Рубин А.Б., Шинкарев В.П. Транспорт электронов в биологических системах

Подождите немного. Документ загружается.

Условная вероятность, как несложно

проверить

непосредственно.

обладает

всеми

свойствами

1°—4°

обычной

вероятности.

Из оп-

ределения (2.7) условной вероятности сразу

следует

соотноше-

ние

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А!В),

(2.8)

которое мы

будем

называть формулой умножения.

В ряде случаев для нахождения того или иного сложного со-

бытия А бывает удобно рассмотреть соответствующим образом

выбранные вспомогательные события #,, если введение этих со-

бытий упрощает

задачу

и позволяет

определить условные вероятности

Р(А/Н

(

). Пусть события Н

(

обра-

зуют

полную группу событий, т. е.

(

=:Q,

Я,П#,=0,

1Ф\. Тогда для

/ t

любого события A

(AczQ)

имеет ме-

сто равенство

(2.9)

Рис.

17. К определению усло-

вий

вероятности

Р (АЛВ)

Р(А/В)=

Р(В)

Формулу (2.9) обычно называют

формулой полных вероятностей.

Рассмотрим в качестве примера комплекс

двух

ферментов.

Пусть нас интересует вероятность того, что первый фермент за-

нят.

Событие, состоящее в том, что первый фермент занят, скла-

дывается из

двух

несовместных событий, первое из которых со-

стоит в том, что оба фермента заняты, а второе — в том, что пер-

вый

фермент, занят, а второй — свободен: Е\ — Е\Е\

-+-

Е\Е

Соответственно этому вероятность того, что первый фермент за-

нят,

может быть записана следующим образом:

Р (Е\) = Р (Е\Е\) + Р (ElEl). Заменяя каждое слагаемое в этой

сумме по формуле умножения (2.8), получим

Р (Е\) = Р

(Е\/Е\)

(Е\)

+ Р

(Е\/Е1)

Р (El).

(2.10)

Аналогичное соотношение справедливо для вероятности застать

второй фермент в занятом состоянии Р (El) = P (El/El) P(El)

P(El/E\)P (Е\). Полученные соотношения представляют со-

бой запись формулы полных вероятностей для комплекса

двух

ферментов и

будут

использованы нами в дальнейшем при ана-

лизе явлений взаимодействия ферментов, входящих в комплекс

Поскольку

в общем

случае

вероятность того, что первый фер-

мент занят, зависит от состояния соседнего фермента, то

Р(Е\/Е1)фР(Е\/Е1).

Одним

из

центральных понятий теории вероятностей является

понятие независимости случайных событий.

Может случиться так,

что

вероятность интересующего нас

со-

бытия

А не

зависит

от

того, осуществилось

или нет

некоторое

другое

событие положительной вероятности.

таком

случае

говорят,

что

первое событие независимо

от

второго.

На

языке

условных вероятностей данный факт может быть записан

сле-

дующим образом: Р(А/В) —Р(А). Поскольку условная вероят-

ность определяется соотношением Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В),

то

условие независимости событий

А и В

равносильно выполнению

следующего

равенства:

Р(АВ)=Р(А)Р(В),

(2.11)

которое обычно

принимается

за

определение независимости

двух

событий..Таким образом,

два

случайных события

А и В на-

зываются независимыми, если вероятность

их

пересечения равна

произведению

их

вероятностей. Случайные события

В\, ...

...,

В„

называются независимыми

совокупности [Боровков,

1976; Гихман

др., 1979], если

для

любого

\^k^.n

и для

лю-

бого набора индексов

t,, t

I^i

•

-<'*^«

выполня-

ется равенство

(2.12)

В частности, если события

..., В

независимы

совокупности,

то любые

два

события

и В, {1ф\)

независимы. Обратное

утверждение

неверно.

В отношении независимости событий принципиальным явля-

ется следующий факт,

которым

мы

столкнемся далее. Если

со-

бытия

рассматривать как относящиеся

отдельным фермен-

там мультиферментного комплекса,

то

согласно выражению

(2.12)

вероятность состояния комплекса определяется вероятно-

стями состояний составляющих

его

ферментов, если

эти

фермен-

ты статистически независимы.

противном

случае,

при наличии

взаимодействий, обусловливающих статистическую зависимость

состояний отдельных ферментов,

по

вероятностям состояний

от-

дельных ферментов, вообще говоря,

уже

нельзя определить веро-

ятность состояния всего мультиферментного комплекса.

Определение независимости случайных событий

(2.11)

приво-

дит

следующему,

согласующемуся

интуицией, свойству неза-

висимых ^обытий. Если события

А и В

независимы, то

А и В, А

В, А я В —

независимы.

Рассмотрим

качестве примера комплекс

двух

ферментов.

Пусть каждый фермент находится

свободном

занятом

со-

стоянии

независимо один

от

другого.

этом

случае

вероятность

состояния комплекса

двух

ферментов равна произведению веро-

ятностей

соответствующих

состояний отдельных ферментов, со-

ставляющих комплекс:

(£?£!)

= Р (El) P (El), P (ElEl) = Р (El) P (Е\).

Р (E\El) = P (El) P (El), Р (Е\Е1) = Р (Е\) Р (Е\).

Уже на этом примере мы видим, что свойство независимости

случайных событий позволяет существенно уменьшить число оп-

ределяемых величин. Действительно, в общем

случае,

когда со-

стояния

комплекса, состоящего из п компонентов, каждый из ко-

торых

может находиться в

двух

состояниях, зависимы, нам не-

обходимо определить 2"—1 вероятностей состояний комплекса.

случае

же когда компоненты комплекса независимы, необходи-

мо определить всего п вероятностей состояний отдельных компо-

нентов,

составляющих комплекс, исходя из которых

могут

быть

определены вероятности

всех

2" состояний комплекса.

2.4.

Случайные

величины

на

пространстве

ферментных

форм

До сих пор мы рассматривали случайные события и их веро-

ятности. Часто, однако, случайные события определяются не не-

посредственно, а с помощью тех или иных функциональных огра-

ничений.

В связи с этим в теории вероятностей рассматривают-

ся

случайные величины, т. е. функции, определенные на прост-

ранстве элементарных событий и принимающие в зависимости

от

результатов

эксперимента то или иное численное значение.

В зависимости от типа множества значений, которые может

принимать случайная величина, обычно выделяют два наиболее

важных типа случайных величин — дискретный и непрерывный.

Случайная величина дискретного типа может принимать лишь

изолированные значения в конечном или счетном числе, а слу-

чайная величина непрерывного типа — все значения некоторого

интервала.

Рассмотрим несколько примеров случайных величин, опреде-

ленных на состояниях мультиферментного комплекса.

1. Пусть имеется фермент, который может находиться всего

двух

состояниях — свободном и занятом. Случайной величиной

является, например, индикатор % события, состоящего в том, что

фермент занят:

f 1, если фермент занят,

0, если фермент свободен.

Случайной величиной является также время т, в течение которо-

го фермент находится в занятом состоянии. В отличие от случай-

ной

величины %, которая могла принимать всего два значения,

случайная величина -с может принимать все значения промежут-

ка

[0, оо).

2. Рассмотрим комплекс п ферментов, каждый из которых

может находиться в свободном и занятом состояниях. Случайной

величиной является, например, общее число занятых ферментов

г\: ц =

1г,

если k ферментов занято. Эта случайная величина может

быть следующим образом выражена через случайные величины

%i,

введенные в первом примере:

г, = 2й-

(

2Л4

3. Пусть комплекс ферментов может находиться в т различ-

ных состояниях 5„ S

, ..., S

. Если каждое состояние комплек-

са имеет свой собственный спектр поглощения е

=е

(А,), где X —

длина волны света, то случайная величина е: е = е

, если комп-

лекс находится в состоянии S

, определяет спектр поглощения

комплекса ферментов.

Для задания случайной величины необходимо знать не только

те значения, которые может принимать эта случайная величина,

но

и вероятность этих значений. Для

того

чтобы задавать их, в

теорию вероятностей вводят понятие функции распределения слу-

чайной величины [Гнеденко, 1965].

Пусть g — случайная, величина и х— произвольное число. Ве-

роятность события А =

{ц>:

\{(и)<х), состоящего в том, что слу-

чайная величина | примет значение, меньшее, чем х, называется

функцией распределения случайной величины g: F(x) =P(A) =

Р(

())

(

Ъ())

Свойства функций распределения, естественно,

отражают

со-

ответствующие

свойства вероятностей: 1) если х^у, то F(x)^.

^F(y)

•

F(—oo)

=0, .F(oo) = 1,

O^F(x)

< 1. Часто вместо ука-

зания

функции распределения случайной величины бывает до-

статочно указания таких ее числовых характеристик, как сред-

нее и дисперсия.

Математическим ожиданием (средним) случайной величины

|, имеющей функцию распределения F(x), называется величина

(

" " для

дискретной случайной вели-

°(Е)^, принимающей значения

М\ — 1

xdF(x)

<c=1 l=1

ве

Р°

ятностями

| *р для

непрерывной

случайной

ве-

\хр(х)ах

личины,

имеющей

плотность

рас-

[ -оо

пределения

р (х).

Рассмотрим примеры вычисления среднего случайных величин.

4. Среднее значение случайной величины % (см. пример 1),

принимающей значение 1, если фермент занят (с вероятностью

р),

и значение 0, если фермент свободен (с вероятностью 1—р),

равно исходя из определения

М%=1-р+0-

(1—р)=р.

Таким об-

разом, среднее значение индикатора события равно вероятности

этого события.

5. Рассмотрим комплекс

двух

ферментов, каждый из которых

может находиться в

двух

состояниях — свободном и занятом.

Найдем среднее число занятых ферментов. Имеем

Мц =--

2*^(4 = k) = 0-P

(ElEl)

•

[Р (ElEl)

+ Р

(Ж)]

2-Р(E\El)

= P

(E\)

+ P (El).

Последний

результат

можно получить сразу, если воспользовать-

ся

равенством

(2.14)

и предыдущим примером.

Перечислим основные свойства математического ожидания

[подробнее см.: Боровков, 1976; Гихман и др., 1979]. Ниже пред-

полагается, что Ж|,

Мг\<оо.

В силу определения математиче-

ского ожидания его свойства совпадают с таковыми для сумм

(интегралов).

1. Свойство аддитивности

М(%

г\) =М%

+ Мц, т. е. матема-

тическое ожидание суммы случайных величин равно сумме ма-

тематических ожиданий этих случайных величин.

2. Свойство однородности

М(а£,)=аМ%,

(а — число), т. е.

числовой множитель можно выносить из-под знака математиче-

ского ожидания.

3. Мультипликативное свойство для независимых случайных

величин.

Если случайные величины \ и т) независимы, то мате-

матическое ожидание их произведения равно произведению их

математических ожиданий: М\ч\—М\Мт\. Обратное

утвержде-

ние,

вообще говоря, неверно [Боровков, 1976].

В качестве примера использования свойств математического

ожидания

вычислим среднее число занятых ферментов (см. при-

(

2 ^Ч ~ 2 ^

l =

S Р'' Здесь использо-

вано

равенство

(2.14)

и свойство аддитивности математического

ожидания.

Заметим, что полученное равенство справедливо и в

случае, когда ферменты, составляющие комплекс, зависимы.

2.5. Переходы

между

ферментными формами

как

марковский процесс

До сих пор, говоря о случайных событиях и их вероятностях,

мы не рассматривали их зависимость от времени. Так, мы рас-

сматривали фермент, который может находиться в

двух

состоя-

ниях.

При этом мы намеренно не упомянули о том, что случай-

ные

события, состоящие в том, что фермент свободен и занят,

являются следствием взаимодействия с субстратом, причем этот

процесс развивается во времени. Очевидно, что вероятности ука-

занных событий также должны зависеть от времени. Таким об-

разом,

необходимо рассмотреть не просто случайные величины,

а случайные величины, зависящие от параметра — времени.

Ниже

приведены необходимые сведения о случайных процес-

сах. Для более полного ознакомления с теорией случайных про-

цессов,

необходимо обращение к соответствующей литературе

1Бартлетт, 1958; Карлин, 1971; Вентцель, 1975; Гихман, Скоро-

ход, 1977; Розанов, 1979]. Наряду с термином «случайный» про-

цесс в литературе часто используют также названия «вероятно-

стный», или «стохастический», процесс.

Случайным процессом называется семейство случайных вели-

чин,

зависящих от параметра /, пробегающего некоторое множе-

ство Т. Этот параметр мы,

будем

писать либо в виде нижнего

индекса, например £

(

, t^T, либо в скобках, например |(0- Слу-

чайные процессы удобно классифицировать в зависимости от

того, непрерывное или дискретное множество значений

могут

пробегать случайная величина §, и ее параметр /, интерпрети-

руемый обычно как время. В соответствии с этим мы получим

следующие четыре основных вида процессов [Баруча-Рид,

1969].

1. Процесс с конечным счетным числом состояний и дискрет-

ным

временем. В этом

случае

можно считать, что

«время»

пробегает последовательность натуральных чисел и поэтому про-

цесс сводится к последовательности случайных величин £„ (во-

обще говоря, зависимых), могущих принимать лишь дискретное

множество значений. Типичным примером такого случайного

процесса является случайное блуждание частицы по целочислен-

ным

точкам, которая в дискретные, равноотстоящие

друг

от дру-

га моменты времени с вероятностью р перемещается влево, а с

вероятностью 1—р— вправо.

2. Процесс с непрерывным множеством значений и дискрег-

ным

временем. Этот случай отличается от предыдущего лишь

тем, что случайная величина может принимать все значения из

некоторого интервала.

3. Процесс с конечным (счетным) числом значений и непре-

рывным

временем. Этот тип случайных процессов

будет

рассмот-

рен

нами в дальнейшем наиболее подробно, поскольку он при до-

статочной элементарности находит себе естественное применение

для описания функционирования систем, могущих находиться

лишь

в конечном (счетном) числе состояний.

4. Непрерывный процесс с непрерывным временем. В этом

случае

как £,, так и параметр t

могут

принимать континуум зна-

чений.

Помимо

классификации случайных процессов по характеру

фазового пространства и типа параметра /,

существуют

другие

классификации

случайных процессов. Ниже рассмотрены так

называемые марковские процессы, с помощью которых естест-

венно

описывается большое количество содержательных задач.

Наиболее важной чертой марковского процесса является эволю-

ционный

характер его развития: состояние процесса в настоя-

щем полностью определяет его вероятностное поведение в

буду-

щем.

Предположим, что мультиферментный комплекс может нахо-

диться в состояниях Si, 5

, ..., S

(1, 2, ..., п). Напомним, что

под состоянием мультиферментного комплекса мы понимаем пе-

ресечение состояний отдельных ферментов, составляющих комп-

лекс, причем природа состояний отдельных ферментов может

быть произвольной. Находясь изначально, например, в состоя-

нии

5,, комплекс какое-то случайное время находится в этом со-

стоянии,

а затем «мгновенно»

переходит

в одно из состояний

, ..., S

. Этот

переход

осуществляется случайным образом в

том смысле, что неизвестно точно, в какое состояние перейдет

комплекс,

а известно лишь с какими вероятностями осуществля-

ется тот или иной переход. В новом состоянии комплекс опять

находится какое-то случайное время, а затем опять осуществля-

ется перескок в какое-либо

другое

состояние и т. д.

Введем

обо-

значение \

= k, если комплекс находится в состоянии k в момент

времени t. Центральным для описания марковских процессов

является понятие переходной вероятности

(s,

t), которая оп-

ределяется следующим образом:

Величина

{s,

t) есть условная вероятность того, что комплекс

в момент времени t находится в состоянии к, при условии, что в

момент времени 5 комплекс был в состоянии /. Иными словами,

(s,

t) трактуется как вероятность

перехода

комплекса из i-ro

состояния в k-e за время /—s.

Будем предполагать, что если в данный момент времени и

мультиферментный комплекс находится в состоянии /, то в по-

следующий момент времени t комплекс

будет

находиться в со-

стоянии

k, с некоторой вероятностью P

(u, t) независимо от по-

ведения комплекса до указанного момента времени и. Иными

словами, мы предполагаем, что описывающий поведение комп-

лекса случайный процесс |, является марковским случайным про-

цессом с дискретным числом состояний и непрерывным временем

[Шинкарев,

Венедиктов, 1977].

Определение независимости

«будущего»

от

«прошлого»

при

известном

«настоящем»

может быть сформулировано

следую-

щим образом. Рассмотрим произвольные моменты времени s, и,

t, такие, что

s<u<t

(рис. 18).

Тогда

условная вероятность того,

что комплекс в момент времени t находится в состоянии k при

условии, что в моменты времени и и s комплекс находился соот-

ветственно в состояниях / и i, равна условной вероятности того,

что в момент времени t комплекс находится в состоянии k при

условии, что в момент времени и комплекс находился в состоя-

нии

P(lt =

kflu

E. = 9=J

(ii =

*/t«=/).

(2-16)

Эту формулу можно прочесть так: если точно известно состояние

комплекса в настоящий момент времени и, то

будущее

состояние

комплекса (при /) не зависит от его прошлого состояния (при

s), или, что то же самое, для определения

будущего

состояния

процесса достаточно знать состояние комплекса только в настоя-

щий

момент времени и.

Важность переходных вероятностей определяется тем, что они

позволяют определить вероятности вида

P(tt

= k,lu = i, l. = 0,

(2-17)

если только известно начальное состояние процесса. Действи-

тельно, применяя последовательно формулу умножения (2.8),

получим

(Ь

№

= и i

= о Р

jit

= i)P (b = i).

Воспользовавшись теперь определением марковского процес-

са, заменим первый сомножитель согласно формуле (2.16). Име-

ем: P(l, = k, g

= /, |

= i)=p

(s)P,

(s,

u)P

{u,

t), где введено

обозначение p,(s)

=P(g

= t).

Для переходных вероятностей марковского случайного про-

цесса справедлива следующая важная формула, которую обычно

называют уравнением Колмогорова — Чепмена:

Рл (s, 0 = 2 Рц (s, и) Pj

(и, 0, (s < и < 0-

(2.18)

/•=1

Смысл соотношения

(2.18)

следующий (рис. 18). Для того что-

бы перейти из состояния i в состояние k, случайный процесс в

промежуточный момент времени и должен принять некоторое

Время

Рис.

18. К определению мар-

ковского

процесса

значение /, а затем перейти из этого состояния в состояние k.

Эта формула есть не что иное, как формула полных вероятно-

стей, записанная с учетом марковского свойства независимости

будущего

от прошлого.

Читатель без

труда

отметит, что формула Колмогорова —

Чепмена представляет собой не что иное, как формулу умноже-

ния

матриц

P(M)=P(s,«)P(M),

(2.19)

гдеР($, f)={Pft(M)h»-i п.

2.6.

Уравнения

Колмогорова

для

переходных

вероятностей

При

естественных предположениях относительно характера

изменения

переходных вероятностей на малых временах спра-

ведливы дифференциальные уравнения, которые позволяют кон-

структивно определить эти переходные вероятности.

Предположим, что

существует

предел

где 6

=0, если \фк и 6

№

=1, если j=k.

Смысл введенных величин a

Цфк) состоит в том, что они

представляют собой производные переходных вероятностей в точ-

ке

t. Соответственно этому вероятность того, что комплекс, на-

ходившийся в момент времени t в состоянии ;, за время At пе-

рейдет из него в состояние k есть

(j¥=k)

(t,

t+At)=a

(t)At+o(M).

(2.21)

Символ

o(At)

означает,

что lim —0.

Величины a

(t)

д(->о At

обычно называют плотностями вероятностей перехода из /-го со-

стояния

комплекса в k-e. В силу определения

(2.20)

величины

ik ЦФк) неотрицательны, причем случай равенства нулю не ис-

ключается.

Величину a

(t) можно выразить через плотности вероятно-

стей перехода. Действительно, поскольку с вероятностью 1 за

время At комплекс либо останется в исходном k-м состоянии,

либо перейдет из него в одно из (п—1) оставшихся состояний,

справедливо равенство

кк

(t, t + At) + S Pkt (t, t + U) = l.

(2.22)

Перенося

(t,

^+Д^) в правую часть равенства, деля обе части

равенства на At, устремляя At к нулю и пользуясь (2.20), полу-

чим

2а*/(/)

= -аи®. (2.23)

В связи с полученной формулой уместно отметить смысл величи-

ны

(t). Так как

(t,

t+At) —вероятность остаться через вре-

мя

At в состоянии k, то вероятность противоположного события,

состоящего в том, что в течение промежутка времени (t, t+At)

произойдет переход, равна

l-P»(t,

t+At)

-a

(t)At+o(At).

(2.24)

При

выполнении условия (2.20), исходя из уравнения Колмо-

горова— Чепмена (2.18), можно получить

следующую

систему

дифференциальных уравнений для переходных вероятностей

(уравнения Колмогорова):

dPik

(s,

t)/di = 2

Pit

(s, t)

(l, к

=1.2

n).

(2.25)

При фиксированном i данная система уравнений представляет

собой систему линейных обыкновенных дифференциальных урав-

нений,

которая легко может быть решена в общем

случае

при

соответствующих начальных условиях. Справедливость этих

уравнений может быть доказана, например, следующим образом.

По

формуле Колмогорова — Чепмена

(2.18)

для переходных ве-

роятностей имеем

Ptk(s, t + АО = 2 Pti (s, t)P

(/, И- АО + Ptk(s, t)Pkk(t, t + АО-

(2.26)

Вычитая

из

обеих

сторон

этого

равенства

(s,

t),

деля

обе час-

ти

соотношения

на At,

переходя

пределу

Д£->-0

учитывая

фор-

мулу

(2.20),

получим

уравнения

(2.25).

уравнениях

(2.25)

ins —

параметры,

которые

входят

толь-

ко

начальные

условия:

0, если кфI.

Система уравнений

(2.25)

однозначно определяет переходные

вероятности

(s,

t), удовлетворяющие формуле (2.27), причем

эти

вероятности удовлетворяют уравнению Колмогорова — Чеп-

мена (2.18).

2.7.

Уравнения,

описывающие

поведение

мультиферментного

комплекса

Если в начальный момент времени ^=0 комплекс находится

в данном состоянии i, то вероятность застать его в момент вре-

мени

t, t>0 в состоянии k равна

(0,

t). Можно, однако, счи-

тать, что в начальный момент времени известно не состояние

комплекса, а лишь начальные вероятности его различных со-

стояний.

Этот более общий случай сводится к исходному слу-

чаю, когда комплекс с вероятностью, равной единице, находит-

ся

в данном состоянии. Пусть p

(t)=P

(£

(

=£)

есть вероятность

того, что комплекс находится в состоянии k в момент времени /.

Если известно начальное распределение вероятностей p

(

(s), £=

= 1, 2, ..., п, то исходя из формулы полных вероятностей (2.9)

можно написать

Pk(0

= 2

Л(

)

«(

0 (* = 1,2, .., п).

(2.28)