьмеричной, поскольку она компактнее; например, 8-разрядное двоичное

число может быть представлено двумя шестнадцатеричными цифрами, в то

время как восьмеричных цифр для той же цели требуется три.

2.2 Двоичная арифметика

Выполнение арифметических операций с двоичными числами отличается

чрезвычайной простотой (на это указывали еще Паскаль и Лейбниц). Рассмот-

рим правила выполнения арифметических операций (сложение, вычитание, ум-

ножение и деление) с двоичными числами, т.е. двоичную арифметику.

2.2.1 Сложение

Для сложения двух чисел, записанных в двоичной системе счисления,

достаточно знать следующую простейшую таблицу сложения:

(перенос в старший разряд)

Последняя сумма представляет собой двузначное число, полученное в ре-

зультате переноса одной двоичной единицы в соседний старший разряд. Сло-

жение нескольких двоичных чисел выполнять немного сложнее, так как в ре-

зультате поразрядного сложения могут получиться переносы, превышающие

единицу. В таких случаях приходится учитывать переносы не только в сосед-

ний, но и другие старшие разряды. Например, сложение двоичных веществен-

ных чисел 110.1011 и 10111.10101 выполняется следующим образом:

(поразрядная сумма без учета переносов)

(переносы)

(поразрядная сумма без учета повторных переносов)

(повторные переносы)

(окончательная сумма)

2.2.2 Вычитание

Для вычитания одного двоичного числа из другого необходимо знать сле-

дующую простейшую таблицу вычитания:

−

(заём из старшего разряда)

Вычитание в двоичной системе счисления выполняется аналогично вычи-

танию в десятичной системе. При необходимости, когда в некотором разряде

приходится вычитать единицу из нуля, занимается единица из следующего

старшего разряда. Если в следующем старшем разряде находится нуль, то заём

делается в ближайшем старшем разряде, содержащем единицу. При этом сле-

дует помнить, что занимаемая единица равна двум единицам данного разряда,

т.е. вычитание выполняется согласно последней строки таблицы. Например,

вычитание числа 1101.01111 из числа 11010.1011 выполняется следующим об-

разом:

−

2.2.3 Умножение

Для того чтобы выполнить умножение одного двоичного числа на другое,

необходимо знать следующую простейшую таблицу умножения:

Кроме того, необходимо уметь складывать двоичные числа (см. выше

“Сложение”). Например, перемножение двоичных чисел 1001 и 1101 выполня-

ется следующим образом:

− множимое

− множитель

− первое частичное произведение

− второе частичное произведение

− третье частичное произведение

− четвертое частичное произведение

− произведение

Следует отметить, что в процессе перемножения применяются следую-

щие два правила умножения одного двоичного числа на двоичную цифру:

1. Если эта двоичная цифра (множитель) равна 1, то двоичное число (мно-

жимое) просто копируется.

2. Если этот множитель равен 0, то частичное произведение равно 0.

Пример перемножения дробных двоичных чисел приведен ниже.

Промежуточный результат (без указания “двоич-

ной” точки, отделяющей дробную часть двоичного

числа от целой)

Окончательный результат

2.2.4 Деление

Деление двоичных чисел производится аналогично делению десятичных

чисел, т.е. путем повторяющихся операций вычитания. Чтобы продемонстри-

ровать выполнение операций двоичного деления, достаточно рассмотреть деле-

ние двух целых двоичных чисел, поскольку делимое и делитель всегда могут

быть приведены к такому виду путем переноса “двоичной” точки в делимом и

делителе на одинаковое число разрядов и записи 0 в недостающие справа раз-

ряды. Например, деление дробного двоичного числа 1100.011 на дробное дво-

ичное 10.01 равносильно делению двух целых двоичных чисел 1100011 и 10010,

которое выполняется следующим образом:

−

. 1

−

2.3 Представление числовых данных

Двоичный разряд, или бит, представляется в компьютере с помощью не-

которого физического устройства (например, триггера). Это устройство может

находиться в одном из двух различных состояний, которым приписываются два

различных значения: “двоичный 0” или “двоичная 1”. Набор соответствующего

количества таких устройств используется для представления многоразрядных

двоичных чисел.

В компьютере все числа могут быть представлены в одной из двух основ-

ных форм: с фиксированной точкой (естественная форма) или с плавающей

точкой (полулогарифмическая форма).

2.3.1 Представление целых чисел

В форме представления чисел с фиксированной точкой положение точки

фиксируется в определенном месте: либо перед старшим разрядом, либо после

младшего разряда числа. В первом случае могут быть представлены только те

числа, модуль которых не превышает 1. Во втором случае могут быть представ-

лены только целые числа (именно этот случай мы и рассмотрим). На рис. 2.1

показана так называемая разрядная сетка для представления 16-разрядных це-

лых двоичных чисел.

1 1 1 1 1 1 Номер

5 4 3 2 1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 бита

Рис. 2.1 Представление целых двоичных чисел

В компьютере, как правило, имеются несколько форматов для представ-

ления целых чисел, различающихся количеством используемых бит (см. табл.

2.1).

Таблица 2.1

Диапазон представления целых чисел

Типы данных

Диапазон

Разрядность

двоичная

(бит)

десятичная

(цифр)

Целое без знака в байте 0 … 255 8 3

Целое со знаком в байте -128 … 127 8 3

Целое без знака в слове 0 …65535 16 5

Целое со знаком в слове -32768 … 32767 16 5

Целое без знака в двой-

ном слове

0 … 2

-1 32 9

Целое со знаком в двой-

ном слове

-2

… 2

-1 32 9

Знак числа

Точка

Значение

бита

2.3.2 Представление вещественных чисел

В общем случае представление числа с плавающей точкой имеет сле-

дующий вид:

x = q×s

; |q| < 1,

где q − мантисса числа (правильная дробь); s

− так называемая характеристика

числа x; s − основание характеристики; p − порядок, определяющий положение

точки в числе x (может быть как положительным, так и отрицательным).

Примечание. Поскольку часть представления числа (порядок) выражена

в логарифмической форме, это представление, как отмечалось выше, называет-

ся полулогарифмическим. Напоминаем, что если имеется показательная функ-

ция y = f(x) = a

, то обратная к ней функция называется логарифмической и

обозначается x = f(y) = log

Применительно к двоичной системе счисления представление с плаваю-

щей точкой имеет вид:

x = q×2

; |q| < 1.

На рис. 2.2 показан пример разрядной сетки (32 бита) для представления

чисел с плавающей точкой. Поскольку порядок (также как и мантисса) может

быть как положительным, так и отрицательным, то под его знак следовало бы

отвести один бит. Наличие двух знаков в представлении числа усложняет вы-

полнение арифметических операций с вещественными числами. Поэтому для

порядка (р) часто используют так называемое представление со смещением

(или с избытком). В этом случае порядок всегда представляется положитель-

ным числом, а диапазон возможных его значений (например, от 0 до 255) де-

лится на две части. Одна часть (от 0 до 127) отводится под представление отри-

цательных порядков, другая (от 129 до 255) − под представление положитель-

ных порядков, а “пограничное” значение 128 означает нулевой порядок (пример

записи порядка с “избытком 128”).

№ бита

8 7 0

Знак числа

Порядок − биты 0-7

Мантисса − биты 8-30

Знак числа − бит 31

Рис. 2.2 Представление чисел с плавающей точкой

2.3.3 Представление отрицательных чисел

Существуют три основных формы представления отрицательных чисел:

1. Прямой код. Отрицательное число, записанное в прямом коде, хра-

нится в виде знака и абсолютной величины числа. Например, двоичное число -

11 представляется в прямом коде как 10000011, где крайняя левая единица ука-

зывает на то, что это отрицательное число; 00000011 обозначает абсолютную

величину числа.

2. Обратный код. Обратный код отрицательного числа образуется путем

инвертирования бит, представляющих абсолютное значение числа в записи

прямого кода. Например, двоичное число -11 представляется в обратном коде

как 11111100, где крайняя левая единица указывает на то, что это отрицатель-

ное число, а 11111100 является дополнением его абсолютной величины до 1.

3. Дополнительный код. Дополнительный код отрицательного числа об-

разуется прибавлением 1 к младшему биту обратного кода этого числа. Други-

ми словами, если i − положительное двоичное число, то -i − двоичный результат

выражения 2

-i, где n − количество бит в байте или машинном слове. Напри-

мер, число -11 представляется в дополнительном коде как 11111101.

В компьютерах для представления отрицательных чисел преимуществен-

но используется дополнительный код. Это связано с тем, что дополнительный

код позволяет избежать так называемой “проблемы двух нулей”, имеющей ме-

сто в представлении как с прямым, так и с обратным кодом.

Кратко суть этой проблемы состоит в следующем. При выполнении вы-

числений на компьютере может возникнуть как “положительный”, так и “отри-

цательный” нуль. В прямом коде положительный нуль представляется как

000...0, а отрицательный нуль − как 100...0. Например, следующие простые вы-

числения, выполненные в прямом коде:

(-1) - (-1) = 1

(-1) - (+1) =

приводят к возникновению ситуации положительного и отрицательного нулей.

В обратном коде положительный нуль представляется как 011...1, а отри-

цательный − как 111...1. В качестве упражнения для самопроверки придумать

примеры, аналогичные приведенным выше, которые иллюстрируют наличие

двух различных представлений нуля для обратного кода.

Таким образом, в любой из рассмотренных двух систем кодов имеются по

два различных (!) представления нуля. С математической точки зрения это не-

корректно, поскольку известно, что +0 = -0 = 0. Использование системы с до-

полнительным кодом “снимает” эту проблему, так как в этом случае отрица-

тельный нуль отсутствует

(-0)

доп

= 111...1+1 = 000...0

Возникающий при этом перенос единицы из бита знака (выход за преде-

лы разрядной сетки) игнорируется. Таким образом, если представлять положи-

тельные числа прямым кодом, а отрицательные − дополнительным, то положи-

тельный и отрицательный нули будут иметь одинаковое представление.

При выполнении алгебраического сложения двоичных чисел с использо-

ванием дополнительного кода положительные слагаемые представляются в

прямом коде, а отрицательные − в дополнительном. Затем производится ариф-

метическое суммирование этих кодов, включая биты знаков, которые рассмат-

риваются как старшие биты. При возникновении переноса из бита знака едини-

ца переноса отбрасывается. Если полученная сумма положительна, то она рас-

сматривается как число, записанное в прямом коде, в противном случае − как

число, записанное в дополнительном коде.

Применение дополнительного кода для представления отрицательных чи-

сел упрощает операцию алгебраического сложения. Алгебраическое сложение

чисел с разными знаками заменяется арифметическим сложением кодов (вклю-

чая биты знаков), при этом автоматически формируется код знака результата.

2.4 Кодирование символьной информации

Современный компьютер является универсальным устройством для обра-

ботки информации. Он обрабатывает не только числовую, но и символьную

информацию (буквы, цифры, синтаксические знаки, математические и другие

символы). Именно такой характер имеет экономическая, бухгалтерская, стати-

стическая и другая информация, содержащая наименования предметов, фами-

лии и имена людей, род их занятий и т.д. Для того чтобы компьютер мог обра-

батывать разнообразную символьную информацию, все символы, представ-

ляющие эту информацию, должны быть заменены соответствующими кодами,

т.е. закодированы.

Для представления символьной информации в компьютерах наиболее

часто используется 7-разрядный код ASCII (произносится “Эз-ки”). ASCII − это

аббревиатура, образованная от слов “American Standard Code for Information

Interchange” (переводится с английского как “американский стандартный код

для обмена информацией”). В отечественной практике широко распространен

аналог ASCII − код КОИ-7 (код для обмена информацией, 7-разрядный).

Код ASCII ставит в соответствие каждому символу уникальную комбина-

цию из семи бит (разрядов). Поскольку значащих бит всего семь, то таких ком-

бинаций будет 2

, т.е. 128 (начиная с 0000000 и заканчивая 1111111). Этого ко-

личества комбинаций бит вполне хватает, чтобы закодировать все прописные и

строчные буквы алфавита (в случае ASCII − английского), все цифры десятич-

ной системы счисления, все знаки препинания и специальные символы (напри-

мер, $, &, @ и другие). Первые 32 комбинации бит зарезервированы под так на-

зываемые управляющие символы, такие, как “звонок”, “перевод строки” “воз-

врат каретки” и другие, которые используются для управления экраном дис-

плея и печатающим устройством. Остальные 96 комбинаций относятся к так на-

зываемым печатным кодам и все они − за исключением первого (пробел) и по-

следнего (забой символа) − соответствуют каким-то символам. Коды ASCII для

печатных символов приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Коды ASCII для печатных символов

Система

счисления

Символ

Система счис-

ления

Символ

Система счис-

ления

Символ

8 10 16 8 10 16 8 10 16

40 32 20 Пробел 100 64 40 @ 140 96 60 `

41 33 21 ! 101 65 41 A 141 97 61 a

42 34 22 “ 102 66 42 B 142 98 62 b

43 35 23 # 103 67 43 C 143 99 63 c

44 36 24 $ 104 68 44 D 144 100 64 d

45 37 25 % 105 69 45 E 145 101 65 e

46 38 26 & 106 70 46 F 146 102 66 f

47 39 27 ‘ 107 71 47 G 147 103 67 g

50 40 28 ( 110 72 48 H 150 104 68 h

51 41 29 ) 111 73 49 I 151 105 69 i

52 42 2A * 112 74 4A J 152 106 6A j

53 43 2B + 113 75 4B K 153 107 6B k

54 44 2C , 114 76 4C L 154 108 6C l

55 45 2D - 115 77 4D M 155 109 6D m

56 46 2E . 116 78 4E N 156 110 6E n

57 47 2F / 117 79 4F O 157 111 6F o

60 48 30 0 120 80 50 P 160 112 70 p

61 49 31 1 121 81 51 Q 161 113 71 q

62 50 32 2 122 82 52 R 162 114 72 r

63 51 33 3 123 83 53 S 163 115 73 s

64 52 34 4 124 84 54 T 164 116 74 t

65 53 35 5 125 85 55 U 165 117 75 u

66 54 36 6 126 86 56 V 166 118 76 v

67 55 37 7 127 87 57 W 167 119 77 w

70 56 38 8 130 88 58 X 170 120 78 x

71 57 39 9 131 89 59 Y 171 121 79 y

72 58 3A : 132 90 5A Z 172 122 7A z

73 59 3B ; 133 91 5B [ 173 123 7B {

74 60 3C < 134 92 5C \ 174 124 7C |

75 61 3D = 135 93 5D ] 175 125 7D }

76 62 3E > 136 94 5E ^ 176 126 7E ~

77 63 3F ? 137 95 5F _ 177 127 7F Забой

Для хранения одного символа информации в большинстве компьютеров

используется один байт памяти. Как было показано в табл. 2.1, в байте может

храниться 256 различных двоичных комбинаций (от 00000000 до 11111111). Ес-

ли учесть содержимое табл. 2.2, остается еще 127 двоичных комбинаций (от

10000000 до 11111111) для представления других графических обозначений

(символов псевдографики, букв национальных алфавитов и т.д.). Таким обра-

зом, одна половина таблицы кодов ASCII (см. табл. 2.2) остается фиксирован-

ной, а другая − может быть наполнена различными символами, которым соот-

ветствуют коды в диапазоне от 128 до 255.

Примечание. Имеются серьезные исследовательские работы, посвящен-

ные теории информации, различным способам кодирования информации и за-

щиты информации от искажения при ее передаче. В качестве основополагаю-

щих источников при изучении данных вопросов можно рекомендовать класси-

ческие научные труды [22, 23].

Вопросы и задания для самопроверки

1. Записать число 1994

в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной сис-

темах счисления.

2. Записать число -1994

в прямом, обратном и дополнительном кодах.

3. Даны три числовых значения: 377

, 255

и FF

. Расположить их в порядке

убывания величины.

4. Даны два числа: ABBA

и BABA

. Какое из них больше и на сколько?

5. Сложить два числа BABA

и DED

. Полученный результат представить в

двоичной, восьмеричной и десятичной системах счисления.

6. Какое сообщение закодировано следующей последовательностью двоичных

нулей и единиц, сгруппированных по байтам (при чтении групп байт исполь-

зовать естественный порядок − слева направо и сверху вниз, а при декодиро-

вании каждого байта − группировать биты, начиная справа):

01001001 00100000 01001100 01001111 01010110

01000101 00100000 01011001 01001111 01010101

7. Закодировать сообщение “Good bye, my love!” в виде последовательности по-

байтно сгруппированных двоичных нулей и единиц (см. выше).

Глава 3

Технические средства персонального компьютера

3.1 Основные понятия микропроцессорной техники

Одним из выдающихся достижений эволюционного развития вычисли-

тельной техники явилось создание первого микропроцессора фирмой Intel в

1971 году. Этот микропроцессор, состоящий из 2250 транзисторов в кристалле

(чипе) площадью менее 1 см

, получил наименование 4004. Он позволяет вы-

полнить сложение двух 4-битных чисел за 11 микросекунд (1 мкс = 10

-6

с). В

1972 году фирма Intel выпустила 8-битный микропроцессор 8008, а в 1974 году

− микропроцессор 8080 (4500 транзисторов, 8-битный), который на несколько

лет стал фактическим стандартом микрокомпьютерной технологии. С тех пор

фирма Intel (Integrated Electronics − интегральная электроника) является при-

знанным лидером в области микроэлектроники.

Микропроцессор представляет собой центральный процессор, выполнен-

ный в виде интегральной микросхемы, с собственной системой команд. В соче-

тании с другими микросхемами (память, математический сопроцессор, сопро-

цессор ввода-вывода) микропроцессор образует так называемый микрокомпью-

тер, часто не уступающий по производительности многим моделям больших

машин 1950-60 гг.

Помимо микропроцессора, микрокомпьютер содержит также ряд компо-

нентов, обеспечивающих его работу (рис. 3.1). Краткое описание функциональ-

ного назначения этих компонентов представлено ниже. Более подробную ин-

формацию можно найти в [24].

Устройство

ввода-

вывода

Внешняя

память

Логика

управления

шиной

Микропроцессор

Генератор

синхронизации

Интерфейс

Модуль

памяти

•

Подсистема ввода-вывода

память

Оперативная

память

С и с т

е м н а я

ш и н а

Модуль

памяти

ИнтерфейсИнтерфейс

Рис. 3.1 Общая структурная схема типичного микрокомпьютера

Шины (или магистрали) связывают различные устройства компьютера.

Шина (bus) − это совокупность токопроводящих соединений (линий); она может

быть выполнена в виде многожильного кабеля (шлейфа) или в виде специаль-

ной печатной платы. По своему функциональному назначению шины подраз-

деляются на три группы: шину управления (для передачи управляющих сигна-