Ширапов Д.Ш. Основы вычислительной математики. Выпуск 6. Методы решения дифференциальных уравнений с частными производными
Подождите немного. Документ загружается.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
Выпуск 6: Методы решения дифференциальных уравнений
с частными производными
Составитель: Ширапов Д.Ш.
Улан-Удэ, 2002 г.
Введение
Дифференциальные уравнения с частными производными встречаются в самых различ-
ных областях естествознания, причем решение их в аналитическом виде (в виде конечной
формулы) удается только в самых простых случаях. Поэтому становятся особенно важными
численные (приближенные) методы решения этих уравнений.
В методических указаниях будут кратко описаны численные методы решения некоторых
задач для дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка с двумя
независимыми переменными. При этом будут рассмотрены только методы решения линей-
ных дифференциальных уравнений с частными производными.
Наиболее широко распространенным и простым методом численного решения дифферен-
циальных уравнений с частными производными является метод сеток или метод конечных
разностей, поэтому основной упор, в методических указаниях, сделан на пояснение и описа-
ние этого метода.
1. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными
В общем случае дифференциальное уравнение с частными производными имеет вид
0),,,,,,,(
=
yyxyxxyx
uuuuuuyxF (1.1)
где x, у - независимые переменные, u - искомая функция, u
x
, u
y
, u
xx
, u
xy
, u
yy
– её первые и
вторые частные производные по аргументам x и y.
Решением уравнения (1.1) называется функция и= u(х, у), обращающая это уравнение в
тождество. График решения представляет собой поверхность в пространстве Охуu (инте-
гральная поверхность) (рис. 1).
Рис. 1.
Уравнение (1.1) называется вполне линейным, если оно первой степени относительно ис-
комой функции и всех ее производных и не содержит их произведений, т. е. если это уравне-
ние может быть записано в виде
),(2
2
22
2
2
yxFcu
y
u
b
x
u
a
y
u
C
yx
u
B
x
u
A =+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
, (1.2)
причем коэффициенты А, В, С, а, Ь, с могут зависеть лишь от х и у. В частном случае, если
эти коэффициенты не зависят от х и у, то уравнение (1.2) будет линейным дифференциаль-
ным уравнением с постоянными коэффициентами. Подробнее рассмотрим линейное диффе-
ренциальное уравнения (1.2).
Пусть D=АС-В
2
- дискриминант уравнения. В зависимости от знака функции D линейное
дифференциальное уравнение (1.2) относится в заданной области к одному из следующих
типов:
D > 0 — эллиптический тип;
D = 0 — параболический тип;
D < 0— гиперболический тип;
D не сохраняет постоянного знака—смешанный тип.
Тип линейного уравнения (1.2) является его важной особенностью и сохраняется при лю-
бом невырожденном преобразовании
ξ=φ(х, у), η=ψ(х, у), (1.3)
т. е. в таком, что якобиан
0
),(
ψ),(
≠
∂
∂
yx
ϕ
.
Пример 1.1. Температура и=и(х, у) точки (х, у) пластинки при стационарном распределении (т. е.
при распределении, не зависящем от времени) и отсутствии источников тепла удовлетворяет уравне-
нию Лапласа [1, 2]
0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
. (1.4)
Здесь А=1, В=0, С=1 и D=AС—В
2
> 0, т. е. уравнение (1.4) эллиптического типа.
Пример 1.2. Температура и=и(х, t) точки однородного тонкого стержня с абсциссой х для каж-
дого момента времени t удовлетворяет одномерному уравнению теплопроводности [2]
),(
2
2
2
txF
x
u
a
t
u
=
∂
∂
−
∂
∂
, (1.5)
где а - постоянная, зависящая от физических свойств стержня, и F(х, y) - функция, связанная с плот-
ностью источников распределения тепла. Если в стержне отсутствуют источники тепла, то уравнение
теплопроводности имеет вид
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
. (1.6)
Очевидно, что уравнения теплопроводности (1.5) и (1.6) - параболического типа.
Пример 1.3. Поперечное смещение и=и (х, у) точки однородной струны с абсциссой х (рис. 2) в
случае наличия внешней силы для каждого момента t удовлетворяет неоднородному одномерному
волновому уравнению [1, 2]
Рис. 2.
),(
2
2
2
2
2
txF
x
u
a
t
u
=
∂
∂
−
∂
∂
, (1.7)
где а - постоянная и F(х, t) - функция, зависящая от внешней силы.. Уравнение (1.7) носит название
уравнения колебаний струны. Если внешняя сила отсутствует (свободные колебания), то уравнение
колебаний струны имеет вид
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
. (1.8)
Уравнения колебаний струны (1.7) и (1.8) относятся к гиперболическому типу.
2. Начальные и краевые условия. Задача Коши.
Дифференциальное уравнение с частными производными имеет в общем случае бесчис-
ленное множество решений. Поэтому, если физический процесс описывается с помощью
уравнения с частными производными, то для однозначной характеристики этого процесса
нужно к уравнению присоединить какие-то дополнительные условия. Эти дополнительные
данные в простейшем случае состоят из начальных и краевых (граничных) условий. В сущ-
ности, различить эти условия можно лишь в том случае, если одна из независимых перемен-
ных дифференциального уравнения играет роль времени, а другая — пространственной ко-
ординаты (для случая двух независимых переменных). При этом условия, относящиеся к на-
чальному моменту времени, называются начальными, а условия, относящиеся к фиксирован-
ным значениям координат (обычно это координаты граничных точек рассматриваемого ли-
нейного континуума) — краевыми.
Пример 2.1. Пусть имеется теплоизолированный (кроме, может быть, концов) однородный нагре-
тый стержень 0
≤ x ≤ l , где I - длина стержня (рис. 3). Температура стержня u=u(х,t) в точке х (0<х<
/) для любого момента времени t удовлетворяет уравнению теплопроводности
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
, (2.1)
где а - постоянная.
Рис. 3.
В начальный момент t=t
o
внутренних точек стержня обычно задается начальное распределение
температуры. Это приводит к начальному условию
u(x, t
o
)=f(x) (2.2)
при 0 < х < I, где f(x) - известная функция. Условие (1.2) не обеспечивает однозначности решения
дифференциального уравнения (2.1), так как физически ясно, что распределение температуры u(х,t)
в стержне для последующих моментов времени t>t
o
существенно зависит от того, в каком состоянии
находятся концы стержня x=0 и х=1 (есть ли там утечка тепла, каков тепловой режим и т. п.).
В зависимости от состояния конца x=0 имеем следующие, основные краевые условия.
1. Конец стержня х=0 поддерживается при заданной' температуре
u(0, t
)=
ϕ
(t) (2.3)
где
ϕ
(t) - известная функция. В частности, если эта температура равна нулю, то краевое условие бу-
дет
u(0, t
)=0. (2.4)
2. Конец стержня х=0 теплоизолирован, т. е. утечка тепла в окружающую среду отсутствует:
u
х
(0, t
)=0. (2.5)
3. На конце стержня х=0 происходит лучеиспускание тепла в окружающую среду, температура
которой меняется по заданному закону
u(0, t
)+
α
u
х
(0, t
)=
ϕ
(t) (2.6)
где
α
- постоянная и
ϕ
(t) - известная функция. В частности, если температура внешней среды равна
нулю, то получим
u(0, t
)+
α
u
х
(0, t
)=0. (2.7)
Смешанное краевое условие (2.6) в некотором смысле можно считать общим, а именно, полагая
α
=0, получим краевое условие (2.3), а при
α
=∞ будем иметь краевое условие (2.5). Возможны и другие
типы краевых условии. Аналогичные краевые условия могут быть также для конца х=1. Комбинируя
краевые условия для концов х=0 и х=1, буцем иметь краевые задачи для стержня, которые при нали-
чии начального условия (2.2), вообще говоря, имеют единственные решения.
Пример 2.2. Рассмотрим свободные колебания однородной ограниченной струны длины I
(0<х< /). Поперечное смещение u=u(х,t) при 0<х</ для любого момента времени t удовлетворяет
волновому уравнению
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
∂
∂
=
∂
∂
, (2.8)
где а - постоянная. В начальный момент t=t
o
обычно задаются форма струны и распределение ско-
ростей ее точек. Это дает начальные условия
u(x, t
o
)=
ϕ
(x), u(x, t
o
)=
ϕ
1
(x), (2.9)
где
ϕ
(x) и
ϕ
1
(x) - известные функции, определенные в интервале 0<х<1. В зависимости от способов
заделки концов струны х=0 и х=1 будем иметь следующие основные краевые условия.
1.
Конец жестко закреплен:
u(0, t
)=0 (или u(l, t
)=0 ). (2.10’)
2. Конец упруго закреплен:
u
х
(0, t
) – k
1
u(0, t
)=0 (или u
х
(0, t
) – k
2
u(0, t
)=0 ), (2.10’’)
где k
1
и k
2
- положительные постоянные.
3. Конец свободен:
u
х
(0, t
)=0 (или u
х
(l, t
)=0 ). (2.10’’’)
При достаточной гладкости функций
ϕ
(x) и
ϕ
1
(x) задача (2.9) - (2.10) имеет единственное реше-
ние.
Теперь рассмотрим общую постановку задачи с начальными условиями. Пусть дано ли-
нейное дифференциальное уравнение
L[u]=F(x, y), (2.11)
где
L[u]= +
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
2
22
2
2
),(),(2),(
y
u
yxC
yx
u
yxB
x
u
yxA
uyxc
y
u
yxb
x
u
yxa ),(),(),( +
∂
∂
+
∂
∂
+
. (2.12)
Отыскание решения и=и(х, у) уравнения (2.11), удовлетворяющего начальным условиям
и(х, у
0
)=
ϕ
(x) , и
у
(х, у
0
)=
ϕ
1
(x) , (2.13)
называется задачей Коши, а сами условия носят название начальных данных Коши.
Задача Коши имеет простую геометрическую интерпретацию (рис. 4): требуется найти
интегральную поверхность и=и(х, у) уравнения (2.11), проходящую через данную простран-
ственную кривую
у= у
0
, и=
ϕ
(x)
Рис. 4.
и касающуюся в точках М(х, у
0
, и) этой кривой заданной системы векторов а, расположен-
ных в плоскостях x=сопst и составляющих с осью Оу угол
β
, определяемый равенством
tg
β
=
ϕ
1
(x).
Если рассматривать у как время, то задача Коши имеет следующую механическую трак-
товку: в начальный момент времени y=у
0
заданы форма плоской линии и=
ϕ
(х, у
0
) и рас-
пределение скоростей ее точек
∂
u/
∂
y=
ϕ
1
(х, у
0
). Предполагая, что каждая точка М(х, и) линии
движется параллельно оси Оu, причем дифференциальный закон движения дается уравнени-
ем (2.11), требуется определить форму линии для последующих моментов времени у>y
0
(рис. 5).
Рис. 5.
Условия (2.13) задают начальные данные Коши на прямой у=y
0
. Однако это не является
обязательным: можно задавать начальные данные на любой гладкой кривой
Ф(х, у)=0. (
γ
)
Таким образом, приходим к общей задаче Коши — найти решение
и=и(х, у) (2.14)
дифферециального уравнения (2.11), удовлетворяющее начальным условиям
u
γ
=
ϕ
(x, y) ,
x
u
∂
∂
γ
=
ϕ
1
(x, y). (2.15)
Вместо производной
x
u
∂
∂
можно задавать производную
у
u
∂
∂
, так как на кривой γ имеем
x
u
∂
∂
dx+
у
u
∂
∂
dy=d
ϕ
(x, y) ,
x
Ф
∂
∂
dx+
у
Ф
∂
∂
dy= 0 . (2.16)
Можно также задавать нормальную производную
n
u
∂
∂
=
x
u
∂
∂
cos(n, x)+
у
u
∂
∂
cos(n, y).
Задача Коши обычно ставится для линейного уравнения (2.11) гиперболического и пара-
болического типов.
Рис. 6. Рис. 7.
Если уравнение (2.11) гиперболического типа, то для единственности решения задачи
Коши необходимо, чтобы начальная кривая γ не являлась характеристикой [1]. Если это
последнее условие выполнено и начальные данные заданы на конечной дуге РQ кривой γ ,
то решение задачи Коши, вообще говоря, определено и однозначно в криволинейном тре-
угольнике РQR (область распространения}, образованном дугой РQ и дугами характери-
стик РR. и QR различных семейств, проходящих через концы Р и Q (рис. 6). Предпола-
гается, что коэффициенты дифференциального уравнения определены и непрерывны в соот-
ветствующей области.
Пусть начальные данные Коши для уравнения (2.11) заданы на отрезке а
≤
х
≤
Ь , а реше-
ние и=и(х, у) этого уравнения надо определить в полуполосе К{ а
≤
х
≤
Ь; 0
≤
у<
∞
} (рис. 7).
Тогда для однозначности этого решения дополнительно нужно задать условия на прямых
х=а и х=Ь, что приводит к смешанной задаче. Достаточно общей задачей этого типа явля-
ется нахождение в полуполосе К решения и=и(х,у) дифференциального уравнения (2.11),
удовлетворяющего начальным и граничным условиям:
u(x, 0)=
ϕ
(x), и
у
(х, 0)=
ϕ
1
(x) ( а
≤
х
≤
Ь, y=0 ) (2.17)
и
α
о
u(a, y)+
α
1
u
x
(a, y)=
ψ
(y),
β
о
u(b, y)+
β
1
u
x
(b, y)=
ψ
1
(y), (2.18)
где
α
о
+
α
1
≠0,
β
о
+
β
1
≠0, 0<y<
∞
.
Для уравнений эллиптического типа задача Коши обычно не рассматривается. Это
объясняется тем, что, как правило, задача Коши для уравнений этого типа поставлена не-
корректно, т. е. ничтожно малые изменения начальных данных могут повлечь сущест-
венное изменение решения.
3. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа
Исследования стационарных процессов различной физической природы (колебания, теп-
лопроводность и др.) часто приводят к уравнениям эллиптического типа
L[u]
≡
uyxc
y
u
yxb
x
u
yxa
y
u
x
u
),(),(),(
2
2
2
2
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=F(x, y), (3.1)
где а(х, у), Ь(х, у), с(х, у) и F(х, у) — непрерывные функции. Для этих уравнений обычно
ставятся лишь краевые задачи, так как задача Коши, как было cказано в предыдущем па-
раграфе, для уравнений эллиптического типа может быть некорректной.
Наиболее часто встречаются следующие краевые задачи.
Первая краевая задача. На контуре Г, ограничивающем область G (рис. 8), задана непре-
рывная функция
ϕ
(Р) =
ϕ
(х, у). Требуется найти функцию и(Р)=и(х, у) , удовлетво-
ряющую внутри G уравнению (3.1) и принимающую на границе заданные значения
ϕ
(Р) , т.
е. должны быть выполнены условия: L[и(Р)]=F[P] при P
∈
G;
и(Р)=
ϕ
(Р) при P
∈
Г.
Рис. 8.
Вторая краевая задача. На контуре Г, ограничивающем область G, задана непрерывная
функция
ϕ
1
(Р). Требуется найти функцию и(Р)=и(х, у) , удовлетворяющую внутри G урав-
нению (3.1), нормальная производная которой на Г принимает заданные значения
ϕ
1
(Р) , т.е.
требуется, чтобы
L[и(Р)]=F[P] при P
∈
G;
n
Pu
∂
∂
)(
=
ϕ
1
(Р) при P
∈
Г.
Третья краевая задача. На контуре Г, ограничивающем область G (рис. 8), задана непре-
рывная функция
ψ
(P)=
ψ
(x, y). Требуется найти функцию и(Р)=и(х, у) такую, чтобы
L[и(Р)]=F[P] при P
∈
G;
α
o
и(Р)+
α
1
n
Pu
∂
∂
)(
=
ψ
(P) при P
∈
Г,
где
α
о
+
α
1
≠0.
Третью краевую задачу можно рассматривать как общую. Действительно, при
α
o
=1 и
α
1
= 0 получаем первую краевую задачу, а при
α
o
= 0 и
α
1
=1 — вторую краевую задачу. За-
метим, что если область G ограниченная, то соответствующая краевая задача называется
внутренней, в противном случае — внешней. Для уравнения Лапласа
∆
u=0 первая краевая
задача называется задачей Дирихле, вторая — задачей Неймана и третья — смешанной крае-
вой задачей.
4. Уравнение Лапласа в конечных разностях
Для получения конечно-разностного уравнения, соответствующего уравнению Лапласа
2
2
2
2
y
u
x
u
∂
∂
+
∂
∂
=0, (4.1)
достаточно, выбрав шаг h>0, заменить производные
2
2
x
u
∂
∂
и
2
2
y
u
∂
∂
отношениями конечных
разностей по формулам
22
2
),(),(2)(
h
yhxuyxuhxu
x
u
−+−+
≈
∂
∂
,
22
2
),(),(2),(
h
hyxuyxuhyxu
y
u
−+−+
≈
∂
∂
.
Тогда будем иметь
2
),(),(2)(
h
yhxuyxuhxu
−
+
−
+
+
2
),(),(2),(
h
hyxuyxuhyxu
−
+
−
+
=0
и, отсюда
u(x,y)=1/4[u(x+h,y)+u(x-h,y)+u(x,y+h)+u(x,y-h)] (4.2)
Однако, для того, чтобы оценить точность такой замены используем формулу Тейлора
f(x+h,y+k)=f(x,y)+
∂
∂
+
∂
∂
k
y
h
x
f(x,y)+
!2
1
2
∂
∂
+
∂
∂
k
y
h
x
×
×
f(x,y)+…+
!
1
n
n
k
y
h
x
∂
∂
+
∂
∂
f(x+Θh,y+Θk), (4.3)
где 0 < Θ < 1.
При этом используются различные схемы. Рассмотрим две основные схемы.
Первая основная схема. Рассмотрим точки А(х, у), В(х-h, у), С(х+h, у), D(х, у+h), Е(х, у-
h), лежащие в центре квадрата и на серединах его сторон (рис. 9), и выразим значения функ-
ции и в точках В, С, D, Е через значения этой функции и ее производных в центральной
точке квадрата А(х, у). Согласно формуле (4.3), полагая в ней n=4, имеем:
Рис. 9.
u(x-h,y)= u(x,y) - hu
x
+
!2
1
2
h u
xx
-
!3
1
3
h u
xxx
+
xxxx
uh
4
!4
1
,
u(x+h,y)=u(x,y)+hu
x
+
!2
1
2
h u
xx
+
!3
1
3
h u
xxx
+
xxxx
uh
4
!4
1
, (4.4)
u(x,y-h)= u(x,y) – hu
y
+
!2
1
2
h
u
yy
-
!3
1
3
h
u
yyy
+
yyyy
uh
4
!4
1
,
u(x,y+h)= u(x,y)+ hu
y
+
!2
1
2
h u
yy
+
!3
1
3
h u
yyy
+
yyyy
uh
4
!4
1
,
где u
x
, u
y
, u
xx
, u
yy
, u
xxx
, u
yyy
- значения производных в точке А(х, у), а
xxxx
u
,
xxxx
u
,
yyyy
u ,
yyyy
u производные в некоторых промежуточных точках.
Складывая равенства (4.4), получим
u(x-h,y)+u(x+h,y)+u(x,y-h)+u(x,y+h)=
=4u(x,y)+
2
h (u
xx
+ u
yy
)+R
h
(x,y) , (4.5)
где остаточный член
R
h
(x,y)=
!4
4
h
[
xxxx
u
+
xxxx
u
+
yyyy
u +
yyyy
u ] при u
∈
C
(4)
имеет порядок О(h
4
). Отсюда будем иметь
u(x-h,y)+u(x+h,y)+u(x,y-h)+u(x,y+h)=4u(x,y)+
2
h
∆
u+О(h
4
),
и, следовательно,
∆
u=
2
1
h
[ u(x-h,y)+u(x+h,y)+u(x,y-h)+u(x,y+h)- 4u(x,y)]+О(h
2
) (4.6)
Формула (4.6) выражает оператор Лапласа
∆
u через конечные разности и называется
первой основной конечно-разностной формой оператора Лапласа. Отбрасывая в уравнении
(4.6) член О(h
2
), получим, что уравнению Лапласа
∆
u=0 приближенно соответствует сле-
дующее уравнение в конечных разностях:
u(x,y)=
4
1
[u(x+h,y)+u(x-h,y)+u(x,y+h)+u(x,y-h)] , (4.7)
что совпадает с уравнением (4.2).
Рис. 10.