Сапожников А.И., Нечаев М.А., Образцов К.В. Элементы систем автоматики: лабораторный практикум
Подождите немного. Документ загружается.
51
ходного напряжения и переменным резистором для коррекции смеще-
ния нуля усилителя. Таким образом, реальный ОУ имеет ограниченный
коэффициент усиления, ограниченную полосу пропускания гармониче-
ского входного сигнала, его параметры отличны от параметров идеаль-
ного ОУ и, кроме того, существенно зависят от напряжения питания,
сопротивления нагрузки, температуры нагрева, а значит, будут оказы-
вать
влияние на характеристики и параметры регуляторов, реализован-
ных на его основе.
+U
ип
+U
нас
U
вых
U
вх
U
см
-U
нас
-U
ип
U
вх
мВ
U
вых
а)
f
кГц
К
у
н
10
5
10
4
10
3
10
2
10
1
0
-90
-180
-270
-360
ϕ
г
р
ад
1 10
2
10
3
б
)
Рис. 1. Характеристики операционного усилителя
а) регулировочная, б) частотные
10
5
10
4
10
3
10
2
10
1
0
-90
-180
110
2
10
4
10
6
град
Гц
f
К
ун
Рис. 2. Частотные характеристики ОУ с внутренней коррекцией
52
U
вх
С
к
1000пФ
+15 В
U
вых
2
3
8
7
6
1 4 5
-15 В
1÷10 к
к
R
Н
2
Рис. 3. Типовая схема включения ОУ типа К140УД7
1.4. Операционные усилители в схемах регуляторов используются
как в качестве собственно регуляторов, так и в качестве суммирующих
усилителей, инверторов, повторителей, ключевых элементов, функцио-
нальных преобразователей и т.д.; необходимые свойства придаются
усилителю с помощью выбора соответствующих входных цепей и цепей
обратных связей [2–4].
При использовании ОУ в качестве регулятора на его входе
проис-
ходит сравнение сигналов задания и фактического значения регулируе-
мой величины в виде токов, определяемых входными напряжениями.
Поэтому на входе ОУ имеются цепи, в общем случае, состоящие из ак-
тивных и реактивных сопротивлений, преобразующие входные напря-
жения во входные токи ОУ.
Входные токи изменяются во времени соответственно свойствам
входных цепей, в
которых они формируются. Анализировать работу ре-
гуляторов можно либо исследуя зависимость выходного напряжения ре-
гулятора от тока рассогласования, либо исследуя зависимость выходно-
го напряжения от напряжения на одном из входов, считая, что управле-
ние на втором входе отсутствует, т.е. рассматривая зависимость от каж-
дого из входных напряжений в отдельности.
Этот прием правомерен,
если входные цепи и цепи обратной связи линейны, то есть, если при-
меним принцип наложения [2, 3].
1.5. Для реализации регуляторов чаще всего используется схема
суммирующего инвертирующего усилителя. Обобщенная схема регуля-
тора на основе ОУ для этого случая приведена на рис. 4 [2, 3].
Передаточная функция регулятора (если принять ОУ идеальным)
для одного
инвертирующего входа в общем виде записывается следую-
щим образом:
53
4
5
() () ()
() 1
() () ()
ВЫХ ОС
ВХ ВХ
U
р
Zp Zp
Wp
U
р
Z р Zp
⎛⎞
−
=≅+
⎜⎟
⎝⎠
. (2)
U
BX1
U
BX2
Z
BX2
(p)
Z
ВХ1
(р)
Z
OC
(
p)
R
3
Z
4
(p)
Z
5
(p)
-U
ВЫX
Рис. 4. Обобщённая схема регулятора на основе инвертирующего усилителя
Выражение (2) справедливо, если
45
() () ()
ОС
Z
pZpZp>> .
Если
4455
() , () ,
Z
pRZpR
=
=
тогда
()1
()
()
ОС
ВХ
Zp
Wp
Z р
α
=
⋅ , (3)
где
5
45
R
R
R
α
=
+
– коэффициент обратной связи по напряжению.
Выражение (2) справедливо для случая, когда входные цепи и цепи
обратной связи регулятора содержат только двухполюсники.
1.6. В общем случае регулятор на ОУ представляет собой замкну-
тую систему регулирования (рис. 5), и его работоспособность опреде-
ляется прежде всего устойчивостью этой системы [3].
W(p)
вх
W(p)
оу
W(p)
ос
U
вх
(р)
U
вых
(р)
W(p)
вх
, W(p)
ос
и W(p)
оу
– передаточные функции входной цепи,
цепи
(-)
Рис. 5 Структурная схема регулятора
Если в выражении для передаточной функции )(
p
W принять
ω
=
j
p
, (4)
54
то получим частотную передаточную функцию (амплитудно-фазовую
частотную характеристику) регулятора )(
ω
j
W , которая представляет
собой комплексное число и может быть записана в показательной или
алгебраической форме соответственно:
)()()()(
)(
ω+ω=⋅ω=ω
ω
ϕ
jQPеAjW
j
, (5)
где
)()()()(
22
ω+ω=ω=ω QPjWA – модуль частотной переда-
точной функции, имеющей физический смысл коэффициента усиления
на конкретной частоте ω гармонического входного сигнала
)2(
f
⋅π⋅=ω :
вхм
выхм
U
U
A
.
.
)( =ω , где
выхм
U
.
и
вхм
U
.
– соответственно ам-
плитуды выходного и входного напряжений регулятора при частоте ω;
)(
)(
)(
ω
ω
=ωϕ
P
Q
arctg – фазовый сдвиг синусоиды выходного напря-
жения относительно синусоиды входного на частоте ω;
)(ω
P
– вещественная часть;
)(ωQ – мнимая часть.
График функции )(ω
A
строится чаще всего в логарифмическом
масштабе
)(lg20)(lg20)(
ω
=
ω
=
ω jWAL и называется логарифми-
ческой амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) регулятора.
График функции )(ωϕ строится в полулогарифмическом масштабе
(в функции lg( )
ω
) и называется логарифмической фазовой частотной
характеристикой (ЛФЧХ).
Если в выражении передаточной функции )(
p
W символ
p
рас-
сматривать как символ дифференцирования
dt
d
p = , то получим опера-
торную передаточную функцию, на основании которой может быть за-
писано дифференциальное уравнение для регулятора:
)()()( tUpWtU
вхвых
⋅
=
. (6)
Решение дифференциального уравнения (6) позволяет найти вре-
менные характеристики регулятора.
1.7. Характеристики наиболее важных входных цепей и цепей об-
ратной связи для реализации регуляторов на основе ОУ приведены в
табл. 1.
55
Таблица 1. Характеристики задающих цепей электронных усилителей
Схема
Сопротивление )(
p
Z
Постоянная времени
T
, коэффициент λ
R
Z
=
––
Cp
Z
⋅
=
1
––
(
)
Tp
TpR
Z
⋅
⋅
+
⋅
=
1
C
R
T
⋅=
Tp
R
Z
⋅+
=
1
C
R
T
⋅=
Tp
Tp
RRZ
⋅+
λ
⋅
⋅
+
+=
1
1
)(
21
21
2
1
;
RR
R
CRT
+
=λ⋅=
)1(1
1
2
λ+⋅⋅+
⋅
+
⋅=
Tp
Tp
RZ
1
2
1
;
R
R
CRT =λ⋅=
)1()(
21
TpRRZ
⋅
+
⋅
+
=
21
21
RR
RR
CT
+
⋅
⋅=
Tp
Tp
RRZ
⋅+
λ
+
⋅
⋅
+
⋅+=
1
)1(1
)(
21
rRR
RR
rCT
1
;
21
21
⋅
+
⋅
=λ⋅=
56
pT
pT
RR
Z
+
λ
+
+
⋅
λ+
+
λ
=
1
)1(1
1
)(
21
21
21
21
;
RR
r
rRR
RR
CT
+
=λ
++
⋅
=
)1(1
1
)(
22
1
21
pTpT
pT
RRZ
++
+
+=
)(
2122
1
21
21
1
RRCT
C
RR
RR
T
+=
+
⋅
=
λ⋅⋅+
⋅
+
⋅
⋅+
=
Tp
Tp
pCC
Z
1
1
)(
1
21
21
2
11
;
CC
C
CRT
+
=λ⋅=
21
2
321
221
)(1
)1()(
TTpTTTp
pTRR
Z
⋅++++
+
⋅
+
=
111
CRT ⋅=
222
CRT ⋅=
123
CRT ⋅=
2. ПРИМЕРЫ РЕАЛИЗАЦИИ РЕГУЛЯТОРОВ
2.1. Примеры реализации простейших типовых схем регуляторов с
использованием инверсного (инвертирующего) входа усилителя [2–4].
Пример 1. Пропорциональный регулятор (П-регулятор).
Схема регулятора приведена на рис. 6, а.
U
вх
R
1
R
3
R
ос
-U
вых
U
вх
U
вых
К
П
L
20 lg K
П
1
10
2
100
0
1
L(ω)
φ(ω)
lg ω
ω, рад/c
U
вх
-U
вых
t
t
K
П
·U
ВХ
а)
б)
в)
г)
Рис. 6. Принципиальная (а) и структурная (б)
схемы, частотные (в) и временные (г)
характеристики П-регулятора
57
Передаточная функция П-регулятора имеет вид:
1
()
() ,
()
ВЫХ ОС
П P П
ВХ
UpR
Wp K К
U р R
−
==== (7)
где
р
K
– коэффициент усиления регулятора, может быть больше и
меньше единицы, если 1=
р
K , то такую схему называют инвертором.
П-регулятор относится к регуляторам с очень большим быстродей-
ствием. На скачкообразный сигнал на входе он реагирует таким же
скачкообразным сигналом на выходе (рис. 6, г), его временные и час-
тотные характеристики ограничиваются только характеристиками ОУ и
его внешней коррекцией. Для исключения насыщения П-регулятора
входное
напряжение не должно превышать значения:
НАС
ВХ
P
U
U
K
Δ≤ , В, (8)
где
Н
АС
U
– напряжение насыщения регулятора.
Пример 2. Интегральный регулятор (И-регулятор).
Схема регулятора приведена на рис. 7, а.
Передаточная функция И-регулятора имеет вид:
1
1
() 1
()
()
ВЫХ ОС
И
ВХ И
U рСp
Wp
U
р
RTр
−
===
⋅
, (9)
где
1
И
ОС
Т R С=⋅ – постоянная времени интегрирования, с.
U
вх
R
1
R
3
С
ос
-U
вых
U
вх
U
вых
рТ
И
1
L (дб)
-20 дб/дек
L(ω)
φ(ω)
lg ω
ω (рад/с)
U
вх
-U
вых
t
t
а)
б)
в)
г)
Рис. 7. Принципиальная (а), структурная (б)
схемы, частотные (в) и временные (г)
характеристики И-регулятора
-90
1/Т
И
Т
и
U
ВХ
φ(град)
58
Для исключения насыщения И-регулятора время действия входно-
го напряжения
В
Х
U не должно превышать значения:
.НАС ВЫХ НАЧ
И
НТ И
ВХ
UU
t Т
U
−
≤⋅, с, (10)
где
.
В
ЫХ НАЧ
U – начальное напряжение интегрирования.
Пример 3. Пропорционально-интегральный регулятор (ПИ-
регулятор).
Схема регулятора приведена на рис. 8, а.
Передаточная функция ПИ-регулятора имеет вид:
рТ
К
рТ
рТ
К
рТ
рТ
R
рС
рСR
рU
рU
pW
и
п
из
из
р
и
изос
осос
вх
вых
пи
⋅
+=
⋅
+⋅
⋅=
+⋅
=
⋅
+
⋅⋅
=
−
=
1
11
1
)(
)(
)(
1
, (11)
где
И
ЗОСОС
TRС=⋅
– постоянная времени изодрома, с;
1
/
И
ОС ИЗ Р
Т RC T К=⋅ = – постоянная времени интегрирования, с;
1
//
Р
ОС ИЗ И
К RRТТ== – коэффициент усиления регулятора;
рп
КК = .
20 lg К
оу
-π/2
U
вх
R
1
R
3
С
ос
-U
вых
U
вх
U
вых
рТ
И
1
R
ос
К
п
-20 дб/дек
L(ω)
1/Т
и
1/Т
из
ϕ(ω)
lg
ω
U
вх
-U
вых
t
t
г
)
Т
и
К
п
·U
Т
из
U
ВХ
в
)
б)
а)
20lgK
ун
(
ω
)
L(дб)
ϕ(рад)
К
п
·U
Рис. 8. Принципиальная (а) и структурная (б) схемы,
частотные (в) и временные характеристики ПИ – регулятора
при однополярном скачкообразном входном сигнале (г)
59
Для исключения насыщения ПИ-регулятора величина входного на-
пряжения и время его действия должны удовлетворять следующему ус-
ловию:
..
()()
НАС ВЫХ НАЧ Р ВХ ВХ НАЧ
И
ВХ
UU KUU
tT
U
−+⋅−
≤
⋅ . (12)
Пример 4. Дифференциальный регулятор (Д-регулятор).
Схема регулятора приведена на рис. 9, а.
Передаточная функция Д-регулятора имеет вид:
1
()
()
1
()
ВЫХ ОС
ДД
ВХ
U р R
Wp T
р
U р
Cp
−
=
==⋅
⋅
, (13)
где
1ДОС
Т R С=⋅ – постоянная времени дифференцирования, с.
В соответствии с (13) Д-регулятор должен осуществлять идеальное
дифференцирование (см. рис. 9, г): при скачке сигнала на входе
.
В
ХСК
UΔ
амплитуда выходного импульса равна бесконечности, а площадь им-
пульса
.ДВХСКД
SU Т
=
Δ⋅.
Т
д
р
U
вх
R
ос
R
3
С
1
-U
вых
U
вх
U
вых
L (дб)
+20 дб/дек
L(ω)
φ(ω)
lg ω
ω (рад/c)
U
вх
-U
вых
t
t
а)
б)
в)
г)
Рис. 9. Принципиальная (а), структурная
(б) схемы, частотные (в) и временные (г)
характеристики Д-регулятора
+
π
/2
∞
-∞
Δ
U
вых.ск
Т
∗
Т
∗
φ(рад)
t
-U
вых
60
С учетом реальных параметров элементов схемы регулятора пере-
даточная функция Д-регулятора будет значительно отличаться от (13)
[3] и в простейшем случае (при 1
ОУ
K >> ,
..
В
НИС ВНИС
ZR
=
) имеет вид:
()
1
Д
Д
Тр
Wp
Тр
∗
⋅
≈
+
⋅
, (13а)
где
.1ВН ИС
Т R С
∗
≈⋅ – паразитная постоянная времени, с;
.
В
НИС
R – внутреннее сопротивление источника сигнала.
Теперь при скачке сигнала на входе выходной импульс имеет экс-
поненциальную форму с ограниченной амплитудой (см. нижнюю диа-
грамму на рис. 9, г):
..
.
ОС
ВЫХСК ВХСК
В
НИС
R
UU
R
Δ≈Δ⋅,
площадь импульса при этом осталась прежней. Все сказанное здесь
справедливо, если ОУ не насыщается.
Пример 5. Пропорционально-дифференциальный регулятор
(ПД-регулятор).
Схема регулятора приведена на рис. 10, а.
Передаточная функция ПД-регулятора имеет вид:
,)1()1(
)(
)(
)(
11
1
пдур
ос
вх
вых
пд
KрТрТКpCR
R
R
рU
рU
рW +⋅=+⋅⋅=+⋅⋅⋅=
−
=
(14)
где
1ДОС
Т RC=⋅
– постоянная дифференцирования, с;
11У
Т RC=⋅ – постоянная времени упреждения, с;
1
ОС
P
R
K
R
= – коэффициент усиления регулятора;
ПР
КК=
.
Для схемы рис. 10, а справедливы те же рассуждения, что и для Д-
регулятора (см. нижнюю диаграмму рис. 10, г). И здесь появляется па-
разитная постоянная времени [3]
1.
1
1.
ВН ИС
ВН ИС
RR
ТС
RR
∗
⋅
=
⋅
+
,
которая обуславливает ограничение амплитуды реакции на скачок
входного сигнала
..
.
ОС
ВЫХ СК ВХ СК
В
НИС
R
UU
R
Δ≅Δ⋅,