Симонович С.В. Информатика

Подождите немного. Документ загружается.

520 Глава 18. Средства автоматизации научно-исследовательских работ

Чтобы упростить выражение (или

часть

выражения),

надо

выбрать

его

при помощи

уголкового курсора и дать команду Symbolics • Simplify (Аналитические вычисления-

• Упростить). При этом выполняются арифметические действия, сокращаются

общие множители

приводятся подобные

члены,

применяются тригонометричес-

кие тождества, упрощаются выражения с радикалами, а также выражения, содер-

жащие прямую и обратную функции (типа

е^'^^).

Некоторые действия по раскры-

тию скобок и упрощению сложных тригонометрических выражений Требуют

применения команды Symbolics • Expand (Аналитические вычисления • Раскрыть).

Команду Symbolics • Simplify (Аналитические вычисления • Упростить) применяют

ив более сложных слз^аях. Например, с ее помощью можно:

• вычислить предел числовой последовательности, заданной общим членом;

• найти общую формулу для суммы членов числовой последовательности, за-

данной общим членом;

• вычислить производную данной функции;

• найти первообразную данной функции

или

значение определенного интеграла.

Другие возможности меню Symbolics (Аналитические вычисления) состоят

выпол-

нении аналитичеашх операций, ориентированных на переменную, использован-

ную в выражении. Для этого надо выделить в выражении переменную и выбрать

команду из меню Symbolics> Variable (Аналитические вычисления • Переменная).

Команда Solve (Решить) ищет корни функции, заданной данным выражением,

например, если выделить уголковым курсором переменную х в выражении

Фх^

Ь-х

с,

то

результате применения команды Symbolics • Variable • Solve (Ана-

литические вычисления • Переменная • Решить), будут найдены все корни:

1-Ь+^

А-а-с)

(2-«)

i—.Pi-te?-4.a.c)]

Ьа) L J

(2.

Другие возможности использования этого меню включают:

• аналитическое дифференцирование и интегрирование: Symbolics • Variable •

Differentiate (Аналитические вычисления • Переменная •Дифференцировать) и

Symbolics • Variable • Integrate (Аналитические вычисления • Переменная • Инте-

грировать);

• замена переменной: Symbolics • Variable • Substitute (Аналитические вычисле-

ния • Переменная • Подставить)

—

вместо переменной подставляется содержи-

мое буфера обмена;

• разложение в ряд Тейлора: Symbolics • Variable • Expand to Series (Аналитичес-

кие вычисления • Переменная • Разложить

ряд);

• представление дробно-рациональной функции в виде суммы простых дробей с

линейными и квадратичными

знаменателями:

Symbolics

• Variable • Convert to Partial

Fraction (Аналитические вычисления • Переменная • Преобразовать

простые дроби).

Практическое занятие 521

Наконец, самым мощным инструментом аналитических вычислений является опе-

ратор аналитического вычисления, который вводится с помощью кнопки Evaluate

Symbolically (Вычислить аналитически) на панели инструментов Evaluation (Вычис-

ление). Его можно, например, использовать для аналитического решения системы

уравнений и неравенств. Блок решения задается точно так

же,

как при численном

решении (хотя начальные значения переменных можно не задавать), а последняя

формула блока должна выглядеть кгк/т(1(х,

у...)®у

где

скобках приведен список

искомых величин, а далее следует знак аналитического вычисления, отображае-

мый в виде стрелки, направленной вправо.

Любое аналитическое вычисление можно применить

помощью ключевого слова.

Для этого используют кнопку Symbolic Keyword Evaluation (Вычисление с ключевым

словом)

на

панели инструментов Evaluation (Вычисление). Ключевые слова вводятся

через панель инструментов Symbolics (Аналитические

вычисления).

Они полностью

охватывают возможности, заключенные в меню Symbolics (Аналитические вычис-

ления), позволяя также задавать дополнительные параметры.

Практическое занятие

Упражнение 18.1. Простые вычисления с использованием

программы Mathcad

Задача. Найти ребро куба, равновеликого шару, площадь поверхности которого

равна площади боковой поверхности прямого кругового конуса, у которого высо-

та вдвое меньше, чем длина образующей. Объем этого конуса равен 1.

Анализ. Основные геометрические формулы, используемые при расчете.

Объем конуса

—

F= ~7сг\

Площадь боковой поверхности конуса

—

nrl.

Соотношение в конусе между радиусом основания, высотой и длиной образую-

щей

—

'P'

h^^P-,

Площадь поверхности шара

—

У=

47ii?^.

4 3

Объем шара

—

V= -^яг . Объем куба —V=a^.

Запустите программу Mathcad через Главное меню (Пуск • Программы •

MathSoft

Apps

• Mathcad).

Откройте панель инструментов Calculator (Счет) щелчком на кнопке Calculator

Toolbar (Панель инструментов Счет) на панели инструментов Math (Математи-

ка) или с помощью команды View • Toolbars • Calculator (Вид •Панели инстру-

ментов • Счет).

Для удобства расчета будем обозначать каждую из вычисляемых величин

отдельной переменной. Объем конуса обозначим как У и присвоим ему значе-

ние 1. Оператор присваивания вводится символом «:» или кнопкой Definition

522

Глава

18.

Средства

автоматизации

научно-исследовательских

работ

(Определить) на панели инструментов Calculator

(Счет).

Итак, надо ввести

В документе появится полноценный оператор присваивания.

F:=l

Путем несложных преобразований получим, что радиус основания конуса

можно вычислить по формуле

V'^[3

Вводить эту формулу следует слева направо. Порядок ввода этой формулы

сл<едующий. Сначала введите знак корня произвольной степени: кнопка Nth

Root (Корень данной степени) на панели инструментов Calculator (Счет) или

комбинация клавиш

CTRL+\.

Щелкните на черном квадратике, стоящем на ме-

сте показателя степени, и введите цифру

Щелкните на квадратике, замеща-

ющем подкоренное выражение, нажмите клавиши

V*.

Введите знак квадратно-

го корня: кнопка Square Root (Квадратный корень) на панели инструментов

Calculator (Счет) или

1С71авиша

\ -- и цифру

Прежде

чем

вводить знаменатель,

дважды нажмите клавишу

ПРОБЕЛ.

Обратите внимание

на

синий уголок, кото-

рый указывает на текущее выражение. Предполагается,

что

знак операции свя-

зывает выбранное выражение

со

следующим.

данном случае

это

безразлично,

но в целом этот прием позволяет вводить сложные формулы, избегая ручного

ввода дополнительных

скобок.

Нажмите клавишу

Чтобы ввести число

я,

можно

воспользоваться комбинацией клавиш CTRL+SHIFT+P или соответствующей

кнопкой на панели инструментов Calculator (Счет).

На экране появится следующая надпись: г= \

F.N/3"

Введите формулы для вычисления длины образующей и площади боковой

поверхности конуса:

/= Г^; 5

71.г./.

Указание знака умножения между переменными обязательно, так как иначе

программа

Mathcad

сочтет,

что указана одна переменная с именем из несколь-

ких букв.

6. Для вычисления радиуса шара R введите формулу R =

Для вычисления объема шара введите формулу W=-T-Ki? .

Использовать переменную

Уъо

второй раз не следует, так как теперь мы опре-

деляем совершенно другой объем.

8. Захслючительная формула о позволит получить окончательный резуль-

тат. После этого снова наберите имя переменной а и нажмите клавишу = или

щелкните на кнопке Evaluate Expression (Вычислить выражение) на панели инст-

Практическое занятие

523

рументов Calculator

(Счет).

После формулы появится знак равенства и вычис-

ленный результат.

0.7102

Вычислять можно как действительные, так и комплексные выражения. Обозначение

мнимой единицы (1) следует вводить непосредственно после числового коэффициента,

который нельзя опускать, даже если он равен единице.

Вернитесь к самому первому выражению и отредактируйте

его.

Вместо значе-

ния

присвойте переменной значение

Сразу же перейдите к последней вве-

денной формуле

обратите

внимание,

что

результат расчета сразу

же

стал отра-

жать новые начальные данные.

Мы познакомились с методикой простейших вычислений в программе MathCad.

Опи-

санная техника позволяет использовать эту программу как «интеллектуальный каль-

кулятор» для автоматического расчета по известным формулам. Особенностью про-

граммы Mathcad является возможность практически мгновенного перерасчета с

другими начальными данными.

Упражнение 18.2. Физические вычисления с использованием

единиц измерения

30 i

Постановка

задачи.

Теплоизолированный космический

аппарат,

находящийся на

ор-

бите Земли, имеет на борту приборы с электрической мощностью, которая может

изменяться в ходе работы от

Л^^

= 75

Вт

(дежурный режим) до

Л/з

200 Вт (се-

анс связи). С целью обеспечения пред-

сказуемого теплового режима в тепло-

изоляции сделано отверстие площадью

5j,

на

которое

попадает поток солнечной

энергии W= 1400 Вт/м^. Полученная

энергия излучается аппаратом

через

это

и дополнительное отверстие в теплоизо-

ляции с площадью

в режиме «черно-

го

тела».

Каковы должны быть площади отверстий,

если

допустимый диапазон тем-

ператур для оборудования, расположенного в аппарате, составляет 20-30**С?

Анализ задачи. Минимальная температура аппаратуры соответствует режиму

минимального тепловыделения. В этом случае поступающая мощность

(2i =

WS^

N^.

Излучаемая мощность

= сТ^^ (5^ + ^з), где

Т^

—

минимальная

допустимая температура в градусах Кельвина. В условиях теплового баланса эти

мощности должны быть равны.

Режим максимального тепловыделения соответствует максимальной температуре

аппаратуры. В этом случае

WS^

Л^2

0X2^

(5^

+ 52).

Используя два полученных уравнения, получаем:

^1=

N,T,')

^2=

524 Глава 18. Средства автоматизации научно-исследовательских робот

Запустите программу

Ма^Асдй?.

Введите значения известных

величин,

присвоив их переменным

соответству-

ющими именами. Вместо нижних индексов используйте просто дополнитель-

ную цифру в названии переменной.

watt

Т^:=1400

т2

75-watt N2

200-watt

П := (20 + 273).К

Т2

:= (30 + 273)К

Обозначения физических единиц присоединяйте к соответствующим значе-

ниям через знак умножения. Если нужное обозначение неизвестно, исполь-

зуйте

команду Insert •

Unit

(Вставка • Единица

измерения).

Измеряемая величина

выбирается в списке Dimension (Размерность), а нужная единица измерения

—

в списке Unit (Единица измерения).

Присвойте переменной а значение постоянной Стефана-Больцмана

(5.67-10"'-!^).

, М • 14,

Чтобы ввести греческую букву, используйте панель инструментов Greek (Гре-

ческий алфавит) или введите соответствующую латинскую букву (в данном

случае «5») и сразу же нажмите комбинацию хславиш

CTRL+G.

Так как специ-

альной единицы для размерности этой константы не существует, ее следует

составить из стандартных единиц с помощью умножения и деления.

Введите полученные

в ходе

анализа формулы для вычисления площадей отвер-

стий, присвоив полученные значения переменным

и 52.

(AQ»n^-M-r2^) ^•(Л^-М)-а.(^2-п1м-Г2'^)

^.(72^-П^) ' aW-(7^-n4) ~~

6. Изменение значений параметров, заданных

условии

задачи,

приводит

авто-

матическому перерасчету формул.

частности, исследуйте, изменяя значение

переменной W, как изменяются требования к такому методу терморегуляции

при удалении аппарата от Солнца и приближении к нему

Вт ^ Вт

2700 —2"» "^ орбите Марса

500 —j")-

м м

Обратите

внимание,

что

результат содержит единицы измерения

соответствии

с системой единиц СИ. Используемая система единиц отображается в диало-

говом окне Insert Unit (Вставка единиц измерения).

8. Чтобы изменить используемую систему единиц, дайте команду Math • Options

(Математика • Параметры) и в открывшемся диалоговом окне Math Options

(Параметры расчета) выберите вкладку Unit System (Система

единиц).

Выберите

систему

CGS

и посмотрите, как изменились результаты (они теперь выража-

ются в квадратных сантиметрах). Если, например, выбрать американскую сис-

тему единиц

{U.S.),

то результат будет выражен в квадратных футах.

Практическое занятие

525

Мы научились производить вычисления с использованием реальных размерных физи-

ческих величин,

также производить преобразование данных из одной системы

еди-

ниц

другую.

Это позволяет немедленно получать результат

наиболее удобной форме.

Упражнение 18.3. Векторы и матрицы

Задача. Разложить вектор V=

рицы М=

1 2 2

2 6 1

2 1 1

30 мин

ПО

нормированным собственным векторам мат-

Анализ. Первый этап решения задачи состоит в нахождении собственных значе-

ний и собственных векторов данной матрицы. Затем необходимо найти вектор Т,

такой, что

5*Г=

У, где S

—

матрица, столбцы которой представляют собой собст-

венные вектора матрицы М.

Запустите программу M2tAca<i.

Создайте матрицу М. Начните запись оператора присваивания, а для ввода

правой части нажмите комбинацию клавиш CTRL+M, воспользуйтесь коман-

дой Insert • Matrix (Вставка • Матрица) или щелкните на кнопке Matrix or Vector

(Матрица или вектор) на панели инструментов Matrix (Матрица).

открывшемся диалоговом окне Insert

Matrix

(Вставка матрицы) укажите число

строк и столбцов (по три) и щелкните на кнопке ОК.

Введите значения элементов матрицы в отведенные места.

Аналогичным образом сформируйте вектор

Он будет представлять собой

матрицу, имеющую только один столбец.

6. Собственные значения квадратной матрицы можно получить

при

помощи функ-

ции

eigenvals.

Результатом ее работы является вектор собственных значений,

присвойте его переменной £.

Функция

eigenvec

позволяет получить собственный вектор, соответствующий

данному собственному

значению.

Ей нужны два

параметра:

матрица, для кото-

рой ищется собственный

вектор,

собственное

значение,

крторому

он

соответ-

ствует. Чтобы записать собственные вектора в качестве столбцов матрицы S,

надо присвоить вычисленное значение столбцу матрицы. Столбцы матрицы в

программе Mathcad выбираются специальным верхним

индексом,

заключенным

в угловые скобки. Чтобы ввести номер столбца, нажмите комбинацию клавиш

CTRL+6 или щелкните на кнопке Matrix Colunnn (Столбец) на панели инстру-

ментов Matrix (Матрица), после чего введите номер нужного столбца матрицы.

Будьте внимательны

—

столбцы

строки матрицы нумеруются начиная

нуля.

526

Глава 18. Средства автоматизации научно-исследовательских рабрт

8. В правой части оператора присваивания надо указать собственное значение

матрицы. Собственные значения являются элементами вектора

Номер эле-

мента указывается как нижний индекс. Для ввода нижнего индекса нажмите

клавишу [ или воспользуйтесь кнопкой Subscript (Индекс) на панели инстру-

ментов

Matrix

(Матрица).

Итоговый оператор для первого собственного вектора

будет выглядеть следующим образом:

5^^""

eigenvec(M,io)

Аналогично задайте операторы для второго и третьего собственных значений.

9. Для нахождения коэффициентов

при

собственных векторах

разложении необ-

ходимо решить систему линейных

уравнений.

Ее

удобно записать

матричной

форме. Создайте вектор Г с тремя элементами. Величины этих элементов зна-

чения не имеют.

10.

Запишите ключевое слово gfc^^z.

11.

Ниже запишите матричное уравнение 5Т=

Знак логического равенства вве-

дите с помощью комбинации клавиш CTRL+=.

12.

Найдите коэффициенты в разложении при помощи функции/zW.

find(r) =

0,836

0,334

0,148

Мы научились производить операции с векторами и матрицами, использовать соот-

ветствующие функции, выделять столбцы матриц и отдельные элементы. Матричная

запись часто позволяет представить задачу в более удобной форме.

45 мин

Задача 1. На приведенной схеме сопротивление

i?i?

является переменным. Опре-

делить, как меняется ток между точками Л и В в зависимости от величины этого

сопротивления.

Упражнение 18.4. Аналитические вычисления

1л

Рис.

18.4.

Исследуемая электрическая схема

Практическое

занятие

527

Анализ. Перенумеровав сопротивления

указанном порядке и воспользовавшись

законами Кирхгофа, получим систему уравнений, позволяющую найти величины

токов.

RR-I^ + R-I2-R-IQ=0

R-l2+R-I^-R-l3=0

R-IQ+R-I^=E

Эту систему надо решить, не подставляя конкретных значений вместо параметров

Л, RRHE.

Запустите программу

Mathcad,

Введите ключевое слово given.

Введите уравнения системы, полученной

ходе

анализа.

Обозначьте неизвест-

ные токи переменными

/О,

Л, /2,

Jf3, /4.

Фиксированное сопротивление R обо-

значьте переменной

КО.

Обратите внимание, что присваивать начальные зна-

чения токов или задавать значения переменных

/?0,

RR и f

не

требуется.

Введите функцию/zW, перечислив в качестве параметров неизвестные

/О,

Л,

/2, /3, /4.

Затем введите оператор аналитического вычисления, который выгля-

дит как стрелка, направленная

вправо,

вводится комбинацией клавиш

CTRL+.

или кнопкой Evaluate Symbolically (Вычислить аналитически) на панели инстру-

ментов Evaluation (Вычисление).

Щелкните за пределами данного блока, и программа Mathcad произведет ана-

литическое решение системы уравнений.

(З-ДЛ+ДО)

find(/0,/l,/2,A/4)->

(ло-(5-/г/г+з-/го))

(5i2i?+3-J?0))

tRR+RQ)

(R0(5RR-^3R0))

(д/г+з-ло)

(R0'{5'RR-^3'R0))

2УЕ-

(/гД+jRO)

(R0'(5'RR+3'R0))

Полученный результат позволяет провести полный анализ схемы.

528 Глава 18. Средства автоматизации научно-исследовательских работ

Задача 2. Найти все корни уравнения:

Анализ. Это уравнение четвертого порядка. Легко подобрать один корень (г/

1).

Остающееся уравнение третьего порядка не имеет рациональных корней, так что

поиск других корней этого уравнения

—

дело

непростое.

Неясно

даже,

сколько еще

действительных корней имеет данное

уравнение.

Результаты численного решения

зависят

от

подбора начального приближения

поэтому

не

гарантируют отыскания

всех корней уравнения. Мы же решим это уравнение аналитически.

6. Введите заданное уравнение. Чтобы раскрыть скобки, дайте команду

Symbolics • Simplify (Аналитические вычисления • Упростить).

Выделите в полз^енном уравнении независимую переменную (в данном слу-

чае

г/) и

дайте команду Symbolics • Variable • Solve (Аналитические вычисления •

Переменная • Решить).

Программа Mathcad выдаст

вектор,

элементами которого являются корни дан-

ного уравнения.

8. Полученный результат содержит сложные комплексные выражения, и его

невозможно применить

пользой

(все еще

непонятно,

являются ли корни дейст-

вительными или комплексными). Чтобы разделить действительную

мнимую

части, выделите результат вычисления целиком и дайте команду Symbolics •

Evaluate • Complex (Аналитические вычисления • Вычислить •

комплексном

виде).

Если программа Mathcad

не

справится с преобразованием всего набора

корней целиком, выполните преобразование корней

поочередно:

дайте коман-

ду Symbolics • Evaluate • Complex (Аналитические вычисления • Вычислить •

комплексном виде), поочередно выделив каждый из корней, записанных в

комплексном виде.

9. Теперь полученное выражение надо упростить. Выделив его целиком, дайте

команду Symbolics • Simplify (Аналитические вычисления • Упростить). Выраже-

ние станет существенно проще, причем станет понятно, что все корни уравне-

ния действительные (все мнимые компоненты сократятся).

10.

Последний шаг

—

раскрытие скобою, в данном случае упрощение аргументов

тригонометрических

функций.

Для

этого

примените команду Symbolics • Expand

(Аналитические вычисления •

Раскрыть).

Полученная запись

—

наилучшее пред-

ставление точного решения, которое можно получить с помощью программы

Mathcad.

11.

Чтобы получить результат

числовом

виде,

достаточно ввести в конце выраже-

ния (итогового или на любой из предыдущих стадий) команду вычисления (=).

Д Мы научились использовать программу Mathcad для выполнения аналитических вычис-

лений.

Это позволяет получать точные решения задач, содержащих переменные пара-

метры,

анализировать полученные результаты,

также получать полный набор решений

для некоторых типов уравнений.

Практическое занятие

529

3 '

2-cos(|--atan(3-32)j +-|-. 7 2-8т||--а1ап(3-32)Уз2 +-|

--I

•

^ •

cos

(-5-atan(3-3^)

+-5-

•

2 •

cos

f |-

• atan(3

-З^)

j _ 1.

7 2. ^ш

• atan(3

-З^)J

-З^ +

Упражнение 18.5. Анализ результатов испытаний

1,802

-1,247

0,445

30 i

Задача. К пружине последовательно подвешивали грузы массой 1, 2,

3,...,

20 кг.

В результате был получен список величин удлинения пружины (в миллиметрах).

Определить основные статистические параметры полученного набора измерений.

Рассчитатьжесткость пружины

массу

узла,

использованного для крепления гру-

зов к пружине, воспользовавшись методом наименьших квадратов.

Таблица измерений:

Вес, кг

17ЭСТЯЖ16НИ6,

3.5

6,9

9.2

12.2

13,5

173

22.1

24.2

27.8

29,6

31,8

37.6

39,6

42,8

45,5

46,6

52,1

52,5

56,7

62,4

Анализ. Для решения этой задачи достаточно использовать стандартные средства

статистических вычислений, имеющиеся в программе

Mathcad.

Теоретически,

растяжение пружины определяется формулой^ •х=(т + m^-g. Если определить

статистическими методами коэффициенты а

уравнении д:=а

•

т + 6,

то получим:

g b

Запустите программу МаЙшй?.

Введите таблицу данных, предназначенных для статистического анализа, как

матрицу с двумя столбцами, первый из которых содержит веса грузов, а вто-

рой

—

значения растяжения пружины.

Определите число точек в наборах данных с помощью функции

rows,

w:=rows(data) « = 20

Вычислите среднее растяжение пружины

ходе

эксперимента

помощью

функ-

ции meflw.

y:=data<^^ теап(У) = 31.695