Самойленко М.І., Кузнєцов А.І., Костенко О.Б. Теорія ймовірностей
Подождите немного. Документ загружается.
Теорія ймовірностей
190
Додаток С. Математичні відомості для довідок
Біном Ньютона
nn
n
mmnm
n
n
n
n
n
n
n
n
baCbaCbaCbaCbaCba
022211100
)(
LL
+++++=+
−−−
Функціональний ряд
∑
∞
=
==+++++
0
210
!
!
!
2
!
1
!
0
i
x
in
e
i
x
n
xxxx
LL
Чудові
ліміти
( )
.1lim.3.1lim.2.1
sin
lim.1
1
00
a
x
x
x
xx
e
x
a
ex
x
x
−
−
∞→
−
→→
=
−=+=
Правило Лопіталя. Якщо
)(
)(
)(
x
x
xf
ψ
ϕ
=
, причому функції
)(x
ϕ
і
)(x
ψ
визначені
в
інтервалі
,
в
якому
знаходиться
точка
а,
і
мають
у
цьому
інтервалі
кінцеві
похідні
[
]
0)(
≠
′
x
ψ
,
і
якщо
0)(lim
=
→
x
ax
ϕ
і
0)(lim
=
→
x
ax
ψ
(«
невизначеність
0
0
»)
або
∞
=
→
)(lim x
ax
ϕ
і
∞
=
→
)(lim x
ax
ψ
(«
невизначеність
∞
∞
»),
то
)(
)(
lim)(lim
x
x
xf
axax
ψ
ϕ
′
′
=
→→
за
умови
,
що
цей
ліміт
існує
або
дорівнює
∞
.
У
випадку
,
якщо
)(
)(
lim)(
x
x
xf
ax
ψ
ϕ
′
′
=
→
знову
є
невизначеністю
типу
0
0
або
∞
∞
,
то
застосовують
це
правило
вдруге
і
т
.
д
.
Правило інтегрування вроздріб. Якщо
підінтегральний
вираз
f
(x)dx
визначеного
інтегралу
∫
b
a
dxxf )(
можна
подати
довільним
способом
у
вигляді
udv,
то
[ ]
.)(
∫∫∫
−==
b
a
b
a
b
a
b
a
vduuvudvdxxf
Додатки
191
Додаток D. Основні формули диференціального
числення
Правила диференціювання
0
=
′
с
( )
Uc
с
U
′
=
′
( )
VUVU
′
±
′
=
′
±
( )
VUVUVU
′
+
′
=
′
⋅
2
V
VUVU
V
U
′
+
′
=
′
( )( )
xU
x
UfUf
′
⋅
′
=
′
Тут
c
–
константа
,
(
)
(
)
xVVxUU
==
,
.
Основні формули диференціювання
(
)
R
∈
′
=
′
−
aUaUU
aa
,
1
( )
a
U
U
U
a
ln
log
′
=
′
( )
U
U
U
′
=
′
ln
(
)
Uaaa
UU
′
⋅=
′
ln
( )
UUU
′
⋅=
′
cossin
( )
UUU
′
⋅−=
′
sincos
( )
U
U
U
′
=
′
2
1
cos
tg
( )
U
U
U
′
−=
′
2
1
sin
ctg
( )
U
U
U
′
−
=
′
2
1
1
arcsin
( )
U
U
U
′
−
−=
′
2
1
1
arccos
( )
U
U
U
′
+
=
′
2
1
1
arctg
( )
U
U
U
′
+
−=
′
2
1
1
arcctg
Тут
(
)
xUU
=
.
Якщо
(
)
xxU
=
,
то
(
)
1
=
′
=
′
xxU
.
Теорія ймовірностей
192
Додаток Е. Основні формули інтегрального
числення
Правила інтегрування
1.
Постійний
множник
можна
виносити
за
знак
інтеграла
(
)
(
)
∫∫
= .dxxfadxxfa
2.
Інтеграл
суми
(
різниці
)
дорівнює
сумі
(
різниці
)
інтегралів
від
окремих
членів
(
)
∫ ∫∫ ∫
−+=−+ .dxwdxvdxudxwvu
3.
Якщо
(
)
tx
ϕ
=
,
то
(
)
(
)
[
]
(
)
dtttfdxxf
ϕϕ
′
⋅=
∫∫
.
Таблиця невизначених інтегралів
∫
−≠+
+
=
+
)1(
1
1
nC
n
x
dxx
n
n
Cx
x
dx
+=
∫
ln
Cax
a
x
dx
++=
+
∫
ln
∫
+= C
a
a
dxa
x
x
ln
Cedxe
xx
+=
∫
∫
+−= Cxdxx cossin
∫
+= Cxdxx sincos
Cxdxx +−=
∫
coslntg
Cxdxx +=
∫
sinlnctg
∫
+= Cx
x
dx
tg
cos
2
∫
+−= Cx
x
dx
ctg
sin
2
C
a
x
a
x
a
dx
+=
+
∫
arctg
1
22
)(l
2
1
22
axC
xa
xa
n
a
xa
dx
<+
−
+
=
−
∫
)(l
2
1
22
axC
ax
ax
n
a
xa
dx
>+
+
−
=
−
∫
C
a
x
xa
dx
+=
−
∫
arcsin
22
(
)
Cxax
xa
dx
+++=
+
∫
22
22
ln
(
)
Caxx
ax
dx
+−+=
−
∫
22
22
ln
Тут
С –
постійна
інтегрування
.
Автори
193
АВТОРСЬКИЙ КОЛЕКТИВ
САМОЙЛЕНКО Микола Іванович
Завідувач
кафедри
«
Прикладна
математика
та
інформаційні
технології
»
Харківської
національної
академії
міського
господарства
,
доктор
технічних
наук
,
професор
,
лауреат
премії
МВССО
УРСР
(1988) .
Випускник
Харківського
інституту
радіоелектроніки
(1970).
Власник
срібленої
медалі
міжнародного
біографічного
центру
(
Кембридж
, 1999).
Власник
сертифікатів
"Wh
о
's Who in the World" (
США
, 1999)
и
"Wh
о
's
Who in Science and Engineering" (
США
,2000).
Наукові
інтереси
:
інформаційні
технології
,
прикладна
математика
.
КУЗНЄЦОВ Анатолій Іванович
Проректор
з
науково
-
педагогічної
роботи
,
завідувач
кафедри
«
Інформаційні
технології
в
міському
господарстві
»
Харківської
національної
академії
міського
господарства
,
кандидат
технічних
наук
,
доцент
,
відмінник
освіти
України
.
Випускник
Харківського
інституту
інженерів
комунального
будівництва
(1971).
Наукові
інтереси
:
інформаційні
технології
,
економіка
і
менеджмент
,
дистанційне
навчання
.
КОСТЕНКО Олександр Борисович
Доцент
кафедри
«
Прикладна
математика
та
інформаційні
технології
»
Харківської
національної
академії
міського
господарства
,
кандидат
фізико
-
математичних
наук
.
Випускник
Харківського
державного
університету
(1977).
Наукові
інтереси
:
інформаційні
технології
,
теорія
ймовірностей
і
математична
статистика
,
бази
даних
.
Навчальне
видання
САМОЙЛЕНКО Микола Іванович,
КУЗНЄЦОВ Анатолій Іванович,
КОСТЕНКО Олександр Борисович
ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Підручник
Редактор
М.З.Аляб’єв
Коректор
З.І.Зайцева
Комп
’
ютерна
верстка
М.I.Самойленко
План
2008,
поз
.13
Підп
.
до
друку
10.02.2008.
Формат
60×84/16.
Папір
офісний
.
Друк
на
ризографі
.
Умовн
.-
друк
.
арк
. 12,0
Обл
.-
вид
.
арк
13,0.
Тираж
500
прим
.
Зам
.
№
61002
Харків
,
ХНАМГ
,
вул
.
Революції
, 12
Сектор
оперативної
поліграфії
ІОЦ
ХНАМГ
Харків
,
вул
.
Революції
, 12