Салимов Р.Б. Математика (для студентов бакалавриата)

Подождите немного. Документ загружается.

Получили уравнение гиперболы. Как видно из рис. 25, есть длина стороны

треугольника , и она больше , поэтому

222

,bca= −

– действи-

тельное число, которое будем считать положительным. Уравнение (40) упро-

стим, убрав корни так же, как в уравнении эллипса. Получим каноническое

уравнение гиперболы

−=

(41)

Исследуем форму гиперболы, исходя из уравнения (41) (как и в случае

эллипса). Так как (41) содержит и только во второй степени, то Ox и Oy

являются осями симметрии гиперболы (аналогично случаю эллипса), поэтому

точка пересечения этих осей – начало координат – центр симметрии

гиперболы. Ясно, что для установления вида гиперболы достаточно рассмот-

реть картину в первой четверти плоскости, где и . Для таких значе-

ний , из уравнения (41) выразим и получим

. (42)

Эта формула выражает ординату точки гиперболы, абсцисса кото-

рой есть . При ордината , получим точку гиперболы. С

увеличением абсциссы точки её ордината согласно (42) увеличивается.

Точка уходит вправо, неограниченно поднимаясь вверх. Остальные части

гиперболы строятся по симметрии.

Определим вид гиперболы, когда неограниченно увеличивается.

Возьмём прямую с уравнением

(43)

проходящую через точки и Пусть

′

– точка прямой (43), име-

ющая ту же абсциссу x, что и точка M гиперболы. Ординаты этих точек равны

и , так как координаты этих точек удовлетворяют (43) и

уравнению гиперболы (42). Разность между указанными ординатами равна

расстоянию между точками и

′

, следовательно,

(

)

22 22

bb b

MM x xa x xa

aa a

′

= − −= − − =

FFM

( )

0,0O

0x >

0y >

y xa

= −

xa=

0y =

( )

,0Aa

(/),y bax=

(,)Kab

(0,0).O

(/)bax

(/)ba x a−

5354.ru

Для положительных знаменатель с увеличением неограниченно увеличи-

вается, поэтому дробь убывает. Таким образом,

′

стремится к нулю, т. е.

точка гиперболы приближается к точке

′

прямой. В силу симметрии

относительно такая же картина будет в третьей четверти плоскости.

Возьмём теперь прямую

. (44)

Она симметрична с прямой (43) относительно Ox, проходит через точку

и через точку

( )

,,Kab

′

−

симметричную с относительно Ox. В силу

симметрии гиперболы относительно оси абсцисс ясно, что гипербола по от-

ношению к прямой (44) расположена аналогично её расположению к прямой

(43). Прямые (43) и (44) называются асимптотами.

При построении гиперболы целесообразно сначала начертить ее асимпто-

ты. Точки и пересечения гиперболы с осью Ox называются

вершинами гиперболы. Расстояние между ними равно , называется

действительной осью гиперболы; и называется мнимой осью.

§ 15. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, равно-

удалённых от заданной точки, называемой фокусом, и заданной прямой,

называемой директрисой. Пусть – фокус. Ось Ox проведём через пер-

пендикулярно директрисе (рис. 26).

Пусть – расстояние от фокуса до директрисы.

Это число задано и называется параметром параболы.

Начало координат возьмём в середине перпендикуляра,

опущенного из точки на директрису. Тогда фокус

будет иметь координаты . Директриса имеет

уравнение . Пусть – произвольная точка

параболы,

– основание перпендикуляра, опущенного

из точки на директрису. Из рис. 26 видно, что рас-

стояние

( )

22 22

222

()

bx xax xa

bx x a

x xa

ax x a

−− +−

−+

= = =

+−

( )

0,0O

(/)y bax= −

( )

0,0O

( )

,0Aa

( )

,0Aa−

2BB b=

( )

/2,0Fp

/2xp= −

( )

,M xy

Рис. 26

. (45)

Запишем расстояние от до :

(46)

Для любой точки параболы имеем (по определению). Подставим

сюда выражения (45), (46) и получим уравнение параболы

Упростим его, избавляясь от корня. Получим каноническое уравнение парабо-

лы

. (47)

Исследуем форму параболы по уравнению (47). Так как это уравнение со-

держит только во второй степени, то, как и в случае эллипса, Ox является

осью симметрии параболы. Следовательно, вид параболы достаточно устано-

вить в верхней полуплоскости, где . Для таких значений уравнение

(47) запишем в виде . Эта формула выражает ординату точки ,

абсцисса которой равна . Когда , согласно последней формуле ,

точка совпадает с . С увеличением – абсциссы точки – её орди-

ната, равная , неограниченно растёт, и точка уходит вверх и вправо.

В силу симметрии остальная часть параболы вычерчивается сразу. Если Ox

провести от к директрисе, то получим параболу, изображенную на рис. 27.

Легко проверить, что уравнение параболы в этом случае будет иметь вид

2.y px= −

Пусть теперь ось Oy направлена перпендикулярно к директрисе и

/2MN p x= +

( ) ( )

/2 0FM x p y= − +−

MN FM=

( )

/2 /2p x xp y+= − +

2y px=

0y >

2y px=

0x =

0y =

( )

0,0

2px

5354.ru

проходит через . При этом уравнение параболы будет иметь вид

2x py=

(см. рис. 28).

§ 16. Преобразование координат на плоскости

Параллельный перенос осей координат. Пусть

Oxy

– исходная система

координат, – новая система координат, полученная параллельным пе-

реносом исходной системы, как показано на рис. 29. Положение новой систе-

мы по отношению к старой определим, задав координаты нового

начала в старой системе координат, где – заданные числа. Пусть ,

– координаты точки в новой системе,

,xy

– координаты точки

в ис-

ходной системе. Как видно из рис. 29, , . Итак,

(48)

Эти формулы выражают старые координаты точки через её новые ко-

ординаты.

Поворот осей координат. Пусть

Oxy

– исходная система координат, а

новая система координат получена поворотом исходной вокруг начала коор-

динат на угол α, где α – заданное число (см. рис. 30). Угол

берётся со зна-

ком «+», если отсчёт ведётся против хода часовой стрелки от оси Ox. Пусть

– координаты точки в системе

Oxy

, – координаты точки в си-

стеме . Пусть и – угол, образованный отрезком с осью ,

причём, как и

этот угол берётся со знаком «+», если отсчёт ведётся от оси

против хода часовой стрелки. Из рис. 30 видно, что

'''Oxy

( )

Oxy

xxx= +

yyy= +

xxx

yyy

= +





= +



,xy

Ox y

cos , sin .xy

ρ θ ρθ

= =

(49)

С другой стороны,

cos( ), sin( ).xy

ρ θα ρ θα

= += +

(50)

Формулы (50) перепишем, использовав известные формулы тригонометрии

для косинуса и синуса суммы:

cos cos sin sin ,x

ρ θ αρ θ α

= −

sin cos cos sin .y

ρ θ αρ θ α

= +

С учётом (49) запишем

cos sin ,

sin cos .

xx y

yx y

αα

= −





= +



(51)

Эти формулы выражают старые координаты точки через её новые ко-

ординаты в случае поворота осей координат.

Общий случай. Пусть

Oxy

– исходная система координат, – новая

система координат (рис. 31). Положение новой системы по отношению к ста-

рой определим, задав:

• координаты нового начала в старой системе координат;

• угол

который образует ось с Ox.

Пусть – координаты точки в старой

системе, а – координаты точки в новой

системе. Нужно найти связь между ними. С

этой целью введём вспомогательную систему

координат , полученную параллельным

переносом старой системы

.Oxy

Пусть , –

координаты точки в этой вспомогательной

системе. Так как новая система координат

получена поворотом вспомогатель-

ной системы на угол

то координаты

, точки через координаты этой

точки выражаются формулами (51), в которых нужно заменить на , :

cos sin ,

sin cos .

xx y

yx y

αα

′

= −





′

= +



(52)

Так как система координат получена параллельным переносом , то

координаты точки

в исходной системе выражаются через координаты

( )

,M xy

111

Oxy

,xy

''Ox y

111

Oxy

''Ox y

,xy

''Ox y

Oxy

,xy

Рис. 31

5354.ru

, по формулам (48), в которых

′

нужно заменить на :

xxx yyy

′′

=+=+

В эти формулы вместо , подставим (52) и получим

cos sin ,

sin cos .

xx y x

yx y y

αα

=−+







=++





(53)

Эти формулы выражают старые координаты точки

через её новые ко-

ординаты в новой системе.

Преобразования координат на плоскости применяются, в частности, для

упрощения вида уравнений кривых. В системе координат возьмём,

например, эллипс с каноническим уравнением

(54)

Подставим вместо их выражения (53) через , тем самым получим

уравнение эллипса в новой системе координат . Это будет уравнение

общего вида (после раскрытия скобок)

Таким образом, перейдя к системе , от канонического уравнения (54)

эллипса мы перешли к более сложному уравнению – уравнению второй сте-

пени общего вида. Можно показать, что, наоборот, от последнего уравнения в

системе , подобрав другую систему координат можно получить ка-

ноническое уравнение, определяющее либо окружность, либо эллипс, либо

параболу, либо гиперболу, либо пару прямых, как, например, уравнение

( , ), если не имеет место случай, когда уравнение

определяет лишь точку или не определяет никакого множества точек.

§ 17. Понятие о многомерном евклидовом пространстве

Известно, что положение точки на прямой определяется одним числом –

её координатой, положение точки на плоскости определяется двумя числами

– координатами этой точки, а положение точки в пространстве – трёмя чис-

лами, её координатами. Обобщая эти представления, можно вести 4-мерное и

т. д., -мерное пространство. Таким путём можно построить -мерную гео-

метрию. Известно, что стереометрия основывается на системе аксиом – акси-

оматике. Аналогично можно построить многомерную евклидову геометрию,

взяв за основу аксиоматику, аналогичную аксиоматике стереометрии. Но ис-

,xy

Oxy

,xy

111

Oxy

11 1 1 1

2 22 0Bx y Cy Dx Ey F+ + + + +=

111

Oxy

111

Oxy

,Oxy

0xy−=

0xy+=

торически многомерная геометрия была создана иначе, а именно, не на осно-

вании аксиом, аналогичных аксиомам стереометрии, а на основании так

называемых координатных аксиом. Запишем их.

Каждой точке отвечает определённая последовательность чисел

– координат этой точки; в этом случае пишут .

Каждой паре точек и

( , , ..., )

Mxx x

′′ ′

′

ставится в соответ-

ствие положительное число, называемое расстоянием между этими точками

и определяемое следующим образом:

( ) ( ) ( )

22 2

11 22

MM x x x x x x

′′ ′ ′

= − + − ++ −

Геометрическими считаются лишь такие соотношения, которые связыва-

ют расстояния между точками и сохраняются при умножении всех расстоя-

ний на одно и то же число (как и при преобразовании подобия в стереомет-

рии).

Теория, основанная на указанных аксиомах, называется -мерной евкли-

довой геометрией. Множество точек , для которых справедливы эти акси-

омы, называется -мерным евклидовым пространством.

Пусть – две точки в пространстве с координатами и

. Вектором, у которого начало находится в точке , а конец – в

точке , назовём величину, обозначаемую ( ), координаты которой

равны разностям координат конца и начала (как в трёхмерном пространстве):

Вектор называется нулевым, если все его координаты равны нулю, в про-

тивном случае это ненулевой вектор.

Пусть даны два вектора и в -мерном ев-

клидовом пространстве. Они называются равными, если все их соответству-

ющие координаты равны друг другу, т. е. для всех .

Суммой этих векторов называется вектор, обозначаемый и опреде-

ляемый формулой . Иначе говоря, при сложении

векторов их соответствующие координаты складываются. Аналогично опре-

деляется разность векторов.

Произведением на число λ называется вектор , т. е.

при умножении вектора на число на это число умножаются все его координа-

ты.

,,,

xx x

( )

,,,

Mxx x

( )

,,,

Mxx x

,AB

( )

,,,

AA A

Ax x x

( )

,,,

BB B

Bx x x



AB a=

 

( )

1122

, ,,

BABA BA

ABaxxxx xx==−− −

 



( )

,,,

a aa a=





( )

,,,

b bb b=





ab=

1, 2, ,in= 

( )



( )

1 12 2

, ,,

a b a ba b a b+= + + +







aλ=



( )

, ,,

aa a=λλ λ

5354.ru

Скалярным произведением векторов и называется число

. (55)

Запишем (55) для случая, когда , т. е. заменим на :

. Квадратный корень из этого числа называется нормой

вектора и обозначается

(56)

Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произве-

дение равно нулю.

Пусть в рассматриваемом -мерном пространстве заданы векторы

, , … , которые называются базисными

векторами. Норма каждого из них равна единице, это видно из формулы (56).

Кроме того, каждые два из этих векторов ортогональны. Указанные векторы

умножим соответственно на – координаты вектора – и сложим

полученные произведения. Получим

. Итак,

. Это есть разложение вектора по базисным векторам в

-мерном пространстве.

Как и в трёхмерном пространстве, каждой точке будем ста-

вить в соответствие её радиус-вектор , концом которого являет-

ся точка , а началом – точка .

Пусть в -мерном пространстве заданы точка своим радиус-вектором

и ненулевой вектор . Прямой в этом пространстве называется множество

точек, радиус-векторы которых определяются формулой , где – ска-

ляр (параметр), который принимает любые действительные значения.

Пусть в пространстве заданы точка своим радиус-вектором и два

ненулевых вектора и , для которых не выполняются условия коллинеар-

ности .

Плоскостью в -мерном пространстве называется множество точек, ра-

диус-векторы которых определяются формулой , где , – дей-

ствительные скалярные величины, принимающие любые действительные

значения.

Аналогично можно ввести понятие сферы в -мерном пространстве.



( )

11 22

ab ab ab ab= + ++





ab=





( )

22 2

aa a a a=+++







22 2

12 n

a aa a= +++







( )

1,0,...,0e =



( )

0,1,...,0e =

 

( )

0,0,...,1

e =

 

,,,

aa a



11 22

ae ae a e+ ++

     



( ) ( ) ( )

,0, ,0 0, , ,0 0,0, ,

aa a= + ++ =  

( )

,,,

aa a a= =





11 2 2 nn

a ae ae ae= + ++

      





( )

,,,

Mxx x

( )

,,,

r xx x=





( )

0,0, ,0O …





r r at= +

  





11 22

// /

ab ab ab= = =

r r at bs=++

   

Рис. 32

Рис. 33

§ 18. Поверхности второго порядка. Сфера. Цилиндр

Поверхностью второго порядка в пространстве называется по-

верхность, определяемая уравнением второй степени относительно текущих

координат

Здесь

, ...a

– действительные числа, называемые коэффициентами. В за-

висимости от коэффициентов это уравнение может определять поверхность

или точку (например, уравнению отве-

чает точка ) или пару плоскостей (например,

уравнению отвечает пара плоскостей

и ), а также может не определять ни-

какого множества точек (например, ).

Рассмотрим частные виды поверхностей второго по-

рядка.

Сфера с центром в точке и радиусом

имеет уравнение где

– заданные числа (см. рис. 32). Раскрыв скобки и перенеся число

в левую

часть, получим

222 222 2

0 0 0 0 00

2 2 2 0.xyz xxyyzzxyzR++− − − +++− =

Нетрудно проверить, что уравнение второй степени относительно в

котором коэффициенты при равны между собой, а члены с произве-

дениями координат отсутствуют, представляет собой уравнение сферы (если

не имеет место случай, когда это уравнение не определяет поверхность).

Цилиндры второго порядка. Цилиндрической

называется поверхность, описываемая прямой, оста-

ющейся параллельной некоторому направлению и пе-

ресекающей данную линию. Последняя называется

направляющей цилиндрической поверхности, а прямая

– образующей.

Пусть, например, образующие цилиндрической

поверхности параллельны оси и направляющей

служит эллипс (рис. 33) в плоскости с уравнением

22 22

/ /1xa yb+=

. (57)

Oxyz

2 22

11 22 33 12 13 23

222a x a y a z a xy a xz a yz+ ++ + + +

14 24 34 44

2 2 2 0.ax ay az a+ + + +=

222

0xyz++=

(0,0,0)O

0xy−=

0xy+=

222

10xyz+ + +=

10 00

(,,)Oxyz

2 2 22

0 00

( )( )( ) ,xx yy zz R− +− +− =

000

,,,xyzR

,,,xyz

222

,,xyz

Oxy

5354.ru

Эта поверхность называется эллиптическим цилиндром. Пусть –

произвольная точка этого цилиндра, а точка – проекция на плос-

кость Ясно, что абсциссы и ординаты точек и совпадают. Так как

точка лежит на эллипсе, то её координаты и удовлетворяют уравне-

нию (57). Но тогда этому уравнению удовлетворяют координаты и точки

цилиндра. Значит, (57) есть уравнение цилиндра.

Итак, уравнение (57) на плоскости определяет эллипс, а в простран-

стве – эллиптический цилиндр с образующей, параллельной направ-

ляющей которого является указанный эллипс.

Изобразите самостоятельно гиперболический цилиндр с уравнением

22 22

/ /1xa yb−=

и образующей, параллельной оси а также параболический

цилиндр с уравнением и образующей, параллельной оси

§ 19. Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, определяемая уравнением

222

xyz

abc

++=

(58)

где – заданные положительные числа. Ис-

следуем форму этой поверхности методом сече-

ний. При сечении поверхности (58) плоскостью

( – постоянная, ), проходящей че-

рез точку на оси параллельно плоскости

получим кривую, которая определяется сово-

купностью двух уравнений

22 22 22

/ / / 1,xa yb zc



++=





или

22 22 22

/ / / 1,

xa yb hc



++=





В первом уравнении перенесём вправо и поделим обе части уравнения

на получим

2 22 2 22

(1 / ) (1 / )

a hc b hc





−−







Эта система уравнений определяет эллипс с полуосями и

расположенный в плоскости При значения и

очевидно, достигают своих наибольших значений и т. е. на

(,,)Mxyz

(,)Kxy

.Oxy

Oxy

Oxyz

,Oz

2y pz=

.Ox

,,abc

zh=

chc−≤ ≤

zh=

,Oxy

1 ( ),hc−

2 2 1/2

(1 ( ))a a hc= −

2 2 1/2

(1 ( )) ,b b hc= −

.zh=

0h =

aa=

,bb=

Рис. 34