Спиридонов М.А., Сангалова И.C. Гидродинамика в металлургии
Подождите немного. Документ загружается.
Федеральное агентство по образованию РФ
ГОУ ВПО "Уральский государственный технический университет–УПИ"
М. А. Спиридонов
И. C. Сангалова
ГИДРОДИНАМИКА В МЕТАЛЛУРГИИ
Учебное пособие
Научный редактор – проф., д-р хим. наук А. Н. Ватолин
Екатеринбург
2007
УДК 669:62–404
ББК 34.2
С 72
Рецензенты:
кафедра общей физики и естествознания ГОУ ВПО УГПУ (зав. кафедрой –
проф., д-р физ.-мат. наук П. С. Попель);
проф., д-р хим. наук Т. В. Захарова (ГОУ ВПО РГППУ)
М. А. Спиридонов, И. C. Сангалова
С 72 Гидродинамика в металлургии: учебное пособие/ М. А. Спиридонов,
И. C. Сангалова. – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ–УПИ, 2007. –53 с.
ISBN 5-321-00724-1
Рассмотрены основные положения гидродинамики движения частиц в
металлургических расплавах. Анализируются вопросы движения капель в
условиях вязкого торможения, в присутствии поверхностно-активных веществ,
удаления неметаллических включений, всплывания газовых пузырьков и
осаждения частиц, а также привлечены элементы метода размерностей к
изучению движения тел произвольной формы в расплавах.
Предназначено для студентов очной и заочной форм обучения
металлургических специальностей и направлений.
Библиогр.: 6 назв. Рис. 17.
УДК 669:62–404
ББК 34.2
ISBN 5-321-00724-1 © ГОУ ВПО «Уральский государственный
технический университет – УПИ», 2007
2
Оглавление
Введение…………………………………………………………………………. 5
1. Движение твердой сферической частицы в условиях вязкого торможения 5
1.1. Постановка задачи……………………………………………………….. 6
1.2. Решение задачи…………………………………………………………... 9
1.3. Расчет суммарного сопротивления……………………………………... 14
1.4. Скорость движения твердой сферы в жидкости………………………. 17
2. Движение капли в условиях вязкого торможения………………………….
18
2.1. Постановка задачи………………………………………………………. 18
2.2. Анализ решения уравнения Адамара–Рыбчинского………………….. 19
3. Движение капель в присутствии поверхностно-активных веществ………
20
4. Определение силы сопротивления движению тел произвольной формы…
23
4.1. Метод размерностей……………………………………………………... 23
4.2. Закон сопротивления……………………………………………………. 26
4.3. Силы сопротивления при чисто инерционном обтекании……………. 28
4.4. Движение тел больших размеров в жидкости…………………………. 31
4.5. Движение деформированной капли……………………………………. 34
5. Течение тонкой пленки по твердой поверхности…………………………...
37
5.1. Гидродинамика электрошлакового переплава…………………………. 37
5.1.1. Распределение скоростей при течении пленки со свободной…
поверхностью……………………………………………………… 40
3
5.1.2. Ламинарное течение пленки на поверхности электрода при
контакте со шлаком под действием гравитационных сил……... 44
5.1.3. Ламинарное течение пленки на поверхности твердого
электрода при контакте его с жидким шлаком…………………. 46
5.2. Скорость движения металлической пленки……………………………. 47
Заключение……………………………………………………………………….
51
Библиографический список…………………………………………………….. 52
4
Введение
При пирометаллургическом производстве черных и цветных металлов
часто приходится сталкиваться с вопросами движения твердых частиц
(неметаллических включений) в металлических расплавах, газовых пузырьков в
жидкой фазе («кипящая» сталь), капель металла в рафинирующих оксидных
расплавах (электрошлаковый переплав – ЭШП). Многие из этих вопросов
рассмотрены на высоком теоретическом уровне в давно ставшей
библиографической редкостью монографии В.Г. Левича [1]. Учебное пособие
физиков-теоретиков Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [2] рассчитано на студентов
физических специальностей университетов.
Вследствие этого далее рассмотрены типичные физико-химические
задачи гидродинамики, связанные с процессами металлургического
производства (см. также [3]), на уровне, доступном для студентов и бакалавров
– будущих руководителей металлургической промышленности. Именно это и
стало целью пособия.
1. Движение твердой сферической частицы в условиях
вязкого торможения
Решение задачи движения твердой сферической частицы в вязкой
жидкости начнем с известного дифференциального уравнения Навье–Стокса и
неразрывности (сплошности) жидкости [2,3] при заданных граничных и
начальных условиях:
)( vdivv
v
pgradvg
+
τ∂
∂
ρ=−∆η+ρ
,
(1.1)
0
=ρ+
τ
ρ
vdiv
d
d
.
(1.2)
5
В приведенных уравнениях использованы традиционные обозначения
физических величин: ρ – плотность жидкой фазы; η – коэффициент
динамической вязкости расплава; v – скорость движения шара или
обтекающего его потока, p – давление.
1.1. Постановка задачи
Задача обтекания потоком неподвижной сферы (или в силу
инвариантности уравнений движения перемещения шара в вязкой жидкости)
была решена Стоксом (G. Stokes) при ряде упрощающих допущений.
Во-первых, силы инерции малы, и при обтекании потоком шара влиянием
гравитационного поля можно пренебречь; вследствие этого, первое слагаемое
и правая часть уравнения (1.1) равны нулю.
Во-вторых, движение рассматривалось как установившееся
(стационарное), т.е. не зависящее от времени τ, а жидкость считалась
несжимаемой (ρ = const).
Таким образом, в уравнении (1.2) полная производная плотности ρ по
времени τ также обращается в нуль.
Движение носит чисто вязкий характер. Из этого ограничения следует,
что безразмерное число Рейнольдса (Re) [1-3] – один из критериев
динамического подобия потоков– мало:
Re =
.
η
ρ
Lv
(1.3)
Здесь v – скорость обтекания потоком шара или его перемещение в
неподвижной среде; L – характерные размеры потока или обтекаемого тела,
например ширина канала, трубы, диаметр сферы.
Очевидно, что данное третье условие выполняется либо для очень мелких
частиц, либо для вязких сред или медленных (ползучих) течений.
6
Упрощенная таким образом система дифференциальных уравнений была
решена в сферических координатах, начало которых совпадает с центром
сферической частицы (см. рис.1.1).
Рис. 1.1. Переход от декартовых координат к сферическим
Рассмотрим решение задачи детальнее. Для этого запишем следующие
уравнения Навье – Стокса в сферических координатах [1]:
Третье уравнение, включающее первую производную по углу ϕ,
отсутствует (см. рис.1.1), поскольку дополнительно предположено отсутствие
вращения сферической частицы вокруг оси движения OZ, или нет
закручивания линий тока вокруг поверхности шара.
В силу этого же допущения уравнение неразрывности не содержит
аналогичной производной по углу ϕ:
7
)(,
ctg2
2
2ctg21
η
4.1
22222
2
22
2
θ
−−
θ∂
∂
−
θ∂
∂
θ
+
∂
∂
+
θ∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
θ
θ
v
rr
v
v
r
v
r
r
v
r
v
rr
v
r
p
rrrrr
)(.
sin
2ctg21
η
1
5.1
22222
2
22
2
θ
−
θ∂
∂
+
θ∂
∂
θ
+
∂
∂
+
θ∂
∂
+
∂
∂
=
θ∂
∂
θθθθθ
r
v
v
r
v
r
r
v
r
v
rr
v
p
r
r
.0
ctg
2
1
=
θ
++
θ∂
∂
+
∂
∂
θ
θ
v
rr
v
v
rr
v
rr
(1.6)
При нахождении единственного решения дифференциальных уравнений
второго порядка необходимо учитывать следующие два граничных условия
(начальное условие в силу поиска стационарного решения отсутствует):
1) на поверхности шара как радиальная v
r
, так и тангенциальная
составляющие скорости
v
θ
(при r = r
0
) равны нулю вследствие «прилипания»
вязкой жидкости к твердой поверхности;
2) при удалении от шарообразной поверхности на бесконечно большое
расстояние (r
→
∝
) величина скорости стремится с своему невозмущенному
значению v = v
0
(рис.1.2), или
,θcos)(
0
rvv
r
=
θsin)(
0
rvv
−=
θ
(см. также [3, с. 34–38]).
Рис. 1.2. Обтекание бесконечного цилиндра потенциальным потоком
1.2. Решение задачи
Решение системы уравнений будем искать в виде
8
,cos)(
1
θ=
rfv
r
,sin)(
2
θ−=ν
θ
rf
.cos)(
3
θη=
rfp
Подставим правые части этих равенств v
r
, v
θ
и p в уравнения Навье–
Стокса в сферических координатах (1.4) –(1.6):
.f
r
2
f
r
2
f
r
2
f
r
f
r
2
f
r
1
f
(r)f
r
p
2
2
1
2
2
2
1
2
'
11
2
''
1
'
3
]θsin
θctg
θcos
θcosθsin
θctg
θcosθcosθcos[η
θcosη
+−
−+−+−⋅=
=≡
∂
∂
(1.7)
Перенесем в левую часть уравнения все слагаемые и вынесем за
скобки общий, отличный от нуля, множитель η cos θ. Тогда получим
.0
222121
cos
2
2
1
2
2
2
1
2
'
11
2
''
1
'
3
=
−+−+−+−θη
f
r
f
r
f
r
f
r
f
r
f
r
ff
(1.8)
Следовательно, выражение в фигурных скобках равно нулю и
2
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
13
2221
'
2
1
'''
f
r
f
r
f
r
f
r
f
r
f
r
ff
+−+−+−=
.
(1.9)
Приводя подобные члены (подчеркнутые слагаемые в (1.9)), получим
'
12
2
1
2
''
1
'
3
244
f
r
f
r
f
r
ff
++−=
,
(1.9')
или
( )
21
2
'
1
''
1
'
3
42
ff
r
f
r
ff
−−+=
.
(1.10)
9
Аналогичные преобразования (предлагаем проделать самостоятельно) с
уравнениями (1.5) и (1.6) приводят к равенствам
( )
,
22
21
2
'
2
''
2
3
ff
r
f
r
f
r
f
−++=
(1.11)
( )
0
2
21
'
1
=−+
ff
r
f
.
(1.12)
Выразим из равенства (1.12) функцию f
2
:
1
'
12
2
1
frff
+=
,
(1.12')
продифференцируем ее по r :
'
1
'
1
''
1
'
2
2
1
2
1
ffrff
++=
,
(1.13)
подставим в правую часть в (1.11) и умножим обе части на r :
.23
2
1
'
1
''
1
2'''
13
frfrff
++=
(1.14)
Дифференцируем (1.14) по r , подставим в (1.10). После приведения простых
преобразований получим
''
1
'''
1
2
1
''
1
''
1
'''
1
'''
1
2
1
'
3
54
2
1
2332
2
1
2
1
frfrfffrfrfrff
IVIV
++=++++=
,
(1.15)
1
'
11
'
1
2''
1
3'''
1
4
1
4
2
1
44244
2
1
frffrfrfrfrf
IV
++−=++
,
(1.16)
т.е.
,0888
'
1
2''
1
3'''
1
4''''
1
=−++
rfrfrfrf
(1.17)
в котором
0
≠
r
.
Таким образом, система из трех дифференциальных уравнений второго
порядка (1.4)–(1.6) преобразована к одному дифференциальному уравнению
четвертого порядка.
Среди частных решений уравнения (1.17) всегда имеется решение вида
10