Шевченко Т.Г., Мороз О.І., Тревого І.С. Геодезичні прилади

Подождите немного. Документ загружается.

зо Відомості з геометричної

оптики...

6. Відрізки, перпендикулярні до оптичної осі, вважають

додатними, якщо вони спрямовані догори над оптичною віссю і

від'ємними, якщо донизу (у і -у', рис. 1.21).

1.3.2. Кардинальні елементи ідеальної центрованої

оптичної системи

Серед безлічі точок простору предметів, звичайно, є й не-

скінченно віддалені точки. Множиною таких точок є нескінченно

віддалена площина, у якій розміщена точка, що належить

оптичній осі. Пучок променів, що вийшов з неї, паралельний до

оптичної осі (йому належить промінь ЗО, рис. 1.20), досягає за-

ломлювальної поверхні ідеальної центрованої оптичної системи.

Рис. 1.20. Кардинальні елементи оптичної системи

Ця система заломлює промінь (Б' Р' у просторі зображень)

і забезпечує побудову на оптичній осі точки, спряженої із

нескінченно віддаленою точкою у просторі предметів. Ця точка

¥' звичайно розташована на оптичній осі і її називають заднім

фокусом оптичної системи. Площину, що проходить через задній

фокус ¥' перпендикулярно до оптичної осі, називають задньою

фокусною площиною оптичної системи.

Дію усіх заломлювальних поверхонь оптичної системи

можна замінити дією пари умовних спряжених площин, перпен-

дикулярних до оптичної осі. Одну з цих площин називають

задньою головною площиною оптичної системи, а точку пере-

тину її Я' з оптичною віссю - задньою головною точкою оптич-

31 Відомості з геометричної

оптики...

ної системи. Задня головна площина проходить через точку

перетину продовження променя або самого променя, що

поширюється у просторі предметів паралельно до оптичної осі

(промінь 5Б) з продовженням цього самого променя або самого

променя {Р'Б'), який, пройшовши оптичною системою, перетнув

оптичну вісь у точці ¥', тобто пройшов через її задній фокус.

Відстань /' між задньою головною точкою Н' і заднім фокусом

Р' називають задньою фокусною віддаллю оптичної системи.

Викладене однозначно стосується зворотного ходу про-

менів через оптичну систему, тобто променів, що мають на-

прямок справа - наліво. У такому разі другу площину, що є

спряженою із задньою головною площиною (у зворотному ході

променів), називають передньою головною площиною, а точку

перетину Н її з оптичною віссю - передньою головною точкою.

Передня головна площина проходить через точку перетину

продовження променя або самого променя, що поширюється у

просторі зображень (зворотний хід) паралельно до оптичної осі

(промінь 5'О') з продовженням цього променя або ж самого

променя (РО), який, пройшовши оптичною системою, перетнув

оптичну вісь у точці Р, пройшов через її передній фокус.

Передній фокус Р оптичної системи пов'язаний з простором

предметів. З точкою Р спряжена нескінченно віддалена точка на

оптичній осі у просторі зображень. Площину, що проходить через

передній фокус Р перпендикулярно до оптичної осі, називають

передньою фокусною площиною оптичної системи. Віддаль /

між передньою головною точкою Н і переднім фокусом Р на-

зивають передньою фокусною віддаллю оптичної системи.

Фокуси, фокусні площини, головні площини, головні точки

і фокусні віддалі називають кардинальними елементами оптичної

системи.

На рис. 1.20 є дві пари спряжених променів та їхніх продов-

жень: 573 і И'Р', а також РО і О'З'. Точки В \ [У, що належать

головним площинам, розташовані на одній і тій самій віддалі Н від

оптичної осі. Вони є результатом перетину однієї пари променів,

спряжених з іншою парою. Точки Б і іУ також спряжені.

Відомості з геометричної

оптики...

Для фокусних віддалей справедливі залежності

Н Н

/' = —--,/= — , (1-23)

(§со' о)

де со' - кут між променем, що пройшов оптичну систему, та

оптичною віссю у просторі зображень (прямий хід променів);

со - кут між променем, що пройшов оптичну систему та оп-

тичною віссю у просторі предметів (зворотний хід променів). Для

параксіальної оптики

Г = А. (1-24),

со '

/=- (1-25)

со

Якщо оптична система розміщена в однорідному середо-

вищі, наприклад, у повітрі /' = -/.

1.3.3. Залежність між положенням предмета

та його зображенням (рівняння Ньютона)

На рис. 1.21 ідеальна оптична система задана карди-

нальними елементами. У просторі предметів розташований від-

різок АВ -1, який перпендикулярний до оптичної осі. Зображен-

ня точки В - точка В' є перетином двох променів у просторі

зображень, спряжених з променями простору предметів, які про-

ходять через точку В. Промінь 1 у просторі предметів пара-

лельний до оптичної осі. На задній головній площині у точці М'

він заломлюється, змінює свій напрямок і у просторі зображень

спряжений йому промінь Ґ проходить через задній фокус ¥'.

Промінь 2 у просторі предметів проходить через точку В і

передній фокус ¥ . У точці К , що належить передній головній

площині, він також заломлюється, змінює свій напрямок і у

просторі зображень спряженим з ним буде промінь 2', пара-

лельний до оптичної осі. Отже, точка В', що одержана у

результаті перетину променів Ґ і 2', є зображенням точки В .

33 Відомості з геометричної

оптики...

М'

Рис. 1.21. Розрахункова схема для виведення рівняння Ньютона

Відрізок І перпендикулярний до оптичної осі, тому його

продовження перетнеться з передньою головною площиною у

нескінченно віддаленій точці, зображення якої розташоване

також у нескінченно віддаленій точці задньої головної площини.

Тому зображення відрізка / розташоване на прямій, що проходить

через цю нескінченно віддалену точку В', тобто на прямій, що

паралельна задній головній площині і, відповідно, перпен-

дикулярна до оптичної осі. Отже, зображення відрізка / (відрізок

-Ґ

А'В') перпендикулярне до оптичної осі, а точка А' є

зображенням точки А.

Положення точки А відносно переднього фокуса Р виз-

начає відрізок —х, положення точки А' відносно заднього

фокуса Р' відрізок х . З двох пар подібних трикутників АВР і

НКР, а також Н'М'Р' і А'В'Р' можна записати

І -X /'

(1.26)

Вираз

хх' = ії\

(1.27)

34 Відомості з геометричної оптики...

який одержано із залежності (1.26), називають рівнянням Нью-

тона. Коли оптична система розміщена у однорідному сере-

довищі, зокрема повітрі, -/ = /', тоді рівняння Ньютона набере

вигляду

хх' =

-(/')

(1.28)

Положення точок А і А' відносно головних площин задано

відрізками -а і а відповідно. Згідно з рис. 1.21 х

а-/ і

х'

—

а - /'. Якщо підставити вирази для х та х у рівняння Нью-

тона (1.27), маємо

(а-/)(а'-/')

= #'. (1.29)

Після розкриття дужок у лівій частині виразу (1.29) та по-

членного поділу на аа одержимо залежність для визначення

положення спряжених точок, розташованих на оптичній осі

(1-30)

а а

яку називають формулою відрізків.

Коли / = -/', то залежність (1.30) набере вигляду

А-Н- (ізі)

а а /

1.3.4. Збільшення оптичної системи

Відношення величини зображення (наприклад, відрізок у

рис. 1.21) до величини предмета (відрізок у рис. 1.21) називають

лінійним збільшенням /З

= 7 = —= (1-32)

І х /

Для пари спряжених площин, що перпендикулярні до

оптичної осі, лінійне збільшення є сталим значенням, яке не

залежить від величини і напрямку відрізку. Зображення будь-якої

плоскої фігури, розташованої в такій площині, геометрично

подібне до цієї фігури. Коли (3 > 0, зображення пряме, а коли

Р < 0, - обернене.

35 Відомості з геометричної оптики...

Кутовим збільшенням оптичної системи називають відно-

шення тангенса кута між променем та оптичною віссю у просторі

зображень до тангенса спряженого з ним кута у просторі

предметів (рис. 1.20)

(і.зз)

(§Со

Поздовжнім збільшенням а оптичної системи називають

відношення нескінченно малого відрізка, що розташований

вздовж оптичної осі у просторі зображень, до спряженого з ним

відрізка у просторі предметів

а = (1.34)

ох

Щоб знайти відношення ^*

/~)

> необхідно продиференцію-

вати формулу Ньютона хх - по х та х

хдх'

х'дх = 0, (1.35)

звідки

дх' х' ,,

а = — = —

•

(1.36)

ОХ X

1.3.5. Заломлення променів сферичною поверхнею.

Закон Лагранжа-Гельмгольца

Сферична поверхня радіусом г (рис. 1.22) з центром у

точці С є межею двох оптичних середовищ із показниками за-

ломлення п і гі відповідно. Точка перетину 5 заломлювальної

поверхні з оптичною віссю є її вершиною. З точки А на

сферичну поверхню падає параксіальний промінь АЕ. Залом-

лений промінь ЕА' перетне оптичну вісь у точці А' і так само

буде параксіальним. Промінь, що падає та заломлений промінь

утворюють з оптичною віссю кути - о) і со відповідно. Кут па-

діння променя - і , заломлення - і', СЕ - нормаль до сферичної

поверхні. £7У =

/г

- перпендикуляр до оптичної осі, а - кут між

Відомості з геометричної

оптики...

нормаллю СЕ та оптичною віссю. Згідно із властивостями па-

раксіальної оптики кути со, со', і, і', а - малі. Це саме

стосується й відрізків Н та N8 .

Рис. 1.22. Заломлення параксіального променя

сферичною поверхнею

Для параксіального променя закон заломлення

•

піп і = п

• .чіп

і' має вигляд

пі = пґ. (1-37)

Кут і для трикутника АЕС є зовнішнім, тому -

= -й)

а.

Для трикутника ЕСА' а = -і'

+ со

, або і'-со - а. Підставивши

значення кутів і та і' у залежність (1.37), отримаємо

п (со-а) = п (со'-а). (1.38)

Н Н

З трикутника ЕМС піп а = =

—

. Згідно з умовами па-

ЕС г

раксіальності зіп а можна замінити на а. Тоді

а = ~. (1.39)

Нехтуючи відрізком N8 , оскільки він є величиною другого

порядку малості (віддаль від кривої до хорди), з трикутника

АЕМ {§ со

—, або

а = ~. (1.40)

37 Відомості з геометричної

оптики...

Аналогічно з трикутника ЕИА'

0)=-,. (1.41)

Підставивши у залежність (1.38) значення кутів а, со і со

з виразів (1.39)...(1.41), після скорочення на Ь отримаємо за-

лежність

\ П , ( і і

І =

Ка г,

(1.42)

яка відома як формула Аббе або параксіальний інваріант Аббе.

Формула Аббе пов'язує віддалі а і а , які не залежать від

величини со, а залежать тільки від сталих п, п , г.

Всі параксіальні промені, що вийшли з точки А під

різними, але обов'язково малими (параксіальними) кутами, після

заломлення пройдуть через одну й ту саму точку А' - точку

зображення. Отже, гомоцентричність пучка параксіальних про-

менів після проходження заломлювальної поверхні не пору-

шується. Ці висновки стосуються й центрованої оптичної систе-

ми, яка містить декілька заломлювальних поверхонь, позаяк

параксіальність променів впродовж проходження ними оптичної

системи зберігається.

Формулу Аббе у вигляді виразу

4-- = — , (1.43)

а а г

що одержаний з (1.42), називають рівнянням параксіального

променя.

Коли на сферичну поверхню падає параксіальний промінь

АМ (рис. 1.23), що паралельний до оптичної осі, спряжений з

ним у просторі зображень промінь МІ

' перетне оптичну вісь у

точці ¥', що є заднім фокусом заломлювальної поверхні. Для

параксіальних променів обидві головні площини заломлювальної

поверхні - задня і передня - збігаються одна з одною і проходять

через її вершину 5. Точка М є спільною для променя, що падає,

АМ та заломленого МР' променя, тому вона розташована у

задній головній площині і розташована на нескінченно малій

Відомості з геометричної

оптики...

віддалі від вершини 5. Параксіальному променю А'М\, що по-

ширюється з простору зображень паралельно до оптичної осі,

відповідає спряжений йому у просторі предметів промінь М\Р ,

який проходить через точку Р, що є переднім фокусом залом-

лювальної поверхні. Точка М] також є спільною для променя,

що падає А'М\, та заломленого М\Р променя і має міститися у

передній головній площині заломлювальної поверхні. Нехтуючи

відрізком N5, можна вважати, що передня головна площина є

дотичною до сферичної заломлювальної поверхні у точці 5.

Рис. 1.23. Фокусні віддалі заломлювальної поверхні

Коли точка А розташована у просторі предметів у нескін-

ченності (а —»оо) відрізок а дорівнює задній фокусній віддалі

/' (а' = /'). Підставляючи значення а і а' в залежність (1.43),

отримаємо вираз для задньої фокусної віддалі сферичної по-

верхні

Ґ = (1-44)

п —п

Коли у просторі зображень у нескінченності розташована

точка А' (а —» ), а = / . Підставляючи а ->

сю

- / у за-

лежність (1.43), одержимо вираз для передньої фокусної віддалі

сферичної поверхні

ТІ ґ

(1.45)

п -п

39 Відомості з геометричної

оптики...

Поділивши (1.44) на (1.45), маємо залежність між фокус-

ними віддалями однієї заломлювальної поверхні

Г! Г

4 = (1.46)

/ П

Залежність (1.46) свідчить, що відношення фокусних від-

далей дорівнює відношенню показників заломлення до і після

проходження променем заломлювальної поверхні. Це відношення

справедливе для будь-якої оптичної системи. Найчастіше сере-

довищем простору предметів та простору зображень є повітря,

тому п = п = 1, а значить / = -/'.

Загалом числове значення інваріанта Аббе (1.42) є сталим

лише для однієї заломлювальної поверхні, але існують інва-

ріанти, що зберігають постійне числове значення після прохо-

дження променем всією оптичною системою, яка містить будь-

яку кількість поверхонь. Такі інваріанти називають загальними і

надалі розглядатимемо саме їх.

Ілюстрацією загального інваріанта є рис. 1.22. Сферична

поверхня зображує відрізок АВ =

як А'В' = -/'. Промінь від

точки В до В' проходить через центр кривини С сферичної

поверхні і не заломлюється, позаяк він є нормаллю до цієї

поверхні і кут його падіння дорівнює нулеві. З подібності

—і

—

трикутників АВС і А'В'С' випливає — = , або

—а

+ г

г-а

І г-а

(1.47)

—

З виразу (1.42) можна знайти відношення , для чого

г-а

п(г-а) п (г-а )

(1.42) необхідно подати у вигляді = ; , або

аг аг

= (1.48)

г-а па