РГР Вариант 6 - Построение и эконометрический анализ однофакторной и многофакторной регрессионной модели

Подождите немного. Документ загружается.

Задание

1.Цель работы:

- закpепление теоpетических знаний в области корреляционного-

регрессионного анализа однофакторных и многофакторных регрессионных моделей;

- пpиобpетение пpактических навыков пpименения эконометрического

анализа, моделирования и прогнозирования на основе регрессий.

2. Содержание задания:

В базе данных (Таблица 1) даны значения показателей производственно-

хозяйственной деятельности промышленных предприятий.

Рассматриваются следующие показатели:

– индекс снижения себестоимости продукции

– рентабельность

– премии и вознаграждения на одного работника

– удельный вес потерь от брака

– среднегодовой фонд заработной платы ППП

– фондовооруженность труда

– непроизводственные расходы.

3. Исходные данные

№ варианта

Однофакторная модель Многофакторная модель

Результативный

признак, Y

Номер факторного

признака, Х

Результативный

признак, Y

Номера факторных

признаков, Х

6 2 13 3 8,9,13,14,17

Часть 1

Построить однофакторную модель зависимости результативного признака от

факторного признака в соответствии с вариантами заданий.

1) Определить значения описательных статистик для факторного и

результативного признаков (среднее, дисперсия, мода, медиана) и объяснить их.

2) Построить диаграмму рассеяния зависимой и независимой переменных.

Объяснить возможные причины корреляции этих переменных.

3) Определить силу и направление связи между переменными. Оценить

значимость коэффициента корреляции. Определить какая часть вариации

результативного признака объясняется влиянием факторного признака.

4) Построить уравнение регрессии. Оценить значимость коэффициентов

регрессии. Оценить адекватность модели.

5) Спрогнозировать значение результативной переменной при указанном

значении факторной переменной.

6) Построить график остатков и проанализировать его.

7) Представить зависимость между двумя переменными графически (на

диаграмме рассеяния). Есть ли основание для использования нелинейных форм

зависимостей?

Таблица 1- Значения показателей производственно-хозяйственной

деятельности промышленных предприятий

№ п/п Y2 X13

1 204,2 47750

2 209,6 50391

3 222,6 43149

4 236,7 41089

5 62 14257

6 53,1 22661

7 172,1 52509

8 56,5 14903

9 52,6 25587

10 46,6 16821

11 53,2 19459

12 30,1 12973

13 146,4 50907

14 18,1 6920

15 13,6 5736

16 89,8 26705

17 62,5 20068

18 46,3 11487

19 103,5 32029

20 73,3 18946

21 76,6 28025

22 73,01 20968

23 32,3 11049

24 199,6 45893

25 598,1 99400

26 71,2 20719

27 90,8 36813

28 82,1 33956

29 76,2 17016

30 119,5 34873

31 21,9 11237

32 48,4 17306

33 173,5 39250

34 74,1 19074

35 68,6 18452

36 60,8 17500

37 355,6 7888

38 264,8 58947

39 526,6 94697

40 118,6 29626

1) Определить значения описательных статистик для факторного и

результативного признаков (среднее, дисперсия, мода, медиана) и объяснить их.

Таблица 2 – Расчет значений описательных статистик

№ п/п

х у ху

1 47750 204,2

17259 297873081 82,931 6877,551 9750550

2 50391 209,6

19900 396010000 88,331 7802,366 10561953,6

3 43149 222,6

12658 160224964 101,331 10267,97 9604967,4

4 41089 236,7

10598 112317604 115,431 13324,32 9725766,3

5 14257 62

-16234 263542756 -59,269 3512,814 883934

6 22661 53,1

-7830 61308900 -68,169 4647,013 1203299,1

7 52509 172,1

22018 484792324 50,831 2583,791 9036798,9

8 14903 56,5

-15588 242985744 -64,769 4195,023 842019,5

9 25587 52,6

-4904 24049216 -68,669 4715,432 1345876,2

10 16821 46,6

-13670 186868900 -74,669 5575,46 783858,6

11 19459 53,2

-11032 121705024 -68,069 4633,389 1035218,8

12 12973 30,1

-17518 306880324 -91,169 8311,787 390487,3

13 50907 146,4

20416 416813056 25,131 631,5672 7452784,8

14 6920 18,1

-23571 555592041 -103,169 10643,84 125252

15 5736 13,6

-24755 612810025 -107,669 11592,61 78009,6

16 26705 89,8

-3786 14333796 -31,469 990,298 2398109

17 20068 62,5

-10423 108638929 -58,769 3453,795 1254250

18 11487 46,3

-19004 361152016 -74,969 5620,351 531848,1

19 32029 103,5

1538 2365444 -17,769 315,7374 3315001,5

20 18946 73,3

-11545 133287025 -47,969 2301,025 1388741,8

21 28025 76,6

-2466 6081156 -44,669 1995,32 2146715

22 20968 73,01

-9523 90687529 -48,259 2328,931 1530873,68

23 11049 32,3

-19442 377991364 -88,969 7915,483 356882,7

24 45893 199,6

15402 237221604 78,331 6135,746 9160242,8

25 99400 598,1

68909 4748450281 476,831 227367,8 59451140

26 20719 71,2

-9772 95491984 -50,069 2506,905 1475192,8

27 36813 90,8

6322 39967684 -30,469 928,36 3342620,4

28 33956 82,1

3465 12006225 -39,169 1534,211 2787787,6

29 17016 76,2

-13475 181575625 -45,069 2031,215 1296619,2

30 34873 119,5

4382 19201924 -1,769 3,129361 4167323,5

31 11237 21,9

-19254 370716516 -99,369 9874,198 246090,3

32 17306 48,4

-13185 173844225 -72,869 5309,891 837610,4

33 39250 173,5

8759 76720081 52,231 2728,077 6809875

34 19074 74,1

-11417 130347889 -47,169 2224,915 1413383,4

35 18452 68,6

-12039 144937521 -52,669 2774,024 1265807,2

36 17500 60,8

-12991 168766081 -60,469 3656,5 1064000

38 58947 264,8

28456 809743936 143,531 20601,15 15609165,6

39 94697 526,6

64206 4122410436 405,331 164293,2 49867440,2

40 29626 118,6

-865 748225 -2,669 7,123561 3513643,6

Ср. знач

30491 121,269



427447729,6



14774,6

6103875,3

∑

1189148

4729,51

 17097909185 

590987

244155015

)( xх



)( yy



)( yy



)( xх



а) Средние арифметические для факторного и результативного признаков

рассчитаем по формулам:

30491







Среднегодовой фонд заработной платы ППП равен 30491.

269,121







Средняя величина индекса снижения себестоимости продукции равна

121,269.

б) Дисперсии:

6,427447729

)(











хх



Средний квадрат отклонения среднегодового фонда ЗП ППП от средней

величины равен 427447729,6.

68,14774

)(











уу



Средний квадрат отклонения значения индекса снижения себестоимости

продукции от средней величины равен 14774,68.

в) Среднеквадратические отклонения:

8,20674

)(











хх



Каждое значение среднегодового фонда ЗП ППП (отдельно взятого

предприятия) отклоняется от их средней величины на 20674,8.

55,121

)(











уу



Каждое значение индекса снижения себестоимости (отдельно взятого

предприятия) отклоняется от средней величины на 121,55.

г) Для нахождения моды и медианы факторного и результативного признаков

создадим интервальный ряд:

-для нахождения моды и медианы признака х – имеются статистические

данные о среднегодовом фонде ЗП ППП;

Таблица 3 –Статистические данные для расчета Мо и Ме фактора Х

Мода – значение признака, которое имеет наибольшую частоту в ряду

распределения.

)()(











OOOO

MMMM

MMO

ffff

hxM

где

5000

- нижняя граница модального интервала,

15000

- ширина модального интервала,

16

- частота модального интервала,





- частота интервала, предшествующего модальному,





- частота интервала, следующего за модальным.

Имеем,

57,16428

)1116()016(

016

150005000 







Таким образом, 16 предприятий из 39 имеют среднегодовой фонд ЗП в

размере 16428,57.

Медиана представляет собой значение признака, которое находится в

середине упорядоченного ряда распределения.

MMe

hxM







2/1

где

20000

-нижняя граница медианного интервала (накопленная частота

которого больше ½ общей суммы частот)

15000

- ширина медианного интервала,





-накопленная частота интервала, предшествующего медианному,

16

- частота медианного интервала.

25,38281

0392/1

1500020000 





Среднее значение среднегодового фонда ЗП по всем предприятиям

составляет 38281,25.

Для нахождения моды и медианы признака У имеются статистические

данные об индексе снижения себестоимости продукции на предприятиях

(таблица 4).

Таблица 4 –Статистические данные для расчета Мо и Ме фактора У

Среднегодовой

фонд ЗП ППП

Количество

предприятий

Накопленная

частота

Х ni N

5000-20000 16 16

20000-35000 11 27

35000-50000 6 33

50000-65000 4 37

65000-80000 0 37

80000-100000 2 39

Индекс снижения СС

Количество

предприятий Накопленная частота

У ni N

10-110 26 26

110-210 8 34

210-310 3 37

310-410 0 37

410-510 0 37

510-610 2 39

1,69

)826()026(

026

10010 







10

- нижняя граница модального интервала,

100

- ширина модального интервала,

26

- частота модального интервала,





- частота интервала, предшествующего модальному,





-частота интервала, следующего за модальным.

Таким образом, 26 предприятий имеют индекс снижения себестоимости,

равный 69,1.

0392/1

10010 





10

-нижняя граница медианного интервала (накопленная частота

которого больше ½ общей суммы частот)

100

- ширина медианного интервала,





-накопленная частота интервала, предшествующего медианному,

26

- частота медианного интервала.

Среднее значение индекса снижения себестоимости составляет 85.

2) Построить диаграмму рассеяния зависимой и независимой переменных.

Объяснить возможные причины корреляции этих переменных.

Построим диаграмму рассеяния индекса снижения СС продукции от

среднегодового фонда ЗП ППП (рисунок 1). Из диаграммы рассеяния следует, что

между результирующим показателем (У) и фактором (Х) существует прямая

зависимость, т.е. с ростом среднегодового фонда ЗП увеличивается индекс

снижения СС.

Рисунок 1 – Диаграмма рассеяния

Возможными причинами корреляции данных переменных являются:

увеличение среднегодового фонда заработной платы свидетельствует об

увеличении прибыли предприятий. Увеличение прибыли может быть обусловлено

использованием новых технологий и оборудования, что, в свою очередь, приводит

к снижению себестоимости продукции.

3) Определить силу и направление связи между переменными. Оценить

значимость коэффициента корреляции. Определить, какая часть вариации

результативного признака объясняется влиянием факторного признака.

Рассчитаем линейный коэффициент корреляции по формуле:

952,0

55,1218,20674

269,1213049138,6103875















ухyx



Коэффициент линейной корреляции равный 0,952 свидетельствует о наличии

сильной прямой связи. То есть с увеличением среднегодового фонда ЗП, растет

индекс снижения себестоимости (т.е. себестоимость продукции уменьшается).

Оценим существенность коэффициента корреляции.

Найдем расчетное значение t-критерия Стьюдента:

92,18

952,01

239952,0















nrr

расч



По таблице критических точек распределения Стьюдента найдем

кр

при

уровне значимости

05,0à

и числе степеней свободы

372391  kn



027,2

кр

. Т.к.

)027,292,18( 

кррасч

, то линейный коэффициент считается

значимым и связь между

существенной.

Коэффициент детерминации:

906,0952,0

R

- как видно по рисунку 1, расчетные значения и расчеты,

проведенные в программе MS Excel, совпадают.

Коэффициент детерминации

906,0

R

показывает, что 90,6% вариации

признака «Индекс снижения СС продукции» обусловлено вариацией признака

«Среднегодовой фонд ЗП ППП», а остальные 9,4% вариации связаны с

воздействием неучтенных в модели факторов.

4) Построить уравнение регрессии. Оценить значимость коэффициентов

регрессии. Оценить адекватность модели.

Построим линейную однофакторную модель вида

хаау





. Для оценки

неизвестных параметров

используется метод наименьших квадратов,

заключающийся в минимизации суммы квадратов отклонений теоретических

значений зависимой переменной от наблюдаемых.

Система нормальных уравнений для нахождения параметров

имеет вид:

























 

xyxaxa

yxaan

Решением системы являются значения параметров:

0056,0

6,427447729

269,1213049138,6103875











ухyx



48,49304910056,0269,121

 хaуa

Уравнение регрессии:

48,490056,0  ху



Коэффициент регрессии:

0056,0

a

Для оценки значимости коэффициентов регрессии и адекватности модели

рассчитаем сначала значение остатков.

5) Построить график остатков и проанализировать его.

Остатки регрессии рассчитаем по формуле:

iii

yyе



где

-прогнозное значение у при данном

Оценка дисперсии остатков проводится по формуле:

( )

47947,7655 / 37 1295,88

i i

y y

n k n k





   

 



Среднеквадратическое отклонение остатков:

e e

S S 

Таблица 5 – Расчет остатков

№ п/

х у ỹ

[ Аi

iii

yyе



1 47750 204,2

217,92 -13,72 13,72 6,718903 188,2384 2280062500

2 50391 209,6

232,7096 -23,1096 23,1096 11,02557 534,053612 2539252881

3 43149 222,6

192,1544 30,4456 30,4456 13,67727 926,934559 1861836201

4 41089 236,7

180,6184 56,0816 56,0816 23,69311 3145,14586 1688305921

5 14257 62

30,3592 31,6408 31,6408 51,03355 1001,14022 203262049

6 22661 53,1

77,4216 -24,3216 24,3216 45,80339 591,540227 513520921

7 52509 172,1

244,5704 -72,4704 72,4704 42,10947 5251,95888 2757195081

8 14903 56,5

33,9768 22,5232 22,5232 39,86407 507,294538 222099409

9 25587 52,6

93,8072 -41,2072 41,2072 78,34068 1698,03333 654694569

10 16821 46,6

44,7176 1,8824 1,8824 4,039485 3,54342976 282946041

11 19459 53,2

59,4904 -6,2904 6,2904 11,82406 39,5691322 378652681

12 12973 30,1

23,1688 6,9312 6,9312 23,02724 48,0415334 168298729

13 50907 146,4

235,5992 -89,1992 89,1992 60,92842 7956,49728 2591522649

14 6920 18,1

-10,728 28,828 28,828 159,2707 831,053584 47886400

15 5736 13,6

-17,3584 30,9584 30,9584 227,6353 958,422531 32901696

16 26705 89,8

100,068 -10,268 10,268 11,4343 105,431824 713157025

17 20068 62,5

62,9008 -0,4008 0,4008 0,64128 0,16064064 402724624

18 11487 46,3

14,8472 31,4528 31,4528 67,93261 989,278628 131951169

19 32029 103,5

129,8824 -26,3824 26,3824 25,49024 696,03103 1025856841

20 18946 73,3

56,6176 16,6824 16,6824 22,75907 278,30247 358950916

21 28025 76,6

107,46 -30,86 30,86 40,28721 952,3396 785400625

22 20968 73,01

67,9408 5,0692 5,0692 6,943158 25,6967886 439657024

23 11049 32,3

12,3944 19,9056 19,9056 61,62724 396,232911 122080401

24 45893 199,6

207,5208 -7,9208 7,9208 3,968337 62,7390726 2106167449

25 99400 598,1

507,16 90,94 90,94 15,20482 8270,0836 98 80360000

26 20719 71,2

66,5464 4,6536 4,6536 6,535955 21,655993 429276961

27 36813 90,8

156,6728 -65,8728 65,8728 72,54714 4339,22578 1355196969

28 33956 82,1

140,6736 -58,5736 58,5736 71,34421 3430,86662 1153009936

29 17016 76,2

45,8096 30,3904 30,3904 39,88241 923,576412 289544256

30 34873 119,5

145,8088 -26,3088 26,3088 22,01573 692,152957 1216126129

31 11237 21,9

13,4472 8,4528 8,4528 38,59726 71,4498278 126270169

32 17306 48,4

47,4336 0,9664 0,9664 1,996694 0,93392896 299497636

33 39250 173,5

170,32 3,18 3,18 1,832853 10,1124 1540562500

34 19074 74,1

57,3344 16,7656 16,7656 22,62564 281,085343 363817476

35 18452 68,6

53,8512 14,7488 14,7488 21,49971 217,527101 340476304

36 17500 60,8

48,52 12,28 12,28 20,19737 150,7984 306250000

38 58947 264,8

280,6232 -15,8232 15,8232 5,975529 250,373658 3474748809

39 94697 526,6

480,8232 45,7768 45,7768 8,692898 2095,51542 8967521809

40 29626 118,6

116,4256 2,1744 2,1744 1,83339 4,72801536 877699876

Ср.

знач

30491

121,26

   35,66298  

∑

1189148

4729,51

4729,509 0,0012 

1390,856

47947,7655

52928742632

На рисунке 2 представлен график остатков регрессии