Спиридонов М.А., Сангалова И.C. Гидродинамика в металлургии
Подождите немного. Документ загружается.
f
1
= r
k
.
Дифференцируя степенную функцию, получим
,
1'
1
−
=
k
krf
,)1(
2''
1
−
−=
k
rkkf
( )
,2)1(
3'''
1
−
−−=
k
rkkkf
( )( )( )
.321
4
1
−
−−−=
kIV
rkkkkf
Тогда, подставляя производные в (1.17), сведем дифференциальное
уравнение к алгебраическому
( )( )( ) ( )( ) ( )
,08
18218321
1
223344
=−
−−+−−+−−−
−
−−−
rrk
rrkkrrkkkrrkkkk
k
kkk
(1.18)
и поскольку ищем решение, в котором
0
≠
k
r
, то
( )( )( ) ( )( ) ( )
.0818218321
=−−+−−+−−−
kkkkkkkkkk
(1.19)
Очевидно, что одним из корней этого уравнения будет k = 0. Преобразуем
(1.19), вынося общие сомножители и раскрывая скобки:
( ) ( )
[ ]
( )
01188321
2
5
=−−++−−−
−
+
k
k
kkkkkk
,
(1.20)
( ) ( )( ){ }
08512
=++−−
kkkk
,
(1.21)
( )
{ }
08552
2
=+−+−−
kkkkk
,
(1.22)
( )
{ }
0342
2
=++−
kkkk
.
(1.23)
Вторым корнем будет
k =
2.
Решая далее обычное квадратное уравнение
в фигурных скобках, получим третий и четвертый корни k
= - 1
и k
= -
3.
Следовательно, общим решением дифференциального уравнения будет
функция вида
11
2
3
1
rDC
r
В
r
А
f
+++=
,
(1.24)
где A, B, C и D – не зависящие от расстояния
r
постоянные, принимающие
множество численных значений, единственное из которых можно найти из
граничных условий.
Подставляя в уравнение (1.12) решение (1.24) и проводя его
дифференцирование по
r
,
получим в общем случае решение для второй
функции
f
2
:
,2
3
2
1
2
1
23
2
3
'
112
+−−++++=+=
2
rD
r
В
r
А
rrDC
r
В
r
А
rfff
и окончательно
.2
22
2
3
2
rDC
r
В
r
А
f
+++−=
(1.25)
Воспользовавшись уравнением связи (1.14) и трижды дифференцируя
функцию f
1
по r , далее простыми алгебраическими преобразованиями
аналогично найдем и общий вид решения для третьей искомой функции f
3
:
Dr
r
B
f
2
10
3
+=
.
(1.26)
Учитывая граничные условия на поверхности сферы при r = r
0
, утверждаем,
что и радиальная, и тангенциальная составляющие скорости обращаются в
нуль, т.е.
12
v
r
|
r = ro
= 0,
v
θ
|
r = ro
= 0,
а также вдали от обтекаемого потоком тела при удалении на бесконечно
большое расстояние (r = ∝
)
v
r
|
r
→
∞
= v
0
cos θ,
v
θ
|
r
→
∞
= - v
0
sin θ,
или v
0
=
22
θ
+
vv
r
.
Исходя из граничных условий, вместо множества решений находим
единственно возможное
3
00
2
1
rvA
=
,
00
2
3
rvB
−=
,
C = v
0
,
D = 0 .
После интегрирования системы трех дифференциальных уравнений
получим выражения для всех искомых зависимостей v
r
, v
θ
и p:
,
2
1
2
3
1cos
3
3
0
0
0
+−θ=
r
r
r
r
vv
r
(1.27)
,
4
1
4
3
1sin
3
3
0
0
0
−−θ−=
r
r
r
r
vv
r
(1.28)
.cos
2
3
2
00
θη−=
r
rv
p
(1.29)
13
Физический смысл “минуса” в выражении (1.29) таков: сила
сопротивления, складывающаяся из проекций нормальной P
r
и касательной
P
θ
сил, направлена противоположно оси движения OZ.
Необходимо отметить, что в последнем уравнении давление p связано со
скоростью уравнением Бернулли [2,3]:
.const
2
2
=
νρ
++ρ
phg
(1.30)
Итак, для всех точек пространства, включая поверхность шара (r = r
0
),
нашли уравнения для радиальной и тангенциальной составляющих скоростей и
давления.
1.3. Расчет суммарного сопротивления
Для расчета суммарного сопротивления движущейся сферической
частицы со стороны потока выделим на ее поверхности элемент поверхности
dS. Действительно, если rdθ – ширина пояса, то
πθ
2sinr
– длина
окружности и элементарная кольцевая площадка, окружающая шар, равная
.sin2
2
θθπ=
drdS
Тогда нормальную силу найдем интегрированием
θθπθη−=
∫
π
dr
r
rv
P
r
sin2cos
2
3
2
0
2
2
00
(1.31)
Вынесем постоянные величины за интеграл
θθθπη=
∫
π
drvP
r
sincos2
2
3
2
0
00
(1.32)
и, используя стандартный интеграл [4, № 375]:
,
3
2
sincos
0
2
=θθθ
∫
π
d
14
для поверхности сферы (r = r
0
) получим
00
2 vrF
r
πη=
.
(1.33)
Стокс учел и касательные силы, действующие по поверхности шара,
воспользовавшись законом вязкого трения Ньютона. Напряжение трения P
θ
равно отношению силы трения к площади поверхности S:
r
v
S
F
P
∂
∂
η==
θ
θ
тр
.
(1.34)
Подставим в правую часть равенства тангенциальную cоставляющую
скорости (1.28):
−−θ−
∂
∂
η=
θ
3
3
00
0
4
1
4
3
1sin
r
r
r
r
v
r
P
,
(1.35)
возьмем производные
2
0
0
4
3
4
3
r
r
r
r
r
−
=
∂
∂
,
4
3
0
6
2
3
0
3
3
0
4
3
3
4
1
4
1
r
r
r
r
r
r
r
r
−
=
−
=
∂
∂
.
В итоге результирующее значение для P
θ
примет вид
.
4
3
4
3
sin
4
3
0
2
0
0
+θη−=
θ
r
r
r
r
vP
(1.36)
Максимальная сила из очевидных условий – минимального значения
радиуса на поверхности шара при
r
=
0
r
– будет равна
.sin
2
3
0
θη−=
θ
vP
(1.37)
Найдем сумму касательных сил, действующих на всю поверхность шара, как и
раньше, интегрированием
15
θπθη−=
∫
drvF 2sin
2
3
3
00тр
(1.38)
и, учитывая, что стандартный интеграл [2] равен
,
3
4
sin
0
3
=θθ
∫
π
d
получим
.4
00тр
vrF
ηπ=
(1.39)
Суммируя нормальную составляющую F
r
и касательную силу трения
F
тр
, найдем выражение для полной силы сопротивления
r
FFF
+=
трсопр
,
(1.40)
00сопр
6 vrF
ηπ=
,
(1.41)
т.е. сила сопротивления пропорциональна радиусу шара, скорости и
динамической вязкости в первой степени. Это уравнение используется для
определения скорости падения шара в вязкой жидкости.
Преобразуем полученное уравнение (1.41) с целью выявления связи
скорости
движения тела с вязкостью жидкости.
16
1.4. Скорость движения твердой сферы в жидкости
В случае стационарного движения сила сопротивления приравнивается
алгебраической сумме (т.е. с учетом направления их действия) силы тяжести и
выталкивающей силы Архимеда
Архтяжсопр
FPF
−=
.
(1.42)
Вводя плотности сферы и среды, в которой она движется, соответственно
равными ρ
'
и ρ, раскроем равенство (1.42):
( )
Vgvr
ρ−ρ=ηπ
'
00
6
.
(1.43)
Представляя объем сферы V через ее радиус r
0
:
3
0
3
4
rV
π=
,
(1.44)
подставим в равенство (1.43) и получим
( )
;
3
4
6
3
0
'
00
rgvr
πρ−ρ=ηπ
(1.45)
запишем для скорости движения
( )
.
9
2
2
0
'
0
η
ρ−ρ=
rg
v
(1.46)
Последнее уравнение получено Стоксом, и его применение допустимо
лишь при малых числах Рейнольдса (Re < 1) для экспериментального
определения динамической вязкости как прозрачных жидкостей, так и
металлических и оксидных расплавов. Однако в последнем случае для
фиксации скорости движения шара необходимо применять специальные
методы регистрации, например проникающее рентгенографическое излучение,
преобразованное в видео– и телеизображение.
17
⋅
2. Движение капли в условиях вязкого торможения
Движение капли, т.е. жидкой, например, сферической частицы, в иной
среде отличается от перемещения твердого шара.
Численное решение задачи при малых числах Рейнольдса (Re < 1) было
выполнено одновременно, независимо друг от друга и опубликовано в 1911 г. в
работах Адамара (Hadamard) и Рыбчинского (W. Rybczynski) [1].
2.1. Постановка задачи
К особенностям решения задачи следует отнести подвижность
внутренней жидкости, т.е. не только внешняя среда, но и вещество самой капли
приходит в движение. Вследствие этого, как и при решении задачи о падении
шара, уравнения движения записывают не только для внешней, но и для
внутренней жидкости: – см. уравнения (1.4) –(1.6).
Граничные условия также отличаются: во-первых, тангенциальная
скорость на поверхности капли отлична от нуля, т.е. при r = r
0
v
θ
≠
0.
Во-вторых, на поверхности капли тангенциальные составляющие
скорости во внешней и внутренней жидкости равны: v
θ
= v
θ
'
, что с физической
точки зрения соответствует случаю, когда слои обеих фаз движутся
относительно системы координат в центре частицы вместе (слой одной
жидкости не может скользить по слою другой, как бы «прилепая» к ней).
В центре капли и радиальная, и тангенциальная составляющие отличны
от нуля и конечны (v
r
'
и v
θ
'
отличны от нуля при r = 0; штрих, как и ранее,
относится к внутренней жидкости – капле).
Поверхность капли считается непроницаемой для внешней жидкости,
т.е. v
r
’
= 0 при r = r
0
.
18
2.2. Анализ решения уравнения Адамара–Рыбчинского
Окончательное решение задачи «после элементарных, хотя и несколько
длинных вычислений» [1], принимает вид
,
233
2
'
'2
Р-А
0
η+η
η+η
η
ρ∆
=
gr
v
(2.
1)
или, сопоставляя с решением Стокса для твердого шара, запишем
.
23
33
'
'
Стокс
0
РА
0
η+η
η+η
=
−
vv
(2.2)
Проанализируем приведенное равенство, называемое уравнением
Адамара–Рыбчинского, в предельных случаях с целью получения ранее
найденных решений.
Если устремить вязкость внутренней жидкости к бесконечности (η' >> η
– твердая сфера; величины со штрихами относятся к веществу капли), то в
числителе и в знаменателе уравнения (2.2) вторыми слагаемыми можно
пренебречь. В этом случае скорость движения капли будет равна скорости
падения твердого шара, т.е. скорости Стокса:
.
Стокс
0
РА
0
vv
=
−
(2.3)
В противоположном предельном случае η
'
<< η
,
что соответствует
реальному случаю движения капли металла в вязком шлаке, скорость движения
будет превышать скорость перемещения твердой сферы в аналогичной среде в
1,5 раза.
.
2
3
Стокс
0
РА
0
vv
=
−
(2.4)
Сопоставление теоретических расчетов по формуле Адамара–
Рыбчинского с опытными данными в целом ряде случаев дало
удовлетворительное совпадение результатов при невысоких числах Рейнольдса.
В частности, скорость движения капель ртути в чистом глицерине,
19
расплавленных капель свинца в расплаве Be
2
O
3
действительно оказалась выше,
чем твердых сфер такого же диаметра в тех же жидкостях. Благодаря
подвижности поверхности раздела фаз, возникающие градиенты скорости
меньше, чем в случае твердой поверхности, и поэтому сопротивление
движению меньше, а скорость движения больше [1].
3. Движение капель в присутствии поверхностно-
активных веществ
Выявленные и подтвержденные опытом скорости движения капель,
соответствующие уравнению Адамара–Рыбчинского (2.4), в ряде случаев
оказались меньшими, несмотря на то, что условие η
’
<< η
выполнялось.
Причины этих отклонений вскрыты А.Н. Фрумкиным и В.Г. Левичем [1].
Характер движения капель малых размеров существенно зависит от
наличия поверхностно-активных веществ (ПАВ).
В частности, добавлением ПАВ можно добиться того, что капля будет
двигаться без циркуляции внутренней жидкости, т.е. ее поверхностный слой
«как бы отвердевает».
Поверхностно-активные добавки способны придавать поверхностному
слою, так называемую, поверхностную вязкость.
Допустим, что имеется возможность увеличивать (растягивать)
поверхностный слой капли. Если увеличить площадь поверхности вдвое, то и
адсорбция Г уменьшится вдвое. На основании этого можно заключить, что
увеличение поверхностного слоя приводит к увеличению поверхностного
натяжения. И наоборот, при уменьшении поверхности адсорбция ПАВ
увеличивается, а поверхностное натяжение уменьшается (рис.3.1).
В связи с этим в присутствии поверхностно-активных веществ у
поверхностных частиц возникают силы противодействия всяким движениям
(например, растяжению поверхностного слоя).
20