Спиридонов М.А., Сангалова И.C. Гидродинамика в металлургии
Подождите немного. Документ загружается.
.
Рис. 4.4. Опытные величины коэффициентов сопротивления для тел различной
формы: l – длина цилиндра, r– радиус миделевого сечения
Рассмотрим далее движение тел больших размеров, для которых
условие малости числа Рейнольдса обычно не выполняется.
4.4. Движение тел больших размеров в жидкости
При больших размерах частиц (r > 3⋅10
-4
м) движение нельзя считать
чисто вязким, поскольку числа Рейнольдса велики (Re>>1) и инерционными
силами пренебрегать нельзя. В тех случаях, когда движение стационарное
(скорость не зависит от времени), сила сопротивления уравновешена силой
веса.
Если V – объем тела, ρ
"
– его плотность, то вес тела G .
VgG
'
ρ=
.
(4.11)
31
Приравняв правые части уравнений (4.10) и (4.11), получим
VgS
v
K
'
2
2
ρ=
ρ
,
(4.12)
где ρ – плотность среды, а К – зависит от числа Re и формы тела. Тогда
скорость можно выразить как
SK
Vg
v
ρ
ρ
=
'
2
.
(4.13)
Если тело имеет сферическую форму, т.е. отношение его объема к
площади поверхности равно
r
S
V
3
4
=
, а скорость движения
ρ
ρ
=
K
rg
v
3
8
'
,
(4.14)
такое соотношение справедливо лишь для капель размером
≤
0,05 см. Если
движение капли происходит в плотной среде (например, капли, пузырьки в
конвертере), то необходимо учитывать выталкивающую силу Архимеда G =
= (ρ' - ρ) g V. В этом случае скорость движения капли рассчитывается так:
ρ
ρ−ρ
=
K
rg
v
3
)(8
'
.
(4.15)
Движение более крупных капель сопровождается их деформацией, капля
приобретает сплюснутую форму «чечевицы» (рис.4.5). Миделево сечение
увеличивается, следовательно, и сопротивление перемещению капли
возрастает. Капля движется медленнее, чем по выведенному соотношению
(4.15), и ее скорость при росте размеров изменяется по более слабой
зависимости, чем квадратный корень из радиуса (~
r
).
32
Рис. 4.5. Деформированная потоком капля с увеличенным миделевым сечением
2r
Для жидких и газообразных включений данная зависимость нарушается
значительно раньше вследствие деформации (рис.4.6).
Рис. 4.6. Зависимость скорости движения капли от ее размеров
33
В первой области (см. рис.4.6) при малых размерах капли (чисел
Рейнольдса) скорость движения капель подчиняется уравнению Адамара–
Рыбчинского (2.2), т.е. зависимость от радиуса является квадратичной. Это
область чисто вязкого течения.
При движении больших капель (Re>>1) в области инерционного течения
III справедливо соотношение (4.15) и скорость изменяется пропорционально
корню квадратному из радиуса. Однако деформация капли и увеличение ее
поперечного сечения ведут к еще более слабой зависимости скорости от
размеров (пунктирная линия в III области).
В промежуточной области (II на рис.4.6) осуществляется плавный переход
скорости от ее размеров к степенной (~ r
1/2
).
4.5. Движение деформированной капли
Как отмечалось ранее, точный расчет скорости движения
деформированной капли представляет большие трудности. Наряду с
деформацией капель и, особенно больших газообразных пузырьков, при
перемещении возникают пульсации, приводящие не только к сильному
изменению их формы, но и к дроблению на более мелкие составляющие. В
связи с этим В.Г. Левичем [1] предложен оценочный расчет с точностью до
порядка.
Среда, в которой движется капля, создает в соответствии с уравнением
Даниила Бернулли разность давлений между носовой и кормовой частями, т.е.
2
2
v
p
ρ=∆
.
(4.16)
Эта разность давлений приводит к сплющиванию капли. Совершаемая
при этом элементарная работа
34
hdS
v
hdSpА
2
2
ρ=∆=δ
,
(4.17)
где S – сечение капли; h – высота капли; p – давление потока. Этому процессу
деформации капли и увеличению ее площади при неизменном объеме
препятствует капиллярное давление, а именно источником сопротивления
деформации является поверхностное натяжение жидкости, благодаря действию
которого капля стремится возвратиться к сферической форме, т.е. работа
капиллярных сил
SdА
σ−=δ
.
(4.18)
Приравнивая эти работы, получим
,
2
2
SdhdS
v
А
σ−=ρ=δ
(4.19)
или
σ
∆
−=
Sp
dh
dS
.
(4.20)
Производную в левой части равенства оценим из условия постоянства
объема капли (V = S h = const). дифференцируя очевидное выражение S =V/h
по высоте деформированной капли h при неизменном объеме V, найдем в
результате тривиальных преобразований
h
SSp
−=
σ
∆
−
.
(4.21)
Тогда в условиях стационарного движения силу сопротивления
представим в виде
hg
S
Vg
S
F
p
'
'
сопр
ρ=
ρ
==∆
.
(4.22)
Сопоставляя равенства (4.21) и (4.22), получим
,
1
'
σ
ρ
=
hg
h
(4.23)
35
или
.
'
g
h
ρ
σ
=
(4.24)
В этом случае площадь поперечного сечения капли, деформируемой
потоком внешней среды, приближенно представим как
.
'
σ
ρ
=≈
g
V
h
V
S
(4.25)
Приравнивая силу сопротивления (4.10) движущейся силе (4.11) с учетом
равенства (4.25)
Vg
g
V
v
К
'
'2
2
ρ=
σ
ρρ
,
(4.26)
после элементарных преобразований получим
,
2
'
'
2
gK
g
v
ρ
σ
ρ
ρ
=
(4.27)
или окончательно
.
4
4
22
'
ρ
σρ
=
K
g
v
(4.28)
Итак, весьма приближенный расчет, в принципе не учитывающий в силу
сложности, например, пульсаций деформируемых капель и пузырьков и тем
более их дробления на более мелкие составляющие, показал, что скорость
падения крупных капель металла в шлаке (всплывания газовых пузырьков в
металлическом расплаве) не зависит от размеров перемещающихся
микрообъектов. Этот результат тем не менее объясняет слабую зависимость
скорости движения от размеров капель или пузырьков (см. область III на
рис. 4.6).
Скорость падения крупных капель жидкости практически не зависит от ее
плотности ρ
'
, поверхностного натяжения σ, а также плотности среды ρ.
36
Более тонкие расчеты показывают, что в случае деформируемых капель
также растет коэффициент сопротивления K не только за счет увеличения
миделевого сечения, но и вследствие ухудшения условий обтекания.
5. Течение тонкой пленки по твердой поверхности
Сделаем небольшое историческое отступление. Первого мая 1961 г. над
Екатеринбургом (тогда Свердловском) был сбит американский
разведывательный самолет–шпион, пилотируемый Пауэрсом. Летчик
приземлился в Сысертском районе Свердловской области на поле, где студенты
металлургического факультета в течение многих лет помогали убирать урожай
овощей. Обломки самолета и, в частности ответственные части двигателя,
исследовали специалисты. Они и сделали заключение, что подшипники
двигателя изготовлены из стали, полученной многократным электрошлаковым
переплавом [5]. В настоящее время на металлургических заводах Урала
электрошлаковый переплав (ЭШП) широко используется наряду с другими
технологиями получения качественных сталей.
5.1. Гидродинамика электрошлакового переплава
Рассмотрим основные положения гидродинамики ЭШП. Оплавление
расходуемого металлического электрода расплавленным шлаком происходит
небольшими объемами. При этом торец электрода при плавлении приобретает
форму конуса. Оптимальный угол при вершине конуса, определенный опытным
путем, близок к 90
0
. Обычно при освоении новых марок сталей на
электрошлаковых печах проверку правильности выбранных технологических
параметров (электрический режим, количество флюса и т.д.) определяют по
виду конуса, извлекая его из шлаковой ванны во время переплава или после
окончания процесса.
37
Экспериментально доказано, что угол при вершине конуса зависит от
скорости подачи электрода v и величины тока I. При I = const и небольших
скоростях движения v торец электрода остается плоским, плавление его
проходит на поверхности шлака, электрический режим неустойчивый,
периодически переходящий в дуговой. С ростом v плавление электрода
происходит в объеме шлака и торец приобретает конусообразную форму
(рис.5.1).
Рис. 5.1. Электрическая схема однофазной печи для ЭШП: 1 – электрод;
2 – кристаллизатор; 3 – уровень шлака; 4 – металл
Большее увеличение скорости подачи электрода приводит к округлению
вершины конуса, появлению электрических дуг между электродом и
металлической ванной и, наконец, «вмораживанию» электрода в ванну.
Оптимальную скорость подачи (плавления) электрода устанавливают,
исследуя связь тока и профиля конуса со скоростью перемещения электрода.
Величина тока возрастает линейно с увеличением скорости движения электрода
(рис. 5.2).
38
Рис. 5.2. Зависимость силы тока от скорости подачи переплавляемого электрода
Внешним признаком правильно выбранной скорости плавления
электрода, а значит, и величины тока является угол при вершине конуса,
который должен быть близок 90
0
.
На торце оплавляемого электрода образуется тонкая жидкая пленка
металла, которая под действием гравитационных сил стекает к вершине конуса.
Уравнение Навье–Стокса, описывающее движение произвольного
элемента вязкой несжимаемой жидкости в векторной форме, имеет вид (1.1).
Кроме уравнения Навье–Стокса необходимо учитывать и уравнение
неразрывности (1.2), выражающее закон сохранения массы в движущейся
жидкости. Это уравнение описывает скорость изменения массы жидкости,
протекающей в единицу времени через единичный объем.
Для несжимаемых жидкостей с постоянной плотностью с хорошим
приближением можно отнести жидкие металлы и шлаки, ибо в этих средах при
повышении внешнего давления относительное изменение (уменьшение) объема
незначительно.
Следовательно, уравнение неразрывности (1.2) примет более простой вид
0
=
vdiv
,
(5.1)
39
В координатной форме уравнения неразрывности и Навье–Стокса можно
записать так:
.0
z
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
v
y
v
x
v
y
x
(5.2)
5.1.1. Распределение скоростей при течении пленки со свободной
поверхностью
Рассмотрим медленное течение жидкой пленки электрода под действием
только гравитационного поля при следующих упрощающих допущениях:
движение считаем стационарным, не зависящим от времени τ, течение –
плоским, причем координата ОX направлена вдоль течения, ОY – по толщине
пленки (отсутствие координаты OZ предполагает в упрощенном варианте, что
закручивания частиц жидкости вдоль оси вращения электрода нет). Тогда
уравнения Навье–Стокса в координатной форме примут вид
∂
∂
+
∂
∂
ρ=
∂
∂
+
∂
∂
η+
∂
∂
−ρ
y
v
v
x
v
v
y
v
x
v
x
p
g
x
y
x
x
xx
x
2
2
2
2
,
∂
∂
+
∂
∂
ρ=
∂
∂
+
∂
∂
η+
∂
∂
−ρ
y
v
v
x
v
v
y
v
x
v
y
p
g
y
y
y
x
yy
y
2
2
2
2
.
(5.3)
При медленном течении (Re<1) вязкие силы преобладают над
инерционными и правыми частями равенств (5.3) можно пренебречь.
Аналогично поступим и со вторым слагаемым в левой части равенства,
поскольку течение происходит только под действием гравитационных сил.
В результате получим упрощенную систему уравнений Навье–Стокса
,0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
η+ρ
y
v
x
v
g
xx
x
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
η+ρ
y
v
x
v
g
yy
y
(5.4)
40