Шпора по физике: электричество и магнетизм

Подождите немного. Документ загружается.

Величина, равная отношению

работы, которую совершают

сторонние силы при перемещении

точечного положительного заряда

вдоль всей цепи, включая и источник

тока, к заряду , называется

электродвижущей силой источника

тока:

Работа против сил электрического

поля, по определению равна

Если полюсы источника разомкнуты,

то и тогда

т.е. эдс источника тока при

разомкнутой внешней цепи равна

разности потенциалов, которая

создается на его полюсах.

Таким образом, размерность эдс

совпадает с размерностью потенциала.

Поэтому измеряется в тех же

единицах, что и - в вольтах.

Стороннюю силу F

ст

, действующую

на заряд, можно представить в виде

ст

=E*q

Векторную величину Е* называют

напряженностью поля сторонних сил.

Работу сторонних сил над зарядом q

на всём протяжении замкнутой цепи

можно выразить следующим образом:

Разделив эту работу на q , получим

эдс, действующую в цепи:

Таким образом, эдс, действующая в

замкнутой цепи, может быть

определена как циркуляция вектора

напряженности поля сторонних сил.

Для участка цепи электродвижущая

сила, действующая на некотором

участке 1 -2 , очевидно равна

Кроме сторонних сил на заряд

действуют силы электростатического

поля

Следовательно, результирующая сила,

действующая в каждой точке цепи на

заряд q, равна

Работа, совершаемая этой силой над

зарядом q на участке цепи 1-2, дается

выражением

Для замкнутой цепи работа

электростатических сил равна нулю,

так что

Величина, численно равная работе,

совершаемой электростатическими и

сторонними силами при перемещении

единичного положительного заряда,

называется падением напряжения или

просто напряжением U на данном

участке цепи. Из уравнения

следует,

что

При отсутствии сторонних сил

напряжение U совпадает с разностью

потенциалов

Закон Ома для однородного участка

цепи

Однородным называется участок

цепи, в котором не действуют

сторонние силы.

Ом экспериментально установил

закон, согласно которому сила тока,

текущего по однородному

металлическому проводнику,

пропорциональна падению

напряжения U на проводнике:

Величина R называется электрическим

сопротивлением проводника.

Единицей сопротивления служит Ом,

равный сопротивлению такого

проводника, в котором при

напряжении 1В течет ток в 1 А.

Величина сопротивления зависит от

формы и размеров проводника, а

также от свойств материала, из

которого он сделан. Для однородного

цилиндрического проводника .

где - длина проводника,

S - площадь поперечного сечения, -

зависящий от свойств материала

коэффициент, называемый удельным

электрическим сопротивлением

вещества.

Закон Ома для неоднородного

участка цепи

Для любой точки внутри проводника

напряженность

результирующего поля

равна

сумме

напряженности поля кулоновских сил

и поля сторонних сил . Подставляя в

(17.6), получим

Умножим скалярно обе части на

вектор , численно равный элементу

длины проводника и направленный

по касательной к проводнику в ту же

сторону, что и вектор плотности тока

Так как скалярное произведение

совпадающих по направлению

векторов и , равно

произведению их модулей, то это

равенство можно переписать в виде

С учетом

Интегрируя по длине проводника от

сечения 1 до некоторого сечения 2 и

учитывая,

что сила

тока во

всех сечениях проводника одинакова,

получаем

(

17.7)

Подставляя (17.10), (17.9) и (17.8) в

(17.7),

окончательно получим

Последнее уравнение выражает собой

закон Ома в интегральной форме для

участка цепи, содержащего эдс и

формулируется следующим образом:

падение напряжения на участке цепи

равно сумме падений электрического

потенциала на этом участке и эдс всех

источников электрической21 энергии,

включённых на участке.

При замкнутой внешней цепи сумма

падений электрических потенциалов и

эдс источника равна сумме падений

напряжения на внутреннем

сопротивлении источника и во всей

внешней цепи

где

или

Отсюда

На практике электрические цепи

являются совокупностью различных

проводников, определенным образом

соединенных между собой. При

последовательном соединении

напряжение на каждом из

проводников пропорционально его

сопротивлению. Полное напряжение

между началом первого и концом

последнего сопротивления равно

сумме напряжений на каждом

сопротивлении

)...(...

...

2121

RRRIIR

IRIRUUUU





. Так как

IRU 

, то

RRRR  ...

При параллельном соединении силы

токов в отдельных проводниках

обратно пропорциаональны их

сопротивлениям.

IIII





....

...

, учитывая

закон Ома для участка цепи, получим

для параллельного соединения

проводников следующую формулу

RRRR

...

111



12. Закон Ома в дифференциальной

форме. Удельное сопротивление

проводников, его зависимость от

температуры. Явление

сверхпроводимости.

Ом экспериментально установил

закон, согласно которому сила тока,

текущего по однородному

металлическому проводнику,

пропорциональна падению

напряжения U на проводнике:

Величина R называется

электрическим сопротивлением

проводника. Единицей сопротивления

служит Ом, равный сопротивлению

такого проводника, в котором при

напряжении 1В течет ток в 1 А.

Величина сопротивления зависит от

формы и размеров проводника, а

также от свойств материала, из

которого он сделан

. Для однородного цилиндрического

проводника .

где - длина проводника, S

- площадь поперечного сечения, -

зависящий от свойств материала

коэффициент, называемый удельным

электрическим сопротивлением

вещества.

Величина обратная

сопротивлению называется

проводимостью

Для большинства металлов удельное

сопротивление растет с температурой

приблизительно по линейному закону.

где - удельное сопротивление при

0°С, t - температура в градусах

Цельсия, - постоянный

коэффициент, численно равный

примерно 1/273.

Закон Ома можно записать в

дифференциальной форме. Выделим в

проводнике элементарный

цилиндрический объем dV с

образующими, dl параллельными

вектору плотности тока в данной

точке (рис. 17.2). Через поперечное

сечение dS цилиндра течет ток силой

. Напряжение, приложенное к

цилиндру, равно , где Е -

напряженность поля в данном месте.

Сопротивление цилиндра .

Подставив эти значения в уравнение

(17.5), получим

Носители заряда в каждой точке

движутся в направлении вектора .

Поэтому направления векторов и

совпадают. Таким образом, можно

написать

Эта формула

выражает закон Ома в

дифференциальной форме.

Явление сверхпроводимости.

Согласно классической электронной

теории, удельное сопротивление

металлов должно монотонно

уменьшаться при охлаждении,

оставаясь конечным при всех

температурах. Такая зависимость

действительно наблюдается на опыте

при сравнительно высоких

. При более низких температурах

порядка нескольких кельвинов

удельное сопротивление многих

металлов перестает зависеть от

температуры и достигает некоторого

предельного значения. Однако

наибольший интерес представляет

удивительное явление

сверхпроводимости, открытое датским

физиком Х.sКаммерлинг-Оннесом в

1911sгоду. При некоторой

определенной температуре T

кр

различной для разных веществ,

удельное сопротивление скачком

уменьшается до нуля (рис.s1.12.4).

Критическая температура у ртути

равна 4,1sК, у аллюминия 1,2sК, у

олова 3,7sК.

Сверхпроводимость наблюдается не

Например, соединение ниобия с

оловом (Ni

Sn) имеет критическую

температуру 18sК. Некоторые

вещества, переходящие при низких

температурах в сверхпроводящее

состояние, не являются проводниками

при обычных температурах. В то же

время такие «хорошие» проводники,

как медь и серебро, не становятся

сверхпроводниками при низких

температурах.

Зависимость удельного сопротивления

температурах

только у элементов, но и у многих

химических соединений и сплавов.

ρ от абсолютной температуры T при

низких температурах: as–sнормальный

металл; bs–sсверхпроводник

.Вещества в сверхпроводящем

состоянии обладают

исключительными свойствами.

Практически наиболее важным их них

является способность длительное

время (многие годы) поддерживать без

затухания электрический ток,

возбужденный в сверхпроводящей

цепи.

Классическая электронная теория не

способна объяснить явление

сверхпроводимости. Объяснение

механизма этого явления было дано

только через 60sлет после его открытия

на основе квантово-механических

представлений.

Научный интерес к

сверхпроводимости возрастал по мере

открытия новых материалов с более

высокими критическими

температурами.

Значительный шаг в этом направлении

произошел в 1986sгоду, когда было

обнаружено, что у одного сложного

керамического соединения T

кр

s=s35sK.

Уже в следующем 1987sгоду физики

сумели создать новую керамику с

критической температурой 98sК,

превышающей температуру жидкого

азота (77sК).Явление перехода

веществ в сверхпроводящее состояние

при температурах, превышающих

температуру кипения жидкого азота,

было названо высокотемпературной

сверхпроводимостью. В 1988sгоду

было создано керамическое

соединение на основе элементов Tl–

Ca–Ba–Cu–O с критической

температурой 125sК.

В настоящее время ведутся

интенсивные работы по поиску новых

веществ с еще более высокими

значениями T

кр

. Ученые надеятся

получить вещество в

сверхпроводящем состоянии при

комнатной температуре. Если это

произойдет, это будет настоящей

революцией в науке, технике и вообще

в жизни людей.

Следует отметить, что до настоящего

времени механизм

высокотемпературной

сверхпроводимости керамических

материалов до конца не выяснен.

13. Закон Джоуля-Ленца в

дифференциальной и интегральной

форме.

Если в проводнике течет постоянный

ток и проводник остается

неподвижным, то работа сторонних

сил расходуется на его нагревание.

Опыт показывает, что в любом

проводнике происходит выделение

теплоты, равное работе, совершаемой

электрическими силами по переносу

заряда вдоль проводника. Если на

концах участка проводника имеется

разность потенциалов ,

тогда работу по переносу заряда q на

этом участке равна

По определению I= q/t. откуда q= I t.

Следовательно

Так как работа идет па нагревание

проводника, то выделяющаяся в

проводнике теплота Q равна работе

электростатических сил

-----Закон Джоуля –

Ленца в интегральной форме.

Соотношение (17.13) выражает закон

Джоуля-Ленца в интегральной форме.

Введем плотность тепловой мощности

, равную энергии выделенной за

единицу время прохождения тока в

каждой единице объема проводника

где S - поперечное сечение

проводника, - его длина.

Используя (1.13) и соотношение

, получим

Но - плотность тока, а

, тогда

с учетом закона Ома в

дифференциальной форме ,

окончательно получаем

Формула (17.14) выражает закон

Джоуля-Ленца в дифференциальной

форме: объемная плотность тепловой

мощности тока в проводнике равна

произведению его удельной

электрической проводимости на

квадрат напряженности

электрического поля.

14. Магнитное поле, создаваемое

постоянными электрическими токами.

Взаимодействие параллельных

бесконечных проводников с током,

единица Ампер в СИ.

Опыт показывает, что электрические

токи взаимодействуют между собой.

Например, два тонких прямолинейных

параллельных проводника, по которым

текут токи (прямые токи), притягивают

друг друга, если токи в них имеют

одинаковое направление, и

отталкивают, если токи

противоположны.

Сила взаимодействия, приходящаяся

на единицу длины каждого из

параллельных проводников,

пропорциональна величинам токов в

них

и обратно

пропорциональна расстоянию b между

ними:

ед

2

Коэффициент пропорциональности 2k.

Закон взаимодействия токов был

установлен в 1820 г. Ампером. На

основании этого соотношения

устанавливается единица силы тока в

СИ и в абсолютной электромагнитной

системе единиц (СГСМ- системе).

Единица силы тока в СИ — ампер —

определяется как сила

неизменяющегося тока, который,

проходя по двум параллельным

прямолинейным проводникам

бесконечной длины и ничтожно

малого кругового сечения,

расположенным на расстоянии 1 м

один от другого в вакууме, вызвал бы

между этими проводниками силу,

равную

102





H на каждый метр

длины. Единицу заряда, называемую

кулоном, определяют как заряд,

проходящий за 1 с через поперечное

сечение проводника, по которому

течет постоянный ток силой 1 А. В

соответствии с этим кулон называют

также ампер-секундой (А с).

В системе единиц СИ это соотношение

записывается следующим образом:

ед







где



— так магнитная постоянная.

Чтобы найти числовое значение



воспользуемся

тем, что согласно определению ампера

при

AII 1



и b=1м сила F равна

102





Н/м. Подставим эти значения

в формулу получим

1026.1104







Гн/м

(Генри/метр)



c

- связь между

электрической и магнитной

постоянными, с – скорость света в

вакууме =

103

м/с

Магнитное поле

Взаимодействие токов осуществляется

через поле, называемое магнитным.

Это название происходит от того, что,

как обнаружил в 1820 г. Эрстед, поле,

возбуждаемое током, оказывает

ориентирующее действие на

магнитную стрелку. В опыте Эрстеда

проволока, по которой тек ток, была

натянута над магнитной стрелкой,

вращающейся на игле. При включении

тока стрелка устанавливалась

перпендикулярно к проволоке.

Изменение направления тока

заставляло стрелку повернуться в

противоположную сторону. Из опыта

Эрстеда следует, что магнитное поле

имеет направленный характер и

должно характеризоваться векторной

величиной..

Эту величину принято обозначать

буквой В. Логично было бы по

аналогии с напряженностью

электрического поля Е назвать В

напряженностью магнитного поля.

Однако по историческим причинам

основную силовую характеристику

магнитного поля назвали магнитной

индукцией. Название же

«напряженность магнитного поля»

оказалось присвоенным

вспомогательной величине Н,

аналогичной вспомогательной

характеристике D электрического

поля. Магнитное поле, в отличие от

электрического, не оказывает действия

на покоящийся заряд Сила возникает

лишь тогда, когда заряд движется.

Проводник с током представляет собой

электрически нейтральную систему

зарядов, в которой заряды одного

знака движутся в одну сторону, а

заряды другого знака движутся в

противоположную сторону (либо

покоятся). Отсюда следует, что

магнитное поле порождается

движущимися зарядами. Итак,

движущиеся заряды (токи) изменяют

свойства окружающего их

пространства — создают в нем

магнитное поле. Это поле проявляется

в том, что на движущиеся в нем заряды

(токи) действуют силы.

Опыт дает, что для магнитного поля,

как и для электрического, справедлив

принцип суперпозиции: поле В,

порождаемое несколькими

движущимися зарядами (токами),

равно векторной сумме полей

порождаемых каждым зарядом

(током) в отдельности:







Пространство изотропно, поэтому,

если заряд неподвижен, все

направления оказываются

равноправными. Этим обусловлен тот

факт, что создаваемое точечным

зарядом электростатическое поле

является сферически-симметричным.

В случае движения заряда со

скоростью v в пространстве

появляется выделенное направление

(направление вектора v).

Поэтому можно ожидать, что

магнитное поле, создаваемое

движущимся зарядом, обладает осевой

симметрией.

Рассмотрим магнитное поле,

создаваемое в некоторой точке Р

точечным зарядом q, движущимся с

постоянной скоростью v. Возмущения

поля передаются от точки к точке с

конечной скоростью с. Поэтому

индукция В в точке Р в момент

времени t определяется не

положением заряда в тот же момент t,

а положением заряда в некоторый

более ранний момент времени



t

))(,,(),(



 trvqftPB





Здесь Р означает совокупность

координат точки Р, определяемых в

некоторой неподвижной системе

отсчета, r(t—т) — радиус-вектор,

проведенный в точку Р из той точки, в

которой находился заряд в момент

времени



t

. Если скорость

движения заряда v много меньше с

(v<<c), время запаздывания



будет

пренебрежимо мало. В этом случае

можно считать, что значение В в

момент t определяется положением

заряда в тот же момент времени t. При

этом условии

))(,,(),( trvqftPB







Вид функции B может быть

установлен только экспериментально.

Опыт дает, ято в случае, когда v<<c,

магнитная индукция поля

движущегося заряда определяется

формулой

 

rvq











, где k' —

коэффициент пропорциональности,

который зависит от выбора системы

единиц. В системе СИ











след. Формула индукции магнитного

поля

 

rvq











Эта формула может быть получена

только экспериментально. Из

соотношения вытекает, что вектор В в

каждой точке Р направлен

перпендикулярно к плоскости,

проходящей через направление

вектора v и точку Р, причем так, что

вращение в направлении В образует с

направлением v правовинтовую

систему

15. Вектор магнитной индукции,

определение направления и величины.

Силовые линии магнитного поля.

Поток вектора магнитной индукции

через замкнутую поверхность.

Принцип суперпозиции.

МАГНИТНЫЕ СИЛЫ- это силы, с

которыми проводники с током

действуют друг на друга.

.МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

- это силовая характеристика

магнитного поля.

Вектор магнитной индукции

направлен всегда так, как

сориентирована свободно

вращающаяся магнитная стрелка в

магнитном поле.

Единица измерения магнитной

индукции в системе СИ:

ЛИНИИ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

- это линии, касательными к которой в

любой её точке является вектор

магнитной

индукции.

Однородное магнитное поле - это

магнитное поле, у которого в любой

его точке вектор магнитной индукции

неизменен по величине и

направлению; наблюдается между

пластинами плоского конденсатора,

внутри соленоида (если его диаметр

много меньше его длины) или внутри

полосового магнита.

Магнитное поле прямого проводника с

током:где - направление тока в

проводнике на нас перпендикулярно

плоскости листа, - направление

тока в проводнике от нас

перпендикулярно

плоскости

листа.

Магнитное поле соленоида:

Магнитное поле полосового магнита:

- аналогично магнитному полю

соленоида.

СВОЙСТВА ЛИНИЙ МАГНИТНОЙ

ИНДУКЦИИ

 имеют направление;

 непрерывны;

 замкнуты (т.е. магнитное поле

является вихревым);

 не пересекаются;

 по их густоте судят о

величине магнитной

индукции.

НАПРАВЛЕНИЕ ЛИНИЙ

МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

- определяется по правилу буравчика

или по правилу правой руки.

Правило буравчика ( в основном для

прямого проводника с током):

Если направление поступательного

движения буравчика совпадает с

направлением тока в проводнике, то

направление вращения ручки

буравчика совпадает с направлением

линий магнитного поля тока.

Правило правой руки ( в основном для

определения направления магнитных

линий

внутри соленоида):

Если обхватить соленоид ладонью

правой руки так, чтобы четыре пальца

были направлены вдоль тока в витках,

то отставленный большой палец

покажет направление линий

магнитного поля внутри соленоида.

Отсутствие в природе магнитных

зарядов приводит к тому, что линии

вектора В не имеют ни начала, ни

конца. Поэтому поток вектора В через

замкнутую поверхность должен быть

равен нулю.

Таким образом, для любого

магнитного поля и произвольной

замкнутой поверхности S имеет место

условие





SdB 0



. Эта

формула выражает теорему Гаусса для

вектора В : поток вектора магнитной

индукции через любую замкнутую

поверхность равен нулю. Заменив

поверхностный интеграл объемным,

получим, что

0



dVB



Условие, к которому мы пришли,

должно выполняться для любого

произвольно выбранного объема V.

Это возможно лишь в том случае, если

подынтегральная функция в каждой

точке поля равна нулю.

Таким образом, магнитное поле

обладает тем свойством, что

его дивергенция всюду равна нулю:

0 dVB



Опыт дает, что для магнитного поля,

как и для электрического, справедлив

принцип суперпозиции: поле В,

порождаемое несколькими

движущимися зарядами (токами),

равно векторной сумме полей

порождаемых каждым зарядом (током)

в отдельности:







16. Закон Био — Савара- Лапласса.

Магнитное поле, создаваемое

круговым током, бесконечным

прямолинейным проводником с током.

Выясним характер магнитного поля,

создаваемого произвольным тонким

проводом, по которому течет ток.

Рассмотрим малый элемент провода

длины dl. В этом элементе содержится

nS dl носителей тока (n — число

носителей в единице объема, S —

площадь попе- речного сечения

провода в том месте, где взят элемент

dl). В точке положение которой

относительно элемента dl

определяется радиусом-вектором г

(отдельный носитель тока е создает

поле с индукцией

 

),(

ruve













Здесь v — скорость хаотического

движения, а u — скорость

упорядоченного движения носителя.

Значение магнитной индукции,

усредненное по носителям тока,

заключенным в элементе dl, равно

 

),(

ruve













 

),(

rue







(<v>=0). Умножив это выражение на

число носителей в элементе провода

(равное nS dl), получим вклад в поле,

вносимый элементом dl: (мы внесли

скалярные множители n и е

под знак векторного произведения).

 

),(

dlruneS

nSdlBBd









Приняв во внимание, что ne<u>=j,

можно получить

 

dlrjS









Введем вектор



, направленный по

оси элемента тока длиной

сторону, в которую течет ток. Модуль

этого вектора равен dl. Поскольку

направления векторов j и dl совпадают,

имеет место равенство

ljddlj





Произведя такую замену в формуле

для dB, получим

   

rldI

rldSj













Учли, что произведение Sj дает силу

тока I в проводе, придем к

окончательному выражению,

определяющему магнитную индукцию

поля, создаваемого элементом тока

длины dl:

 

rldI









Мы вывели формулу. В

действительности последняя формула

была установлена экспериментально.

Био и Савар провели в 1820 г.

исследование магнитных полей,

текущих по тонким проводам

различной формы. Лаплас

проанализировал экспериментальные

данные, полученные Био и Саваром, и

нашел, что магнитное поле любого

тока может быть вычислено как

векторная сумма (суперпозиция)

полей, создаваемых отдельным,

элементарными участками токов.

Для магнитной индукции поля,

создаваемого элементом тока длины

dl, Лаплас получил формулу

 

rldI









, которая носит

название закона Б ио — Савара —

Лапласа или более кратко закона Б и о

— Савара

.Из рис. 42.1видно, что вектор dB

направлен перпендикулярно к

плоскости, проходящей через dl и

точку, в которой вычисляется поле,

причем так, что вращение вокруг dl в

направлении dB связано с dl правилом

правого винта. Модуль dB

определяется выражением

)sin(

Idl









где α— угол между векторами dl и г.

Применим формулу закона Б-С-Л для

вычисления поля прямого тока, т. е.

поля, создаваемого током, текущим по

тонкому прямому проводу

бесконечной длины (рис. 42.2 Сав

122). Все векторы dB в данной точке

имеют одинаковое направление (в

нашем случае за чертеж).

Поэтому сложение векторов dB можно

заменить сложением их модулей.

Точка, для которой мы вычисляем

магнитную индукцию, находится на

расстоянии b от провода.

Из рис. 42.2 видно, что

)(sin

)sin(



bdrd

r 

Следовательно, магнитная индукция

поля прямого тока определяется

формулой

BdB

)sin(



















Линии магнитной индукции поля

прямого тока представляют собой

систему охватывающих провод

Каждый элемент тока создает в центре

индукцию, направленную вдоль

положительной нормали к контуру.

Поэтому векторное сложение dВ

сводится к сложению их модулей.

По формуле

Idl







(α=π/2).

Проинтегрируем это выражение по

Подставим эти значения в

формулу

)sin(

)(sin

)(sin)sin(

)sin(





















Ibd

Idl





Угол α для всех элементов

бесконечного прямого тока изменяется

от 0 до π.

концентрических окружностей

(рис. 42.3 Сав 122).

16. Магнитное поле кругового контура

с током

Рассмотрим поле, создаваемое током,

текущим по тонкому проводу,

имеющему форму окружности

радиуса R (круговой ток). Определим

магнитную индукцию в центре

кругового тока (рис. 47.1 Сав. 138).

всему контуру:

)(2

dBB



















Выражение в скобках равно модулю

дипольного магнитного момента p

Следовательно, магнитная индукция в

центре кругового тока имеет

величину







Из рис. 47.1 видно, что направление

вектора В совпадает с направлением

положительной нормали к контуру, т.

е. с направлением вектора p

. Поэтому

последнюю формулу можно написать

в векторном виде:









Теперь найдем В на оси кругового тока

на расстоянии г от центра контура

(рис. 47.2 Сав.138). Векторы dB

перпендикулярны к плоскостям,

проходящим через соответствующий

элемент dl и точку, в которой мы ищем

поле. Следовательно, они образуют

симметричный конический веер (рис.

47.2, б, Cfd 138). Из соображений

симметрии можно заключить, что

результирующий вектор В направлен

вдоль оси контура

. Каждый из составляющих векторов

dB вносит в результирующие вектор

вклад

, равный по модулю

)/()sin( bRdBdB 



. Угол α

между dl и b прямой, поэтому

IRdl

dBdB







Проинтегрировав по всему контуру и

заменив b на

rR 

получим

2/322

)(

)(2

dBB



























.Эта формула определяет величину

магнитной индукции на оси кругового

тока.

Приняв во внимание, что векторы В и

имеют одинаковое направление,

можно написать последнюю формулу

в векторном виде:

2/322

)(











Это выражение не зависит от знака г.

Следовательно, в точках оси,

симметричных относительно центра

тока, В имеет одинаковую величину и

направление. При г=0 формула

переходит, как и должно быть









, в формулу для

магнитной индукции в центре

кругового тока. На больших

расстояниях от контура в знаменателе

можно пренебречь R

по сравнению с

. Тогда формула принимает вид









17. Теорема о циркуляции вектора

магнитной индукции, ее применение

для расчета магнитного поля в

бесконечном соленоиде.

Отсутствие в природе магнитных

зарядов приводит к тому, что линии

вектора В не имеют ни начала, ни

конца. Поэтому поток вектора В через

замкнутую поверхность должен быть

равен нулю. Таким образом, для

любого магнитного поля и

произвольной замкнутой поверхности

S имеет место условие





SdB 0



. Эта формула

выражает теорему Гаусса для вектора

В : поток вектора магнитной индукции

через любую замкнутую поверхность

равен нулю.

Заменив поверхностный интеграл

объемным, получим, что

0



dVB



Условие, к которому мы пришли,

должно выполняться для любого

произвольно выбранного объема V.

Это возможно лишь в том случае, если

подынтегральная функция в каждой

точке поля равна нулю. Таким

образом, магнитное поле обладает тем

свойством, что

его дивергенция всюду равна нулю:

0 dVB



Найдем циркуляции вектора В. По

определению циркуляция равна

интегралу



ldB



Проще всего вычислить этот интеграл

в случае поля прямого тока. Пусть

замкнутый контур лежит в плоскости,

перпендикулярной к току (рис. ; ток

перпендикулярен к плоскости чертежа

и направлен за чертеж). В каждой

точке контура вектор В направлен по

касательной к окружности,

проходящей через эту точку. Заменим

в выражении для циркуляции В dl

через В dl

(dl

— проекция элемента

контура на направление вектора В).

Из рисунка видно, что dl

равно b dα,

где b — расстояние от провода с током

до dl, dα — угол, на который

поворачивается радиальная прямая при

перемещении вдоль контура на

Иначе обстоит дело, если ток не

охватывается контуром (рис. 49.1 ,б).

В этом случае при обходе по контуру

радиальная прямая поворачивается

сначала в одном направлении (участок

Если направление обхода образует с

направлением тока правовинтовую

систему, величина



 ldB



положительна, в противном случае —

отрезок dl. Таким образом, для В,

получим













BdlldB





Окончательно будем иметь











ldB



При обходе по контуру,

охватывающему ток, радиальная

прямая все время поворачивается в

одном направлении, поэтому



2



1—2), а затем в противоположном

(участок 2—1), вследствие чего

0





равен нулю. Учтя этот

результат, можно написать



 IldB





, где под I следует

подразумевать ток, охватываемый

контуром. Если контур тока не

охватывает, циркуляция вектора В

равна нулю. Знак в выражении зависит

от направления обхода по контуру (в

этом же направлении отсчитывается

угол α).

отрицательна. Знак можно учесть,

полагая I алгебраической величиной,

причем положительным нужно

считать ток, направление которого

связано с направлением обхода по

контуру правилом правого винта; ток

противоположного направления будет

отрицательным Поле соленоида

Соленоид представляет собой провод,

навитый на круглый цилиндрический

каркас. Линии В поля соленоида

выглядят пример но так, как показано

на рис. 50.1.

Внутри соленоида направление этих

линий образует с направлением тока в

витках правовинтовую систему. У

реального соленоида имеется

составляющая тока вдоль оси. Кроме

того, линейная плотность тока j

лин

(равная отношению силы тока dI к

элементу длины соленоида dl)

изменяется периодически при

перемещении вдоль соленоида.

Среднее значение этой плотности

равно

лин



, где n—

число витков соленоида,

приходящееся на единицу его длины I

— сила тока в соленоиде.

В соответствии со сказанным

представим соленоид в виде

бесконечного тонкостенного цилиндра

(отсутствует осевая составляющая

тока и, кроме того, линейная

плотность тока j

лин

постоянна по всей

длине), обтекаемого током постоянной

линейной плотности j

лин

=nI.

Разобьем цилиндр на одинаковые

круговые токи—«витки». Из.рис.

видно, что каждая пара витков,

расположенных симметрично

относительно некоторой плоскости,

перпендикулярной к оси соленоида,

создает в любой точке этой плоскости

магнитную индукцию, параллельную

оси. Следовательно, и

результирующее поле в любой точке

внутри и вне бесконечного соленоида

может иметь лишь направление,

параллельное оси.

Из рис. 50.1 вытекает, что

направления поля внутри и вне

конечного соленоида

противоположны. При увеличении

длины соленоида направления полей

не изменяются и в пределе при

l

противоположными. Для

бесконечного соленоида, как и для

конечного, направление поля внутри

соленоида образует с направлением

обтекания цилиндра током

правовинтовую систему. Из

параллельности вектора В оси

вытекает, что поле как внутри, так и

вне бесконечного соленоида должно

быть однородным. Чтобы доказать это,

возьмем внутри соленоида

воображаемый прямоугольный контур

1—2—3—4 (рис. 50.3; участок 4—1

идет по оси соленоида).

Обойдя контур по часовой стрелке,

получим для циркуляции вектора В

значение (B

–B

)α. Контур не

охватывает токов, поэтому циркуляция

должна быть равна нулю.

Отсюда следует, что B

. Располагая

участок контура 2—3 на любом

расстоянии от оси, мы каждый раз

будем получать, что магнитная

индукция В2 на этом расстоянии равна

индукции B

на оси соленоида. Таким

образом, однородность поля внутри

соленоида доказана. Теперь обратимся

к контуру 1'—2'—3'—4'. Мы

изобразили векторы B`

и В`

штриховой линией, поскольку, поле

вне бесконечного соленоида равно

нулю. Контур 1'—2'—3'—4'не

охватывает токов; поэтому циркуляция

вектора В' по этому контуру, равная

(B`

-В`

)α, должна быть равна нулю.

Отсюда вытекает, что B`

= В`

Расстояния от оси соленоида до

участков /' — 4' и 2' — 3' были взяты

произвольно. Следовательно, значение

В' на любом расстоянии от оси будет

вне соленоида одно и то же. Таким

образом, оказывается доказанной и

однородность поля вне соленоида.

Циркуляция по контуру,

изображенному на рис. 50.4 (Сав. 150),

равна α(В+В') (для обхода по часовой

стрелке). Этот контур охватывает

положительный ток величины j

лин

α.

Должно выполняться равенство

   

nIBBjBB

лин 00













(после сокращения на α и замены). Из

этого равенства следует, что поле как

внутри, так и снаружи бесконечного

соленоида является конечным.

Возьмем плоскость,

перпендикулярную к оси соленоида

(рис. 50.5 Сав 151). Вследствие

замкнутости линий В магнитные

потоки через внутреннюю часть S этой

плоскости и через внешнюю часть S'

должны быть одинаковыми.

Поскольку поля однородны и

перпендикулярны к плоскости,

каждый из потоков равен

произведению соответствующего

значения магнитной индукции и

площади, пронизываемой потоком.

Таким образом, получается

соотношение BS=B'S'. Левая часть

этого равенства конечна, множитель S'

в правой части бесконечно большой.

Отсюда следует, что В'=0.

Итак, мы доказали, что вне бесконечно

длинного соленоида магнитная

индукция равна нулю. Внутри

соленоида поле однородно.

Положив В'=0, придем к формуле для

магнитной индукции внутри

соленоида:

InB







. Произведение

nI называется числом ампер-витков на

метр. При n = 1000 витков на метр и

силе тока в 1 А магнитная индукция

внутри соленоида составляет 4π10

-4

Тл

(Тесла) =4π Гс (Гаусса).

В магнитную индукцию на оси

соленоида симметрично

расположенные витки вносят

одинаковый вклад. Поэтому у конца

полубесконечного соленоида на его

оси магнитная индукция равна

половине значения :

InB







Практически, если длина соленоида

значительно больше, чем его диаметр,

формула

InB







будет

справедлива для точек в средней части

соленоида, а формула

InB







—

для точек на оси вблизи его концов.

18. Сила, действующая на проводник с

током в магнитном поле- сила Ампера.

Поведение рамки с током в магнитном

поле.

Если провод, по которому течет ток,

находится в магнитном поле, на

каждый из носителей тока действует

сила

 

BuveF







),( 

Здесь v —

скорость хаотического движения

носителя, u— скорость

упорядоченного движения. От

носителя тока действие этой силы

передается проводнику, по которому

он перемещается. В результате на

провод с током, находящийся в

магнитном поле, действует сила.

Найдем величину силы dF,

действующей на элемент провода

длины dl. Усредним выражение

 

BuveF







),( 

по носителям тока,

содержа- щимся в элементе dl:

   

BueBuveF







,),( 

, (В — магнитная индукция в том

месте, где помещается элемент dl). В

элементе провода содержится число

носителей, равное nS dl (n— число

носителей в единице объема, S —

площадь поперечного сечения провода

в этом месте).

Умножив полученное выражение на

число носителей, найдем

интересующую нас силу:

 

lSdBunenSdlFFd





,

Приняв во внимание, что ne<u>есть

плотность тока j a S dl дает объем

элемента провода dV, можно написать

 

VdBjFd





,

Отсюда можно

получить выражение для плотности

силы, т. е. для силы, действующей на

единицу объема проводника:

 

BjF

обед





Напишем формулу

 

VdBjFd





,

в виде

 

lSdBjFd



,

. Заменив S dl

через jS dl=I dl, придем к формуле

 

BldIFd



,

-эта формула

определяет силу, действующую на

элемент тока dl в магнитном поле,

была установлена экспериментально

Ампером и носит название закона

Ампера.

ДЕЙСТВИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

НА РАМКУ С ТОКОМ

Однородное магнитное поле

ориентирует рамку (т.е. создается

вращающий момент и рамка

поворачивается в положение, когда

вектор магнитной индукции

перпендикулярен плоскости рамки).

Неоднородное магнитное поле

ориентирует + притягивает или

отталкивает рамку с током.

Так, в магнитном поле прямого

проводника с током (оно неоднородно)

рамка с током ориентируется вдоль

радиуса магнитной линии и

притягивается или отталкивается от

прямого проводника с током в

зависимости от направления токов.

19. Движение заряженных частиц в

магнитном поле. Сила Лоренца

На заряд, движущийся в магнитном

поле, действует сила, которую мы

будем называть магнитной. Эта сила

определяется зарядом q, скоростью

его движения v и магнитной

индукцией В в той точке, где

находится заряд в рассматриваемый

момент времени. Простейшее

предположение заключается в том, что

модуль силы F пропорционален

каждой из трех величин q, v и В.

Кроме того, можно ожидать, что F

зависит от взаимной ориентации

векторов v и В. Направление вектора F

должно определяться направлениями

векторов v и В.

ы.

Опытным путем установлено, что сила

F, действующая на заряд, движущийся

в магнитном поле, определяется

формулой

 

BvkqF



,

, где к —

коэффициент пропорциональности,

зависящий от выбора единиц величин,

входящих в формулу. Отметим, что

соотношение эту формулу можно

рассматривать как определение

магнитной индукции В. Единица

магнитной индукции В — тесла —

определяется так, чтобы коэффициент

пропорциональности к в формуле был

равен единице. Следовательно, в СИ

эта формула имеет вид

 

BvqF



,

Модуль магнитной силы равен

)sin(



qvbF 

где α— угол между векторами v и В Из

последней формулы вытекает, что

заряд, движущийся вдоль линий

магнитного поля, не испытывает

действия магнитной сил Направлена

магнитная сила перпендикулярно к

плоскости, в которой лежат векторы v

и В. Если заряд q положителен,

направление силы совпадает с

направлением вектора [vB]. В случае

отрицательного q направления

векторов F и [vB] противоположны

(рис. 43.1 Сав. 124).

Поскольку магнитная сила всегда

направлена перпендикулярно к

скорости заряженной частицы, она не

совершает работы над частицей.

Следовательно, действуя на

заряженную частицу постоянным

магнитным полем, изменить ее

энергию нельзя. Если имеются

одновременно электрическое и

магнитное поля, сила, действующая на

заряженную частицу, равна

 

BvqEqF





,

. Это выражение

было получено из опыта Лоренцем и

носит название силы Лоренца или

лоренцевой силы

20. Вещество в магнитном поле.

Вектор наманниченности. Связь

молекулярных токов с величиной

вектора намагниченности. Магнитная

проницаемость, восприимчивость.

Если несущие ток провода находятся в

какой-либо среде, магнитное поле

изменяется. Это объясняется тем, что

всякое вещество является магнетиком,

т. е. способно под действием

магнитного поля приобретать

магнитный момент (намагничиваться).

Намагниченное вещество создает

магнитное поле В', которое

накладывается на обусловленное

токами поле В

. Оба поля в сумме

дают результирующее поле

BBB







. Истинное

(микроскопическое) поле в магнетике

сильно изменяется в пределах

межмолекулярных расстояний.

Под В подразумевается усредненное

(макроскопическое) поле. Для

объяснения намагничения тел Ампер

предположил, что в молекулах

вещества циркулируют круговые токи

(молекулярные токи). Каждый такой

ток обладает магнитным моментом и

создает в окружающем пространстве

магнитное поле. В отсутствие

внешнего поля молекулярные токи

ориентированы беспорядочным

образом, вследствие чего

обусловленное ими результирующее

поле равно нулю. В силу хаотической

ориентации магнитных моментов

отдельных молекул суммарный

магнитный момент тела также равен

нулю.

. Под действием поля магнитные

моменты молекул приобретают

преимущественную ориентацию в

одном направлении, вследствие чего

магнетик намагничивается — его

суммарный магнитный момент

становится отличным от

нуляМагнитные поля отдельных

молекулярных токов в этом случае

уже не компенсируют друг друга и

возникает поле В'. Намагничение

магнетика естественно

характеризовать магнитным моментом

единицы объема. Эту величину

называют намагниченностью (вектор

намагниченности) и обозначают

буквой J. Если магнетик намагничен

неоднородно, намагниченность в

данной точке определяется

следующим выражением:

где

V

— физически бесконечно

малый объем, взятый в окрестности

рассматриваемой точки,



магнитный момент отдельной

молекулы.

Суммирование производится по всем

молекулам, заключенным в объеме

V

. Поле В', так же как и поле Во,

не имеет источников. Поэтому

дивергенция результирующего поля В

равна нулю:





 BBB



Можно найти такую вспомогательную

величину, ротор которой определяется

лишь плотностью макроскопических

токов. Чтобы установить вид этой

вспомогательной величины, выразим

плотность молекулярных токов

мол

через намагниченность магнетика J.