Щеглов О.О., Неделько Є.Ю. Збірник задач з вищої математики для студентів економічних спеціальностей
Подождите немного. Документ загружается.
̲ͲÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎѲÒÈ ² ÍÀÓÊÈ ÓÊÐÀ¯ÍÈ
Íàö³îíàëüíèé óí³âåðñèòåò êîðàáëåáóäóâàííÿ
³ìåí³ àäì³ðàëà Ìàêàðîâà
Î. Î. Ùåãëîâ, ª. Þ. Íåäåëüêî
ÇÁ²ÐÍÈÊ ÇÀÄÀ× Ç ÂÈÙί ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ
ÄËß ÑÒÓÄÅÍҲ ÅÊÎÍÎ̲×ÍÈÕ
ÑÏÅÖ²ÀËÜÍÎÑÒÅÉ
Ðåêîìåíäîâàíî Ìåòîäè÷íîþ ðàäîþ ÍÓÊ
Ìèêîëà¿â 2005
2
ÓÄÊ 517: 330.4 (075.8)
ÁÁÊ 22.11ÿ7
Ù33
Ðåêîìåíäîâàíî ìåòîäè÷íîþ ðàäîþ ÍÓÊ ÿê íàâ÷àëüíèé ïîñ³áíèê
Ðåöåíçåíò êàíä. ô³ç.-ìàò. íàóê, äîö. À.Ì. Êóçíåöîâ
Ùåãëîâ Î.Î., Íåäåëüêî ª.Þ.
Çá³ðíèê çàäà÷ ç âèùî¿ ìàòåìàòèêè äëÿ ñòóäåíò³â åêîíîì³÷-
íèõ ñïåö³àëüíîñòåé. Ìèêîëà¿â: ÍÓÊ, 2005. 52 ñ.
Ó ïîñ³áíèêó íàâîäÿòüñÿ ïðèêëàäè ðîçâ'ÿçóâàííÿ çàäà÷, à
òàêîæ çàâäàííÿ äëÿ ñàìîñò³éíî¿ ðîáîòè ç îñíîâíèõ ðîçä³ë³â
âèùî¿ ìàòåìàòèêè. Àêöåíò çðîáëåíèé íà åêîíîì³÷íèé çì³ñò
çàäà÷.
Çàäà÷íèê ðîçðàõîâàíèé íà ñòóäåíò³â åêîíîì³÷÷íèõ ñïåö³-
àëüíîñòåé.
ÓÄÊ 517: 330.4 (075.8)
ÁÁÊ 22.11ÿ7
Ùåãëîâ Î.Î., Íåäåëüêî ª.Þ., 2005
Âèäàâíèöòâî ÍÓÊ, 2005
3
Ðîçä³ë 1. ˲ͲÉÍÀ ÀËÃÅÁÐÀ
1.1. Ìàòðèö³. ij¿ íàä ìàòðèöÿìè
Ïðèêëàäè ðîçâ'ÿçóâàííÿ çàäà÷
Çàäà÷à 1.1. Ìàëå ï³äïðèºìñòâî âèðîáëÿº ÷îòèðè âèäè ïðîäóê-
ö³¿: À, Â, Ñ òà D, âèêîðèñòîâóþ÷è íà êîæíó ç íèõ ð³çíó ê³ëüê³ñòü
äâîõ ìàòåð³àë³â òà ïðàö³ (ê³ëüêîñò³ ðîáî÷èõ ãîäèí). Êîíêðåòíà
³íôîðìàö³ÿ âêàçàíà â òàáë. 1.1.
Òàáëèöÿ 1.1
Âèð³á À Â Ñ D
Îäèíèö³ ìàòåð³àëó:
X
Y
250
160
300
230
170
75
200
0
ʳëüê³ñòü ðîáî÷èõ ãîäèí 80 85 120 100
Çàïèñàòè äàí³ ó âèãëÿä³ ìàòðèö³. Äàòè òëóìà÷åííÿ äðóãîìó
ðÿäêó òà òðåòüîìó ñòîâï÷èêó ìàòðèö³.
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. Çàïèñóºìî äàí³ òàáëèö³ ó âèãëÿä³ ìàòðèö³ ðîç-
ì³ðó 3 ×4:
=
1001208580
075230160
200170300250
F
.
Êîæåí ðÿäîê òà êîæåí ñòîâïåöü ö³º¿ ìàòðèö³ ìຠïåâíèé çì³ñò.
Íàïðèêëàä, åëåìåíòè äðóãîãî ðÿäêà âêàçóþòü ê³ëüê³ñòü ìàòåð³à-
ëó Y, âèòðà÷åíîãî íà âèðîáíèöòâî ïðîäóêö³¿ À, Â, Ñ òà D, åëåìåí-
òè òðåòüîãî ñòîâïöÿ ìàòðèö³ ê³ëüê³ñòü âèòðà÷åíèõ ìàòåð³àë³â
X, Y òà ðîáî÷èõ ãîäèí íà âèðîáíèöòâî ïðîäóêö³¿ Ñ.
Çàäà÷à 1.2. Äàíî ö³íè íà îñíîâí³ òà äîäàòêîâ³ êîìïëåêòóþ÷³
äëÿ êîìï'þòåð³â, ãð. îä. (òàáë. 1.2).
Òàáëèöÿ 1.2
Ïðîöåñîð Ìîí³òîð Ïðèíòåð Îñíîâí³
êîìïëåêòóþ÷³
200 300 400
³í÷åñòåð Ñêàíåð Ìîäåì Äîäàòêîâ³
êîìïëåêòóþ÷³
80 80 40
4
4
Çàìîâëåííÿ äâîõ ô³ðì íà ö³ êîìïëåêòóþ÷³ ïîäàí³ ó òàáë. 1.3,
äå 10 ê³ëüê³ñòü ïðîöåñîð³â (â³í÷åñòåð³â); 12
ê³ëüê³ñòü ìîí³òîð³â (ñêàíåð³â); 15 ê³ëüê³ñòü
ïðèíòåð³â (ìîäåì³â), ùî çàìîâëÿº ïåðøà ô³ð-
ìà; ó äðóãîìó ñòîâï÷èêó â³äïîâ³äíî íàâåäåíî
çàìîâëåííÿ äðóãî¿ ô³ðìè.
Çíàéòè ê³ëüê³ñòü ãðîøåé, âèòðà÷åíèõ íà
ïðèäáàííÿ îñíîâíèõ òà äîäàòêîâèõ êîìïëåêòó-
þ÷èõ äëÿ êîæíî¿ ç ô³ðì.
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. Çàïèøåìî ìàòðèöþ ö³í À òà ìàòðèöþ çàìîâ-
ëåíü Â:
=
408080
400300200
A
;
=
1815
1012
2010
B
.
ʳëüê³ñòü âèòðà÷åíèõ ãðîøåé çíàõîäèìî, ïåðåìíîæóþ÷è ìàò-
ðèöþ ö³í íà ìàòðèöþ çàìîâëåíü:
.
31202360
1420011600
1815
1012
2010
408080
400300200
=
⋅
=⋅=
ÂÀÑ
³äïîâ³äü: äëÿ ïåðøî¿ ô³ðìè ïðèäáàíî îñíîâíèõ êîìïëåêòóþ-
÷èõ íà ñóìó 11600 ãð. îä., äîäàòêîâèõ íà ñóìó 2360 ãð. îä. Äëÿ
äðóãî¿ ô³ðìè ö³ ÷èñëà ñêëàäàþòü â³äïîâ³äíî 14200 òà 3120 ãð. îä.
Çàäà÷à 1.3. à) Íåõàé íà âèïóñê äâîõ âèä³â ê³íöåâî¿ ïðîäóêö³¿ Â
1
³ Â
2
âèêîðèñòîâóþòüñÿ ìàòåð³àëè D
1
, D
2
, D
3
, D
4
, ÿê³ âèòðà÷àþòüñÿ
ÿê áåçïîñåðåäíüî íà âèãîòîâëåííÿ âèðîá³â Â
1
, Â
2
, òàê ³ ïðîì³æíèõ
âóçë³â Ñ
1
, Ñ
2
, Ñ
3
. Òåõíîëîã³÷íà ñõåìà ïðîöåñó òà ê³ëüê³ñòü ìàòåð³àëó
íà îäèíèöþ ê³íöåâèõ âèðîá³â ³ âóçë³â çàäàþòüñÿ òàêîþ ñõåìîþ:
Òàáëèöÿ 1.3
Ô³ðìè
² ²²
10 20
12 10
15 18
!
D
D
D
!
D
"
"
!
"
"
#
#
!
!
B
1
5
Ñêëàñòè ìàòðèöþ ïîòðåá ó ê³ëüêîñòÿõ âèõ³äíîãî ìàòåð³àëó
òà âóçë³â íà âèãîòîâëåííÿ îäèíèö³ ê³íöåâî¿ ïðîäóêö³¿.
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. ³äïîâ³äíà ìàòðèöÿ ïîòðåá çã³äíî ç³ ñõåìîþ
îïèñóºòüñÿ òàêîþ ìàòðèöåþ:
4
3
2
1
3
2
1
2
1
D
D
2320
148
615
04
20
24
01
10
01
D
D
Ñ
Ñ
Ñ
Â
Â
Ò
=
Âèòðàòè ìàòåð³àëó D
2
: Â
1
: 15=3⋅4 + 1⋅1 + 2; Â
2
: 6=3⋅2.
Âèòðàòè ìàòåð³àëó D
3
: Â
1
: 8=2⋅4; Â
2
: 14=2⋅2 + 4 + 3⋅2.
Âèòðàòè ìàòåð³àëó D
4
: Â
1
: 20=5⋅4; Â
2
: 23=5⋅2 + 5⋅2 + 3.
á) Íåõàé ÷àñ âèãîòîâëåííÿ îäèíèö³ ïðîäóêö³¿ íà âåðñòàòàõ Å
1
,
Å
2
, Å
3
, Å
4
, Å
5
çàäàºòüñÿ ìàòðèöåþ
Â
1
Â
2
Ñ
1
Ñ
2
Ñ
3
D
1
D
2
D
3
D
4
5
4
3
2
1
.
2,01,05,01,07,0
3,04,02,01,06,0
2,01,06,02,0
1,06,04,02,0
5,02,01,0
Å
Å
Å
Å
Å
Z
=
Ìàòðèöÿ ê³ëüêîñò³ ïðîäóêö³¿ ìຠâèãëÿä
.
100
50
2
1
Â
Â
G
=
Îá÷èñëèòè çàâàíòàæåí³ñòü îáëàäíàííÿ.
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. ×àñ ðîáîòè âåðñòàò³â ïî âèãîòîâëåííþ îäèíè-
ö³ ïðîäóêö³¿ Â
1
³ Â
2
äîð³âíþº äîáóòêó ìàòðèöü Z⋅T:
Â
1
Â
2
6
2320
148
615
04
20
24
01
10
01
2,01,05,01,07,0
3,04,02,01,06,0
2,01,06,02,0
1,06,04,02,0
5,02,01,0
Â
=
⋅
=
5
4
3
2
1
.
9,612,140
7,29,6
4,62,7
5,136,13
34,8
Å
Å
Å
Å
Å
=
Çíàþ÷è ê³ëüê³ñòü ïðîäóêö³¿, ÿêó ïîòð³áíî âèïóñòèòè, é âèòðà-
òè ÷àñó íà â³äïîâ³äíèõ âåðñòàòàõ íà îäèíèöþ ïðîäóêö³¿, îá÷è-
ñëþºìî çàâàíòàæåí³ñòü îáëàäíàííÿ Ò
0
:
=⋅=
9,612,140
7,29,6
4,62,7
5,136,13
34,8
0
GBT
⋅
100
50
.
13200
615
1000
2830
720
=
Çàäà÷à 1.4. Çíàõîäæåííÿ âèòðàò ñèðîâèíè, ïàëèâà òà òðóäî-
âèõ ðåñóðñ³â.
Ó òàáë. 1.4 äëÿ ðîçãëÿíóòîãî ï³äïðèºìñòâà çàäàí³ âèòðàòí³
íîðìè äâîõ âèä³â ñèðîâèíè òà ïàëèâà íà âèðîáíèöòâî îäèíèö³
ïðîäóêö³¿ êîæíîãî öåõà, òðóäîì³ñòê³ñòü â ëþäèíî-ãîäèíàõ íà
îäèíèöþ ïðîäóêö³¿, âàðò³ñòü îäèíèö³ â³äïîâ³äíî¿ ñèðîâèíè òà âàð-
ò³ñòü îäí³º¿ ðîáî÷î¿ ëþäèíî-ãîäèíè.
Â
1
Â
2
Òàáëèöÿ 1.4
Íîðìè âèòðàò öåõ³â
Ïîêàçíèêè
1 2 3
Âàðò³ñòü
Ñèðîâèíà
À
1,4 2,4 0,8 5,0
Ñèðîâèíà
Â
0 0,6 1,6 12,0
7
Çàäàíî òàêîæ ìàòðèöþ âàëîâîãî âèïóñêó ïðîäóêö³¿:
=
400
186
238
C
.
Òðåáà çíàéòè ñóìàðí³ âèòðàòè ñèðîâèíè, ïàëèâà, òðóäîâèõ
ðåñóðñ³â äëÿ âèêîíàííÿ ïðîãðàìè ï³äïðèºìñòâà.
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. Òàáëèöÿ äîçâîëÿº ñêëàñòè ìàòðèöþ íîðì âè-
òðàò ñèðîâèíè, ïàëèâà òà ïðàö³ ðîçì³ðó 4×3:
=
202010
2,28,12
6,16,00
8,04,24,1
D
.
Ñóìàðí³ âèòðàòè ñèðîâèíè, ïàëèâà, òðóäîâèõ ðåñóðñ³â äëÿ âè-
êîíàííÿ ïðîãðàìè ï³äïðèºìñòâà îäåðæèìî øëÿõîì ìíîæåííÿ ìàò-
ðèö³ íîðì âèòðàò D íà ìàòðèöþ Ñ âàëîâîãî âèïóñêó ïðîäóêö³¿:
.
1412
1692
752
1100
400201862023810
4002,21868,12382
4006,11866,02380
4008,01864,22384,1
400
186
238
202010
2,28,12
6,16,00
8,04,24,1
=
⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅
⋅+⋅+⋅
=
⋅
=⋅
CD
Îòæå, äëÿ âèêîíàííÿ ïðîãðàìè ï³äïðèºìñòâà òðåáà âèòðàòè-
òè: ñèðîâèíè À 1100 îä., ñèðîâèíè Â 752 îä., ïàëèâà 1692 îä.,
ðîáî÷èõ ëþäèíî-ãîäèí 1412.
Çàäà÷³ äëÿ ñàìîñò³éíî¿ ðîáîòè
Çàäà÷à 1.5. Áðèãàä³ ðîá³òíèê³â ç ÷îòèðüîõ ÷îëîâ³ê áóëè íàðàõî-
âàí³ çàðîá³òíà ïëàòà çà ïåðøèé êâàðòàë ïîòî÷íîãî ðîêó (òàáë. 1.5)
³ ïðåì³ÿ (òàáë. 1.6).
Íîðìè âèòðàò öåõ³â
Ïîêàçíèêè
1 2 3
Âàðò³ñòü
Ïàëèâî 2,0 1,8 2,2 2,0
Òðóäîì³ñòê³ñòü 10,0 20,0 20,0 1,2
Ïðîäîâæ. òàáë. 1.4
8
Íà çàãàëüíó ñóìó çàðîáëåíèõ ãðîøåé (çàðîá³òíà ïëàòíÿ + ïðå-
ì³ÿ) íàðàõîâóºòüñÿ ïîäàòîê 15 %.
Îá÷èñëèòè, ÿêó îñòàòî÷íó ñóìó îòðèìàþòü ÷ëåíè áðèãàäè é
çàïèñàòè ¿¿ â ìàòðè÷í³é ôîðì³.
³äïîâ³äü: îñòàòî÷íà ìàòðèöÿ âèïëàò ï³ñëÿ îïîäàòêóâàííÿ
.
75,16515347,148
25,1745,161153
15375,1485,144
2215,212187
=
Ñ
Çàäà÷à 1.6. Òðè òîðã³âåëüí³ ô³ðìè ðåàë³çóþòü öóêîð, áîðîøíî
òà ìàñëî âåðøêîâå çã³äíî ç ìàòðèöåþ
,
9090160
60140100
5012080
=
Â
äå ïåðøèé ñòîâï÷èê âêàçóº, ñê³ëüêè öóêðó, áîðîøíà òà ìàñëà ðå-
àë³çóâàëà ïåðøà ô³ðìà (êã), äðóãèé ³ òðåò³é ñòîâï÷èêè äðóãà ³
òðåòÿ ô³ðìè â³äïîâ³äíî.
Çàäàíî ìàòðèöþ ö³í íà âêàçàí³ òîâàðè:
()
226,043,0
=
À
ãð. îä.
Çíàéòè äîõîä, îòðèìàíèé êîæíîþ ô³ðìîþ â³ä ðåàë³çàö³¿ òîâàðó.
³äïîâ³äü: ïåðøà ô³ðìà îòðèìàëà äîõîä 180,6 ãð. îä., äðóãà
268 ãð. îä., òðåòÿ 118,6 ãð. îä.
Çàäà÷à 1.7. Çàäàíî ìàòðèöþ âêëàä³â À íà ê³íåöü ðîêó. Ïåð-
øèé ðÿäîê ìàòðèö³ À ñêëàäàþòü âêëàäè þðèäè÷íèõ îñ³á, äðóãèé
âêëàäè ô³çè÷íèõ îñ³á (ãð. îä.):
Òàáëèöÿ 1.5
Òàáëèöÿ 1.6
Çàðîá³òíà ïëàòíÿ, ãð. îä.
Áðè-
ãàäà
ѳ÷åíü Ëþòèé
Áåðå-
çåíü
1 160 185 190
2 135 140 145
3 140 145 160
4 135 145 155
Ïðåì³ÿ, ãð. îä.
Áðè-
ãàäà
ѳ÷åíü Ëþòèé
Áåðå-
çåíü
1 60 65 70
2 35 35 35
3 40 45 45
4 40 35 40
9
.
2000250015002000
14000120004000015000
=
À
Ïåðåðàõóâàòè âêëàäè þðèäè÷íèõ ³ ô³çè÷íèõ îñ³á ç óðàõóâàí-
íÿì 10 % ³íôëÿö³¿ òà äîäàòêîâèõ íàäõîäæåíü íà ðàõóíêè þðèäè÷-
íèõ ³ ô³çè÷íèõ îñ³á (ìàòðèöÿ Â):
.
600700500500
5000700060007000
=
Â
³äïîâ³äü: îñòàòî÷íà ìàòðèöÿ âêëàä³â Ñ ç óðàõóâàííÿì ³íôëÿ-
ö³¿ ³ äîäàòêîâèõ íàäõîäæåíü ìຠâèãëÿä:
.
2800345021502700
20400202005000023500
=
Ñ
1.2. Ðîçâ'ÿçîê ñèñòåì ë³í³éíèõ ð³âíÿíü
Ïðèêëàäè ðîçâ'ÿçóâàííÿ çàäà÷
Çàäà÷à 1.8. Òðè áàíêè íàðàõîâóþòü ïî âêëàäàõ 25 %, 35 %
³ 30 % ð³÷íèõ â³äïîâ³äíî. Ïåðøèé âêëàäíèê ïîêëàâ ÷àñòèíàìè
ïåâíó ñóìó ãðîøåé ó ïåðøèé, äðóãèé òà òðåò³é áàíêè, ïðè öüîìó
ñóìà ãðîøåé çá³ëüøèëàñÿ ó ê³íö³ ðîêó íà 1600 ãð. îä.
Äðóãèé âêëàäíèê ïîêëàâ ó ïåðøèé ³ òðåò³é áàíêè ñóìè, ùî
âäâ³÷³ ïåðåâèùóþòü âêëàä ïåðøîãî âêëàäíèêà, à ó äðóãèé áàíê
òàêó æ ñóìó ãðîøåé, ÿê ³ ïåðøèé âêëàäíèê, ³ â ê³íö³ ðîêó ñóìà
éîãî âêëàäó çðîñëà íà 2850 ãð. îä.
Òðåò³é âêëàäíèê ïîêëàâ ó äðóãèé áàíê ñóìó, ùî âäâ³÷³ ïåðå-
âèùóþº âêëàä ïåðøîãî âêëàäíèêà, â òðåò³é áàíê ñóìó òàêó, ÿê ó
ïåðøîãî âêëàäíèêà, à â ïåðøèé áàíê ãðîøåé íå âêëàäàâ. Ó ê³íö³
ðîêó ñóìà éîãî âêëàäó çðîñëà íà 1450 ãð. îä.
ßê³ ñóìè ãðîøåé âêëàâ ó êîæíèé áàíê ïåðøèé âêëàäíèê?
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. Íåõàé x
1
ê³ëüê³ñòü ãðîøåé, âêëàäåíèõ ïåðøèì
âêëàäíèêîì ó ïåðøèé áàíê, x
2
ó äðóãèé áàíê, x
3
ó òðåò³é áàíê.
Òîä³ â³äïîâ³äíî ç óìîâ çàäà÷³ ìàºìî íàñòóïíó ñèñòåìó ð³âíÿíü:
=+
=++
=++
14503,07,0
28506,035,05,0
16003,035,025,0
32
321
321
õõ
õõõ
õõõ
.
10
Ðîçâ'ÿçóºìî ñèñòåìó ìåòîäîì Ãàóñcà:
²
²²
²²2²
²
=+
=
=++
14503,07,0
35035,0
16003,035,025,0
32
2
321
õõ
õ
õõõ
=
=+
=++
350350
14503070
160030350250
II
III
I
2
32
321
õ,
õ,õ,
õ,õ,õ,
I III II
²²²
²²
²
=
=+
=++
35035,0
45007,03,0
160035,03,025,0
2
23
231
õ
õõ
õõõ
,1000
7503,0
50025,0
2
3
1
=→
=→
=→
õ
õ
õ
õ
1
= 2000 ãð. îä., õ
2
= 1000 ãð. îä., õ
3
= 2500 ãð. îä.
³äïîâ³äü: ïåðøèé âêëàäíèê âêëàâ ó I áàíê 2000 ãð. îä., ó
II áàíê 2500 ãð. îä., ó III áàíê 1000 ãð. îä.
Çàäà÷à 1.9.  òðüîõ òîðã³âåëüíèõ òî÷êàõ ïðîâåäåíà ïåðåâ³ðêà
é îòðèìàí³ íàñòóïí³ äàí³ ïðî ê³ëüê³ñòü ïðîäàíèõ òîâàð³â òðüîõ
âèä³â (òàáë. 1.7).
 êàñ³ I ìàãàçèíó âèÿâëåíî
31,8 ãðí, â êàñ³ ²² ìàãàçèíó 154,6 ãðí,
²²² 141,1 ãðí.
Òðåáà ç'ÿñóâàòè, çà ÿêèìè ö³íàìè
ïðîäàâàâñÿ êîæåí òîâàð (äëÿ òîãî
ùîá ïîð³âíÿòè ö³íè ç òèìè, ùî âêà-
çàí³ ó íàêëàäíèõ).
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. Ö³íè íà êîæåí âèä òîâàðó ìîæíà çíàéòè ç íà-
ñòóïíî¿ ñèñòåìè, ÿêó ðîçâ'ÿæåìî ìåòîäîì Ãàóñcà:
=++
=++
=++
1,14182
6,15473
8,313
32
321
31
õõõ
õõõ
õõ
⇔
=++
=+
=++
3,184
8,313
6,15473
3
31
312
õ
õõ
õõõ
⇔
=−+
=+
=++
5,13
8,313
6,15473
31
31
312
õõ
õõ
õõõ
⇔
()
()
()
=++
=+
=++
33,184
218,33
16,15473
3
31
312
õ
õ
õõ
õ
õ
.
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Òàáëèöÿ 1.7
Âèä òîâàðó Íîìåð
ìàãàçèíà
I II III
I 1 0 3
II 3 1 7
III 2 1 8