Щеглов О.О., Неделько Є.Ю. Збірник задач з вищої математики для студентів економічних спеціальностей
Подождите немного. Документ загружается.
41
íèé, ïðè÷îìó
801,0
=+
xp
, à ôóíêö³ÿ âèòðàò ìຠâèãëÿä
xV
)
(
=
x
205000+=
ãðí.
Çíàéòè ìàðã³íàëüíèé ïðèáóòîê, ÿêùî ïðîäàíî 150 ³ 400 âèðîá³â.
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. Çíàéäåìî äîõîä â³ä ðåàë³çàö³¿ x âèðîá³â:
2
1,080
)
1,080
(
)
(
xxxxpxxD
−=−==
.
Ïðèáóòîê, îòðèìàíèé ï³äïðèºìñòâîì, ñòàíîâèòü
50001,060
)
(
)
(
)
(
2
−−=−=
xxxVxDxP
.
Ìàðã³íàëüíèé ïðèáóòîê
xxP
2
,
060
)
(
−=
′
.
Îá÷èñëèìî ìàðã³íàëüíèé ïðèáóòîê ïðè
150
1
=
x
òà
40
0
2
=
x
:
301502,0600
)
5
(
1
=⋅−=
′
P
;
204002
,
06000
)
4
(
−=⋅−=
′
P
.
³äïîâ³äü: âèðîáíèöòâî 150 âèðîá³â äຠïðèáóòîê 30 ãðí,
à 400 âèðîá³â äຠçáèòêè ó 20 ãðí.
Çàäà÷³ äëÿ ñàìîñò³éíî¿ ðîáîòè
Çàäà÷à 4.12. Ïðèïóñòèìî, ùî äåðæàâà õî÷å çá³ëüøèòè ö³íè íà
äåÿêèé òîâàð íà 10 %. Åëàñòè÷í³ñòü ïîïèòó íà öåé òîâàð ñòàíî-
âèòü 0,02.
ßêèìè ñòàíóòü äîõîäè äåðæàâè?
³äïîâ³äü: çá³ëüøàòüñÿ íà 7,8 %.
Çàäà÷à 4.13. Çàäàíî çâ'ÿçîê ì³æ ê³ëüê³ñòþ ïðîäàíèõ âèðîá³â x
òà âàðò³ñòþ êîæíîãî p:
2
30250
ppx
+−=
.
Âèçíà÷èòè åëàñòè÷í³ñòü η ïðè ð = 12. Çíàéòè íàáëèæåíå çíà-
÷åííÿ çì³íè ïîïèòó
∆
x
x
ïðè çðîñòàíí³ âàðòîñò³ íà 8,5 %.
³äïîâ³äü:
1
7
36
)12(
−==η p
;
%18
−=
∆
x
x
.
Çàäà÷à 4.14. Äëÿ ôóíêö³¿ âèòðàò
2
1
,
0101000
)
(
xxxV
++=
.
Çíàéòè: à) ìàðã³íàëüíó òà á) ñåðåäíþ âàðò³ñòü âèðîáíèöòâà
îäíîãî âèðîáó. Îá÷èñëèòè ïðè
10
=
x
.
³äïîâ³äü: à) 12; á) 111.
42
Çàäà÷à 4.15. Âèçíà÷èòè ìàðã³íàëüíèé äîõîä âèðîáíèöòâà
300 îä. âèðîá³â, ÿêùî ê³ëüê³ñòü âèðîá³â çíàõîäèòüñÿ çà ôîðìóëîþ
px
1001000
−=
, äå p ðîçäð³áíà ö³íà îäíîãî âèðîáó.
³äïîâ³äü: 4.
Ðîçä³ë 5. ²ÍÒÅÃÐÀËÈ
Ïðèêëàäè ðîçâÿçóâàííÿ çàäà÷
Çàäà÷à 5.1. 1. Çà äàíîþ ôóíêö³ºþ ÷èñòèõ ³íâåñòèö³é çíàéòè
ïðèð³ñò êàï³òàëó:
à)
3
800
)
(
ttf
=
,
8
=
t
ð.; á)
3ln3)(
⋅=
t
t
f
,
3
=
t
ð.
2. Çà çàäàíèì ïðèðîñòîì êàï³òàëó (∆K
1
= 2400 ãðí) çíàéòè ÷àñ t.
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. 1. Ïðèð³ñò êàï³òàëó çà t = 8 ð.
960086003
4
800800
3
4
8
0
8
0
34
31
1
====∆
∫
t
dttK
ãðí.
Ïðèð³ñò êàï³òàëó çà
3
=
t
ð.
2633
3ln
3ln3
3ln3
03
3
0
3
0
2
=−==⋅=∆
∫
⋅
t
t
dtK
òèñ. ãðí.
2. Çíàõîäèìî ÷àñ t:
6446002400
34
3
4
==→=
tt
;
8,2228
≈==t
ð.
³äïîâ³äü: 9600 ãðí; 26000 ãðí; 2,8 ð.
Çàäà÷à 5.2. ßêèé òðåáà çðîáèòè âíåñîê â áàíê, ùîá çàáåçïå÷è-
òè ïðîòÿãîì ÷îòèðüîõ ðîê³â ùîð³÷íó ñïëàòó çà íàâ÷àííÿ ó áàêà-
ëàâðàò³ ðîçì³ðîì 1000 ãðí? Îáë³êîâà ñòàâêà 7 %.
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. Ïî÷àòêîâèé âíåñîê â áàíê ï³äðàõîâóºòüñÿ çà
ôîðìóëîþ
∫
−
=
t
Pt
t
dtePP
0
01,0
0
.
43
Ó íàøîìó âèïàäêó
4
=
t
ð.,
1000
=
t
P
ãðí,
7
=
P
%.
ϳäñòàâëÿþ÷è ö³ äàí³ ó ôîðìóëó, ìàºìî
07,0
1
10001000
4
0
07,0
4
0
701,0
0
=
⋅−==
−⋅−
∫
edteP
tt
()
8,34881
7,0
1000
28,0
=−−=
−
e
ãðí.
³äïîâ³äü: 3489 ãðí.
Çàäà÷à 5.3. Çà äàíèìè äîñë³äæåíü â ðîçïîä³ëåíí³ äîõîä³â â îä-
í³é ç êðà¿í êðèâà Ëîðåíöà OBA (ïîêàçàíî íà ãðàô³êó) ìîæå áóòè
îïèñàíà ð³âíÿííÿì
2
11
xy
−−=
, äå x ÷àñòêà íàñåëåííÿ, y ÷àñò-
êà äîõîä³â.
Çíàéòè êîåô³ö³ºíò Äæèí³.
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. Êîåô³ö³ºíò Äæè-
í³
,211
OBAC
OAC
OBAC
OAC
OAB
S
S
S
S
S
K
−=−==
∆∆
îñê³ëüêè
2
1
=
∆
OAC
S
,
,11111
1
0
2
1
0
2
1
0
1
0
2
∫∫∫∫
−−=−−=
−−=
dxxdxxdxdxxS
OBAC
,
òîä³
∫∫
−−=
−−−=
1
0
2
1
0
2
1121121
dxxdxxK
.
Îñòàíí³é ³íòåãðàë áåðåòüñÿ çà äîïîìîãîþ òðèãîíîìåòðè÷íî¿
ï³äñòàíîâêè
tx
sin
=
:
5
7
,01
2
1
4
2
4
1
1
0
2
≈−
π
=−
π
⋅=⇒
π
=−
∫
Kdxx
.
À
y
Ñ
100 %
x
0
Â
100 %
44
ßê áà÷èìî, ó äàí³é äåðæàâ³ ñóòòºâî íåð³âíîì³ðíèé ðîçïîä³ë
äîõîä³â.
³äïîâ³äü: 0,57.
Çàäà÷à 5.4. Çíàéòè ñåðåäí³é ÷àñ, âèòðà÷åíèé íà îñâîºííÿ îäíî-
ãî âèðîáó, ÿêùî: à)
196
1
=
x
õâ,
256
2
=
x
õâ,
120
=
a
õâ,
5
,
0
=b
;
á)
64
1
=
x
õâ,
125
2
=
x
õâ,
122
=
a
õâ,
3
2
=
b
.
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. Ñåðåäí³é ÷àñ, âèòðà÷åíèé íà îñâîºííÿ îäíîãî
âèðîáó, çíàõîäèòüñÿ çà ôîðìóëîþ
∫
−
⋅
−
=
2
1
12
ñåð
1
x
x
b
dxax
xx
t
,
äå [
21
;
xx
] ïðîì³æîê îñâîºííÿ; à ³ b êîåô³ö³ºíòè.
ϳäñòàâëÿþ÷è äàí³ ó ôîðìóëó äëÿ
ñåð
t
, ìàºìî
8)1416(42
60
120
196256
120
256
196
256
196
5,0
ñåð
=−=⋅=
−
=
∫
−
xdxxt
õâ.
Àíàëîã³÷íî, ï³äñòàâëÿþ÷è äàí³ ï. á) ó ôîðìóëó äëÿ
ñåð
t
, ìàºìî
6)45(632
64125
122
125
64
3
125
64
32
ñåð
=−=⋅=
−
=
∫
−
xdxxt
õâ.
³äïîâ³äü: à) 8; á) 6.
Çàäà÷à 5.5. Êîìïàí³ÿ ïîâèííà âèáðàòè îäíó ç äâîõ ìîæëèâèõ
ñòðàòåã³é ðîçâèòêó:
ïåðøà ñòðàòåã³ÿ ïðèäáàòè îáëàäíàííÿ íà 15 ìëí ãðí ³ îòðè-
ìóâàòè 4 ìëí ïðèáóòêó ùîð³÷íî ïðîòÿãîì äåñÿòè ðîê³â;
äðóãà ñòðàòåã³ÿ ïðèäáàòè îáëàäíàííÿ íà 25 ìëí ãðí ³ îòðè-
ìóâàòè 5 ìëí ãðí çà ïåðøèé ð³ê, à êîæíîãî íàñòóïíîãî ðîêó íà
1 ìëí ãðí á³ëüøå ïðîòÿãîì äåñÿòè ðîê³â.
ßê³é ç äâîõ ñòðàòåã³é òðåáà â³ääàòè ïåðåâàãó, ÿêùî îáë³êîâà
ñòàâêà R = 10 %.
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. Ïðèáóòîê, îòðèìàíèé çà T ðîê³â,
45
0
01,0
0
PdtePP
Rt
T
t
−=
−
∫
,
äå
t
P
ùîð³÷í³ âíåñêè ó áàíê;
0
P
ïî÷àòêîâèé êàï³òàë.
Ïåðøà ñòðàòåã³ÿ
[]
15)1(401540154
1
10
0
1,0
10
0
1,0
1
=−−=−−=−⋅=
−−−
∫
eedteP
tt
285,1015632,040
=−⋅=
ìëí ãðí.
Äðóãà ñòðàòåã³ÿ
=−⋅+⋅=−⋅+=
∫∫∫
−−−
25425)4(
10
0
1,0
10
0
1,01,0
10
0
2
dtetdtedtetP
ttt
=+−+=
−
==
==
=
∫
−−
−
−
10
0
1,0
10
0
1,0
1,0
1,0
10
)
10
(
285,0
1,0
,
,
dteet
e
vdtedv
dtdutu
tt
t
t
709,266321,0100)100(285,0
1
=⋅+−+=
−
e
ìëí ãðí.
³äïîâ³äü: ïåðåâàãó òðåáà â³ääàòè äðóã³é ñòðàòå㳿.
Çàäà÷à 5.6. Ôîíäè îäí³º¿ îðãàí³çàö³¿ çðîñòàþòü çàâäÿêè ùîð³-
÷íèì êàìïàí³ÿì ë³òí³õ òàáîð³â äëÿ ìàëîçàáåçïå÷åíèõ. Âèòðàòè íà
êàìïàí³þ ñòàíîâëÿòü 10000 ãðí ùîäíÿ. Ôóíêö³ÿ, ùî îïèñóº îòðè-
ìàííÿ âíåñê³â çà îäèí äåíü, ìຠâèãëÿä
20000100
)
(
2
+−=
ttC
,
äå t äí³;
)(
tC
âíåñêè çà äåíü.
à) Âèçíà÷òå, ñê³ëüêè ÷àñó òðåáà ïðîâîäèòè êàìïàí³þ äëÿ îòðè-
ìàííÿ ìàêñèìàëüíî¿ ñóìè äîõîäó.
á) ×îìó äîð³âíþþòü çàãàëüí³ âèòðàòè íà êàìïàí³þ?
â) ×îìó äîð³âíþþòü çàãàëüí³ âíåñêè?
ã) ×îìó äîð³âíþº äîõîä, ùî î÷³êóºòüñÿ?
Ðîçâ'ÿçóâàííÿ. Ùîäåíí³ âèòðàòè ñïîæèâàííÿ
10000
)
(
=
t
l
.
Ñêëàäàºìî ð³âíÿííÿ
46
)()(
tltC
=
,
çâ³äêè îòðèìàºìî
101000010020000
2
=⇒=−
tt
äí³â.
Îòæå, îðãàí³çàö³ÿ îäåðæóº äîõîä ïðîòÿãîì 10 äí³â.
Çàãàëüí³ âèòðàòè êîìïàí³¿ çà
10
=
t
äí³â
1000001010000
=⋅=
E
ãðí.
Âíåñêè ïðîòÿãîì 10 äí³â
7,166666
3
100
20000)20000100(
10
0
10
0
3
2
=
−=+−=
∫
t
tdttC
ãðí.
Ñóìà î÷³êóâàíèõ äîõîä³â
166666,7 100000 = 66666,7 ãðí.
³äïîâ³äü: à) 10 äí³â; á) 100000 ãðí; â) 166666,7 ãðí;
ã) 66666,7 ãðí.
Çàäà÷³ äëÿ ñàìîñò³éíî¿ ðîáîòè
Çàäà÷à 5.7. Ïðîäóêòèâí³ñòü ïðàö³ íà ï³äïðèºìñòâ³ çàäàºòüñÿ
ôîðìóëîþ à)
28
3
)(
2
t
ttf −=
; á) tttf
3)(
+=
.
Çíàéòè îá'ºì ïðîäóêö³¿, âèãîòîâëåíî¿ ï³äïðèºìñòâîì çà à) ðî-
áî÷ó çì³íó (
8
=
t
ãîä); á) çà
4
=
t
ãîä.
³äïîâ³äü: à) 48 îä.; á) 24 îä.
Çàäà÷à 5.8. Êðèâà Ëîðåíöà îïèñóºòüñÿ ð³âíÿííÿì
2
xy
=
, äå x
÷àñòêà íàñåëåííÿ, y ÷àñòêà äîõîä³â.
Çíàéòè êîåô³ö³ºíò Äæèí³.
³äïîâ³äü: 0,33.
Çàäà÷à 5.9. Âêëàäíèê êëàäå ó áàíê
10000
0
=
Q
ãðí ³ äîðó÷ຠáàí-
êó ùîð³÷íî ðîáèòè âíåñîê ó áëàãîä³éíèé ôîíä ó ðîçì³ð³ 2000 ãðí.
Íà ñê³ëüêè ðîê³â âèñòà÷èòü ö³º¿ ñóìè ïðè îáë³êîâ³é ñòàâö³ 10 %?
³äïîâ³äü: 6,95 ð.
Çàäà÷à 5.10. Ô³ðìà, ùî ñïåö³àë³çóºòüñÿ íà ïîøòîâèõ ïåðåêà-
çàõ, ïî÷àëà çàîõî÷óâàëüíó êàìïàí³þ. Âèòðàòè íà ðåêëàìó êîø-
òóâàòèìóòü ô³ðì³ 5440 ãðí ùîäíÿ. Ñïåö³àë³ñòè ç ìàðêåòèíãè âè-
çíà÷àþòü, ùî ïðèáóòîê r(t) (ç âèêëþ÷åííÿì ðåêëàìíèõ âèòðàò)
ñêëàäàòèìå ïðîòÿãîì óñ³º¿ êàìïàí³¿
800040)(
2
+−=
ttr
, äå t äí³
êàìïàí³¿.
Äëÿ òîãî ùîá çá³ëüøèòè äîõîä, ñë³ä ïðîâîäèòè êàìïàí³þ äîòè,
ïîêè r(t) ïåðåâèùóº ùîäåíí³ âèòðàòè íà ðåêëàìó.
à) ßê äîâãî ñë³ä ïðîâîäèòè êàìïàí³þ?
á) ϳäðàõóéòå çàãàëüí³ âèòðàòè íà ðåêëàìó ïðîòÿãîì óñ³º¿
êàìïàí³¿.
â) ßêèé î÷³êóºòüñÿ äîõîä?
³äïîâ³äü: à) 8 äí³â; á) 57173,3 ãðí; â) 13653,3 ãðí.
ÑÏÈÑÎÊ Ë²ÒÅÐÀÒÓÐÈ
1. Áóã³ð Ì.Ê. Ìàòåìàòèêà äëÿ åêîíîì³ñò³â. ˳í³éíà àëãåáðà, ë³í³éí³ ìî-
äåë³. Ê.: Âèäàâíè÷èé öåíòð "Àêàäåì³ÿ", 1998. 272 ñ.
2. Áóã³ð Ì.Ê. Ìàòåìàòèêà äëÿ åêîíîì³ñò³â.Ò.: ϳäðó÷íèêè òà ïîñ³áíè-
êè, 2001. 192 ñ.
3. Êîëåñíèêîâ À.Í. Êðàòêèé êóðñ ìàòåìàòèêè äëÿ ýêîíîìèñòîâ. Ì .:
ÈíôðàÌ, 1997. 208 ñ.
4. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà äëÿ ýêîíîìèñòîâ / Ïîä ðåä. Í.Ø. Êðåìåðà . Ì.:
Áàíêè è áèðæè, ÞÍÈÒÈ, 1998. 471 ñ.
Ç̲ÑÒ
Ðîçä³ë 1. ˳í³éíà àëãåáðà........................................................... 3
1.1. Ìàòðèö³. ij¿ íàä ìàòðèöÿìè............................................ 3
1.2. Ðîçâ'ÿçîê ñèñòåì ë³í³éíèõ ð³âíÿíü................................. 9
1.3. Çàñòîñóâàííÿ ë³í³éíî¿ àëãåáðè äëÿ ðîçâ'ÿçêó ì³êðî- òà
ìàêðîåêîíîì³÷íèõ çàäà÷.................................................................. 12
Ðîçä³ë 2. Âåêòîðíà àëãåáðà òà àíàë³òè÷íà ãåîìåòð³ÿ............ 19
2.1. Âåêòîðíà àëãåáðà............................................................... 19
2.2. Àíàë³òè÷íà ãåîìåòð³ÿ........................................................ 23
Ðîçä³ë 3. Ôóíêö³¿, ãðàíèö³, íåïåðåðâí³ñòü................................ 29
3.1. Ôóíêö³¿................................................................................. 29
3.2. Ãðàíèö³, íåïåðåðâí³ñòü...................................................... 32
Ðîçä³ë 4. Ïîõ³äí³......................................................................... 35
4.1. Ïîõ³äíà, äîñë³äæåííÿ ôóíêö³é.......................................... 35
4.2. Åëàñòè÷í³ñòü ôóíêö³¿, ìàðã³íàëüí³ îö³íêè...................... 38
Ðîçä³ë 5. ²íòåãðàëè..................................................................... 42
Ñïèñîê ë³òåðàòóðè.................................................................... 48
Îëåêñàíäð Îëåêñàíäðîâè÷ ÙÅÃËÎÂ
ªâãåí Þð³éîâè÷ ÍÅÄÅËÜÊÎ
ÇÁ²ÐÍÈÊ ÇÀÄÀ× Ç ÂÈÙί ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ
ÄËß ÑÒÓÄÅÍҲ ÅÊÎÍÎ̲×ÍÈÕ
ÑÏÅÖ²ÀËÜÍÎÑÒÅÉ
Ðåäàêòîð Î.Â. Íåñòåðîâñüêà
Êîìïþòåðíà ïðàâêà òà âåðñòêà Ê.Î. Äî곺íêî
Êîðåêòîð Í.Î. Øàéê³íà
ϳäïèñàíî äî äðóêó 01.02.05. Ôîðìàò 60×84/16. Ïàï³ð îôñåòíèé.
Óì. äðóê. àðê. 2,8. Îáë.-âèä. àðê. 3,0. Òèðàæ 250 ïðèì.
Âèä. ¹ 2. Çàì. ¹ 43(205). Ö³íà äîãîâ³ðíà.
Âèäàâíèöòâî ÍÓÊ, 54002, ì. Ìèêîëà¿â, âóë. Ñêîðîõîäîâà, 5
Ñâ³äîöòâî ïðî âíåñåííÿ ñóá'ºêòà âèäàâíè÷î¿ ñïðàâè äî Äåðæàâíîãî ðåºñòðó
âèäàâö³â, âèãîò³âíèê³â ³ ðîçïîâñþäæóâà÷³â âèäàâíè÷î¿ ïðîäóêö³¿
ÄÊ ¹ 1150 â³ä 12.12.2002 ð.