Сивохин А.В. Мещеряков Б.К. Решение задач оптимального управления с использованием matlab и simulink
Подождите немного. Документ загружается.
241
Скорость полета V можно выразить через ее проекции V
x
, V
y
, V
z
на
связанные оси посредством соотношений
V
x
= Vcosα cosβ ;
V
y
= -Vsinα cosβ ; (11.35)
V
z
= Vsinβ ,
где α и β - углы атаки и скольжения (рис. 11.6 ).
Рис.11.8 Параметры бокового движения самолёта:
ω
x
,
ω
y
,
ω
z
— проекции угловой скорости
ω
на связанные оси xyz,
υψγ
&&&
,, — проекции угловой скорости
ω
на полусвязанные оси x
0
y
0
z
0
,
V
x
, V
y
, V
z
— проекции скорости полета V на связанные оси хуz.
242
Рис.11.9 К выводу выражений для составляющих вектора скорости.
Для малых углов скольжения β (практически для всех случаев полета)
уравнения упрощаются. Будем рассматривать самолет как твердое тело. При
таком рассмотрении уравнения движения самолета относительно связанных
осей, являющиеся частным случаем уравнений Эйлера, описывают и
продольное, боковое движение самолёта [17].
Уравнения бокового движения самолёта по отношению к центру масс:
υγ
ωω
cossin)( GZ
dt
d
m
VV
V
xyyx
z
+=−+
M
J
x
x
x
dt
d
=
ω
, (11.36)
M
J
y
y
y
dt
d
=
ω
где m — масса самолета;
J
x
, J
y
, J
z
— моменты инерции самолета относительно соответствующих
осей;
X, Y, Z — проекции действующих на самолет сил (кроме силы веса);
М
х
, М
у
, M
z
— моменты аэродинамических сил.
Для получения уравнений бокового движения центра масс по отношению
к земным координатам необходимо составляющие вектора скорости V
самолета и вектора скорости U ветра на направление, перпендикулярное
243
траектории, связать с боковой составляющей вектора скорости центра масс
самолета:
dt
z
d
1
= Vsin(ψ - β) + U
z
, (11.37)
где z
1
— боковое отклонение от заданной траектории полета;
U
z
— составляющая скорости ветра по оси z.
11.2.6 Линеаризация уравнений бокового движения самолета
Полученные выше уравнения (11.36) и (11.37) бокового движения
являются нелинейными, поэтому непосредственное использование их для
анализа процессов в системах автоматического управления затруднительно.
Для упрощения задачи проведем линеаризацию этих уравнений,
предположив, что боковая сила Z и моменты крена М
х
и рысканья М
у
зависят от параметров режима полета. Опыт показывает, что боковая сила
Z зависит только от боковой составляющей скорости полета V
z
;
зависимостью силы Z от величин и
ω
x
,
ω
y
, б
э
и б
п
можно пренебречь.
Моменты М
х
и М
у
зависят от величин V
z
,
ω
x
,
ω
y
, б
э
и б
п
. Следует
заметить, что момент крена М
х
мало зависит от угла отклонения руля
поворота б
п
.
После ряда преобразований [17] получаем дифференциальные уравнения
бокового движения самолёта как управляемого процесса, которые
устанавливают связь между регулируемыми величинами γ, β,
ω
x
,
ω
y
и
регулирующими факторами б
э
и б
п
:
(p+n
11
)β + n
12
w'
x
+ n
13
w'
y
+n
14
γ = f
1
;
n
21
β + (p+n
22
)w'
x
+ n
23
w'
y
= -n
2э
б
э
+ f
2
; (11.38)
n
31
β + n
32
w'
x
+ (p+n
33
)w'
y
= -n
3э
- n
3п
б
п
+ f
3
;
n
42
w'
x
+ n
43
w'
y
+ p γ = 0,
244
где w'
x
= τw
x
; w'
y
= τw
y
; τ =
SV
m
ρ
; f
1
, f
2
, f
3
- возмущения, действующие на
самолёт.
Коэффициенты n
ik
[17] зависят от размаха крыльев l, коэффициента боковой
силы cz, момента крена mx, момента рысканья my, а также коэффициентов
β
=
β
d
m
d
m
x
x
и
β
=
β
d
m
d
m
y
y
, характеризующие поперечную статическую
устойчивость самолёта и устойчивость пути или флюгерную устойчивость.
Если U
z
— боковой порыв ветра, ΔР — разность тяг двигателей,
расположенных по разные стороны от оси самолета, ΔG — изменение веса
самолета, вызывающее крен, то для возмущений f
1
, f
2
, f
3
можно написать
выражения
f
1
= pv
z
+
V
S
P
2
ρ
Δ
+ f'
1
;
f
2
=
l
l
V
S
G
2
2
ρ
Δ
+ f'
2
; (11.39)
f
3
=
l
l
V
S
P
3
2
ρ
Δ
+ f'
3
,
где l
2
— плечо момента крена;
l
3
— расстояние между двигателями, имеющими разные тяги;
f'
1
, f'
2
, f'
3
— возмущения, вызванные стрельбой из бортового оружия,
или возмущения от ударных волн, создаваемых взрывами снарядов
или пролетающими соседними самолетами;
v
z
= U
z
/V — относительная боковая составляющая ветра.
Если полет самолета горизонтален (υ = 0), то в безразмерной форме
ω
'
x
= pγ ;
ω
'
y
= pψ, (11.40)
следовательно, система (2.49) примет следующий вид:
245
(p+n
11
)β + (n
12
p+n
14
)γ + n
13
pψ = f
1
;
n
21
β + (p+n
22
)pγ + n
23
pψ = -n
2э
б
э
+ f
2
; (11.41)
n
31
β + n
32
pγ + (p+n
33
) pψ = -n
3э
б
э
- n
3п
б
п
+ f
3
;
В таблице приведены ориентировочные значения коэффициентов n
ik
для
бокового движения легкого, среднего и тяжелого самолетов при двух
режимах полета.
Таблица 11.2
Коэффициенты уравнений бокового движения
Самолёт
лёгкий средний тяжёлый
Н = 6 км
М = 0,77
τ
а
= 2,5 с
Н = 10 км
М = 0,8
τ
а
= 3,8 с
Н = 6 км
М = 0,87
τ
а
= 2,1 с
Н = 10 км
М = 0,9
τ
а
= 2,7 с
Н = 8 км
М = 0,8
τ
а
= 2,5 с
Н = 12 км
М = 0,9
τ
а
= 4 с
n
11
0,156 0,097 0,26 0,26 0,3 0,3
n
12
0 0 -0,055 -0,093 -0,03 -0,04
n
13
-1 -1 -1 -1 -1 -1
n
14
-0,039 -0,039 -0,13 -0,22 -0,1 -0,14
n
21
15,8 9,5 74,1 94 47 98
n
22
6,7 4,82 7,03 6,9 7,5 7,55
n
23
0,43 0,41 2,09 2,8 1,8 2,1
n
31
5,76 4,3 54 69 30 50
n
32
0,037 0,0058 0,064 -0,06 0,13 0,068
n
33
0,22 0,16 0,79 0,89 0,8 0,9
n
2э
30,7 19 107,1 136 90 150
n
3п
3,18 2,26 22,5 29,6 11 19
n
3э
0 0 -1,5 -3,2 0 0
Можно выделить частные случаи бокового движения самолета:
246
1) Простейшим боковым движением самолета является движение чистого
рысканья без крена, когда в силу большой инерции самолета можно
пренебречь движением центра масс под действием боковых сил.
2) Плоское движение (движение рысканья) при неизменном угле крена.
Нейтральность самолета по отношению к углу рысканья (или, что все
равно, к курсовому углу) означает, что устойчивость самолета не
изменяется при полете по любому курсу.
3) Движение крена без изменения курса (ψ = 0).
4) Боковое движение без скольжения (β = 0). Расчеты показывают, что
коэффициент -n
23
n
14
/n
13
отрицателен, поэтому такое движение
неустойчиво не только по отношению к углу рысканья ψ, но и по
отношению к углу крена γ, – ся спиральное. При этом движении самолет
имеет тенденцию перейти в штопор.
Самолет в боковом движении можно рассматривать как динамическую
систему, входными координатами которой являются отклонения руля
поворота б
п
и элеронов б
э
, а выходными координатами — углы скольжения β
и крена γ и угловая скорость рысканья
ω
y
.
β = П
1β
(р)δ
э
+ П
2β
(р)δ
п
;
ω
'
y
= П
1w
(p)δ
э
+ П
2w
(p)δ
п
; (11.42)
γ = П
1γ
(р)δ
э
+ П
2γ
(р)δ
п
,
где П
1β
(р), П
2β
(р), … - передаточные функции самолёта, полностью
определяемые коэффициентами n
ik
.
Динамические свойства самолёта оцениваются передаточной матрицей
вида
(11.43)
П
1β
П
2β
П
1w
П
2w
П
1γ
П
2γ
247
11.2.7 Устойчивость бокового движения самолета
Движение самолета в зависимости от его характеристик и режима полета
может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Для суждения об
устойчивости бокового движения самолета следует рассмотреть
характеристическое уравнение системы (11.38), которое можно получить,
если приравнять нулю определитель матрицы коэффициентов
дифференциальных уравнений:
p
4
+ c
l
p
3
+ c
2
p
2
+c
3
p + c
4
= 0. (11.44)
Устойчивость самолета по отношению к параметрам γ, β,
ω
'
x
,
ω
'
y
определяется корнями уравнения (11.44). Для оценки устойчивости движения
без нахождения корней уравнения можно воспользоваться критериями
устойчивости, например критерием Гурвица-Раусса.
Приведем в качестве примера характеристическое уравнение с
численными коэффициентами для бокового движения реактивного самолета:
p
4
+ 4р
3
+ 4,08 p
2
+ 10,72p - 1,44 = 0. (11.45)
Заметим, что для рассматриваемого режима полета последний член
уравнения (11.45) является отрицательным, что указывает на
неустойчивость самолета. Приближенные значения корней для этого
уравнения
p
1
= -3,68; p
2
= 0,134; p
3,4
= - 0,225 ± j1,72. (11.46)
В качестве второго примера рассмотрим характеристическое уравнение
бокового движения самолета, коэффициенты которого приведены в таб. 2.2 :
p
4
+ 8,6р
3
+ 38,5p
2
+ 24p - 0,164 = 0. (11.47)
Приближенные значения корней этого уравнения
p1 = - 0,74; р
2
= 0,00684; р
З,4
= -3,93 ± j4,17. (11.48)
Следовательно, характеристическое уравнение бокового движения имеет
два вещественных и два комплексных сопряженных корня. Один из
248
вещественных корней отрицательный и большой, а второй положительный и
малый. Комплексные корни занимают промежуточное положение. Такое
распределение корней для бокового движения является характерным. При
этом малый корень для некоторых режимов полета может оказаться
отрицательным.
Движение самолета, соответствующее большому отрицательному корню,
называется движением крена. Оно быстро затухает и не оказывает большого
влияния на боковое движение самолета.
Движение, соответствующее малому вещественному корню, который в
рассматриваемых примерах положителен, называется спиральным
движением. При положительном малом корне движение самолета
апериодически неустойчиво и самолет имеет тенденцию перейти в спираль.
Движение самолета, соответствующее паре комплексных корней,
является колебательным. При этом движении самолет совершает рысканья
по курсу с кренами вправо и влево. Движение этого типа иногда называют
«голландским шагом». Период колебаний для разных самолетов и на
разных режимах может составить от 2 до 10 сек.
11.2.8 Возмущения, действующие на самолет
Самолет в полете подвергается различным возмущениям, среди которых
наиболее важными являются воздушные течения (порывы ветра,
периодические возмущения в атмосфере и т. д.), нарушение центровки
самолета вследствие выработки топлива из баков, сбрасывание бомб и
торпед, стрельба и др. Все эти возмущения различаются по длительности и
характеру действия, природе и причинам их
возникновения.
При произвольной выработке топлива из баков самолета на систему
накладываются возмущения, являющиеся медленно изменяющимися
функциями времени. Эти возмущения обычно сводятся к нарушению
249
центровки самолета и к изменению его динамических параметров вследствие
изменения (уменьшения) веса.
Возмущения, вызванные стрельбой из орудий или ракетных установок,
следует отнести к разряду единичных импульсов. Такие возмущения
вследствие кратковременности не оказывают существенного влияния на
движение самолета.
Возмущения, вызванные сбрасыванием бомб или грузов, можно
представить единичными функциями времени. Интенсивность этих
возмущений зависит от величины и расположения в самолете сбрасываемых
грузов.
Указанные типы возмущений являются определенными функциями
времени, и их воздействие на самолет можно учесть заранее.
Возмущениями, которые невозможно заранее определить и точно учесть,
являются возмущения, вызванные воздушными течениями. При этом под
воздушными течениями будем подразумевать всякое перемещение воздуха (в
том числе
и колебание) по отношению к земле. Остановимся более подробно
на возмущениях этого типа.
Существуют различные виды воздушных течений, например постоянные
ветры, восходящие и нисходящие потоки, порывы ветра, завихрения,
периодические возмущения и пр. Если самолет совершает полет при наличии
ветра, то его центр масс, помимо движения по отношению к частицам
воздуха,
перемещается также вместе с частицами воздуха со скоростью
ветра. Следовательно, скорость самолета по отношению к земле, (путевая
скорость) состоит из геометрической суммы скорости самолета по
отношению к воздуху и скорости ветра.
При воздействии переменных возмущений, вызванных воздушными
течениями (восходящие и нисходящие потоки, порывы ветра, завихрения),
самолет испытывает удары, броски вверх и
вниз и из стороны в сторону.
Следовательно, самолет испытывает перегрузки и его движение в
250
возмущенной атмосфере будет отличаться от движения в спокойной
атмосфере.
Причиной возникновения воздушных течений является неравномерное
распределение давления воздуха в атмосфере. В зависимости от времени
суток и года, места над земной поверхностью, рельефа местности, наличия
паров в атмосфере воздух по-разному нагревается за счет солнечной энергии.
При этом между различными слоями воздуха
в горизонтальном и
вертикальном направлениях возникают значительные разности температур,
приводящие к изменению плотности и давления. Следовательно,
передаваемая воздуху тепловая энергия солнца преобразовывается в
конечном счете в энергию движения частиц воздуха. Частицы воздуха
движутся с разными скоростями и в самых различных направлениях. Если
скорость движения частиц превышает определенный предел, то движение
становится турбулентным. Такое движение имеет неупорядоченный характер
и сопровождается значительным вихреобразованием.
Для более детального изучения воздушных течений проведем их
классификацию, положив в основу такой классификации внешние
проявления течений. Все воздушные течения можно разбить на два вида.
Вертикальные течения, включающие восходящие и нисходящие потоки,
облачные течения, буруны и вихри. Влияние этих
течений на самолет зависит
от величины вертикальной составляющей скорости движения воздуха,
пространственного протяжения течения, скорости полета и др. При полете с
постоянным углом атаки самолет на нисходящих потоках будет опускаться, а
на восходящих — подниматься.
Горизонтальные течения, включающие постоянные по величине и
направлению течения (ветры), ветровые слои, порывы, волны, вихри,
буруны.
Восходящие потоки возникают от подъема вверх теплых слоев воздуха,
нагреваемого при соприкосновении с земной поверхностью. Эти потоки
часто наблюдаются в летние тихие дни после полудня. Скорость подъема