Рубин Л.Б. Лекции по биофизике

Подождите немного. Документ загружается.

(2.19)

скорость

поступления субстрата

Ф6Ф

считается

величиной

постоянной, зависящей лишь

от

избыточной концент-

рации

глюкозы

во

внешней среде:

На

участке Ф6Ф

->•

ФДФ

скорость v

=kx превращения

х—>-у

должна зависеть

не

только*

от

х, но и от

величины

из-за активации продуктом

фермен-

та ФФК- Математически

это

можно записать

виде зависимо-

сти константы

скорости v

—k

от у, т. е. k = k'y.

Тогда

=kx=k'yx.

Уже на

основании этого можно было

бы

соста-

вить простейшую модель

для

системы

(2.19)

(2.20>

-v

имеющую

вид

Однако легко видеть,

что в

системе (2.21).

при

увеличении

концентраций

х и у

субстратов этих реакций скорости

и вз-

растут

неограниченно. Между

тем

хорошо известно,

что при уве-

личении

концентрации субстрата скорость нормального биохи-

мического процесса вначале растет,

затем достигает насыще-

ния.

Указанная особенность отражает ферментативную природу

биохимических процессов. Насыщение скорости есть следствие

связывания

всех

молекул фермента

фермент-субстратный

комплекс,

после чего увеличение концентрации субстрата

уже

не

оказывает влияния

на

скорость реакции.

Это и

описано

известном уравнении Михаэлиса-Ментен

(см.

лекцию

3), в ко-

тором скорость зависит

от

субстрата

как

7Т-

Ах-\-х

где

k —

константа скорости,

—

константа Михаэлиса.

Видно,

что при

я->оо,

u->-&=const,

т. е. при

этом насыща-

ется.

Нам

надо теперь

учесть

это

обстоятельство

системе

(2.20), введя аналогичную зависимость скоростей

и и

от

концентраций

реагентов. Тогда окончательно наша модель

при-

мет

вид

—

*=i*

Кх+х

Ку+у

_ k

у k

23)<

Kx+x

Ку+у К'у+у '

где

—

константы скоростей,

, К

, К'

—

константы

Ми-

зг

хаэлиса. Обратите внимание на появление кубичной нелиней-

ности

(2.23)

(kixy) умножается на

(К

+х)

или

(К'

-\-у).

Как

видно, в

(2.23)

сам процесс активации также насыща-

ется при бесконечном увеличении концентрации активатора

у I „ —) . Дальнейшее исследование проводилось при ус-

ловии,

что Кх^-х и

Ку^>у.

Введем безразмерные переменные

х'=х/х

=у1у,

где х ну — стационарные концентрации в

особой точке

(i=z/=0).

Характер устойчивости особой точки

(х, у) определяется согласно выражению (2.11). Мы опустим

подробные выкладки и перейдем к

результату

анализа. Оказа-

лось, что характер фазового портрета системы

(2.23)

меняется

зависимости от соотношения некоторых параметров: а и г.

Параметр а обратно пропорционален скорости поступления суб-

страта процесса гликолиза — глюкозы: а~1М&1, а параметр г

равен

г=у/К'у-

Очевидно, параметр а можно рассматривать

как

управляющий параметр, поскольку его значение можно из-

менять,

варьируя концентрацию глюкозы во внешней среде.

Особая точка (х, у) является устойчивым фокусом, если

ar/(l+r)<;l,

и неустойчивым фокусом, если

ar/(l-fr)>l.

В первом

случае

в системе происходят только затухающие ко-

лебания.

Во втором

случае

в окрестности неустойчивого фокуса

возможно образование предельного цикла (рис. 2.13) и система

становится автоколебательной. Таким образом, значение пара-

—

•; ! ; i

ULLJ

\ i

-0

4,25

-ФДФ

Рис.

2.13. Рассчитанная с помощью ЭВМ кинетика измене-

ний

ФДФ и Ф6Ф и фазовый портрет модели гликолиза

метра а /г (1+г) = 1

будет

бифуркационным. При переходе че-

рез точку бифуркации устойчивость особой точки при

аг/(1-\-г)

<1 передается предельному циклу — автоколебатель-

ному режиму при

ar/(l+r)>l.

Увеличение параметра а спо-

собствует

возникновению колебаний, а уменьшение а —их за-

туханию. Этот

результат

исследования модели подтверждается

экспериментами,

в которых понижение скорости подачи глюко-

зы

действительно приводило к возникновению автоколебаний.

Существуют и

другие

примеры автоколебательных биологи-

ческих процессов, для которых разработаны соответствующие

математические модели и найдены области значений парамет-

ров,

определяющих возникновение автоколебательного режима.

Одним из наиболее интересных биологических периодических

процессов являются суточные ритмы, или биологические часы.

Цикличность

здесь определяется автоколебательными биохими-

ческими

реакциями, в которых происходят периодические изме-

нения

концентраций некоторых биологически активных ве-

ществ. Суточные изменения интенсивности фотосинтеза длитель-

ное

время наблюдаются

даже

в условиях непрерывной освещен-

ности.

Модель описывает реакции в цикле Кальвина

между

трехуглеродистыми И шестиуглеродистыми сахарами и обладает

предельным циклом.

Другие

примеры колебаний в ферментатив-

ных процессах мы рассмотрим в следующей лекции.

Лекция

КИНЕТИКА

ФЕРМЕНТАТИВНЫХ ПРОЦЕССОВ

Ферментативные процессы играют ключевую роль

клеточ-

ном

метаболизме,

следовательно,

их

кинетика должна иметь,

основное значение

динамике клеточных процессов.

Уравнение

Михаэлиса-Ментен. Рассмотрим простейшую

фер-

ментативную реакцию,

которой

участвуют

один

субстрат

(S)

один фермент

(Е) и

появляется один продукт

(Р)

при рас-'

паде фермент-субстратного комплекса

(ES):

E+S^(ES)~^E+P,

(3.1)

где

—

константы скоростей прямой

обратной реакций

образования

(ES), k

—

константа скорости

)

образования

продукта

Р.

Система

(3.1)

описывается следующими дифференциаль-

ными

уравнениями:

•@-=-k

(S)(E)+k-

{ES)+k

{ES),

(3.2)

(ES),

Поскольку

системе сохраняется постоянной общая

кон-

центрация фермента

, то в

любой момент времени сумма

кон-

центраций свободного

(Е) и

связанного

(ES)

фермента равна

(E)

(ES)=E

(3.3)

Посмотрим, можно

ли

применить

системе

(3.1)

принцип

узкого места

или

принцип разделения переменных

на

быстрые-

медленные.

уравнениях

(3.2)

легко выделить

две

группы

переменных. Переменные

S и Р

отражают процессы расходова-

ния

субстрата

соответствующего появления продукта реакции.

Переменные

Е и ES

описывают процессы образования

и рас-

пада фермент-субстратного комплекса. Посмотрим, насколько»

отличаются

друг

от

друга

эти

группы переменных

по

своим

ха-

рактерным временам. Характерное время %

существования

комплекса

(ES) определяется наиболее быстрой стадией его

распада с образованием продукта Р, т. е. константой скорости

Vp образования продукта. Эта же быстрая стадия определяет

регенерацию и время существования в системе свободного фер-

мента. Иными словами, характерное время ХЕ

ЖИЗНИ

перемен-

ных Е и ES составляет

=l/k

. (3.4)

Константа

соответствует числу актов катализа, т. е. числу

.актов распада (ES) и образования Р в единицу времени. Вре-

мя

ХЕ

— это время оборота фермента, а константа k

называет-

ся

числом оборотов фермента. Характерное время xs убыли S

системе и соответствующего появления Р, очевидно, зависит

от скорости образования продукта. Оно равно

=S/vp. (3.5)

Максимальная

скорость образования продукта

будет

достиг-

нута, когда весь фермент Ео находится в связанном состоянии,

т. е.

В этих условиях время xs убыли S

будет

минимальным

min

_±L

(3.6)

Теперь можем сравнить по величине xs и

ХЕ-

Очевидно,

Tmin=

В обычных условиях концентрация субстрата S во много раз

лревышает концентрацию продукта

[£о]~Ю-

Л1,

[S]~10-

Af.

Отсюда

следует,

что

/S=.e~

10-

<Cl,

т. е.

mln

= T

ХЕ-АО*.

Обычно по порядку величины Т£~10~

с, TS~10

C, значит,

%S>XE.

(3.8)

Но

согласно

(1.21)

это означает, что (Е), (ES) являются

быстрыми переменными. Их изменения настолько быстры, что

•они

пребывают все время около своих стационарных значений

Е, ES. Следовательно, их можно описывать алегебраическими

.уравнениями,

которые получаются путем приравнивания к нулю

правых частей второго и третьего уравнений в модели (3.2):

d(E)

d(ES) =Q.

dt dt

Можно наглядно изобразить полученный

результат

двух

масштабах времени xs и т

с помощью рисунка (3.1). Неболь-

шая

тележка (Е) осуществляет перевоз

груза

с одного места

(S) на

другое

(Р). Она быстро нагружается и разгружается

(%Е

мало), возвращаясь вновь за грузом. Однако общий про-

Рис.

3.1. Два масштаба времени ферментативного процесса (объяснения

тексте)

цесс перевозки

груза

с одного места на

другое

(убыль S и по-

явление Р) происходит намного медленнее, чем каждый от-

дельный рабочий цикл тележки

(TS3>T£).

Именно при выполне-

нии

условий (3.8) и (3.9) можно получить известное в биохи-

мии

уравнение Михаэлиса-Ментен зависимости" стационарной

скорости ферментативной реакции от концентрации субстрата

(ЗЛО)

где Кш= ~

—константа Михаэлиса. Из

(3.10)

видно,

что при увеличении концентрации субстрата, когда

S-»-oo,

= k

, т. е. наблюдается насыщение скорости реакции

(рис.

3.2). Из

(3.10)

также

видно, что при Ku=S ско-

рость реакции равна

max

/2.

Следовательно, константа Ми-

хаэлиса Ям равна численно

концентрации

субстрата, при

которой половина молекул фер-

мента находится в комплексе

с субстратом, а стационарная

скорость достигает половины

своего максимального значения

(см.

рис. 3.2). Нужная для

обеспечения одной и той же

скорости v

концентрация суб-

Рис.

3.2. Зависимость скорости

(у) ферментативной реакции от

концентрации

субстрата (S). Кри-

вые 1 и 2 соответствуют двум

ферментам

с разными контактами

Михаэлиса

Км

<Км,

р у

страта для

двух

разных фер-

ментов

будет

тем больше, чем

меньше активность данного фермента, т. е. чем больше его надо

для обеспечения данного количества фермен-субстратных ком-

плексов.

Очевидно, способность связываться с субстратом зада-

ется в (3.1) константой k\, увеличение которой и приводит

росту активности фермента и уменьшению величины /См-

Регуляция

ферментативных

реакций.

В реальных условиях

клеточного метаболизма концентрация субстрата, потребляе-

мого в ферментативных реакциях, изменяется не только в ре-

зультате

самой реакции, но и за счет притока его в реакцион-

ный

объем. Одновременно происходит и отток продукта из сфе-

ры реакции в

другие

области, где он используется в дальней-

ших метаболических превращениях. Иными словами, в клетке

каждая отдельная ферментативная реакция, так же как и их

совокупность, представляет, собой открытую систему, обладаю-

щую механизмами саморегуляции. Одним из самых мощных спо-

собов регуляции ферментативного процесса является изменение

активности фермента с помощью различных ингибиторов. Суще-

ствуют,

как известно, конкурентные ингибиторы, занимающие

места субстрата в активном центре фермента с образованием

неактивного комплекса. Возможно также неконкурентное, или

аллостерическое, ингибирование, при котором ингибитор не име-

ет структурного сродства с субстратом и присоединяется не к

активному центру фермента, а к определенным местам белко-

вой

глобулы, вызывая деформацию фермента. Регуляторные эф-

фекты

могут

осуществляться также по принципу обратной свя-

зи,

когда при больших концентрациях субстрата или продукта

угнетается реакция. Наряду с ингибиторами имеются и акти-

ваторы— вещества, повышающие активность фермента. Активи-

рующий эффект может оказывать и сам продукт реакции (акти-

вация

продуктом).

Все эти особенности наряду с нелинейностью кинетики ле-

жат в основе механизмов регуляции ферментативных процессов

в итоге определяют динамическое поведение сложной сово-

купности метаболических превращений в клетке. Мы увидим,

что регуляция

даже

сравнительно простых ферментативных

процессов указанными способами приводит к появлению нетри-

виальных типов динамического поведения.

Открытая

ферментативная

система

субстратным

угнетени-

ем включает необратимую реакцию притока субстрата

(So—*-S),

к,

оттока продукта (Р—>-) из сферы реакции и образования

неактивного комплекса (ES)

^ E+P

• k

(3.11)

ES+S^ES

Скорость v

образования продукта в

схеме

(3.11)

имеет вид,

отличный от стационарного уравнения Михаэлиса-Ментен

(3.10), а именно

, (3-12)

где

=hlk-

Заметим,

что члены, содержащие 5 во второй степени

/k),

обусловливают сильную нелинейность системы и появление в

уравнениях кубичных членов (S

). При малых S(S<Cl), когда

величиной

в знаменателе можно пренебречь, уравнения

(3.11)

(3.12)

совпадают. Однако при росте S образуется уже

неактивный

комплекс ES

и скорость образования продукта

Vp—^О

при

S-*-oo.

График зависимости

I>P(S)

имеет вид колоко-

лообразной кривой с максимумом. Скорость изменения субстра-

та концентрации 5 складывается из скорости vs притока его

извне

T=k(S

—S)=a—kS

(3.13)

оттока в

ходе

ферментативной реакции

График

зависимости Уприт — а— kS имеет вид прямой линии.

В стационарном состоянии в открытой системе (3.11), когда

концентрация

субстрата поддерживается постоянной, должно

выполняться

равенство

2>прит

—

Vp=0.

Стационарные

точки S при при vs = 0 представляют собой

точки пересечения кривых VP(S) И 1>пр

т(5). На рис. 3.3 различ-

ным

значениям а соответствует семейство параллельных пря-

мых. Изменяя а или внешнюю концентрацию субстрата So, лег-

ко

видеть, что система может иметь от одного до

трех

ста-

ционарных

состояний.

Изменяя

значение управляющего параметра а, можно ме-

нять

число стационарных точек. В интервале а

<а<а4 каждо-

му значению а отвечают три различных стационарных состоя-

ния

системы, а значения аг и (ц, при которых изменяется число

стационарных точек, являются бифуркационными.

Стационарные

точки отличаются по своей устойчивости. Так,

при

а=аз

из

трех

стационарных точек ^з'. <5з" и Зг" точка S

неустойчива, а ^з' и S3"' — устойчивы. В этом легко убедиться,

проведя анализ на устойчивость (см. рис. 1.4). В самом деле,

пусть в

результате

некоторого отклонения Л5<0 от стационар-

ной

точки вз' величина^ стала меньше стационарного значе-

ния

£з'. В области S<Ss' скорость притока субстрата больше

скорости его оттока (у

рит

>£-'/>)

и, следовательно, переменная

будет

расти, вновь приближаясь к Ез\ Если же отклонение

от стационарной точки Д5>0, т. е.

S>Ss',

то в этой области

иприт<ир и 5

будет

уменьшаться, возвращаясь к стационарно-

му значению 5з'- Таким образом, при любом отклонении от

Рис.

3.3.

Зависимость числа стационарных состояний

от

значений

параметра

а и их

устойчивость

системе

с суб-

стратным угнетением

обратимым притоком субстрата

стационарного

состояния

£3'

система

будет в

него возвращаться

и,

следовательно, состояние

устойчиво. Аналогичные рассуж-

дения

показывают,

что

точка

S3"

неустойчива,

а Ез"'—

устой-

чива. Устойчивые точки расположены

на

кривой

(S) на уча-

стках

АВ и CD, а

неустойчивые

— на

участке

ВС.

Можно

по-

строить график

<S(a)

зависимости стационарных состояний

от

величины

управляющего параметра

а. Из рис. 3.4

видно,

как

при

изменении

система может переключаться

из

одного

ус-

тойчивого режима

другой.

Предположим,

что в

исходном состоянии система находится

точке

А на

верхней ветви кривой

S(а). При

снижении скоро-

сти притока

уменьшении

система

будет

«перемещаться»

влево вдоль верхней устойчивой ветви

А В

стационарных состоя-

ний.

При

достижении бифуркационного значения параметра

•система покинет неустойчивую точку

В и

совершит скачкооб-

разный

переход

B-+D на

нижнюю ветвь устойчивых стационар-

ных состояний. Увеличивая вновь значение параметра от а

до

аь можно перевести систему вдоль устойчивой ветви DC до би-

фуркационной

точки С. После достижения этой точки система

скачкообразно вернется в исходное состояние на верхнюю

ветвь АВ.

Рис.

3.4. Кривая стационарных со-

стояний

5 (а) в системе с субст-

ратным

угнетением и обратимым

притоком

субстрата

Рис.

3.5. Предельный цикл на

фазовой

плоскости системы

(3.14) при малой глубине про-

дуктного угнетения

Таким

образом, наша система может функционировать в од-

ном

из

двух

устойчивых стационарных состояний и, следова-

тельно, она обладает триггерными свойствами. Направление

переходов и реализация одного или

другого

устойчивого состоя-

ния

зависят от того, происходит уменьшение или увеличение

параметра. Это свойство системы — совершать различными пу-

тями

переход из одного состояния в

другое

в зависимости от

предыдущего увеличения (DC -»- АВ) или уменьшения

(АВ^>~

->•DC)

параметра или от предыстории системы — называется

гистерезисом. Периодическое движение вдоль гистерезисного

цикла

А-+•

В-*-D-+'С-*-А

носит колебательный характер.

Сильная

нелинейность, обусловленная механизмами суб-

стратного угнетения, а также наличие быстрых и медленных

переменных

служат

причиной появления в системе множествен-

ных стационарных состояний и триггерных и гистерезисных

свойств.

Колебания

ферментативных

системах

обусловлены анало-

гичными причинами. Поскольку в ферментативных системах

обычно концентрация субстрата намного превышает концентра-

цию

фермента, то это создает условие существования

двух

силь-

но

различающихся масштабов времени для субстрата и фер-

ментсодержащих комплексов. Для незатухающих колебаний не-

пременным

условием является открытый характер системы, по-

скольку в замкнутых ферментативных системах наблюдаются

лишь

затухающие колебания.