Пинчук С.И. Организация эксперимента при моделировании и оптимизации технических систем

Подождите немного. Документ загружается.

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее мате-

матическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Доста-

точно для этого умножить

на дробь

−

Сделав это, получим «исправленную дисперсию», которую обыч-

но обозначают через

)x(xn

−

∑

−

∑

−

(5.37)

Исправленная дисперсия является несмещённой оценкой гене-

ральной дисперсии.

Для оценки среднего квадратичного отклонения генеральной сово-

купности используют «исправленное» среднее квадратичное отклоне-

ние, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии:

1n –

)x–(xn

S =

∑

. (5.38)

S не является несмещенной оценкой; чтобы отразить этот факт, далее

будем писать так: «исправленное среднее квадратичное отклонение».

5.4.6 точность оценки, доверительная вероятность (надёжность).

доверительный интервал

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом.

Все оценки, рассмотренные выше, – точечные. При выборке малого

объёма точечная оценка может значительно отличаться от оцени-

ваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой при-

чине при небольшом объеме выборки следует пользоваться ин-

тервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя

числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют ус-

тановить точность и надежность оценок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характерис-

тика

Θ* служит оценкой неизвестного параметра Θ. Будем считать

Θ постоянным числом (Θ может быть случайной величиной). Ясно, что

Θ* тем точнее определяет параметр Θ, чем меньше абсолютная вели-

чина разности |Θ – Θ*|. Другими словами, если δ > 0 и |Θ – Θ*| < δ то,

чем меньше δ, тем оценка точнее. Таким образом, положительное

число δ характеризует точность оценки.

Однако, статистические методы не позволяют категорически ут-

верждать, что оценка

Θ* удовлетворяет неравенству |Θ – Θ*| < δ,

можно лишь говорить о вероятности

γ, с которой это неравенство

осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки Θ по Θ*

называют вероятность

γ, с которой осуществляется неравенство

|Θ – Θ*| < δ. Обычно надежность оценки задается наперед, причем

в качестве

γ берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают

надежность, равную

0,95; 0,99 и 0,999.

Пусть вероятность того, что |Θ – Θ*| < δ равна γ:

P[|Θ – Θ*| < δ] = γ.

Заменим неравенство |Θ – Θ*| < δ равнозначным ему двойным

неравенством

– δ < (Θ – Θ*) < δ или (Θ* – δ) < Θ < (Θ* + δ). (5.39)

Тогда

P[(Θ* – δ) < Θ < (Θ* + δ)] = γ. (5.40)

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что

интервал

[Θ* – δ, Θ* + δ] заключает в себе (покрывает) неизвест-

ный параметр Θ, равна γ.

Доверительным называют интервал [Θ* – δ, Θ* + δ], который

покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью γ.

Если случайная величина X распределена нормально, то выбо-

рочная средняя

, найденная по независимым наблюдениям, так-

же распределена нормально. При известном среднеквадратичном

отклонении σ с надежностью γ можно утверждать, что доверитель-

ный интервал

– t

;

+ t

покрывает неизвестный пара-

метр Х; точность оценки

= t

. Число t определяется по таблице

(находят аргумент

t, ему соответствует значение функции Лапласа

Ф(t), равное

При возрастании объема выборки n число δ убывает и, следо-

вательно, точность оценки увеличивается. Увеличение надежности

оценки γ приводит к увеличению t, a следовательно, и к возраста-

нию δ. Другими словами, увеличение надежности оценки влечет за

собой уменьшение ее точности.

При неизвестном среднеквадратичном отклонении σ можно найти

доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр

Х с

надежностью

γ, пользуясь распределением Стьюдента и величиной S.

– t

;

+ t

(5.41)

Здесь использованы величины

и S, найденные по выборке, а

по заданным

n и γ можно найти значения t

(t - критерия Стьюден-

та) по таблице.

Распределение Стьюдента определяется параметром n – объе-

мом выборки (или числом степеней свободы*) и не зависит от неиз-

вестных параметров

Х и σ. Эта особенность является большим до-

стоинством распределения Стьюдента.

При неограниченном возрастании объема выборки

n распре-

деление Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому при

n > 30

можно вместо распределения Стьюдента пользоваться нормаль-

ным распределением.

Однако, важно подчеркнуть, что для малых выборок

(n < 20÷30),

в особенно для малых значений n, замена распределения нормаль-

ным может приводить к грубым ошибкам, а именно: к неоправдан-

ному сужению доверительного интервала, т.е. к неоправданному

повышению точности оценки.

Итак, истинное значение измеряемого параметра можно оцени-

вать по среднему арифметическому результатов отдельных измере-

ний при помощи доверительных интервалов.

5.4.7

другие характеристики вариационного ряда

Кроме выборочной средней и выборочной дисперсии применя-

ются и другие характеристики вариационного ряда.

Модой М

называют варианту, которая имеет наибольшую часто-

ту. Например, для ряда

1 4 7 9

5 1 20 6

мода равна 7.

*Числом степеней свободы называется число наблюдений минус число

оцененных по ним параметров.

Медианой m

называют варианту, которая делит вариационный

ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант не-

четно, т.е.

n = 2k + 1, то m

= х

(k + 1)

; при четном n = 2k медиана

+ xx

)1(k+k

(5.42)

Например, для ряда вариант

2 3 5 6 7 медиана равна 5; для ряда

вариант

2 3 5 6 7 9 медиана равна

5,5=

5 + 6

Размахом варьирования

R называют разность между наибольшей

и наименьшей вариантами:

R = x

max

– x

min

. (5.43)

Например, для ряда варианта

1 3 4 5 6 10

размах

R равен 10 – 1 = 9.

Размах является простейшей характеристикой рассеяния вариа-

ционного ряда.

Средним абсолютным отклонением

f называют среднее арифме-

тическое абсолютных отклонений:

∑

xxn

f =

. (5.44)

Например, для ряда

1 3 6 16

4 10 5 1

имеем:

;4=

4 + 10 + 5 + 1

4 · 1 + 10 · 3 + 5 · 6 + 1 · 16

= 2,2.

4 ·

|1 – 4| + 10 · |3 – 4| + 5 · |6 – 4| + 1 · |16 – 4|

f =

Среднее абсолютное отклонение служит для характеристики

рассеяния вариационного ряда.

Коэффициентом вариации υ называют выраженное в процентах

отношение выборочного среднего квадратичного отклонения к вы-

борочной средней:

, %100

υ =

. (5.45)

Коэффициент вариации служит для сравнения величин рассея-

ния двух вариационных рядов: тот из рядов имеет большее рассея-

ние, у которого коэффициент вариации больше.

Выше предполагалось, что вариационный ряд составлен по дан-

ным выборки, поэтому все описанные характеристики называют вы-

борочными. Если вариационный ряд составлен по данным генераль-

ной совокупности, то характеристики называют генеральными.

Для вычисления сводных характеристик выборки удобно поль-

зоваться эмпирическими моментами, определения которых анало-

гичны определениям соответствующих теоретических моментов.

В отличие от тео ретических эмпирические моменты вычисляют по

данным наблюдений.

Обычным эмпирическим моментом порядка k называют среднее

значение

k-x степеней разностей (x

– c):

c)(xn

–

∑

(5.46)

где

– наблюдаемая варианта,

– частота варианты,

п = ∑п

– объем выборки,

с – произвольное постоянное число (ложный нуль).

Начальным эмпирическим моментом порядка

k называют обыч-

ный момент порядка k при с = 0.

∑

. (5.47)

В частности,

∑

, (5.48)

т. е. начальный эмпирический момент первого порядка равен вы-

борочной средней.

Центральным эмпирическим моментом порядка k называют

обычный момент порядка

k при c =

)x–(x∑n

. (5.49)

В частности,

= D

)x–(xn

∑

, (5.50)

т. е. центральный эмпирический момент второго порядка равен вы-

борочной дисперсии.

Легко выразить центральные моменты через обычные:

= Mʹ

– (Mʹ

)

; (5.51)

= Mʹ

– 3Mʹ

Mʹ

+ 2(Mʹ

)

; (5.52)

= Mʹ

– 4Mʹ

Mʹ

+ 6Mʹ

(Mʹ

)

– 3(Mʹ

)

. (5.53)

В случае непрерывного распределения вероятности отдельных

возможных значений равны нулю. Поэтому весь интервал возмож-

ных значений делят на

k непересекающихся интервалов и вычисля-

ют вероятности Р попадания значений X в i-й частичный интервал,

а затем, как и для дискретного распределения, умножают число ис-

пытаний на эти вероятности.

Для оценки отклонения эмпирического распределения от нор-

мального используют различные характеристики, к числу которых

относятся асимметрия и эксцесс. Определения этих характеристик

аналогичны определениям асимметрии и эксцесса теоретического

распределения.

Асимметрия эмпирического распределения определяется ра-

венством

или А =

А =

2/3

(5.54)

где

и M

– центральные эмпирические моменты второго и тре-

тьего порядка,

– выборочное среднеквадратичное отклонение, т.е.

√M

Эксцесс эмпирического распределения определяется равенством

,3–

или

Е =3–

Е =

(5.55)

где M

– центральный эмпирический момент четвертого порядка.

5.5 приёмы первичной обработки экспериментальных

данных

5.5.1 систематизация данных измерений и нахождение

числовых характеристик измеряемых величин

Важнейшими задачами обработки экспериментальных данных

являются отсеивание результатов измерений с грубыми погреш-

ностями и проверка соответствия распределения результатов из-

мерений законам нормального распределения.

Систематизация экспериментальных данных предполагает их

размещение в таблицах. Материал располагают в хронологической

последовательности (получают временные ряды случайных вели-

чин) либо в соответствии с изменением изучаемых параметров (по-

лучают статистические ряды распределения).

В математической статистике распределение рассматривают как

соответствие между наблюдаемыми значениями параметра и их

частотами – абсолютными либо относительными (см. в разделе 5.4).

Определяют диапазон изменения измеряемых величин, т.е. диапа-

зон варьирования результатов измерений. Количественной оценкой

этого диапазона является размах вариации

R, величина которого оп-

ределяется как разность между полученными максимальным и мини-

мальным значениями измеряемого параметра Х по формуле (5.43):

R = х

max

– х

min

Для проверки наличия грубых ошибок измерений параметра

необходимо по данным ряда наблюдений получить статистическую

оценку величины измеряемого параметра и статистические оцен-

ки колеблемости результатов измерений.

Математическое ожидание измеряемого параметра

Х находят

как среднее арифметическое результатов наблюдений по форму-

лам (5.31) либо (5.32).

Для оценки колеблемости результатов измерений переменных

или отклонений результатов их измерений

от средней величи-

ны x используют среднее абсолютное отклонение, дисперсию и

среднее квадратичное (стандартное) отклонение.

Заметим, что характеристики распределения в генеральной со-

вокупности называют параметрами. Их принято обозначать буквами

греческого алфавита, например, дисперсия

, среднее квадратич-

ное отклонение

σ. Выборочные характеристики называют оценка-

ми или статистиками. Их принято обозначать буквами латинского

алфавита, например, дисперсия

и среднее квадратичное откло-

нение

Определяют следующие оценки колеблемости выборочных дан-

ных:

исправленное среднее абсолютное отклонение:

)1n(n

x–

–

m =

∑

; (5.56)

исправленную дисперсию

по формуле (5.37) и исправленное сред-

неквадратичное (стандартное) отклонение S по формуле (5.38).

Для сравнения колеблемости переменных, имеющих разные раз-

мерности, удобно применять коэффициенты вариации: для гене-

ральной совокупности – υ

и для выборки – υ

,%;100

=υ

,%.100

=υ

(5.57)

Среднее арифметическое является начальным моментом перво-

го (

), дисперсия – центральным моментом второго (M

) порядка

выборки случайных величин х

. Напомним, что начальным момен-

том порядка k случайной величины называется её математическое

ожидание

k-ой степени:

∑

или

∑

;

центральным моментом порядка k называется математическое ожи-

дание k-ой степени отклонения величины Х от её центра:

x–x

∑

или

x–xn

∑

Определяют также центральные моменты третьего и четвёртого

порядка:

x–x

∑

; (5.58)

x–x

∑

, (5.59)

которые могут быть рассчитаны по значениям начальных момен-

тов

по формулам:

;m–= mM

122

(5.60)

;m2+mm3–= mM

12133

(5.61)

.m3–mm6+mm4–= mM

(5.62)

Вычисляют коэффициент асимметрии и эксцесс:

;/MA = M

2/3

(5.63)

3–/ME = M

(5.64)

а также их среднеквадратичные отклонения, соответственно, S

и S

)3)(n +1(n +

)1n(n – 6

; (5.65)

)5)(n +3(n +)1–(n

)3–)(n2–n(n24

(5.66)

Приведенные формулы (5.63) – (5.66) позволяют вычислять ста-

тистические оценки

А, Е, S

, S

, которые для выборок небольшого

объёма являются смещёнными.

Несмещённые оценки для показателей асимметрии и эксцесса

определяют по формулам:

� A

2–n

)1–n(n

; (5.67)

[]

6) E +1(n +

)3–)(n2–(n

1–n

. (5.68)

100

Несмещённые оценки среднеквадратичных отклонений для этих

показателей вычисляют по формулам:

)3)(n1)(n2–(n

)1–n(n6

; (5.69)

)5)(n +3)(n +2–)(n3–(n

)1–n(n24

. (5.70)

Основными показателями точности измерений являются стан-

дартная ошибка (стандарт)

S и дисперсия S

В генеральной совокупности или выборках большого объёма

практически все случайные ошибки измерения ограничены по аб-

солютной величине значения

±3σ (правило трёх сигм). При нор-

мальном распределении применяют также следующие показатели

точности измерений:

вероятная ошибка

ρ = 0,674σ; (5.71)

средняя абсолютная ошибка

САО =

= 0,7979σ

;

π2

(5.72)

мера точности

= 0,7071

2σ

h =

. (5.73)

5.5.2 Обнаружение грубых ошибок (промахов)

В специальной литературе можно встретить различные реко-

мендации для обнаружения грубых погрешностей измерений и от-

сева промахов.

Если имеется выборка небольшого объёма

n, то можно восполь-

зоваться методом сравнения максимального относительного от-

клонения |x

– x

max

/S с критическим (при выбранном уровне зна-

чимости и числе степеней свободы f = n – 2), значение которого

определяют по таблице.

Здесь мы впервые сталкиваемся с понятием о статистической

гипотезе.