Пинчук С.И. Организация эксперимента при моделировании и оптимизации технических систем

Подождите немного. Документ загружается.

Корреляционный момент служит для характеристики связи между

величинами

X и Y. Корреляционный момент равен нулю, если X и Y

незави симы. Если корреляционный момент не равен нулю, то

X и Y –

зависимые случайные величины.

Коэффициентом корреляции r

ху

случайных величин X и Y назы-

вают отношение корреляционного момента к произведению сред-

них квадратичных отклонений этих величин

σσ

(5.27)

Так как размерность

ху

равна произведению размерностей ве-

личин X и Y, σ

имеет размерность величины X, σ

имеет размер-

ность величины

Y, то r

ху

– безразмерная величина. Таким образом,

величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц

измерения случайных величин. В этом состоит преимущество коэф-

фициента корреляции перед корреляционным моментом. Коэф-

фициент корреляции независимых слу

чайных величин равен нулю

(так как

= 0).

Две случайные величины

X и Y называют коррелированными,

если их корреляционный момент (или – коэффициент корреляции)

отличен от нуля; X и Y называют некоррелированными величина-

ми, если их корреляционный момент равен нулю. Две коррелиро-

ванные величины также и зависимы. Обратное предположение не

всегда имеет место, т.е. если две величины зависимы, то они могут

быть как коррелированными, так и некоррелированными. Другими

словами, корреляционный момент двух зависимых величин может

быть не равен нулю, но может и равняться нулю.

Итак, из коррелированности двух случайных величин следует их

зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелирован-

ность. Из независимости двух величин следует их некоррелирован-

ность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о незави-

симости этих величин.

Заметим, однако, что из некоррелированности нормально рас-

пределенных величин вытекает их независимость.

То есть, для нормально распределенных составляющих двумер-

ной случайной величины понятия независимости и некоррелиро-

ванности – равносильны.

Нормальный закон распределения на плоскости определяется

пятью параметрами: a

, а

, σ

и r

. Эти параметры имеют следу-

ющий вероят ностный смысл:

, а

– математические ожидания;

, σ

– средние квадратичные отклонения;

– коэффициент корреляции величин X и Y.

5.4 элементы математической статистики

5.4.1 задача математической статистики

Задача математической статистики состоит в создании методов

сбора и обработки статистических данных для получения научных

и практических выводов.

Установление закономерностей, которым подчинены случайные

явления, основано на изучении результатов наблюдений. Первая за-

дача математической статистики – указать способы сбора и группи-

ровки (если данных очень много) статистических сведений. Вторая

задача математической статистики – разработать методы анализа

статистических данных в зависимости от целей исследования.

Изучение тех или иных явлении методами математической ста-

тистики служит средством решения многих вопросов, выдвигаемых

наукой и практикой (правильная организация технологического

процесса, наиболее целесообразное планирование и др.).

Математическая статистика возникла в XVII в. и создавалась па-

раллельно с теорией вероятностей.

В XX в. существенный вклад в математическую статистику был

сделан английскими (Стьюдент, Р. Фишер, Э. Пирсон), американски-

ми (Ю. Нейман, А. Вальд) и советскими (В.И. Романовский, Е.Е. Слуц-

кий, А.Н. Колмогоров, Н.В. Смирнов и др.) математиками.

Применение идей и методов математической статистики сокра-

щает объём экспериментальных исследований и, что самое главное,

увеличивает четкость суждения исследователя об эксперименте.

5.4.2 Генеральная и выборочная совокупности

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов от-

носительно некоторого качественного или количественного при-

знака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется

партия деталей, то качественным признаком может служить стан-

дартность детали, а количественным — контролируемый размер

детали.

Выборочной совокупностью или просто выборкой называют со-

вокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют всю совокупность объек-

тов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют

число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей

отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной со-

вокупности

N = 1000, а объем выборки n = 100.

Часто генеральная совокупность содержит конечное число объ-

ектов. Однако, если это число достаточно велико, то иногда в целях

упрощения вычислений или для облегчения теоретических выво-

дов допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчис-

ленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем,

что увеличение объема генеральной совокупности практически не

сказывается на результатах обработки данных выборки.

Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно

уверенно судить об интересующем нас признаке генеральной со-

вокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно её

представляли. Это требование коротко формулируют так: выборка

должна быть репрезентативной (представительной).

Выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно

(т.е. если каждый объект выборки отобран случайно из генеральной

совокупности) и если все объекты имеют одинаковую вероятность

попасть в выборку.

5.4.3

статистическое распределение выборки

и эмпирическая функция распределения

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причём

наблюдалось n

раз, х

– n

раз, x

– n

раз и ∑n

= n – объём

выборки. Наблюдаемые значения x

называют вариантами, а пос-

ледовательность вариант, записанных в возрастающем порядке –

вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами,

а их отношения к объему выборки

= W

– относительными час-

тотами.

Статическим распределением выборки называют перечень вариант

и соответствующих им частот или относительных частот. Статисти-

ческое распределение можно задать также в виде последователь-

ности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты,

соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в

этот интервал).

Заметим, что в теории вероятностей под распределением пони-

мают соответствие между возможными значениями случайной ве-

личины и их вероятностями, а в математической статистике – со-

ответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами или

относительными частотами.

Пример. Задано распределение частот выборки объема n = 20:

2 6 12

3 10 7.

Написать распределение относительных частот.

Решение. Найдем относительные частоты, для чего разделим

частоты на объем выборки:

150

,W==

500

,W==

35.0

,W==

Напишем распределение относительных частот:

2 6 12

0,15 0,5 0,35.

Контроль: 0,15 + 0,5 + 0,35 = 1.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределе-

ния выборки) называют функцию F

(x), определяющую для каждо-

го значения х относительную частоту события X < х

(x)

(5.28)

где

– число вариант, меньших х;

– объем выборки.

Таким образом, для того чтобы найти, например,

), надо

число вариант, меньших x

, разделить на объем выборки

)(x

. (5.29)

В отличие от эмпирической функции распределения выборки ин-

тегральную функцию

(x) распределения генеральной совокупнос-

ти называют теоретической функцией распределения. Различие между

эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теорети-

ческая функция

F(x) определяет вероятность события X < х, а эмпи-

рическая

(x) – определяет относительную частоту этого же события.

Согласно теореме Бернулли, относительная частота события

Х < х, т.е.

(x) стремится по вероятности к вероятности F(x) этого события.

Другими словами, числа F

(x) и F(x) мало отличаются друг от дру-

га. Отсюда следует целесообразность использования эмпирической

функции распределения выборки для приближенного представления

теоретической (интегральной) функции распределения генеральной

совокупности.

Из определения функции F

(x) вытекают следующие ее свойства:

• значения эмпирической функции принадлежат отрезку

[0,1];

•

(x) – неубывающая функция;

• если

– наименьшая варианта, то F

(x) = 0 при х ≤ x

;

• если x

– наибольшая варианта, то F

(x) = 1 при х > х

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит

для оценки теоретической функции распределения генеральной

совокупности.

Пример. Построить эмпирическую функцию по данному рас-

пределению выборки:

варианты

2 6 10

частоты n

12 18 30.

Решение. Найдем объем выборки: 12 + 18 + 30 = 60. Наименьшая

варианта равна 2, следовательно,

(x) = 0 при х < 2.

Значение

Х < 6, а именно: x

= 2 наблюдалось 12 раз, следова-

тельно,

2,0

(x)

при 2 < x ≤ 6.

Значения Х < 10, а именно: x

= 2 и x

= 6 наблюдались 12 + 18 = 30

раз, следовательно,

0,5

(x)

при 6 < x ≤ 10.

Так как

х = 10 – наибольшая варианта, то

(x) = 1 при х > 10.

Искомая эмпирическая функция

>.10 xпри1

≤<,10х 6при0,5

≤<,6х2при0,2

≤,2 xпри0

(x)

График этой функции изображен на рис. 5.5.

F*(x)

0 2 4 6 8 10 12 14

рис. 5.5.

5.4.4 полигон и гистограмма

В целях наглядности строят различные графики статистического

распределения и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соеди-

няют точки

, n

), (x

, n

), ..., (x

, n

). Для построения полигона

частот на оси абсцисс откладывают варианты х

, а на оси ординат –

соответствующие им частоты n

. Точки (x

, n

) соединяют отрезками

прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки

которой соединяют точки

, W

), (x

, W

),..., (x

, W

). Для по-

строения полигона относительных частот на оси абсцисс отклады-

вают варианты

, a на оси ординат соответствующие им относи-

тельные частоты

Точки

, W

) соединяют отрезками прямых и получают полигон

относительных частот (рис. 5.6).

0 1 2 3 4 5 6 7 8

рис. 5.6.

В ряде случаев, в частности, в случае непрерывного признака,

целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором

заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на не-

сколько частичных интервалов длиною h и находят для каждого

частичного интервала n

, т.е. сумму частот вариант, попавших в i-й

интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоя-

щую из прямоугольников, основаниями которых служат частич-

ные интервалы длиною

h, а высоты равны отношению

(плот-

ность частоты). Для построения гистограммы частот на оси абсцисс

откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки,

параллельные оси абсцисс на расстоянии

. Площадь i-гo частич-

ного прямоугольника равна

− сумме частот вариант i-го

интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сум-

ме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую

фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых слу-

жат частичные интервалы длиною

h, а высоты равны отношению

(плотность относительной частоты). Для построения гистограммы

относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные ин-

тервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс

на расстоянии

(рис. 5.7). Площадь i-го частичного прямоуголь-

ника равна

– относительной частоте вариант, попавших

i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относитель-

ных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

рис. 5.7.

5.4.5 статистические оценки параметров распределения

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретическо-

го распределения называют функцию от наблюдаемых случайных

величин.

Для того, чтобы статистические оценки давали «хорошие» при-

ближения оцениваемых параметров, они должны соответствовать

определенным требованиям. Ниже указаны эти требования.

Несмещенной называют статистическую оценку

Θ*, математичес-

кое ожидание которой равно оцениваемому параметру

Θ при лю-

бом объеме выборки, т. е.

M(Θ*) = Θ. (5.30)

Смещенной называют оценку, математическое ожидание кото-

рой не равно оцениваемому параметру.

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при за-

данном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную диспер-

сию.

При рассмотрении выборок большого объема (n велико!) к ста-

тистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при

n→∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру. На-

пример, если дисперсия несмещенной оценки при

n→∞ стремится

к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность относи-

тельно количественного признака

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно ко-

личественного признака

X извлечена выборка объема n.

Генеральной средней

называют среднее арифметическое зна-

чений признака генеральной совокупности.

Выборочной средней

называют среднее арифметическое зна-

чение признака выборочной совокупности.

Если все значения

, х

, ..., х

признака выборки объема n раз-

личны, то

х...хх

+++

(5.31)

Если же значения признака

, х

, ..., х

имеют, соответственно,

частоты n

, n

, ..., n

, то

xn...xnxn

2211

+++

, или

∑

(5.32)

т.е. выборочная средняя является средней взвешенной значений

признака с весами, равными соответствующим частотам.

Выборочная средняя – несмещенная оценка генеральной сред-

ней.

При увеличении объема выборки

n выборочная средняя стре-

мится по вероятности к генеральной средней, а это и означает, что

выборочная средняя является состоятельной оценкой генеральной

средней. Если по нескольким выборкам достаточно большого объе-

ма из одной и той же генеральной совокупности будут найдены вы-

борочные средние, то они будут приближенно равны между собой.

В этом состоит свойство устойчивости выборочных средних.

Чем объем выборки больше, тем меньше выборочная средняя

отличается от генеральной.

Допустим, что все значения количественного признака

X сово-

купности, безразлично генеральной или выборочной, разбиты на

несколько групп. Рассматривая каждую группу как самостоятель-

ную совокупность, можно найти ее среднюю арифметическую.

Групповой средней называют среднее арифметическое значений

признака, принадлежащих группе.

Общей средней называют среднее арифметическое значений при-

знака, принадлежащих всей совокупности.

Зная групповые средние и объемы групп, можно найти общую

среднюю: общая средняя равна средней арифметической группо-

вых средних, взвешенной по объемам групп.

Выборочной дисперсией

называют среднее арифметическое

квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их сред-

него значения

Если все значения х

, х

, ..., х

признака выборки объема n раз-

личны, то

)x(x

∑

−

. (5.33)

Если же значения признака

, х

, ..., х

имеют, соответственно,

частоты

, n

, ..., n

, причем, n

+ n

+ ... + n

= n, то

)x(xn

∑

−

, (5.34)

т. е. выборочная дисперсия – средняя взвешенная квадратов откло-

нений с весами, равными соответствующим частотам.

Выборочным средним квадратичным отклонением (стандартом)

называют квадратный корень из выборочной дисперсии:

вв

Dσ

. (5.35)

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генераль-

ной дисперсии

, другими словами, математическое ожидание

выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дис-

персии, а равно

]

гв

−

(5.36)