Шпора по физике: электричество и магнетизм

Подождите немного. Документ загружается.









С этой целью вычислим

алгебраическую сумму молекулярных

токов, охватываемых некоторым

контуром Г

Sdj

мол





, где S —

поверхность, натянутая на контур. В

алгебраическую сумму молекулярных

токов входят только те молекулярные

токи, которые оказываются

«нанизанными» на контур. Токи, не

«нанизанные» на контур, либо не

пересекают натянутую на контур

поверхность совсем, либо пересекают

эту поверхность дважды — один раз в

одном направлении, второй раз в

другом. В результате их вклад в

алгебраическую сумму токов,

охватываемых контуром, оказывается

равным нулю.

Из рис. видно, что элемент контура dl,

образующий с направлением

намагниченности J угол α, нанизывает

на себя те молекулярные токи, центры

которых попадают внутрь косого

цилиндра с объемом S

мол

cos α dl(S

мол

— площадь, охватываемая отдельным

молекулярным током). Если n —

число молекул в единице объема, то

суммарный ток, охватываемый

элементом dl, равен

мол

cos α dl.

Произведение I

мол

равно

магнитному моменту р

отдельного

молекулярного тока. Следовательно,

выражение I

мол

представляет

собой магнитный момент единицы

объема, т. е. дает модуль вектора j, a

мол

cos α проекцию вектора j на

направление элемента dl.

Таким образом, суммарный

молекулярный ток, охватываемый

элементом dl, равен j dl, а сумма

молекулярных токов, охватываемых

всем контуром равна





 ldJSdj

мол



. Преобразовав

правую часть по теореме Стокса,

получим

 

SdJSdj

мол







Это равенство, к которому мы

пришли, должно выполняться при

произвольном выборе поверхности S.

Это возможно лишь в том случае, если

подынтегральные выражения равны в

каждой точке магнетика:

 

мол





. (

 





- ротор).

Таким образом, плотность

молекулярных токов определяется

значением ротора намагниченности. В

случае, когда [yJ]=0, молекулярные

токи отдельных молекул

ориентированы так, что их сумма в

среднем равна нулю.

Выражение

 

JjB







Преобразовав это выражение получим







 )(,



. След.







.Н -есть искомая нами

вспомогательная величина, ротор

которой определяется одними лишь

макроскопическими токами. Эта

величина называется напряженностью

магнитного поля

 





Если макроскопические токи текут по

проводам, охватываемым контуром, то

- теорема о циркуляции вектора Н:

циркуляция вектора напряженности

магнитного поля по некоторому

контуру равна алгебраической сумме

макроскопических токов,

охватываемых этим контуром.

Напряженность магнитного поля Н

является аналогом электрического

смещения D. Первоначально

предполагалось, что в природе

имеются подобные электрическим

зарядам магнитные массы, и учение о

магнетизме развивалось по аналогии с

учением об электричестве. В те

времена и были введены названия:

«магнитная индукция» для В и

«напряженность поля» для Н.

Впоследствии выяснилось, что

магнитных масс в природе не

существует и что величина, названная

магнитной индукцией, в

действительности является аналогом

не электрического смещения D, а

напряженности электрического поля Е

(соответственно Н — аналогом не Е, a

D).

Однако изменять уже установившуюся

терминологию не стали, тем более, что

вследствие различной природы

электрического и магнитного полей

(электростатическое поле

потенциально, магнитное —

соленоидально *)) величины В и D

обнаруживают много сходства в своем

поведении (например, линии В, как и

линии D, не претерпевают разрыва на

границе двух сред). В вакууме J=0,

поэтому Н превращается в В .

Напряженность магнитного поля имеет

размерность, равную размерности

силы тока, деленной на размерность

длины. В связи с этим единица

напряженности магнитного

поля в СИ носит название ампер на

метр (А/м).

Из этого определения следует, что в

вакууме Н совпадает с В. В

соответствии с этим единица Н в

гауссовой системе, называемая

эрстедом (Э), имеет ту же величину и

размерность, что и единица магнитной

индукции — гаусс (Гс). По существу

эрстед и гаусс суть разные названия

одной и той же единицы. Если этой

единицей измеряют Н, ее называют

эрстедом, если измеряют В, то —

гауссом.

Намагниченность принято связывать

не с магнитной индукцией, а с

напряженностью поля. Полагают, что

в каждой точке магнетика







где χ— характерная для данного

магнетика величина, называемая

магнитной восприимчивостью. Опыт

показывает, что для слабомагнитных

(неферромагнитных) веществ при не

слишком сильных полях χ не зависит

от Н. Размерность Н совпадает с

размерностью J. Следовательно, χ —

безразмерная величина.

)1(

000













. Безразмерная величина



1

называется относительной магнитной

проницаемостью или просто

магнитной проницаемостью вещества.

В отличие от диэлектрической

восприимчивости κ которая может

иметь лишь положительные значения

(поляризованность Р в изотропном

диэлектрике всегда направлена по

полю Е), магнитная восприимчивость

χ бывает как положительной, так и

отрицательной. Поэтому магнитная

проницаемость и. может быть как

больше, так и меньше единицы.

Таким образом, напряженность

магнитного поля Н есть вектор,

имеющий то же направление, что и

вектор В, но в



раз меньший по

модулю (в анизотропных средах

векторы Н и В, вообще говоря, не

совпадают по направлению).

21. Пар-, ферро- диамагнетики.

Постоянные магниты.

Формула







определяет

магнитную восприимчивость единицы

объема вещества. Часто вместо этой

восприимчивости пользуются

отнесенной к одному молю вещества

молярной (для химически простых

веществ — атомной)

восприимчивостью χ

(χ

ат

). Очевидно,

что χ

= χ V

, где V

— объем моля

вещества. В то время как χ —

безразмерная величина, χ

измеряется

в м

/моль.

В зависимости от знака и величины

магнитной восприимчивости все

магнетики подразделяются на три

группы:

1) диамагнетики, у которых |χ

отрицательна и мала по абсолютной

величине (|χ

| ~10

-11

- ~10

-10

/моль);

2) парамагнетики, у которых

тоже невелика, но положительна (χ

~10

-10 –

-9

/моль);

3) ферромагнетики, у которых χ

положительна и достигает очень

больших значений (χ

~1 м

/моль).

Кроме того, в отличие от диа и

парамагнетиков, для которых χ не

зависит от Н, восприимчивость

ферромагнетиков является

функцией напряженности

магнитного поля.

Таким образом, в изотропных

веществах намагниченность J может

как совпадать по направлению с Н (у

пара- и ферромагнетиков), так и быть

направленной в противоположную

сторону (у диамагнетиков).

Постоянный магнитs— изделие

различной формы из магнитотвёрдого

материала с высокой остаточной

магнитной индукцией, сохраняющее

состояние намагниченности в течение

длительного времени. Постоянные

магниты применяются в качестве

автономных (не потребляющих

энергии) источников магнитного поля.

Семейство петель магнитного

гистерезиса электротехнической стали.

s— остаточная индукция, H

s—

коэрцитивная сила, внешняя петля

соответствует состоянию насыщения.

Свойства магнита определяются

характеристиками размагничивающего

участка петли магнитного гистерезиса

материала магнита: чем выше

остаточная индукция B

коэрцитивная сила H

, тем выше

намагниченность и стабильность

магнита. Магнитный Гистерезис

наблюдается в магнитных материалах,

например в ферромагнетиках.

Основной особенностью

ферромагнетиков является наличие

спонтанной (самопроизвольной)

намагниченности.

Обычно ферромагнетик намагничен не

однородно, а разбит на домены —

области однородной спонтанной

намагниченности, у которых величина

намагниченности (магнитного

момента единицы объема) одинакова,

а направления различны

. Под действием внешнего магнитного

поля число и размеры доменов,

намагниченных по полю,

увеличиваются за счёт др. доменов.

Кроме того, магнитные моменты

отдельных доменов могут

поворачиваться по полю. В результате

магнитный момент образца

увеличивается.

На рис. 1 изображена зависимость

магнитного момента М

ферромагнитного образца от

напряжённости Н внешнего

магнитного поля (кривая

намагничивания). В достаточно

сильном магнитном поле образец

намагничивается до насыщения (при

дальнейшем увеличении поля

значение М практически не

изменяется, точка А). При этом

образец состоит из одного домена с

магнитным моментом насыщения M

направленным по полю. При

уменьшении напряжённости внешнего

магнитного поля Н магнитный момент

образца М будет уменьшаться по

кривой I преимущественно за счёт

возникновения и роста доменов с

магнитным моментом, направленным

против поля. Рост доменов обусловлен

движением доменных стенок.

sЭто движение затруднено из-за

наличия в образце различных дефектов

(примесей, неоднородностей иsт.п.),

которые закрепляют доменные стенки

в некоторых положениях; требуются

достаточно сильные магнитные поля

для того, чтобы их сдвинуть. Поэтому

при уменьшении поля Н до нуля у

образца сохраняется т. н. остаточный

магнитный момент M

(точка В).Рис. 1.

Петля магнитного гистерезиса для

ферромагнетика: Н — напряжённость

магнитного поля; М — магнитный

момент образца; Н

— коэрцитивное

поле; M

— остаточный магнитный

момент; M

— магнитный момент

насыщения. Пунктиром показана

непредельная петля гистерезиса.

Схематически приведена доменная

структура образца для некоторых

точек петли.

s Образец полностью

размагничивается лишь в достаточно

сильном поле противоположного

направления, называемом

коэрцитивным полем (коэрцитивной

силой) Н

(точка С). При дальнейшем

увеличении магнитного поля

обратного направления образец вновь

намагничивается вдоль поля до

насыщения (точка D).

Перемагничивание образца (из точки

D в точку А) происходит по кривой II.

Т. о., при циклическом изменении

поля кривая, характеризующая

изменение магнитного момента

образца, образует петлю магнитного

Гистерезис Если поле Н циклически

изменять в таких пределах, что

намагниченность насыщения не

достигается, то получается

непредельная петля магнитного

Гистерезис (кривая III).

Уменьшая амплитуду изменения поля

Н до нуля, можно образец полностью

размагнитить (прийти в точку О).

Намагничивание образца из точки О

происходит по кривой IV. Индукция

постоянного магнита B

не может

превышать B

: равенство B

= B

возможно лишь в том случае, если

магнит представляет собой замкнутый

магнитопровод, то есть не имеет

воздушного промежутка, однако

постоянные магниты, как правило,

используются для создания

магнитного поля в воздушном (или

заполненном другой средой) зазоре, в

этом случае B

< B

, величина

разности зависит от формы магнита и

свойств среды.

Для производства постоянных

магнитов обычно используются

следующие материалы:

Бариевые и стронциевые

магнитотвердые ферриты

Имеют состав Ba/SrO·6 Fe

характеризуются высокой

устойчивостью к размагничиванию в

сочетании с хорошей коррозионной

стойкостью. Несмотря на низкие по

сравнению с другими классами

магнитные параметры и высокую

хрупкость, благодаря низкой

стоимости магнитотвердые ферриты

наиболее широко применяются в

промышленности.

Магниты NdFeB (неодим-железо-бор)

Редкоземельные магниты,

изготавливаемые прессованием или

литьем из интерметаллида Nd

Преимуществами этого класса

магнитов являются высокие

магнитные свойства (B

, H

и (BH)

max

а также невысокая стоимость. В связи

со слабой коррозионной

устойчивостью обычно покрываются

медью, никелем или цинком.

Редкоземельные магниты SmCo

(Самарий-Кобальт)

Изготавливаются методом

порошковой металлургии из

композиционного сплава

SmCo

/Sm

и характеризуются

высокими магнитными свойствами,

отличной коррозионной

устойчивостью и хорошей

стабильностью параметров при

температурах до 350s°C,что

обеспечивает им преимущества на

высоких температурах перед

магнитами NdFeB

Магниты ALNICO (российское

название ЮНДК)Изготавливаются

основе сплава Al-Ni-Co-Fe. К их

преимуществам можно отнести

высокую температурную стабильность

в интервале температур до 550s°C,

высокую временну́ю стабильность

параметров в сочетании с большой

величиной коэрцитивной силы,

хорошую коррозионную устойчивость

Полимерные постоянные магниты

(магнитопласты)

Изготавливаются из смеси магнитного

порошка и связующей полимерной

компоненты (например резины).

Достоинством магнитопластов

является возможность получения

сложных форм изделий с высокой

точностью размеров, а также высокая

коррозионная устойчивость в

сочетании с большой величиной

удельного сопротивления и малым

весом.

Наиболее широко распространены

ферритовые магниты. Для применений

при обычных температурах самые

сильные постоянные магниты

делаются из сплавов, содержащих

неодим.

Они используются в таких областях,

как магнитно-резонансная

томография, сервоприводы жёстких

дисков и создание

высококачественных динамиков

. 22. Явление электромагнитной

индукции. Правило Ленца. Закон

Фарадея.

В 1831 г. Фарадей обнаружил, что в

замкнутом проводящем контуре при

изменении потока магнитной

индукции через поверхность,

ограниченную этим контуром,

возникает электрический ток. Это

явление называют электромагнитной

индукцией, а возникающий ток

индукционным. Явление

электромагнитной индукции

свидетельствует о том, что при

изменениях магнитного потока в

контуре возникает электродвижущая

Ленц установил правило,

позволяющее найти направление

индукционного тока. Правило Ленца

гласит, что индукционный ток всегда

направлен так, чтобы

противодействовать причине, его

вызывающей. Если, например,

изменение Ф вызвано перемещением

контура 2, то возникает

индукционный ток такого

направления, что сила взаимодействия

с первым контуром противится

движению контура. При приближении

контура 2 к контуру 1

(см. рис. 60.1 Сав 181) возникает ток

, магнитный момент которого

Пусть оба контура неподвижны и ток в

контуре 2 индуцируется путем

изменения тока I

в контуре 1. В этом

случае возникает ток I

такого

направления, что создаваемый им

собственный магнитный поток

стремится ослабить изменения

внешнего потока, приведшие к

появлению индукционного тока. При

увеличении I

, т. е. возрастании

внешнего магнитного потока,

направленного вправо, возникает ток

, создающий поток, направленный

влево. При уменьшении I

возникает

ток I

, собственный магнитный поток

которого направлен так же, как и

сила индукции - ε

. Величина ε

не

зависит от способа, которым

осуществляется изменение магнитного

потока Ф, и определяется лишь

скоростью изменения Ф, т. е.

значением dФ/dt. При изменении

знака dФ/dt. направление ε

также

меняется.

направлен противоположно полю

тока. Следовательно, на контур 2

будет действовать сила,

отталкивающая его от контура При

удалении контура 2 от контура 1

возникает ток I

так что сила,

действующая на контур 2, направлена

к контуру 1.

внешний поток, и, следовательно,

стремится поддержать внешний поток

неизменным.

Возьмем контур с подвижной

перемычкой длины l (рис. 61.1, а, Сав

183).

Поместим его в однородное магнитное

поле, перпендикулярное к плоскости

контура и направленное за чертеж.

Приведем перемычку в движение со

скоростью v. С той же скоростью

станут перемещаться относительно

поля и носители тока в перемычке —

электроны. В результате на каждый

электрон начнет действовать

направленная вдоль перемычки

магнитная сила.

 

BveF





Действие этой силы эквивалентно

действию на электрон электрического

поля напряженности E=[vB]. Это поле

не электростатического

происхождения.

Его циркуляция по контуру дает

величину э. д. с, индуцируемой в

контуре:

   

ldBvldBvldE



 





(подынтегральная функция отлична от

нуля лишь на образуемом перемычкой

участке 1—2). Чтобы по знаку ε

можно было судить о направлении, в

котором действует э. д. с, будем

считать ε

положительной в том

случае, когда ее направление образует

с направлением нормали к контуру

правовинтовую систему.

Выберем нормаль так, как показано на

рис. 61.1.

Тогда при вычислении циркуляции

нужно обходить контур по часовой

стрелке и соответственно выбирать

направление векторов dl.

   

lBvldBv









, где 1 —

вектор, показанный на рис. 61.1, б.

Осуществим в полученном выражении

циклическую перестановку

сомножителей, после чего умножим и

разделим его на dt

 

ldvlB

vlB







Т. к.

 

dSnldvl



,

, где dS —

приращение площади контура за время

dt. По определению потока выражение

В dS=Bn dS представляет собой поток

через площадку dS, т. е. приращение

потока через контур. Таким образом,

 

 ddSnBldvlB









Закон Фарадея можно

сформулировать таким образом: э.д.с.

электромагнитной индукции в

контуре численно равна и

противоположна по знаку скорости

изменения магнитного потока сквозь

поверхность, ограниченную этим

контуром.

Этот закон является универсальным:

э.д.с. не зависит от способа

изменения магнитного потока. Э.д.с.

электромагнитной индукции

выражается в вольтах. Действительно,

учитывая, что единицей магнитного

потока является вебер (Вб), получим

Мы получили, что эдс индукции и

фоток имеют противоположные знаки.

Единицей потока магнитной индукции

в СИ служит в е б е р (Вб), который

представляет собой поток через

поверхность в 1 м

, пересекаемую

нормальными к ней линиями

магнитного поля с В, равной 1 Тл. При

скорости изменения потока, равной 1

Вб/с, в кон-туре индуцируется э. д. с,

равная 1 В. В гауссовой системе

формула имеет вид







23. Явление самоиндкуции.

Индуктивность проводников.

Индуктивность соленоида - пустого и

заполненного веществом.

Электрический ток, текущий в любом

контуре, создает пронизывающий этот

контур магнитный поток



. При

изменениях I изменяется также и



вследствие чего в контуре

индуцируется э. д. с. Это явление

называется самоиндукцией.

В соответствии с законом Био —

Савара магнитная индукция В

пропорциональна силе тока,

вызвавшего поле. Отсюда вытекает,

что ток I и создаваемый им магнитный

поток



через контур

пропорциональны друг другу

LI

Коэффициент пропорциональности L

между силой тока и полным

магнитным потоком называется

индуктивностью контура.

Линейная зависимость



от I

наблюдается только в том случае, если

магнитная проницаемость µ среды,

которой окружен контур, не зависит от

напряженности поля Н, т. е. в

За единицу индуктивности в СИ

принимается индуктивность такого

проводника, у которого при силе тока

в нем в 1 А возникает сцепленный с

ним полный поток



, равный 1 Вб.

Эту единицу называют генри (Гн).

В гауссовой системе индуктивность

имеет размерность длины. В

соответствии с этим единицу

Поток через каждый из витков равен

Ф=BS, а

полный магнитный поток, сцепленный

с соленоидом,

lSInnlBSN





где l — длина соленоида (которая

предполагается очень большой), S —

площадь поперечного сечения, n —

число витков на единицу длины

отсутствие ферромагнетиков. При

неизменной силе тока I полный поток

W может изменяться за счет

изменений формы и размеров контура.

Cлед. индуктивность L зависит от

геометрии контура (т. е. его формы и

размеров), а также от магнитных

свойств (µ) окружающей контур

среды. Если контур жесткий и

поблизости от него нет

ферромагнетиков, индуктивность L

является постоянной величиной.

индуктивности в этой системе

называют сантиметром.

Вычислим индуктивность соленоида.

Возьмем соленоид такой длины, чтобы

его можно было практически считать

бесконечным.

При протекании по нему тока I внутри

соленоида возбуждается однородное

поле, индукция которого равна

InB







(в вакууме).

(произведение nl дает полное число

витков N). Сопоставление формул

LI

lSInnlBSN





дает для

индуктивности очень длинного

соленоида выражение

VnlSnL





в вакууме, где

V=lS — объем соленоида.

Есди соленоид заполнен веществом с

магнитной проницаемостью µ, то при

заданном токе I магнитная индукция

возрастает в µ раз, и след.

индуктивность длинного соленоида,

заполненного веществом

VnLL







При изменениях силы тока в контуре

возникает э. д. с. Самоиндукции ε

равна





















LId

)(



Если при изменениях силы тока

индуктивность остается постоянной

(что возможно лишь при отсутствии

ферромагнетиков), выражение для э. д.

с. самоиндукции имеет вид





. Знак минус в этой

формуле обусловлен правилом Ленца,

согласно которому индукционный ток

бывает направлен так, чтобы

противодействовать причине, его

вызывающей.

24. Энергия магнитного поля в

соленоиде. Плотность энергии

магнитного поля.

Рассмотрим цепь, изображенную на

рис. 67.1 (Сав. 195). При замкнутом

ключе в соленоиде установится ток I,

который обусловит магнитное поле,

сцепленное с витками соленоида. Если

разомкнуть ключ, то через

сопротивление R будет некоторое

время течь постепенно убывающий

ток, поддерживаемый возникающей в

соленоиде э. д. с. самоиндукции.

Работа, совершаемая этим током за

время dt, равна





 IdIdt

IdtdA



Если индуктивность соленоида не

зависит от I (L=const), то

d

=L dI и

выражение

LIdIdA 

Проинтегрировав это выражение по l в

пределах от первоначального значения

I до нуля, получим работу,

совершаемую в цепи за все время, в

течение- которого происходит

исчезновение магнитного поля,

LIdIA





. Работа идет на

приращение внутренней энергии

сопротивления R, соленоида и

соединительных проводов (т. е. на их

нагревание). Совершение этой работы

сопровождается исчезновением

магнитного поля, которое

первоначально существовало в

окружающем соленоид пространстве.

Поскольку никаких других изменений

в окружающих электрическую цепь

телах не происходит, ос-

тается заключить, что магнитное поле

является носителем энергии, за счет

которой и совершается работа.

Таким образом, мы приходим к

выводу, что проводник с

индуктивностью L, по которому течет

ток силы I, обладает энергией

W 

которая локализована в возбуждаемом

током магнитном поле.

Выразим энергию магнитного поля

через величины, характеризующие

само поле. В случае очень длинного

(практически бесконечного)

соленоида

nIHVnL  ;



Подставив эти значения L и I в

выражение и произведя

преобразования, получим





Магнитное поле бесконечно длинного

соленоида однородно и отлично от

нуля только внутри соленоида.

Следовательно, энергия локализована

внутри соленоида и распределена по

его объему с постоянной плотностью

w, которую можно найти, разделив W

на V. Произведя это деление, получим





Плотность энергии магнитного поля

можно записать в виде



222

BHB

w 

Зная плотность энергии поля в каждой

точке, можно найти энергию поля,

заключенную в любом объеме V. Для

этого нужно вычислить интеграл





wdVW

25 Квазистационарный переменный

электрический ток. Условие

квазистационарности. Закон Ома для

цепей квазистационарных токов.

Активное и реактивное (емкостное,

индуцированное) сопротивления, их

зависимость от частоты тока.

В цепях постоянного тока

распределение электрических зарядов

на проводниках и токов на участках

цепи стационарно, то есть неизменно

во времени. Если на каком-то участке

цепи происходят изменения силы тока

или напряжения, то другие участки

цепи могут «почувствовать» эти

изменения только через некоторое

время, которое по порядку величины

равно времени τ распространения

электромагнитного возмущения от

одной точки цепи к другой.

Так как электромагнитные

возмущения распространяются с

конечной скоростью, равной скорости

светаsc , то





где l – расстояние

между наиболее удаленными точками

цепи. Если это время τ много меньше

длительности процессов,

происходящих в цепи, то можно

считать, что в каждый момент

времени сила тока одинакова во всех

последовательно соединенных

участках цепи. Процессы такого рода

в электрических цепях называются

квазистационарными.

Квазистационарные процессы можно

исследовать с помощью законов

постоянного тока, если применять эти

законы к мгновенным значениям сил

токов и напряжений на участках цепи.

Из-за огромного значения скорости

света время установления

электрического равновесия в цепи

оказывается весьма малым. Поэтому к

квазистационарным можно отнести

многие достаточно быстрые в

обычном смысле процессы. Например,

быстрые колебания в

радиотехнических цепях с частотами

порядка миллиона колебаний в

секунду и даже выше очень часто еще

можно рассматривать как

квазистационарные

Простыми примерами

квазистационарных процессов могут

служить процессы, происходящие в

RC- и RL-цепях при подключении и

отключении источника постоянного

тока.

При рассмотрении электрических

колебаний приходится иметь дело с

токами, изменяющимися со временем.

Токи, удовлетворяющие такому

условию, называются

квазистационарными. Для

периодически изменяющихся токов

условие квазистационарности имеет

вид





, где Т — период

изменений.

Квазистационарный ток -

относительно медленно

изменяющийся переменный ток, для

мгновенных значений которого с

достаточной точностью выполняются

законы постоянных токов (прямая

пропорциональность между током и

напряжением.

Подобно постоянным токам, К. т.

имеет одинаковую силу тока во всех

сечениях неразветвлённой цепи

. Однако при расчёте К. т. (в отличие

от расчёта цепей постоянного тока)

необходимо учитывать возникающую

при изменениях тока эдс индукции.

Индуктивности, ёмкости,

сопротивления ветвей цепи К. т. могут

считаться сосредоточенными

параметрами.

Соотношения, связывающие

амплитуды переменных токов и

напряжений на резисторе,

конденсаторе и катушке

индуктивности:

(*)

Соотношения (*) выражают закон Ома

для участка цепи переменного тока,

содержащего один из элементов R, L и

Физические величины R,



и ωL

называются активным

сопротивлением резистора, емкостным

сопротивлением конденсатора и

индуктивным сопротивлением

катушки.

26. Электрический колебательный

контур. Частота собственных

колебаний тока в контуре.

Добротность колебательного контура.

В электрических цепях, так же как и в

механических системах, таких как груз

на пружине или маятник, могут

возникать свободные колебания.

Простейшей электрической системой,

способной совершать свободные

колебания, является последовательный

RLC-контур (рис.s5.2.1).

Рисунок 5.2.1.

Последовательный RLC-контур.

Когда ключ K находится в положении

1, конденсатор заряжается до

напряжения . После переключения

ключа в положение 2 начинается

процесс разрядки конденсатора через

резистор R и катушку индуктивности

L. При определенных условиях этот

процесс может

иметь колебательный характер.

Закон Ома для замкнутой RLC-цепи,

не содержащей внешнего источника

тока, записывается в виде

где

U 

– напряжение на

конденсаторе, q – заряд конденсатора,

J 

– ток в цепи

В правой части этого соотношения

стоит ЭДС самоиндукции катушки.

Уравнение, описывающее свободные

колебания в RLC-контуре, может быть

приведено к следующему виду, если в

качестве переменной величины

выбрать заряд конденсатора q(t):

Рассмотрим сначала случай, когда в

контуре нет потерь электромагнитной

энергии (Rs=s0). Тогда

(*)

Здесь принято обозначение:





Уравнение (*) описывает

свободные колебания в LC-контуре в

отсутствие затухания. Оно в точности

совпадает по виду с уравнением

свободных колебаний груза на

пружине в отсутствие сил трения.

В отсутствие затухания свободные

колебания в электрическом контуре

являются гармоническими, то есть

происходят по закону

q(t) = q

cos(ωt + φ

Параметры L и C колебательного

контура определяют только

собственную частоту свободных

колебаний

Амплитуда q

и начальная фаза φ

определяются начальными условиями,

то есть тем способом, с помощью

которого система была выведена из

состояния равновесия. В частности,

для процесса колебаний, который

начнется в контуре (рис.s5.2.1) после

переброса ключа K в положение 2,

s=sCε,sφ

s=s0.

При свободных колебаниях

происходит периодическое

превращение электрической энергии

, запасенной в конденсаторе, в

магнитную энергию W

катушки и

наоборот. Если в колебательном

контуре нет потерь энергии, то полная

электромагнитная энергия системы

остается неизменной:

Все реальные контура содержат

электрическое сопротивление R.

Процесс свободных колебаний в таком

контуре уже не подчиняется

гармоническому закону. За каждый

период колебаний часть

электромагнитной энергии,

запасенной в контуре, превращается в

джоулево тепло, и колебания

становятся затухающими (рис.s5.2.3).

Рисунок 5.2.3.

Затухающие колебания в контуре.

Затухающие колебания в

электрическом контуре аналогичны

затухающим колебаниям груза на

пружине при наличии вязкого трения,

когда сила трения изменяется прямо

пропорционально скорости тела:

тр

s=s–sβυ. Коэффициент β в этой

формуле аналогичен сопротивлению R

в электрическом контуре. Уравнение

свободных колебаний в контуре при

наличии затухания имеет вид

(**)

Физическая величина δs=sRs/s2L

называется коэффициентом затухания.

Решением этого дифференциального

уравнения является функция

которая содержит множитель exps(–δt),

описывающий затухание колебаний.

Скорость затухания зависит от

электрического сопротивления R

контура. Интервал времени







течение которого амплитуда

колебаний уменьшается в es≈s2,7sраза,

называется временем затухания.

Добротности Q колебательной

системы:

где N – число полных колебаний,

совершаемых системой за время

затухания τ. Добротности Q любой

колебательной системы, способной

совершать свободные колебания,

может быть дано энергетическое

определение:

Для RLC-контура добротность Q

выражается формулой

Добротность электрических контуров,

применяемых в радиотехнике, обычно

порядка нескольких десятков и даже

сотен.

Следует отметить, что собственная

частота ω свободных колебаний в

контуре с не очень высокой

добротностью несколько меньше

собственной частоты ω

идеального

контура с теми же значениями L и C.

Но при Qs≥s(5s–s10) этим различием

можно пренебречь

27. Вынужденные колебания тока в

LCR контуре, уравнение их

описывающее. Явление

электрического резонанса.

Процессы, возникающие в

электрических цепях под действием

внешнего периодического источника

тока, называются вынужденными

колебаниями.

Вынужденные колебания, в отличие

от собственных колебаний в

электрических цепях, являются

незатухающими. Периодический

внешний источник обеспечивает

приток энергии к системе и не дает

колебаниям затухать, несмотря на

наличие неизбежных потерь.

Особый интерес представляет случай,

когда внешний источник, напряжение

которого изменяется по

гармоническому закону с частотой ω,

включен в электрическую цепь,

способную совершать собственные

свободные колебания на некоторой

частоте ω

Если частота ω

свободных колебаний

определяется параметрами

электрической цепи, то

установившиеся вынужденные

колебания всегда происходят на

частоте ω внешнего источника.

Для установления стационарных

вынужденных колебаний необходимо

некоторое время Δt после включения в

цепь внешнего источника. Это время

по порядку величины равно времени τ

затухания свободных колебаний в

цепи.

Электрические цепи, в которых

происходят установившиеся

вынужденные колебания под

действием периодического источника

тока, называются цепями переменного

тока.

Рассмотрим последовательный

колебательный контур, то есть RLC-

цепь, в которую

включен

источник тока,

напряжение

которого

изменяется по периодическому закону

(рис.s5.3.1): e(t)s=s

scossωt, где

–

амплитуда, ω – круговая частота.

Вынужденные колебания в контуре.

Предполагается, что для

электрической цепи, изображенной на

рис.s5.3.1, выполнено условие

квазистационарности. Поэтому закон

Ома можно записать для мгновенных

значений токов и напряжений:

Величина

– это перенесенная с

изменением знака из правой части

уравнения в левую ЭДС

самоиндукции катушки. Эту величину

принято называть напряжением на

катушке индуктивности.

Уравнение вынужденных колебаний

можно записать в виде

qqq







cos2





Частное решение уравнения имеет вид

)cos(



 tqq

22222

4)(



















LCLR /1,2/





Можно получить формулы для I

)2/cos(



 tII

Из выражения для I

видно, что

амплитуда тока принимает

максимальное значение при условии

или

Явление возрастания амплитуды

колебаний тока при совпадении

частоты ω внешнего источника с

собственной частотой ω

электрической цепи называется

электрическим резонансом. При

резонансе

При последовательном резонансе

(ωs=sω

) амплитуды U

и U

напряжений на конденсаторе и

катушке резко возрастают:

Добротность RLC-контура:

Таким образом, при

резонансе амплитуды напряжений на

конденсаторе и катушке в Q раз

превышают амплитуду напряжения

внешнего источника.

28. Электромангитное поле. Вихревое

электрическое поле. Первое уравнение

Максвелла в интегральной форме как

обобщение закона электромагнитной

индукции Фарадея.

Электромагнитное поле – это

неразрывно связанные между собой и

порождающие друг друга переменные

электрическое и магнитное поля.

Впервые понятие

“электромагнитное поле” было

введено и математически строго

описано Джеймсом Клерком

Максвеллом. Уравнения Максвелла

были опубликованы им в 1873 году в

книге “Трактат об электричестве и

магнетизме”, т.е. почти 130 лет тому

назад.

Громоздкий механистический вывод

отдельных уравнений был

опубликован в его более ранних

статьях. В “Трактате” же Максвелл их

вывел с помощью аппарата векторного

анализа, показав, что переменные

электрическое и магнитное поля

находятся в неразрывной взаимосвязи,

совокупность которых представляет

собой единое электромагнитное поле.

Основными векторами,

характеризующими электромагнитное

поле, являются индукцияs Bs и

напряженностьs Hs магнитного поля,

смещениеs Ds и напряженностьs Es

электрического поля и плотность

электрического токаs J.s В указанных

современных обозначениях система

уравнений Максвелла, заключающая в

себе теорию электромагнитного поля,

записывается следующим образом.

В 60-х годах XIX в. английский

ученый Дж. Максвелл (1831-1879)

обобщил экспериментально

установленные законы электрического

и магнитного полей и создал

законченную единую теорию

электромагнитного поля. Она

позволяет решить основную задачу

электродинамики: найти

характеристики электромагнитного

поля заданной системы электрических

зарядов и токов. ssss Согласно закону

электромагнитной индукции Фарадея,

всякое изменение магнитного поля во

времени



sприводит к

Многочисленные опыты показали, что

ЭДС



sсовершенно не зависит от

проводника, его свойств

(однородности, сопротивления). Опыт

показывает, что в случае

электромагнитной индукции

сторонние силы не связаны ни с

тепловыми, ни с химическими

процессами в контуре. Их

возникновение также нельзя

объяснить силой Лоренца, так как она

на неподвижные заряды не действует.

Следовательно, поле сторонних сил

создается в самом пространстве, где

происходит изменение магнитного

поля и присутствие замкнутого

Максвелл выдвинул гипотезу, что

всякое переменное магнитное поле

возбуждает в окружающем

пространстве вихревое

электрическое поле



, циркуляция

которого и является причиной

возникновения ЭДС

электромагнитной индукции в

контуре:

ssssss(5.1)

sssss Уравнение (5.1) называют первым

уравнением Максвелла. Смысл его

возникновению ЭДС индукции и

появлению индукционного тока в

проводниках, находящихся в этом

магнитном поле.

проводника вовсе не обязательно:

контур, в котором наводится ЭДС

индукции, является лишь своего рода

индикатором, обнаруживающим это

поле.

заключается в том, что изменяющееся

магнитное поле порождает вихревое

электрическое, а последнее в свою

очередь вызывает в окружающем

диэлектрике или вакууме

изменяющееся магнитное поле.

Поскольку магнитное поле создается

электрическим током, то, согласно

Максвеллу, вихревое электрическое

поле следует рассматривать как

некоторый ток, который протекает как

в диэлектрике, так и в вакууме.

Максвелл назвал этот ток током

смещения. Механизм тока смещения

будет рассмотрен ниже.

Можно показать, что циркуляция

вектора



вдоль любого

замкнутого контура не равна нулю и

след. электрическое поле,

возбуждаемое переменным магнитным

полем, как и само магнитное поле,

является вихревым.

29. Гипотеза Максвелла о токах

смещения. Второе уравнение

Максвелл как обобщение о

циркуляции вектора магнитной

индукции.

Ток смещения введен Максвеллом для

установления количественных

соотношений между переменным

электрическим полем и вызываемым

им вихревым магнитным полем.

Поскольку магнитное поле создается

электрическим током, то, согласно

Максвеллу, вихревое электрическое

поле следует рассматривать как

некоторый ток, который протекает как

в диэлектрике, так и в вакууме.

Максвелл назвал этот ток током

смещения.

По Максвеллу полный ток в цепи

всегда замкнут, т.е. на концах

проводников обрывается лишь ток

проводимости, а в диэлектрике

(вакууме) между концами проводника

имеется ток смещения, который

замыкает ток проводимости. Введя

понятие полного тока, Максвелл

обобщил теорему о циркуляции

вектора s(или ):

sssss(5.6)

Уравнение (5.6) называется вторым

уравнением Максвелла в интегральной

форме. Оно представляет собой

обобщенный закон полного тока и

выражает основное положение

электромагнитной теории: токи

смещения создают такие же

магнитные поля, как и токи

проводимости.

Созданная Максвеллом единая

макроскопическая теория

электромагнитного поля позволила с

единой точки зрения не только

объяснить электрические и магнитные

явления, но предсказать новые,

существование которых было

впоследствии подтверждено на

практике (например, открытие

электромагнитных волн). ssss Обобщая

рассмотренные выше положения,

приведем уравнения, составляющие

основу электромагнитной теории

Максвелла. s

Теорема о циркуляции вектора

напряженности магнитного поля: ssss

Это уравнение показывает, что

магнитные поля могут создаваться

либо движущимися зарядами

(электрическими токами), либо

переменными электрическими полями

Для полного описания явлений в

электрических и магнитных полях к

уравнениям Максвелла надо добавить

теорему Гаусса, а также выражения,

связывающие напряженности поля и

индукции в однородных средах:

, ssss

ssss

где - объемная плотность заряда

внутри замкнутой поверхности; -

удельная проводимость вещества.

ss Для стационарных полей (E=const,

B=const) уравнения Максвелла

принимают вид ssss

т.е. источниками магнитного поля в

данном случае являются только токи

проводимости, а источниками

электрического поля – только

электрические заряды. В этом частном

случае электрические и магнитные

поля независимы друг от друга, что и

позволяет изучать отдельно

постоянные электрические и

магнитные поля

30. Плоская электромагнитная волна,

ее основные характеристики.

Волновые уравнения и их решения.

Скорость э-м волн.

Электромагнитные волны,

электромагнитные колебания,

распространяющиеся в пространстве

с конечной скоростью.

Существование Электромагнитные

волны было предсказано М. Фарадеем

в 1832. Дж. Максвелл в 1865

теоретически показал, что

электромагнитные колебания не

остаются локализованными в

пространстве, а распространяются в

вакууме со скоростью света с во все

стороны от источника. Из того

обстоятельства, что скорость

распространения Электромагнитные

волны в вакууме равна скорости

света, Максвелл сделал вывод, что

свет представляет собой

Электромагнитные волны

В 1888 максвелловская теория

Электромагнитные волны получила

подтверждение в опытах Г. Герца, что

сыграло решающую роль для её

утверждения.s Теория Максвелла

позволила единым образом подойти к

описанию радиоволн, света,

рентгеновских лучей и гамма-

излучения. Оказалось, что это не

излучения различной природы, а

Электромагнитные волны с

различной длиной волны. Частота w

колебаний электрического Е и

магнитного Н полей связана с длиной

волны l соотношением: l= 2pс/w

Радиоволны, рентгеновские лучи и g-

излучение находят своё место в

единой шкале Электромагнитные

волны (рис.), причём между

соседними диапазонами шкалы

Электромагнитные волны нет

резкой границы.s

Особенности Электромагнитные

волны, законы их возбуждения и

распространения описываются

Максвелла уравнениями. Если в

какой-то области пространства

существуют электрические заряды е

и токи I, то изменение их со временем

t приводит к излучению

Электромагнитные волны

На скорость распространения

Электромагнитные волны

существенно влияет среда, в которой

они распространяются.

Электромагнитные волны могут

испытывать преломление, в реальных

средах имеет место дисперсия волн,

вблизи неоднородностей

наблюдаются дифракция волн,

интерференция волн (прямой и

отражённой), полное внутреннее

отражение и другие явления,

свойственные волнам любой природы.

Пространств, распределение

электромагнитных полей, временные

зависимости E (t) и H (t),

определяющие тип волн (плоские,

сферические и др.), вид поляризации и

другие особенности

Электромагнитные волны задаются,

с одной стороны, характером

источника излучения, и с другой —

свойствами среды, в которой они

распространяются.

В случае однородной и изотропной

среды, вдали от зарядов и токов,

создающих электромагнитное поле,

уравнения Максвелла, приводят к

волновым уравнениям

:n ; ,s

описывающим распространение

плоских монохроматических

Электромагнитные волны: n

Е = E

cos (kr — wt + j) n

Н = H

cos (kr — wt + j).n Здесь e —

диэлектрическая проницаемость, µ

— магнитная проницаемость среды,

и H

— амплитуды колебаний

электрических и магнитных полей, w

— частота этих колебаний, j —

произвольный сдвиг фазы, k —

волновой вектор, r — радиус-вектор

точки;.s

Если среда неоднородна или

содержит поверхности, на которых

изменяются её электрические либо

магнитные свойства, или если в

пространстве имеются проводники,

то тип возбуждаемых и

распространяющихся

Электромагнитные волны может

существенно отличаться от

плоской линейно-поляризованной

волны. Волновой вектор





k

имеющий направление нормали к

волновой поверхности.

Длина волны

vT



- период

колебаний,

- скорость

v







- частота колебаний