РГР Вариант 6 - Построение и эконометрический анализ однофакторной и многофакторной регрессионной модели

Подождите немного. Документ загружается.

Рисунок 2 – График остатков регрессии

6) Оценить значимость коэффициентов регрессии и адекватность модели.

Спрогнозировать значение результативной переменной при указанном значении

факторной переменной.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

100% 35, 6

y y

n y



  



Качество модели оценивается как неудовлетворительное, т.к. значение

ошибки аппроксимации должно лежать в пределах 8-10%.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с

помощью t-критерия Стьюдента. Выдвигаем гипотезу Н

о статистически

незначимом отличии показателей от нуля: a

=r=0.

кр

при уровне значимости

05,0à

и числе степеней свободы

1 39 2 37n k



     

2,027

êð

t 

Определим случайные ошибки:

52928742632

36 10,27

39 20674,8

a î ñò

m S



    





0,00028

20674,8 39

î ñò



  

 

2 2

1 1 0,952

0,05

2 39 2

 

  

 

Тогда

49,48

4,82

10,27

  

0,0056

0,00028

  

0,952

19,04

0,05

  

Фактические значения t-критерия Стьюдента превосходят табличное

значение (2,027), поэтому гипотеза Н

отклоняется, т.е. а

, а

, r не случайно

отличаются от нуля, а статистически значимы.

Статистическая надежность полученного уравнения регрессии оценивается

с помощью общего F-критерия, который проверяет нулевую гипотезу о

статистической незначимости параметров построенного регрессионного

уравнения и показатели тесноты связи (

0,0

 Ràà

)

Неравенство

ÊÐP

FF 

используется для статистической оценки

адекватности модели.

Связь между F-критерием Фишера и t-критерием Стьюдента выражается

равенством:

t F

Критерий Фишера

400

F 

. Сравним его с табличным значением F-

критерия, определяемым с использованием таблиц по заданному уровню

значимости

05,0à

и числу степеней свободы

k





4,104

ÊP

F 

Поскольку

ÊÐP

FF 

, то гипотеза

отвергается. Таким образом, признается

статистическая значимость регрессионного уравнения, его параметров и

показателя тесноты связи

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для

прогноза. Если значение факторной переменной х (среднегодовой фонд ЗП

ППП) составит 22225, тогда прогнозное значение индекса снижения СС

продукции:

ỹ=0,005622225-49,48=74,98

Средняя стандартная ошибка прогноза:

( )

1 1 (22225 30491)

1 36 1 36,53

39 17097909185

( )

î ñò

x X







        





Предельная ошибка прогноза:

2,027 36,53 74,05

êð

t m

 

     

Тогда доверительный интервал прогноза:

74,98 74, 05



 

7) Есть ли основание для использования нелинейных форм зависимостей?

О качестве построенной модели можно судить по значению средней

ошибки аппроксимации. Расчетное значение ошибки составляет 35,6%,

допустимый предел – не более 8-10%, следовательно, необходимо использовать

нелинейные формы зависимости для построения более точной модели.

Часть2

Построить многофакторную модель зависимости результативного признака

Y от факторных признаков Х в соответствии с вариантами заданий.

1) Определить силу и направление связи между результативной

переменной и каждой факторной переменной и, в общем, между

результативной переменной и всеми значимыми факторными переменными.

Оценить значимость множественного коэффициента корреляции. Определить

тесноту связи между результативным признаком и каждым из факторных

признаков при исключении влияния других признаков. Определить какая часть

вариации результативного признака объясняется влиянием факторных

признаков.

2) Построить уравнение регрессии. Оценить значимость коэффициентов

регрессии. Оценить адекватность модели.

3) Проверить модель на мультиколлинеарность, обоснованно отобрать

факторы в модель и построить уравнение регрессии.

4) Спрогнозировать значение результативной переменной при указанном

значении факторных переменных.

5) Построить график остатков и проанализировать его.

Факторные признаки:

– премии и вознаграждения на одного работника (х1)

– удельный вес потерь от брака (х2)

– среднегодовой фонд заработной платы ППП (х3)

– фондовооруженность труда (х4)

– непроизводственные расходы (х5)

Результативный признак:

– рентабельность (у)

Таблица 6– Исходные данные

№ п/п Y3 X8 X9 X13 X14 X17

1 13,26 1,23 0,23 47750 6,4 17,72

2 10,16 1,04 0,39 50391 7,8 18,39

3 13,72 1,8 0,43 43149 9,76 26,46

4 12,85 0,43 0,18 41089 7,9 22,37

5 10,63 0,88 0,15 14257 5,35 28,13

6 9,12 0,57 0,34 22661 9,9 17,55

7 25,83 1,72 0,38 52509 4,5 21,92

8 23,39 1,7 0,09 14903 4,88 19,52

9 14,68 0,84 0,14 25587 3,46 23,99

10 10,05 0,6 0,21 16821 3,6 21,76

11 13,99 0,82 0,42 19459 3,56 25,68

12 9,68 0,84 0,05 12973 5,65 18,13

13 10,03 0,67 0,29 50907 4,28 25,74

14 9,13 1,04 0,48 6920 8,85 21,21

15 5,37 0,66 0,41 5736 8,52 22,97

16 9,86 0,86 0,62 26705 7,19 16,38

17 12,62 0,79 0,56 20068 4,82 13,21

18 5,02 0,34 1,76 11487 5,46 14,48

19 21,18 1,6 1,31 32029 6,2 13,38

20 25,17 1,46 0,45 18946 4,25 13,69

21 19,4 1,27 0,5 28025 5,38 16,66

22 21 1,58 0,77 20968 5,88 15,06

23 6,57 0,68 1,2 11049 9,27 20,09

24 14,19 0,86 0,21 45893 4,36 15,98

25 15,81 1,98 0,25 99400 10,31 18,27

26 5,23 1,33 1,15 20719 4,69 14,42

27 7,99 0,45 0,66 36813 4,16 22,46

28 17,5 0,74 0,74 33956 3,13 15,41

29 17,16 0,03 0,32 17016 4,02 19,35

30 14,54 0,99 0,89 34873 5,23 16,83

31 6,24 0,24 0,23 11237 2,74 30,53

32 12,08 0,57 0,32 17306 3,1 17,98

33 9,49 1,22 0,54 39250 10,44 22,09

34 9,28 0,68 0,75 19074 5,65 18,29

35 11,42 1 0,16 18452 6,67 26,05

36 10,31 0,81 0,24 17500 5,91 26,2

37 8,65 1,27 0,59 7888 11,99 17,26

38 10,94 1,14 0,56 58947 8,3 18,83

39 9,87 1,89 0,63 94697 1,63 19,7

40 6,14 0,67 1,1 29626 8,94 16,86

1) Определить силу и направление связи между результативной

переменной и каждой факторной переменной и, в общем, между

результативной переменной и всеми значимыми факторными переменными.

Оценить значимость множественного коэффициента корреляции. Определить

тесноту связи между результативным признаком и каждым из факторных

признаков при исключении влияния других признаков. Определить какая часть

вариации результативного признака объясняется влиянием факторных

признаков.

Парные коэффициенты корреляции для всех факторов определяются по

формуле:



  







)

)(

()

)(

(

xxxx

jiji

xixj

Для расчета коэффициентов используем программу Statistica 6.0. На

рисунке 3 представлен результат расчета коэффициентов в программе.

Рисунок 3 - Расчет парных коэффициентов корреляции в программе Statistica 6.0.

Составим систему уравнений для определения коэффициентов частной

корреляции между у и

yxxxxxxxxxxx

rrrrrr

1515414313212111





yxxxxxxxxxxx

rrrrrr

2525424323222121





yxxxxxxxxxxx

rrrrrr

3535434333232131





yxxxxxxxxxxx

rrrrrr

4545444343242141





yxxxxxxxxxxx

rrrrrr

5555454353252151





Вычислим матрицу, обратную к матрице, представленной на рисунке 3.

Корреляционная матрица:

1,000 -0,008 0,509 0,186 -0,197 0,508

-0,008 1,000 -0,094 0,103 -0,514 -0,209

0,509 -0,094 1,000 0,0191 -0,055 0,177

0,186 0,103 0,0191 1,000 -0,051 -0,256

-0,197 -0,514 -0,055 -0,051 1,000 -0,239

0,508 -0,209 0,177 -0,256 -0,

R 

239 1,000

 

 

 

С помощью встроенной функции MS Excel МОБР найдем матрицу С-

обратную к R.(формула вводится как массив –нажимаем F2 и комбинацию

клавиш Ctrl+Shift+Enter)

2,182 -0,304 -0,918 -0,671 -0,102 -1, 206

-0,301 1,669 0,234 0,116 0,992 0,727

-0,918 0, 234 1,431 0,213 0,112 0,343

-0,671 0,121 0,214 1,297 0,181 0,704

-0,097 0,992 0,111 0,173 1,668 0,680

-1, 204 0,730 0,343 0, 701 0,684 2, 046

Ñ R



 

 

 

 

508,0



Связь между у и х1 средняя прямая, чем больше премии и вознаграждения

на одного работника, тем выше рентабельность предприятия.

209,0



Связь между х2 и у слабая обратная, то есть рентабельность практически

не зависит от удельного веса потерь от брака.

177,0



Связь между х3 и у очень слабая, среднегодовой фонд заработной платы

ППП и рентабельность предприятия не связаны.

256,0



Связь между х4 и у слабая обратная, рентабельность слабо зависит от

фондовооруженности труда.

0,239

x y

r 

Связь между х5 и у слабая обратная, рентабельность предприятия слабо

зависит от непроизводственных расходов.

Система уравнений:

1 2 3 4 5

1 0,008 0,509 0,186 0,197 0,508

    

    

1 2 3 4 5

0,008 1 0,094 0,103 0,514 0, 209

    

     

1 2 3 4 5

0,509 0,094 1 0,019 0,055 0,177

    

    

1 2 3 4 5

0,186 0,103 0, 019 1 0,051 0, 256

    

    

1 2 3 4 5

0,197 0,514 0,055 0,051 1 0,239

    

     

Данную систему с 5 неизвестными можно решить методом Гаусса

приведением к треугольному виду. Для упрощения процедуры решим систему

уравнений в программе Statistica 6.0 и найдем коэффициенты



Рисунок 4 – Результаты расчета множественной регрессии

0,59





0,356





0,168





0,343





0,333





Коэффициенты



показывает, на какую часть своего квадратического

отклонения изменится зависимая переменная Y, если независимая переменная

изменится на одно значение своего среднеквадратического отклонения.

Множественный коэффициент корреляции найдем по формуле:

12....5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

0,59 0,508 0,356 ( 0, 209) 0,168 0,177 0,343 ( 0,256) 0,333 ( 0,239) 0,715

x y x y x y x y x y

R r r r r r

    

          

           

Уравнение регрессии имеет вид:

1 2 3 4 5

22,5 6,75 5,15 0,00004 0,745 0,411ó õ õ õ õ õ     

Оно показывает, что при увеличении только

(при неизменном

) на 1 единицу рентабельность предприятия

увеличится в среднем на

6,75 единицы.

Оценим значимость линейных коэффициентов корреляции

xiy

хiу

knrr









, где

-число факторных переменных.

Значимость коэффициента

0,508 40 5 1

3, 44

1 0,508

x y

õ ó



 

  



По таблице критических точек распределения Стьюдента найдем

кр

при

уровне значимости

05,0а

и числе степеней свободы

1 40 6 34n k



     

03,2

кр

. Т.к.

(3, 44 2,03)

ðàñ÷ êð

t t 

, то линейный коэффициент

считается

значимым и связь между

существенной.

Значимость коэффициента

0,209 40 5 1

1, 246

1 ( 0, 209)

x y

õ ó



 

  

 

Т.к.

(1, 246 2,03)

ðàñ÷ êð

t t 

, то линейный коэффициент

считается

незначимым и связь между

и у несущественной.

Значимость коэффициента

048,1

177,01

1540177,0









ух



Т.к.

)03,2048,1( 

кррасч

, то линейный коэффициент

считается

незначимым и связь между

несущественной.

Значимость коэффициента

55,1

)256,0(1

1540256,0









ух



Т.к.

)03,255,1( 

кррасч

, то линейный коэффициент

считается

незначимым и связь между

несущественной.

Значимость коэффициента

0,239 40 5 1

1, 435

1 ( 0, 239)

x y

õ ó



 

  

 

Т.к.

(1, 435 2,03)

ðàñ÷ êð

t t 

, то линейный коэффициент

считается

незначимым и связь между

несущественной.

Оценим значимость множественного коэффициента корреляции.

0,715R 

Основу критерия оценки значимости множественного коэффициента

корреляции

составляет статистика:

2 2

1 0, 715 40 5 1

7,12

(1 ) (1 0,715 ) 5

í àáë

R n m

R m

   

  

 

По таблице распределения Фишера определим

1 2

( 0,05; 5; 34)

êð

F à

 

  

2,5

êð

F 

Т.к.

(7,12 2,5)

ðàñ÷ êð

F F 

, то коэффициент множественной корреляции

считается существенным и говорит о наличии взаимодействия у с

х1,х2,х3,х4,х5.

Проверить существенность множественного коэффициента корреляции

можно с помощью преобразования Фишера:

1 1 1 1 0, 715

ln ln 0,89

2 1 2 1 0,715

 

 

  

 

 

 

Распределение величины z близко к нормальному и имеет

среднеквадратическое отклонение

1 1

0,174

2 40 5 2

n m



  

   

0,89

5,115

0,174



  

Сравниваем величину

с критическим

кр

для соответствующих

05,0а

2 33k n m   

Т.к.

кр

tt 

(

5,115 2,03

), то можно считать, что между зависимым и выбран-

ными независимыми факторами имеется линейная статистическая связь.

Найдем коэффициенты частной корреляции между у и

при устранении

влияния других факторов, включенных в модель, по формуле:

   

)1...1(1

)1...1(

)1...1(1)1...1()..2,1(

)..2,1(









xkxxkxxkxxky

xkxxkxxkxxkyxkxxxiу

xkxxxiу

rrr

Для нахождения используем программу Statistica 6.0.

Рисунок 5 – Расчет частных коэффициентов корреляции

0,571

õ ó

r 

При исключении факторов х2,х3,х4, х5 связь между фактором х1 и у

средняя прямая, при увеличении премий и вознаграждений на 1 работника

рентабельность предприятия увеличивается.

0,394

õ ó

r 

;

При исключении факторов х1,х3,х4, х5 связь между фактором х2 и у

средняя обратная, при снижении удельного веса от брака рентабельность

предприятия уменьшается.

0,202

õ ó

r 

;

При исключении факторов х1,х2,х4, х5 связь между фактором х3 и у слабая

обратная, среднегодовой фонд заработной платы ППП и рентабельность не

коррелируют.

0,414

õ ó

r 

;

При исключении факторов х1,х2,х3, х5 связь между фактором х4 и у

средняя обратная, при увеличении фондовооруженности труда рентабельность

предприятия уменьшается.

0,369

õ ó

r 

При исключении факторов х1,х2,х3, х4 связь между фактором х5 и у

средняя обратная, при увеличении непроизводственных расходов

рентабельность предприятия снижается.

Вычислим коэффициент детерминации для каждой переменной по

формуле:



1 1

1 1 0,542

2,182

    

Коэффициент детерминации

0,542R 

показывает, что 54,2% вариации

признака «Рентабельность» обусловлено вариацией признака «Премии и

вознаграждения на 1 работника», а остальные 45,8% вариации связаны с

воздействием других факторов.

1 1

1 1 0,401

1, 669

    

40,1% вариации признака «Рентабельность» обусловлено вариацией

признака «Удельный вес потерь от брака», а остальные 59,9% вариации связаны

с воздействием других факторов.

1 1

1 1 0,301

1, 431

    

30,1% вариации признака «Рентабельность» обусловлено вариацией

признака «Среднегодовой фонд заработной платы ППП», а остальные 69,9%

вариации связаны с воздействием других факторов.

1 1

1 1 0,229

1, 297

    

22,9% вариации признака «Рентабельность» обусловлено вариацией

признака «Фондовооруженность труда», а остальные 77,1% вариации связаны с

воздействием других факторов.

1 1

1 1 0, 4

1, 668

    

40% вариации признака «Рентабельность» обусловлено вариацией

признака «Непроизводственные расходы», а остальные 60% вариации связаны с

воздействием других факторов.

2)Уравнение регрессии имеет вид:

1 2 3 4 5

22, 49 6,75 5,15 0,00004 0, 744 0,411ó õ õ õ õ õ     

С помощью частного

-критерия можно проверить значимость всех

коэффициентов регрессии в предположении, что каждый соответствующий

фактор

вводился в уравнение множественной регрессии последним.

)()1(







mnc